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补课讲义:平面向量doc


平面向量

一、

平面向量的概念及线性运算

A.基础梳理
1.向量的有关概念 (1)向量:既有大小又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模. (2)零向量:长度等于 0 的向量,其方向是任意的. (3)单位向量:长度等于 1 个单位的向量.

(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,

又叫共线向量,规定:0 与任一向量共线. (5)相等向量:长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量:长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律 (1) 交换律: 求两个向量和的运算 a+b=b+a. 三角形法则 (2)结合律: (a+b)+c=a+(b 平行四边形法则 求 a 与 b 的相反向量 减法 -b 的和的运算叫做 a 与 b 的差 3.向量的数乘运算及其几何意义 (1)定义:实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘,记作 λa,它的长度与方向规定如下: ①|λa|=|λ||a|; ②当 λ>0 时,λa 与 a 的方向相同;当 λ<0 时,λa 与 a 的方向相反;当 λ=0 时,λa=0. 三角形法则 a-b=a+(-b) +c)

加法

(2)运算律:设 λ,μ 是两个实数,则①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa;③ λ(a+b)=λa+λb. 4.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ,使得 b=λa.

B.方法与要点
1、一条规律 一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量. 2、两个防范 (1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”,否则 λ 可能不存在,也可能有无数个. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且 有公共点时,才能得出三点共线;另外,利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合.

C.双基自测
1

→ 1. D 是△ABC 的边 AB 上的中点,则向量CD等于( → 1→ A.-BC+ BA 2 → 1→ B.-BC- BA 2 → 1→ C.BC- BA 2

). → 1→ D.BC+ BA 2 答案 A

→ → → → 1→ → 1→ 解析 如图,CD=CB+BD=CB+ BA=-BC+ BA. 2 2 2.判断下列四个命题:

①若 a∥b,则 a=b;②若|a|=|b|,则 a=b;③若|a|=|b|,则 a∥b;④若 a=b,则|a|=|b|. 正确的个数是( A.1 解析 只有④正确. ). B.2 答案 A ). → → → D.EF=-OF-OE C.3 D.4

3.若 O,E,F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( → → → A.EF=OF+OE → → → B.EF=OF-OE → → → C.EF=-OF+OE 答案 B ). → D.CF

→ → → → → 解析 EF=EO+OF=OF-OE.

→ → → 4.如图,正六边形 ABCDEF 中,BA+CD+EF=( A.0 → B.BE → C.AD

→ → → → → → → → → 解析 BA+CD+EF=DE+CD+EF=CE+EF=CF.

答案 D

5.设 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 a+λb 与 2a-b 共线,则 λ=________.
? ?1=2k, 解析 由题意知:a+λb=k(2a-b),则有:? ?λ=-k, ?

1 1 ∴k= ,λ=- . 2 2

1 答案 - 2

D.考点解析 考点一 平面向量的概念
).

【例 1】?下列命题中正确的是(

A.a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点 C.向量 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行

[审题视点] 以概念为判断依据,或通过举反例说明其正确与否. 解析 由于零向量与任一向量都共线,所以 A 不正确;由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的 非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,所以 B 不正确;向量的平行只要求方向相同或相反, 与起点是否相同无关,所以 D 不正确;对于 C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑, 假设 a 与 b 不都是非零向量,即 a 与 b 中至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可知 a 与 b 共线,符合已知条件,所以有向量 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都是非零向量,故选 C. 答案 C

解决这类与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题,其关键在于透彻理解平面向量的概念, 还应注意零向量的特殊性,以及两个向量相等必须满足:(1)模相等;(2)方向相同. 【训练 1】 给出下列命题:
2

→ → ①若 A,B,C,D 是不共线的四点,则AB=DC是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件; ②若 a=b,b=c,则 a=c; ③a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b; 其中正确命题的序号是________.

④若 a 与 b 均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等. 解析 ①②正确,③④错误. 答案 ①②

考点二

平面向量的线性运算
).

【例 2】?如图,D,E,F 分别是△ABC 的边 AB,BC,CA 的中点,则( → → → A.AD+BE+CF=0 → → → C.AD+CE-CF=0 → → → B.BD-CF+DF=0 → → → D.BD-BE-FC=0

[审题视点] 利用平面向量的线性运算并结合图形可求. → → → → → → → → → 解析 ∵AB+BC+CA=0,∴2AD+2BE+2CF=0, 即AD+BE+CF=0. 答案 A

三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法,共起点的向量,和用平行四边形法则, 差用三角形法则. → → → → → 【训练 2】 在△ABC 中,AB=c,AC=b,若点 D 满足BD=2DC,则AD= ( 2 1 A. b+ c 3 3 5 2 B. c- b 3 3 2 1 C. b- c 3 3 1 2 D. b+ c 3 3 答案 A ).

→ → → → → → → → → → 2 → 1→ 2 1 解析 ∵BD=2DC,∴AD-AB=2(AC-AD),∴3AD=2AC+AB ∴AD= AC+ AB= b+ c. 3 3 3 3

考向三

共线向量定理及其应用

【例 3】?设两个非零向量 a 与 b 不共线. → → → (1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b). (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. → → [审题视点] (1)先证明AB,BD共线,再说明它们有一个公共点;(2)利用共线向量定理列出方程组求 k. → → → (1)证明 ∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b). → → → → ∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5AB. → → ∴AB,BD共线,又它们有公共点,∴A,B,D 三点共线. (2)解 ∵ka+b 与 a+kb 共线, 求证:A,B,D 三点共线;

∴存在实数 λ,使 ka+b=λ(a+kb), 即(k-λ)a=(λk-1)b. 又 a,b 是两不共线的非零向量, ∴k-λ=λk-1=0.∴k2-1=0.∴k=± 1. 平行向量定理的条件和结论是充要条件关系, 既可以证明向量共线, 也可以由向量共线求参数. 利 用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点. → → 【训练 3】已知 a,b 是不共线的向量,AB=λa+b,AC=a+μb(λ,μ∈R),那么 A,B,C 三点共线的充要条
3

件是(

). B.λ-μ=1 C.λμ=-1 D.λμ=1

A.λ+μ=2

→ → → → 解析 由AB=λa+b,AC=a+μb(λ,μ∈R)及 A,B,C 三点共线得:AB=t AC,所以 λa+b=t(a+μb)=ta
? ?λ=t, +tμb,即可得? 所以 λμ=1.故选 D. ?1=tμ, ?

答案 D

二、

平面向量基本定理及其坐标表示

A.基础梳理
1.平面向量基本定理 如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且只有一对实数 λ1,λ2, 使 a=λ1e1+λ2e2,其中不共线的向量 e1,e2 叫表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
2 a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|= x2 1+y1 .

(2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. → → ②设 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. 3.平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0,当且仅当 x1y2-x2y1=0 时,向量 a,b 共线.

B.方法与要点 1、一个区别
向量坐标与点的坐标的区别: → 在平面直角坐标系中,以原点为起点的向量OA=a,点 A 的位置被向量 a 唯一确定,此时点 A 的坐标与 a 的 → 坐标统一为(x,y),但应注意其表示形式的区别,如点 A(x,y),向量 a=OA=(x,y). → → → → → 当平面向量OA平行移动到O1A1时,向量不变,即O1A1=OA=(x,y),但O1A1的起点 O1 和终点 A1 的坐标都发 生了变化. 2、两个防范 (1)要区分点的坐标与向量坐标的不同,尽管在形式上它们完全一样,但意义完全不同,向量坐标中既有方向 也有大小的信息. x1 y1 (2)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不能表示成 = ,因为 x2,y2 有可能等于 0,所以应表 x2 y2 示为 x1y2-x2y1=0.

C.双基自测
4

1.已知 a1+a2+?+an=0,且 an=(3,4),则 a1+a2+?+an-1 的坐标为( A.(4,3) B.(-4,-3) C.(-3,-4)

). D.(-3,4) 答案 C

解析 a1+a2+?+an-1=-an=(-3,-4). 2.若向量 a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则 c=( A.3a+b B.3a-b C.-a+3b ). D.a+3b ∴c=3a-b.

? ? ?x-y=4, ?x=3, 解析 设 c=xa+yb,则? ∴? ?x+y=2, ?y=-1. ? ?

答案 B ).

3.设向量 a=(m,1),b=(1,m),如果 a 与 b 共线且方向相反,则 m 的值为( A.-1 B.1 C.-2 D.2

解析 设 a=λb(λ<0),即 m=λ 且 1=λm.解得 m=± 1,由于 λ<0,∴m=-1.

答案 A

4.设向量 a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量 4a、3b-2a、c 的有向线段首尾相接能构成三角形, 则向量 c=( A.(4,6) ). B.(-4,-6) C.(4,-6) D.(-4,6)

解析 设 c=(x,y), 则 4a+(3b-2a)+c=0, ∴?
? ?4-6-2+x=0, ? ?x=4, ∴? ?-12+12+6+y=0, ?y=-6. ? ?

答案 C

5.已知向量 a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则 m=________. 解析 a+b=(1,m-1).∵(a+b)∥c,∴