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补课讲义:平面向量doc


平面向量

一、

平面向量的概念及线性运算

A.基础梳理
1.向量的有关概念 (1)向量:既有大小又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模. (2)零向量:长度等于 0 的向量,其方向是任意的. (3)单位向量:长度等于 1 个单位的向量.

(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,

又叫共线向量,规定:0 与任一向量共线. (5)相等向量:长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量:长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律 (1) 交换律: 求两个向量和的运算 a+b=b+a. 三角形法则 (2)结合律: (a+b)+c=a+(b 平行四边形法则 求 a 与 b 的相反向量 减法 -b 的和的运算叫做 a 与 b 的差 3.向量的数乘运算及其几何意义 (1)定义:实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘,记作 λa,它的长度与方向规定如下: ①|λa|=|λ||a|; ②当 λ>0 时,λa 与 a 的方向相同;当 λ<0 时,λa 与 a 的方向相反;当 λ=0 时,λa=0. 三角形法则 a-b=a+(-b) +c)

加法

(2)运算律:设 λ,μ 是两个实数,则①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa;③ λ(a+b)=λa+λb. 4.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ,使得 b=λa.

B.方法与要点
1、一条规律 一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量. 2、两个防范 (1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”,否则 λ 可能不存在,也可能有无数个. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且 有公共点时,才能得出三点共线;另外,利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合.

C.双基自测
1

→ 1. D 是△ABC 的边 AB 上的中点,则向量CD等于( → 1→ A.-BC+ BA 2 → 1→ B.-BC- BA 2 → 1→ C.BC- BA 2

). → 1→ D.BC+ BA 2 答案 A

→ → → → 1→ → 1→ 解析 如图,CD=CB+BD=CB+ BA=-BC+ BA. 2 2 2.判断下列四个命题:

①若 a∥b,则 a=b;②若|a|=|b|,则 a=b;③若|a|=|b|,则 a∥b;④若 a=b,则|a|=|b|. 正确的个数是( A.1 解析 只有④正确. ). B.2 答案 A ). → → → D.EF=-OF-OE C.3 D.4

3.若 O,E,F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( → → → A.EF=OF+OE → → → B.EF=OF-OE → → → C.EF=-OF+OE 答案 B ). → D.CF

→ → → → → 解析 EF=EO+OF=OF-OE.

→ → → 4.如图,正六边形 ABCDEF 中,BA+CD+EF=( A.0 → B.BE → C.AD

→ → → → → → → → → 解析 BA+CD+EF=DE+CD+EF=CE+EF=CF.

答案 D

5.设 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 a+λb 与 2a-b 共线,则 λ=________.
? ?1=2k, 解析 由题意知:a+λb=k(2a-b),则有:? ?λ=-k, ?

1 1 ∴k= ,λ=- . 2 2

1 答案 - 2

D.考点解析 考点一 平面向量的概念
).

【例 1】?下列命题中正确的是(

A.a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点 C.向量 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行

[审题视点] 以概念为判断依据,或通过举反例说明其正确与否. 解析 由于零向量与任一向量都共线,所以 A 不正确;由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的 非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,所以 B 不正确;向量的平行只要求方向相同或相反, 与起点是否相同无关,所以 D 不正确;对于 C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑, 假设 a 与 b 不都是非零向量,即 a 与 b 中至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可知 a 与 b 共线,符合已知条件,所以有向量 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都是非零向量,故选 C. 答案 C

解决这类与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题,其关键在于透彻理解平面向量的概念, 还应注意零向量的特殊性,以及两个向量相等必须满足:(1)模相等;(2)方向相同. 【训练 1】 给出下列命题:
2

→ → ①若 A,B,C,D 是不共线的四点,则AB=DC是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件; ②若 a=b,b=c,则 a=c; ③a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b; 其中正确命题的序号是________.

④若 a 与 b 均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等. 解析 ①②正确,③④错误. 答案 ①②

考点二

平面向量的线性运算
).

【例 2】?如图,D,E,F 分别是△ABC 的边 AB,BC,CA 的中点,则( → → → A.AD+BE+CF=0 → → → C.AD+CE-CF=0 → → → B.BD-CF+DF=0 → → → D.BD-BE-FC=0

[审题视点] 利用平面向量的线性运算并结合图形可求. → → → → → → → → → 解析 ∵AB+BC+CA=0,∴2AD+2BE+2CF=0, 即AD+BE+CF=0. 答案 A

三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法,共起点的向量,和用平行四边形法则, 差用三角形法则. → → → → → 【训练 2】 在△ABC 中,AB=c,AC=b,若点 D 满足BD=2DC,则AD= ( 2 1 A. b+ c 3 3 5 2 B. c- b 3 3 2 1 C. b- c 3 3 1 2 D. b+ c 3 3 答案 A ).

→ → → → → → → → → → 2 → 1→ 2 1 解析 ∵BD=2DC,∴AD-AB=2(AC-AD),∴3AD=2AC+AB ∴AD= AC+ AB= b+ c. 3 3 3 3

考向三

共线向量定理及其应用

【例 3】?设两个非零向量 a 与 b 不共线. → → → (1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b). (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. → → [审题视点] (1)先证明AB,BD共线,再说明它们有一个公共点;(2)利用共线向量定理列出方程组求 k. → → → (1)证明 ∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b). → → → → ∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5AB. → → ∴AB,BD共线,又它们有公共点,∴A,B,D 三点共线. (2)解 ∵ka+b 与 a+kb 共线, 求证:A,B,D 三点共线;

∴存在实数 λ,使 ka+b=λ(a+kb), 即(k-λ)a=(λk-1)b. 又 a,b 是两不共线的非零向量, ∴k-λ=λk-1=0.∴k2-1=0.∴k=± 1. 平行向量定理的条件和结论是充要条件关系, 既可以证明向量共线, 也可以由向量共线求参数. 利 用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点. → → 【训练 3】已知 a,b 是不共线的向量,AB=λa+b,AC=a+μb(λ,μ∈R),那么 A,B,C 三点共线的充要条
3

件是(

). B.λ-μ=1 C.λμ=-1 D.λμ=1

A.λ+μ=2

→ → → → 解析 由AB=λa+b,AC=a+μb(λ,μ∈R)及 A,B,C 三点共线得:AB=t AC,所以 λa+b=t(a+μb)=ta
? ?λ=t, +tμb,即可得? 所以 λμ=1.故选 D. ?1=tμ, ?

答案 D

二、

平面向量基本定理及其坐标表示

A.基础梳理
1.平面向量基本定理 如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且只有一对实数 λ1,λ2, 使 a=λ1e1+λ2e2,其中不共线的向量 e1,e2 叫表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
2 a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|= x2 1+y1 .

(2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. → → ②设 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. 3.平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0,当且仅当 x1y2-x2y1=0 时,向量 a,b 共线.

B.方法与要点 1、一个区别
向量坐标与点的坐标的区别: → 在平面直角坐标系中,以原点为起点的向量OA=a,点 A 的位置被向量 a 唯一确定,此时点 A 的坐标与 a 的 → 坐标统一为(x,y),但应注意其表示形式的区别,如点 A(x,y),向量 a=OA=(x,y). → → → → → 当平面向量OA平行移动到O1A1时,向量不变,即O1A1=OA=(x,y),但O1A1的起点 O1 和终点 A1 的坐标都发 生了变化. 2、两个防范 (1)要区分点的坐标与向量坐标的不同,尽管在形式上它们完全一样,但意义完全不同,向量坐标中既有方向 也有大小的信息. x1 y1 (2)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不能表示成 = ,因为 x2,y2 有可能等于 0,所以应表 x2 y2 示为 x1y2-x2y1=0.

C.双基自测
4

1.已知 a1+a2+?+an=0,且 an=(3,4),则 a1+a2+?+an-1 的坐标为( A.(4,3) B.(-4,-3) C.(-3,-4)

). D.(-3,4) 答案 C

解析 a1+a2+?+an-1=-an=(-3,-4). 2.若向量 a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则 c=( A.3a+b B.3a-b C.-a+3b ). D.a+3b ∴c=3a-b.

? ? ?x-y=4, ?x=3, 解析 设 c=xa+yb,则? ∴? ?x+y=2, ?y=-1. ? ?

答案 B ).

3.设向量 a=(m,1),b=(1,m),如果 a 与 b 共线且方向相反,则 m 的值为( A.-1 B.1 C.-2 D.2

解析 设 a=λb(λ<0),即 m=λ 且 1=λm.解得 m=± 1,由于 λ<0,∴m=-1.

答案 A

4.设向量 a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量 4a、3b-2a、c 的有向线段首尾相接能构成三角形, 则向量 c=( A.(4,6) ). B.(-4,-6) C.(4,-6) D.(-4,6)

解析 设 c=(x,y), 则 4a+(3b-2a)+c=0, ∴?
? ?4-6-2+x=0, ? ?x=4, ∴? ?-12+12+6+y=0, ?y=-6. ? ?

答案 C

5.已知向量 a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则 m=________. 解析 a+b=(1,m-1).∵(a+b)∥c,∴2-(-1)(m-1)=0,∴m=-1. 答案 -1

D.考点解析 考点一 平面向量基本定理的应用

【例 1】?如图所示,在△ABC 中,H 为 BC 上异于 B,C 的任一点, → → → M 为 AH 的中点,若AM=λAB+μAC,则 λ+μ=________. → → → [审题视点] 由 B,H,C 三点共线可用向量AB,AC来表示AH. → → → → 1→ 1 → 1 解析 由 B,H,C 三点共线,可令AH=xAB+(1-x)AC,又 M 是 AH 的中点,所以AM= AH= xAB+ (1 2 2 2 1 1 1 → → → → -x)AC,又AM=λAB+μAC.所以 λ+μ= x+ (1-x)= . 2 2 2 答案 1 2

应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或 数乘运算,共线向量定理的应用起着至关重要的作用.当基底确定后,任一向量的表示都是唯一的. → → → 【训练 1】 如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.若AD=xAB+yAC, 则 x=________,y=________. 解析 以 AB 所在直线为 x 轴,以 A 为原点建立平面直角坐标系如图, → → 令 AB=2,则AB=(2,0),AC=(0,2),过 D 作 DF⊥AB 交 AB 的延长线于 F, → 由已知得 DF=BF= 3,则AD=(2+ 3, 3).
5

→ → → ∵AD=xAB+yAC,∴(2+ 3, 3)=(2x,2y).

?2+ 3=2x, 即有? 解得? ? 3=2y,

?x=1+ 23, ?y= 2 .
所以 x=1+ 3 3 ,y= . 2 2 答案 1+ 3 2 3 2 3

3→ 3 → → → → 另解:AD=AF+FD=?1+ ?AB+ AC, 2 2? ?

考点二

平面向量的坐标运算

→ → → → → 【例 2】?已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且CM=3CA,CN=2CB.求 M,N 的坐标和MN. → → [审题视点] 求CA,CB的坐标,根据已知条件列方程组求 M,N. 解 ∵A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4), → → ∴CA=(1,8),CB=(6,3).

→ → → → ∴CM=3CA=3(1,8)=(3,24),CN=2CB=2(6,3)=(12,6). → 设 M(x,y),则CM=(x+3,y+4). ∴?
? ?x+3=3, ? ?x=0, → 得? ∴M(0,20).同理可得 N(9,2),∴MN=(9-0,2-20)=(9,-18). ?y+4=24, ?y=20. ? ?

利用向量的坐标运算解题, 主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则, 通过列方程(组)进行求解; 在将向量用坐标表示时,要看准向量的起点和终点坐标,也就是要注意向量的方向,不要写错坐标. → → → 【训练 2】 在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,若AB=(2,4),AC=(1,3),则BD=( A.(-2,-4) B.(-3,-5) C.(3,5) D.(2,4) ).

→ → → → → → → → → → 解析 由题意得BD=AD-AB=BC-AB=(AC-AB)-AB=AC-2AB=(1,3)-2(2,4)=(-3,-5).答案 B

考点三

平面向量共线的坐标运算

【例 3】?已知 a=(1,2),b=(-3,2),是否存在实数 k,使得 ka+b 与 a-3b 共线,且方向相反? [审题视点] 根据共线条件求 k,然后判断方向. 解 若存在实数 k,则 ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).

若这两个向量共线,则必有(k-3)×(-4)-(2k+2)×10=0. 10 4? 1 解得 k=- .这时 ka+b=? ?- 3 ,3?, 3 1 所以 ka+b=- (a-3b).即两个向量恰好方向相反, 3 故题设的实数 k 存在.

向量共线问题中,一般是根据其中的一些关系求解参数值,如果向量是用坐标表示的,就可以使用 两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程,根据方程求解其中的参数值. 【训练 3】已知向量 a=(1,2),b=(2,-3),若向量 c 满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则 c=( 7 7? A.? ?9,3? 7 7? B.? ?-3,-9? 7 7? C.? ?3,9? 7 7? D.? ?-9,-3? ).

解析 设 c=(m,n),则 a+c=(1+m,2+n),a+b=(3,-1).
6

7 7 ∵(c+a)∥b,∴-3×(1+m)=2×(2+n),又 c⊥(a+b),∴3m-n=0,解得 m=- ,n=- . 9 3

答案 D

三、

平面向量的数量积

A.基础梳理
1.两个向量的夹角 → → 已知两个非零向量 a 和 b(如图),作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0° ≤θ≤180° )叫做向量 a 与 b 的夹角,当 θ =0° 时,a 与 b 同向;当 θ=180° 时,a 与 b 反向;如果 a 与 b 的夹角是 90° ,我们说 a 与 b 垂直,记作 a⊥b. 2.两个向量的数量积的定义 已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角为 θ,则数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积),记作 a· b, 即 a· b=|a||b|cos θ,规定零向量与任一向量的数量积为 0,即 0· a=0. 3.向量数量积的几何意义 数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的数量积. 4.向量数量积的性质 设 a、b 都是非零向量,e 是单位向量,θ 为 a 与 b(或 e)的夹角.则 (1)e· a=a· e=|a|cos θ; (2)a⊥b?a· b=0;

(3)当 a 与 b 同向时,a· b=|a|· |b|;当 a 与 b 反向时,a· b=-|a||b|,特别的,a· a=|a|2 或者|a|= a· a; a· b (4)cos θ= ; |a||b| 5.向量数量积的运算律 (1)a· b=b· a; (2)λa· b=λ(a· b)=a· (λb); (3)(a+b)· c=a· c+b· c. (5)|a· b|≤|a||b|.

6.平面向量数量积的坐标运算 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量 a 与 b 的夹角为 θ,则 (1)a· b=x1x2+y1y2; (3)cos〈a,b〉= x1x2+y1y2 2 2; x1+y2 x2 1 2+y2
2 (2)|a|= x2 1+y1;

(4)a⊥b?a· b=0?x1x2+y1y2=0.

→ 7.若 A(x1,y1),B(x2,y2),AB=a,则|a|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2(平面内两点间的距离公式).

B.方法与要点
1、一个条件 两个向量垂直的充要条件:a⊥b?x1x2+y1y2=0. 2、两个探究 (1)若 a· b>0,能否说明 a 和 b 的夹角为锐角? 3、三个防范 (1)若 a,b,c 是实数,则 ab=ac?b=c(a≠0);但对于向量就没有这样的性质,即若向量 a,b,c 若满足 a· b=a· c(a≠0),则不一定有 b=c,即等式两边不能同时约去一个向量,但可以同时乘以一个向量. (2)数量积运算不适合结合律,即(a·b)c≠a(b·c),这是由于(a·b)c 表示一个与 c 共线的向量,a(b·c)
7

(2)若 a· b<0,能否说明 a 和 b 的夹角为钝角?

表示一个与 a 共线的向量,而 a 与 c 不一定共线,因此(a·b)c 与 a(b·c)不一定相等. → → (3)向量夹角的概念要领会,比如正三角形 ABC 中,AB与BC的夹角应为 120°,而不是 60°.

C.双基自测
1.已知|a|=3,|b|=2,若 a· b=-3,则 a 与 b 的夹角为( π A. 3 π B. 4 2π C. 3 3π D. 4 答案 C ).

a· b -3 1 2π 解析 设 a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ= = =- .又 0≤θ≤π,∴θ= . |a||b| 3×2 2 3 2.若 a,b,c 为任意向量,m∈R,则下列等式不一定成立的是( A.(a+b)+c=a+(b+c) C.m(a+b)=ma+mb B.(a+b)· c=a· c+b· c D.(a· b)· c=a· (b· c) ). ).

答案 D

3.若向量 a,b,c 满足 a∥b,且 a⊥c,则 c· (a+2b)=( A.4 B.3 C.2 D.0

解析 由 a∥b 及 a⊥c,得 b⊥c,则 c· (a+2b)=c· a+2c· b=0. 4.已知向量 a=(1,2),向量 b=(x,-2),且 a⊥(a-b),则实数 x 等于( A.9 B.4 C.0 D.-4 ).

答案 D

解析 a-b=(1-x,4).由 a⊥(a-b),得 1-x+8=0.∴x=9. 5.已知|a|=|b|=2,(a+2b)· (a-b)=-2,则 a 与 b 的夹角为________. 解析 由|a|=|b|=2,(a+2b)(a-b)=-2, a· b 2 1 π 得 a· b=2,cos〈a,b〉= = = ,又〈a,b〉∈[0,π]所以〈a,b〉= . |a||b| 2×2 2 3

答案 A

答案

π 3

D.考点解析 考点一 求两平面向量的数量积

→ → → → → → 【例 1】?在△ABC 中,M 是 BC 的中点,|AM|=1,AP=2PM,则PA· (PB+PC)=________. → → → [审题视点] 由 M 是 BC 的中点,得PB+PC=2PM. → → → → → → 解析 如图,因为 M 是 BC 的中点,所以PB+PC=2PM,又AP=2PM,|AM|=1, 4 → 4 4 → → → → → → 所以PA· (PB+PC)=PA· 2PM=-4|PM|2=- |AM|2=- ,故填- . 9 9 9 4 答案 - 9

当向量表示平面图形中的一些有向线段时,要根据向量加减法运算的几何法则进行转化,把题目 中未知的向量用已知的向量表示出来,在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理、以及解 三角形等知识. → → 【训练 1】 如图,在菱形 ABCD 中,若 AC=4,则CA· AB=________. → → → → → → → → → → → → 解析 AB=AO+OB,故CA· AB=CA· (AO+OB)=CA· AO+CA· OB. 1→ → → 1 → → → 而AO=- CA,CA⊥OB.所以CA· AB=- CA2=-8. 2 2
8

答案 -8

考点二

利用平面向量数量积求夹角与模

【例 2】?已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)· (2a+b)=61. (1)求 a 与 b 的夹角 θ; (2)求|a+b|和|a-b|.

[审题视点] 由平面向量数量积的运算法则得 a· b 的值,再求其夹角的余弦值,从而得其夹角. 解 (1)(2a-3b)· (2a+b)=61,解得 a· b=-6. ∴cos θ= a· b -6 1 2π = =- ,又 0≤θ≤π,∴θ= . |a||b| 4×3 2 3

(2)|a+b|2=a2+2a· b+b2=13,∴|a+b|= 13. |a-b|2=a2-2a· b+b2=37. ∴|a-b|= 37.

在数量积的基本运算中,经常用到数量积的定义、模、夹角等公式,尤其对|a|= a· a要引起足够 重视,是求距离常用的公式. 【训练 2】 已知 a 与 b 是两个非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,求 a 与 a+b 的夹角. 解 设 a 与 a+b 的夹角为 θ,由|a|=|b|得|a|2=|b|2. 而|a+b|2=|a|2+2a· b+|b|2=3|a|2, 1 |a|2+ |a|2 2 a· ?a+b? 3 ∴cos θ= = = . 2 |a||a+b| |a|· 3|a| ∴|a+b|= 3|a|. 又由|b|2=|a-b|2=|a|2-2a· b+|b|2. 1 ∴a· b= |a|2, 2

∵0° ≤θ≤180° ,

∴θ=30° ,即 a 与 a+b 的夹角为 30° .

考点三

平面向量的数量积与垂直问题

【例 3】?已知平面向量 a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R). (1)若 a⊥b,求 x 的值; (2)若 a∥b,求|a-b|.

[审题视点] 利用 a⊥b?x1x2+y1y2=0 及 a∥b?x1y2-x2y1=0,求解. 解 (1)若 a⊥b,则 a· b=(1,x)· (2x+3,-x)=1×(2x+3)+x(-x)=0.

整理,得 x2-2x-3=0,解得 x=-1 或 x=3. (2)若 a∥b,则有 1×(-x)-x(2x+3)=0,即 x(2x+4)=0,解得 x=0 或 x=-2. 当 x=0 时,a=(1,0),b=(3,0),a-b=(-2,0), ∴|a-b|= ?-2?2+02=2. 当 x=-2 时,a=(1,-2),b=(-1,2),a-b=(2,-4),∴|a-b|=2 5. 综上,可知|a-b|=2 或 2 5. 已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程,通过解方程求出其中的参数值.在计算数量积 时要注意方法的选择:一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来,再计算数量积;另一种方法是根据 数量积的运算法则进行整体计算,把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算. → → → → 【训练 3】 已知平面内 A,B,C 三点在同一条直线上,OA=(-2,m),OB=(n,1),OC=(5,-1),且OA⊥ → OB,求实数 m,n 的值. 解 → → → → → 由于 A,B,C 三点在同一条直线上,则AC∥AB,AC=OC-OA=(7,-1-m),

→ → → AB=OB-OA=(n+2,1-m),∴7(1-m)-(-1-m)(n+2)=0,即 mn+n-5m+9=0,① → → 又∵OA⊥OB,∴-2n+m=0.②

9

? ? ? ?m=6, 联立①②,解得? 或? 3 ?n=3 ? ?n= . ?
2

m=3,

四、

平面向量的应用

A.基础梳理
1.向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、 相似、长度、夹角等问题. (1)证明线段平行或点共线问题,包括相似问题,常用共线向量定理:a∥b?a=λb(b≠0)?x1y2-x2y1=0. (2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质 (3)求夹角问题,利用夹角公式 2.平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成与向量的加法和减法相似,可以用向量的知 识来解决. (2)物理学中的功是一个标量,这是力 F 与位移 s 的数量积.即 W=F· s=|F||s|cos θ(θ 为 F 与 s 的夹角). a⊥b?a· b=0?x1x2+y1y2=0.

x1x2+y1y2 a· b cos θ= = 2 2 2(θ 为 a 与 b 的夹角). |a||b| x1+y1 x2 2+y2

B.方法与要点
1、一个手段 实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算. 2、两条主线 (1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象,向量本身是一个数形结合的产物,在利用向量解决问题 时,要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合. (2)要注意变换思维方式,能从不同角度看问题,要善于应用向量的有关性质解题.

C.双基自测
1.某人先位移向量 a:“向东走 3 km”,接着再位移向量 b:“向北走 3 km”,则 a+b 表示( A.向东南走 3 2 km 解析 → 要求 a+b,可利用向量和的三角形法则来求解,如图所示,适当选取比例尺作OA=a=“向东走 3 km”, → → → → → AB=b=“向北走 3 km”,则OB=OA+AB=a+b. |OB|= 32+32=3 2(km), → → 又OA与OB的夹角是 45° ,所以 a+b 表示向东北走 3 2 km. 答案 B ). B.向东北走 3 2 km C.向东南走 3 3 km ).

D.向东北走 3 3 km

→ → → → → 2.平面上有四个互异点 A、B、C、D,已知(DB+DC-2DA)· (AB-AC)=0,则△ABC 的形状是( A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定

→ → → → → → → → → → → → → → → 解:由(DB+DC-2DA)· (AB-AC)=0,得[(DB-DA)+(DC-DA]· (AB-AC)=0,∴(AB+AC)· (AB-AC)=0.
10

→ → → → 所以|AB|2-|AC|2=0,∴|AB|=|AC|,故△ABC 是等腰三角形.

答案 C ).

3.已知向量 a=(cos θ,sin θ),b=( 3,-1),则|2a-b|的最大值,最小值分别是( A.4,0 B.16,0 C.2,0 D.16,4

解析 设 a 与 b 夹角为 θ, ∵|2a-b|2=4a2-4a· b+b2=8-4|a||b|cos θ=8-8cos θ,
2

∵θ∈[0,π],∴cos θ∈[-1,1], 答案 A ).

∴8-8cos θ∈[0,16],即|2a-b| ∈[0,16],∴|2a-b|∈[0,4].

→ → → → ? AB AC ? → AB AC 1 → → + 4.在△ABC 中,已知向量AB与AC满足? · BC=0 且 · = ,则△ABC 为( ? → → → → 2 ?|AB| |AC|? |AB| |AC| A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形

D.三边均不相等的三角形

→ → → → ? AB AC ? → AB AC 1 → → + 解析 由? · BC=0 知△ABC 为等腰三角形,AB=AC.由 · = 知, 〈AB,AC〉=60° , → →? → → 2 ?|AB| |AC|? |AB| |AC| 所以△ABC 为等边三角形,故选 A. 答案 A

→ → 5.平面直角坐标系 xOy 中,若定点 A(1,2)与动点 P(x,y)满足OP· OA=4,则点 P 的轨迹方程是_______. → → 解析 由OP· OA=4,得(x,y)· (1,2)=4,即 x+2y=4. 答案 x+2y-4=0

D.考点解析 考点一 平面向量在平面几何中的应用
). 1 D. |a|2|b|2+?a· b?2 2

→ → 【例 1】?平面上 O,A,B 三点不共线,设OA=a,OB=b,则△OAB 的面积等于( A. |a|2|b|2-?a· b?2 B. |a|2|b|2+?a· b?2 1 C. |a|2|b|2-?a· b?2 2

1 [审题视点] 由数量积公式求出 OA 与 OB 夹角的余弦,进而得正弦,再由公式 S= absin θ,求面积. 2 解析 ∵cos∠BOA= 1 ∴S△OAB= |a||b| 2 a· b , |a||b| 则 sin∠BOA= ?a· b?2 1- 2 2, |a| |b| 答案 C

?a· b?2 1 1- 2 2= |a|2|b|2-?a· b?2. |a| |b| 2

平面向量的数量积是解决平面几何中相关问题的有力工具:利用|a|可以求线段的长度,利用 cos θ = a· b (θ 为 a 与 b 的夹角)可以求角,利用 a· b=0 可以证明垂直,利用 a=λb(b≠0)可以判定平行. |a||b|

【训练 1】 设 a,b,c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足 a 与 b 不共线,a⊥c,|a|= |c|,则|b· c|的值一定等于( ). B.以 b,c 为邻边的平行四边形的面积 D.以 b,c 为两边的三角形的面积

A.以 a,b 为邻边的平行四边形的面积 C.以 a,b 为两边的三角形的面积 解析 ∵|b· c|=|b||c||cos θ|,如图,

∵a⊥c,∴|b||cos θ|就是以 a,b 为邻边的平行四边形的高 h,而|a|=|c|,
11

∴|b· c|=|a|(|b||cos θ|),∴|b· c|表示以 a,b 为邻边的平行四边形的面积.

答案 A

考点二

平面向量与三角函数的交汇

π 3π? 【例 2】?已知 A,B,C 的坐标分别为 A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),α∈? ?2, 2 ?. → → (1)若|AC|=|BC|,求角 α 的值; 2sin2α+sin 2α → → (2)若AC· BC=-1,求 的值. 1+tan α

→ → [审题视点] 首先求出向量AC、BC的坐标,第(1)问利用两个向量的模相等建立角 α 的三角方程进行求解;第 → → (2)问利用向量AC与BC数量积的坐标运算化简已知条件,得到角 α 的三角函数值,把所求式子化简,寻找两 个式子之间的关系. 解 → → (1)∵AC=(cos α-3,sin α),BC=(cos α,sin α-3),

→ → ∴AC2=(cos a-3)2+sin2α=10-6cos α,BC2=cos2α+(sin α-3)2=10-6sin α, → → → → 由|AC|=|BC|,可得AC2=BC2,即 10-6cos α=10-6sin α,得 sin α=cos α. π 3π? 5π 又∵α∈? ?2, 2 ?,∴α= 4 . → → (2)由AC· BC=-1, 2 得(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1,∴sin α+cos α= .① 3 2sin2α+sin 2α 2sin2α+2sin αcos α 又 = =2sin αcos α. sin α 1+tan α 1+ cos α
2 4 5 2sin α+sin 2α 5 由①式两边分别平方,得 1+2sin αcos α= ,∴2sin αcos α=- .∴ =- . 9 9 9 1+tan α

解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键,准确利用向量的坐标运算化简已知条件,将其转化为 三角函数中的有关问题解决. 【训练 2】 已知向量 a=(sin θ,cos θ-2sin θ),b=(1,2). (1)若 a∥b,求 tan θ 的值; 解 (2)若|a|=|b|,0<θ<π,求 θ 的值.

1 (1)因为 a∥b,所以 2sin θ=cos θ-2sin θ, 于是 4sin θ=cos θ,故 tan θ= . 4

(2)由|a|=|b|知,sin2θ+(cos θ-2sin θ)2=5, 所以 1-2sin 2θ+4sin2θ=5. 从而-2sin 2θ+2(1-cos 2θ)=4, π 2 2θ+ ?=- . 即 sin 2θ+cos 2θ=-1,于是 sin? 4? ? 2 π π 9π 又由 0<θ<π 知, <2θ+ < , 4 4 4 π 5π π 7π π 3π 所以 2θ+ = 或 2θ+ = .因此 θ= 或 θ= . 4 4 4 4 2 4

12

自我检测题
1、若 a,b 是非零向量,且 a⊥b,|a|≠|b|,则函数 f(x)=(xa+b)· (xb-a)是( A.一次函数且是奇函数 C.二次函数且是偶函数 B.一次函数但不是奇函数 D.二次函数但不是偶函数
2 2

).

2 【解析】 : f ( x) ? ( x a ? b)( xb ? a ) ? x a ? b ? xb ? x a ? a ? b ,由 a ? b ? a ? b ? 0

∴ f ( x) ? (b ? a ) x ,∵|a|≠|b|,∴ f ( x) 是一次函数且是奇函数。 2、设 a,b 是两个非零向量, 下列命题正确的是( A.若 |a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 a=λb )

2

2

【答案】 :A

B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|

[来源:Z*xx*k.Com]

D.若存在实数 λ,使得 a=λb,则|a +b|=|a|-|b|

3.已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a ? b|,则下面结论正确的 是( (A) a∥b (B) a⊥b (C){0,1,3}

) (D)a+b=a ? b

AB =2 , ??R , 4、 已知△ABC 为等边三角形, 设点 P, Q 满足 AP=? AB , 若 BQ ? CP = ? AQ=(1 ? ? ) AC ,
则?= ( (A) )
[来源:学+科+网][来源:学科网]

??? ?

??? ? ????

??? ?

??? ? ??? ?

3 , 2

1 2

(B)

1? 2 2

(C)

1 ? 10 2

(D)

?3 ? 2 2 2

13

5、在△ABC 中,AB=2,AC=3, AB ? BC ? 1 则 BC=( A. 3 【答案】A B. 7 C. 2 2

) D. 23
A
[来源:学&科&网]

【解析】由下图知 AB?BC = AB BC cos(? ? B) ? 2 ? BC ? (? cos B) ? 1 .
B

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

C

? cos B ?

1 AB 2 ? BC 2 ? AC 2 .又由余弦定理知 cos B ? ,解得 BC ? 3 . ?2 BC 2 AB ? BC

6、 ?ABC 中, AB 边上的高为 CD , 若 CB ? a, CA ? b, a ? b ? 0,| a |? 1,| b |? 2 ,则 AD ? ( A. a ? b 【答案】D 【解析】由 a ? b ? 0 可得 ?ACB ? 90? ,故 AB ? 5 ,用等面积法求得 CD ?

??? ?

? ??? ?
1? 3

? ? ?

?

?

????

) D.

1? 3

B.

2? 2? a? b 3 3

C.

3? 3? a? b 5 5

4? 4? a? b 5 5

? ?

2 5 4 5 ,所以 AD ? ,故 5 5

???? 4 ??? ? 4 ??? ? ??? ? 4? 4? AD ? AB ? (CB ? CA) ? a ? b ,故选答案 D 5 5 5 5
7、设 x , y ? R,向量 a ? ?x,1?, b ? ?1, y ?, c ? ?2,?4? ,且 a ? c, b // c ,则 | a ? b |? (A) 5 (B) 10 (C) 2 5 (D)10

? ?

8、设向量 a, b, c 满足 | a |?| b |? 1, a ? b ? ? (A)2 (B) 3 (c) 2 (D)1

? ??

?

?

? ?

? 1 ? ? ? ? , ? a ? c, b ? c ?? 60? ,则 | c | 的最大值等于 2
B

【思路点拨】本题按照题目要求构造出如右图所示的几何图形, 然后分析观察不难得到当线段 AC 为直径时, | c | 最大. 【解析】 【解析】如图,构造 AB ? a , AD ? b , AC ? c ,

?
?

??? ?

?

????

??? ?

?

A C D

?BAD ? 120 , ?BCD ? 60 ,所以 A, B, C , D 四点共圆,
? ?

可知当线段 AC 为直径时, c 最大,最大值为 2.

?

14

9、如图,在四边形 ABCD 中, | AB | ? | BD | ? | DC |? 4, AB? BD ? BD ? DC ? 0,

?

?

?

?

?

?

?

| AB | ? | BD |? | BD | ? | DC |? 4 ,则 ( AB? DC ) ? AC 的值为( )
A.2 【答案】 :C 【解析】 :
2

?

?

?

?

?

?

?

D

C

B. 2 2

C.4

D. 4 2 A B
2

( AB ? DC ) ? AC ? ( AB ? DC ) ? ( AB ? BD ? DC ) ? AB ? AB ? BD ? AB ? DC ? DC ? AB ? DC ? BD ? DC
∵ AB ? BD ? BD ? DC ? 0 ,∴上式= AB ? 2 AB ? DC ? DC
2 2

又由 AB ? BD ? BD ? DC ? 0 知: AB ∥ DC ,∴ AB ? DC ? AB ? DC ? cos0 ? AB ? DC ∴ ( AB ? DC ) ? AC ? ( AB ? DC ) ? ( AB ? BD ? DC ) ? (| AB | ? | DC |) .
2 ? ? ? ? ?

??? ? ??? ? ????

??? ?

????

? ? ? ? ??? ? ???? ?| AB | ? | BD | ? | DC |? 4, ?? ? ? | AB | ? | DC |? 2. ? ? ? ?| BD |(| AB | ? | DC |) ? 4,

? ( AB ? DC ) ? AC ? 4.
→ → → → 10、设 A1,A2,A3,A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若A1A3=λA1A2(λ∈R),A1A4=μA1A2(μ∈R),且 1 1 + =2,则称 A3,A4 调和分割 A1,A2.已知平面上的点 C,D 调和分割点 A,B,则下列说法正确的是( λ μ A.C 可能是线段 AB 的中点 C.C、D 可能同时在线段 AB 上 B.D 可能是线段 AB 的中点 D.C、D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 ).

?

?

?

【解析】由 A 1 , A2 , A 3 , A4 在同一条直线上, 1A 3 ? ?A 1A 2 (λ∈R), A 1A 4 ? ?A 1A 2 (μ∈R)知:四点 A 因为 C,D 调和分割点 A,B,所以 A,B,C,D 四点在同一直线上,且

?????

?????

?????

?????

1 1 1 1 ? ? 2 ,若 A 成立, 则 ? ? ? ? 2, ? ? 0 . c d 2 ?

不可能;同理 B 也不可能。若 C 成立, 则 0 ? ? ? 1,0 ? ? ? 1 ?

1

?

? 1,

1

?

?1?

1

?

?

1

?

? 2 ,不成立;若 C、

D 同时在 AB 的演唱线上,则 ? ? 1, ? ? 1 ? 二、填空题

1

?

?

1

?

?2

故选 D.

【答案】D

1、在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设 BC ? 2BD, CA ? 3CE ,则 AD ? BE ? ________ 。 1 错选 - (填错的结论多种).错因 搞错向量的夹角或计算错 2 正解 解法一、由题 AD ? CD ? CA ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

???? ??? ?

????

??? ? ??? ?

? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ??? CB ? CA , BE ? CE ? CB ? CA ? CB , 2 3
15

所以 AD ? BE ? ( CB ? CA) ? ( CA ? CB) ? ?

???? ??? ?

? ??? ? 1 ??? 2

? ??? ? 1 ??? 3

? ??? ? 1 1 7 ??? 1 ? ? CB ? CA ? ? 。 2 3 6 4

→ → → 1 → → → → → 解法二、由题意画出图形如图所示,取一组基底{AB,AC},结合图形可得AD= (AB+AC),BE=AE-AB= 2 2→ → 1 → → 1 → → ?2 → → ? 1 → 2 1 → 2 1 → → 1 1 1 AC-AB,∴AD· BE= (AB+AC)· AC= - - cos 60° =- . ?3AC-AB?=3AC -2AB -6AB· 3 2 3 2 6 4 2、已知直角梯形 ABCD 中, AD // BC , ?ADC ? 90 , AD ? 2, BC ? 1 ,
0

??? ? ??? ? P 是腰 DC 上的动点,则 PA ? 3PB 的最小值为____________.
[解析]

建立 如图所示的坐标系,设 DC ? h ,则 A(2, 0), B(1, h) ,

设 P(0, y),(0 ? y ? h) 则 PA ? (2, ? y), PB ? (1, h ? y) ,∴ PA ? 3PB ? 答案 5 3、若平面向量 a, b 满足: 2a ? b ? 3 ;则 a ? b 的最小值是 _____

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

25 ? (3h ? 4 y)2 ? 25 ? 5 .

? ?

? ?

? ?

? 4.已知向量 a, b 夹角为 45 ,且 a ? 1, 2a ? b ? 10 ;则 b ? _____

? ?

?

? ?

?

【解析】 2a ? b ? 10 ? (2a ? b) ? 10 ? 4 ? b ? 4 b cos 45 ? 10 ? b ? 3 2
2

? ?

? ?

?2

?

?

?

【答案】 3 2

5、在平行四边形 ABCD 中, ?A ?

?
3

,边 AB 、 AD 的长分别为 2、1,若 M 、 N 分别是边 BC 、 CD 上

的点,且满足

| BM | | BC |

?

| CN | | CD |

,则 AM ? AN 的取值范围是

.

【答案】 ?2,5? 【解析】以向量 AB 所在直线为 x 轴,以向量 AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系,如图所示,因为

5 1 AB ? 2, AD ? 1,所以 A(0, 0), B(2, 0), C ( ,1) D( ,1). 设 2 2 1 5 1 5 5 1 5 1 5 1 ? N ( x,1)( ? x ? ), 则BM ? CN , CN ? - x , BM ? - x , M (2 ? ? x, ( ? x) sin ). 根 据 2 2 2 2 4 2 8 4 4 2 3
6

21 x 5 3 ? 2 3x ). 题意,有 AN ? ( x,1), AM ? ( ? , 8 4 8
? ?

4

2

D

N B

所以 AM ? AN ? x(
? ?

?

?

21 x 5 3 ? 2 3x ? 1 5? ? )? ? ? x ? ?, 8 4 8 2? ?2
10

C M
5 10

5

A
2

所以 2 ? AM ? AN ? 5.
4

16
6

三、解答题 12 1、 (本题满分 12 分)△ABC 的面积是 30,内角 A,B,C 所对边长分别为 a,b,c,cos A= . 13 → → (1)求AB· AC; (2)若 c-b=1,求 a 的值. 先求 sin A,再利用面积公式求 bc,最后利用数量积及余弦定理可解决. 12 [解答] 由 cos A= ,得 sin A= 13 1 又 bcsin A=30, 2 ∴bc=156.(4 分) 12 → → (1)AB· AC=bccos A=156× =144(8 分) 13 (2)a2=b2+c2-2bccos A=(c-b)2+2bc(1-cos A) 12? =1+2×156×? ?1-13?=25,又 a>0(10 分) ∴a=5.(12 分) 三角形的三边可与三个向量对应,这样就可以利用向量的知识来解三角形了,解决此类问题要注 意内角与向量的夹角之间的联系与区别,还要注意向量的数量积与三角形面积公式之间关系的应用. → → → → 2、 已知△ABC 的面积 S 满足 3≤S≤3,且AB· BC=6,设AB与BC的夹角为 θ. (1)求 θ 的取值范围; (2)求函数 f(θ)=sin2θ+2sin θ· cos θ+3cos2θ 的最小值. 6 → → → → → → [解答] (1)∵AB· BC=6,∴|AB|· |BC|· cos θ=6.∴|AB|· |BC|= . cos θ 1→ → 又∵S= |AB|· |BC|· sin(π-θ)=3tan θ, 2 ∴ 3≤3tan θ≤3,即 3 ≤tan θ≤1. 3 12?2 5 1-? ?13? =13.(2 分)

π π 又∵θ∈(0,π),∴ ≤θ≤ . 6 4 (2)f(θ)=1+2cos2θ+sin 2θ=cos 2θ+sin 2θ+2 π? = 2sin? ?2θ+4?+2, π π? 3 ? π ?7 ?π π? 由 θ∈? ?6,4?,得 2θ∈?3,2?,∴2θ+4∈?12π,4π?. π 3 π ∴当 2θ+ = π 即 θ= 时,f(θ)min=3. 4 4 4

17


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