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两角和差二倍角公式


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第四章
三角函数、解三角形

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第五节

两角和与差及二倍角的三角函数

r />
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考 纲 解 读

1 .会 用 向 量 的 数 量 积 推 导 出 两 角 差 的 余 弦 公 式 2 .能 利 用 两 角 差 的 余 弦 公 式 推 导 出 两 角 差 的 正 弦 、 正 切 公 式. 3 .能 利 用 两 角 差 的 余 弦 公 式 推 导 出 两 角 和 的 正 弦 、 余 弦 、 正 切 公 式 , 推 导 出 二 倍 角 的 正 弦 、 余 弦 、 正 切 公 式 , 了 解 它 们 的 内 在 联 系 .

.

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考 纲 解 读

4 .能 运 用 两 角 和 与 差 的 正 弦 、 余 弦 、 正 切 公 式 以 及 二 倍 角 的 正 弦 、 余 弦 和 正 切 公 式 进 行 简 单 的 恒 等 变 换 积 化 和 差 、 和 差 化 积 、 半 角 公 式 , 但 对 这 三 组 公 式 不 要 求 记 忆?. ?包 括 导 出

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考情剖析

1 .主 要 考 查 利 用 两 角 和 与 差 的 正 弦 、 余 弦 、 正 切 公 式 及 二 倍 角 公 式 进 行 化 简 、 求 值 , 如 年 广 东 T 1 6 、2 0 1 4年 重 庆 T9等. 2 .考 查 形 式 既 有 选 择 题 、 填 空 题 , 也 有 解 答 题 , 且 常 与 三 角 函 数 的 性 质 、 向 量 、 解 三 角 形 的 知 识 相 结 合 命 题 , 如 2 0 1 4 年 全 国 大 纲 理 T 1 7 等. 2 0 1 4 年 新 课 标 ⅠT8、2 0 1 3

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自主回顾· 打基础

易错警示· 提素能

突破考点· 速通关

课时作业

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自主回顾·打基础01
夯实基础·厚积薄发

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1.两 角 和 与 差 的 正 弦 、 余 弦 、 正 切 公 式

s n i_ α c o s β± c o s αs n i β s n i( α± β)=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
c o s α c o s n i αs n i β c o s ( α± β)=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _β?s
a tn α± a tn β 1 ? a t n tn β a tn ( α± β ) =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ αa

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[探 究] 1 .两 角 和 与 差 的 正 切 公 式 对 任 意 角 都 适 用 吗 ? 若 出 现 不 适 用 的 情 况 如 何 化 简 ? 提 示 : 在T(α+β)与T(α-β)中 , α,β,α± β都 不 等 于 kπ π + 2 (k∈Z), 即 保 证 a tn α,a tn β,a tn ( α+β)都 有 意 义 ; 若 中 有 一 角 是 π kπ+2(k∈Z), 可 利 用 诱 导 公 式 化 简 . α, β

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2.二 倍 角 的 正 弦 、 余 弦 、 正 切 公 式

2 s n i o s α s n i2 α=_ _ _ _ _ _ αc _ _ _ _
2 2 c o s α - s n i α=2 c o s c o s 2 α= 2

α-1=1-2 s n i

2

α

2 a tn α 1-a tn 2α tan2α=________

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[探 究 ]2.二 倍 角 余 弦 公 式 的 常 用 变 形 是 什 么 ? 它 有 何 重 要 应 用 ? 提 示 : 二 倍 角 余 弦 公 式 的 常 用 变 形 是 : c o s 2α=

1+c o s 2 α 1-c o s 2 α 2 ,s n i α= , 这 就 是 使 用 极 其 广 泛 的 降 幂 扩 2 2 角 公 式 . 在 三 角 恒 等 变 换 中 , 这 两 个 公 式 可 以 实 现 三 角 式 的“次 数 ”降 低 , 利 于 问 题 的 研 究 .

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3.半 角 公 式 ( 1 ) 用c o s α表 示s n i 2 ,c o s 2,a tn 2. 1-c o s α 1+c o s α α α 2 2 s n i 2 2 =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;c o s 2 2 =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1-c o s α _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _c . 1 + o s α _
2α 2α 2α

α ;a tn 2 2 =

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α α α ( 2 ) 用c o s α表示sin2,cos2,tan2. 1-c o s α α sin2=± ___________ ; 2

1+c o s α α 2 cos2=± ___________ ; 1-c o s α α 1+c o s α ; tan2=± ___________
α (3)用sinα,cosα表示tan2. 1-cosα sinα α tan2= = sinα . 1+cosα
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[探 究]

3 .如 何 用 a tn α表 示s n i2 α与c o s 2 α?

2 s n i αc o s α 提 示 :s n i2 α=2 s n i αc o s α= 2 s n i α+c o s 2α 2 a tn α = 2 a tn α+1
2 2 c o s α - s n i α 2 2 c o s 2 α=c o s α-s n i α= 2 c o s α+s n i 2α

1-a tn 2α = 1+a tn 2α

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4.形 如 as n i x+bc o s x的 化 简 b as n i x+bc o s x= a +b s n i( x+φ),其 中a tn φ=a.
2 2

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3 1.( 2 0 1 5· 上 饶 模 拟 )已 知c o s α= 5 ,α是 第 一 象 限 角 , 则 π 1+ 2c o s ?2α-4? π s n i ?α+2? 2 A.5 1 4 C. 5

=(

) 7 B.5 2 D. -5

答案:C
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3 解 析 : ∵c o s α=5, 且 α是 第 一 象 限 角 ,

4 ∴s n i α=5,

7 2 4 1+c o s 2 α+s n i2 α 1-2 5 +2 5 1 4 原 式 = = = . c o s α 3 5 5

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2.( 2 0 1 3 · 浙江理)已 知 α∈R,s n i α+2 c o s α= a tn 2 α= ( 4 A.3
答案:C

1 0 则 2 ,

) 3 B.4 3 C. -4 4 D.-3

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1 0 解 析 : 将s n i α+2 c o s α= 2 两 边 平 方 可 得 s n i α+4 s n i αc o s α+4 c o s 将 左 边 分 子 分 母 同 除 以
2 2

5 α=2.

c o s 2α得 ,

3+ 4 a tn α 3 解 得 a tn α=3, 2 = , 2 1+a tn α 2 a tn α 6 3 ∴a tn 2 α= = = - 4. 1-a tn 2α 1-9 注 意c o s α∈[-1 1 ,] .

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3.( 2 0 1 5 · 云 南 保 山 一 模 2 4 θ =2 则c o s 2的 值 为 ( 5, 3 A.5 3 C.± 5 4 B.5 )

)已 知 θ为 第 二 象 限 角 ,

s n i( π

-θ)

4 D.± 5

答案:C

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解 析 : ∵θ为 第 二 象 限 角 . θ ∴2为 第 一 、 三 象 限 角 . θ ∴c o s 2的 值 有 两 个 . 由s n i( π 2 4 2 4 -θ)=2 可 知 s n i θ=2 5, 5,


7 ∴c o s θ= -2 c o s 5 ,∴2 3 θ ∴c o s 2=± 5.

1 8 2=2 5.

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π π 4.( 2 0 1 4 · 新 课 标 Ⅰ理)设α∈(0, 2 ),β∈(0, 2 ),且tanα 1+sinβ = cosβ ,则( π A.3α-β=2 π C.2α-β=2 ) π B.3α+β=2 π D.2α+β=2

答案:C

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解 析 : 本 题 考 查 了 诱 导 公 式 以 及 三 角 恒 等 变 换 . 运 用 π 1+s n i ?2α-2? π π 2α-β=2,β=2α-2, 所 以 a tn α= π c o s ?2α-2?

验 证 法 , 当

1-c o s 2 α 2 s · n i 2α = s tn α. n i2 α = s n i2 α =a

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5.a tn 2 0 °

+a tn 4 0 °

+ 3t a n 2 0 ° a tn 4 0 °

=_ _ _ _ _ _ _ _

.

答案: 3
a tn 2 0 ° +a tn 4 0 ° +4 0 ° ) = 1-a tn 2 0 ° a tn 4 0 °

解 析 :∵a tn 6 0 ° ∴a tn 2 0 ° +a tn 4 0 °

=a tn ( 2 0 °



=a tn 6 0 ° ( 1

-a tn 2 0 ° a tn 4 0 ° )

= 3- 3t a n 2 0 ° a tn 4 0 ° + 3t a n 2 0 ° a tn 4 0 ° = 3.

,∴原

式= 3- 3t a n 2 0 ° a tn 4 0 °

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突破考点·速通关02
互动探究·各个击破

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三 角 函 数 式 的 化 简

[例1 ]

θ θ ?1+s n i θ+c o s θ??s n i 2-c o s 2? ( 1 ) 化 简 2+2 c o s θ

( 0 < θ< π ) . ( 2 ) 化 简[ 2 s n i5 0 ° +s n i1 0 ° ( 1 + 3t a n 1 0 ° ) ] · 2 s n i
2

8 0 °.

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θ ( 1 ) 把 角 θ变 为 入 手 , 合 理 使 用 公 式 . 2 ( 2 ) 切 化 弦 , 通 分 , 利 用 公 式 把 非 特 殊 角 化 为 特 殊 角 .

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解 析 :( 1 ) 原 式 =

θ θ ?2 s n i 2c o s 2+2 c o s

θ θ n i 2-c o s 2? 2??s 2θ 4 c o s 2



θ θ ?s n i 22-c o s 22? θ =c o s 2· θ c |o s 2| θ -c o s 2c · o s θ = . θ c |o s 2|

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θ π θ 因为0<θ<π,所以0< < ,所以c o s >0, 2 2 2 所以原式=-c o s θ. ( 2 ) 原式=( 2 s n i5 0 ° ? ? =? 2 s n i5 0 ° ? · 2c o s 1 0 ° +s n i1 0 ° · 1 c o s 1 0 ° 2 c o s 1 0 ° + 3s n i1 0 ° c o s 1 0 ° ? ? ? ? -1 0 ° ) ] )· 2· s n i8 0 °

+2 s n i1 0 ° ·

3 + s n i1 0 ° 2 c o s 1 0 ° +s n i1 0 ° c · o s ( 6 0 °

=2 2[ s n i5 0 ° c · o s 1 0 °

=2 2s n i( 5 0 °

3 +1 0 ° ) =2 2× 2 = 6.
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方 法 探 究

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( 1 ) ( 2 0 1

5· 石 家 庄 质 检

π a tn ?4+α?c · o s 2 α )计 算 的 值 为 ( π 2 c o s 2?4-α? B.2 D.1

)

A. -2 C. -1

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( 2 ) ( 2 0 1 1 A.2 C. 2

5· 太 原 模 拟 )

s n i2 0 °

1+c o s 4 0 ° c o s 5 0 °

=(

)

2 B. 2 D.2

答案:(1)D (2)B

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π a tn ?4+α?c · o s 2 α 解 析 : ( 1 ) 2 π 2 c o s ?4-α? π s n i ?4+α?c · o s 2 α = π 2 π 2 s n i ?4+α?c o s ?4+α? = c o s 2 α π π 2 s n i ?4+α?c o s ?4+α?

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c o s 2 α = = π s n i2 ? +α? s n i 4 c o s 2 α = =1 . c o s 2 α ( 2 ) = s n i2 0 ° s n i2 0 °

c o s 2 α π ? +2α? 2

1+c o s 4 0 ° c o s 5 0 ° 2?c o s 2 0 ° s n i4 0 ° ?2

2s n i2 0 ° c o s 2 0 ° = s n i4 0 °

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2 n i4 0 ° 2s = s n i4 0 °

2 =2

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三 角 函 数 的 求 值 或 求 角 问 题

[例2]

π β 1 ( 1 ) 已知0<β< <α<π,且c o s ( α- )=- , 2 2 9

α 2 s n i( 2-β)=3,求c o s ( α+β)的值; 1 ( 2 ) 已知α,β∈(0,π),且a tn ( α-β)= 2 ,a tn β=- 1 ,求2α-β的值. 7

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α+β β α ( 1 ) 拆 分 角 : 利 用 2 =(α- 2 )-( 2 -β), 平 方 关 系 分 别 求 各 角 的 正 弦 、 余 弦 . ( 2 ) 2 α-β=α+(α-β);α=(α-β)+β.

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π [解 析] ( 1 ) ∵0 < β<2<α<π, π α π π β ∴-4<2-β<2,4<α-2<π, α ∴c o s ( 2-β)= β s n i( α-2)= 5 α 1-s n i ? 2 -β ? = 3 ,
2

β 4 5 1-c o s ?α-2?= 9 ,
2

α+β β α ∴c o s 2 =co s [ ( α-2)-(2-β)]

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β =c o s ( α-2) c o s (

α β n i( α-2) s n i( 2-β)+s

α 2-β)

1 5 4 5 2 7 5 =(-9)× 3 + 9 ×3= 2 7 , ∴c o s ( α+β)=2 c o s
2α+β

4 9 ×5 2 3 9 -1=2× -1= - . 2 7 2 9 7 2 9

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( 2 ) ∵a tn α=a tn [ (

a tn ?α-β?+a tn β α-β)+β]= 1-a tn ?α-β?a tn β

1 1 2-7 1 = 1 1=3>0, 1+2×7 1 2× 3 π 2 a tn α 3 ∴0 < α<2, 又 ∵a tn 2 α= = 1 2=4>0, 1-a tn 2α 1-? ? 3

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π ∴0 < 2 α< . 2 ∴a tn ( 2 a tn 2 α-a tn β α-β)= 1+a tn 2 αa tn β

3 1 4+7 = 3 1=1. 1-4×7 1 π ∵a tn β=- <0,∴ <β<π,-π < 2 α-β<0, 7 2 3π ∴2α-β=- 4 .
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方 法 探 究
α+β α+β β α 1 .注 意 变 角 (α- 2 )-( 2 -β)= 2 , 可 先 求 c o s 2 或 α+β s n i 值 . 2 的 2. 先 由 a tn α=a tn [ ( 的 值 , 这 种 方 法 的 优 点 是 可 确 定 α-β)+β], 求a tn α的 值 , 再 求 2α的 取 值 范 围 . a tn 2 α

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方法探究
3. 通 过 求 角 的 某 种 三 角 函 数 值 来 求 角 , 在 选 取 函 数 时, 遵 照 以 下 原 则 : ( 1 ) 已 知 正 切 函 数 值 , 选 正 切 函 数 ; ( 2 )

已 知 正 、 余 弦 函 数 值 , 选 正 弦 或 余 弦 函 数 ; 若 角 的 范 围 是 π (0, 2 ), 选 正 、 余 弦 皆 可 ; 若 角 的 范 围 是 好 ; 若 角 的 范 围 为 π π (-2,2), 选 正 弦 较 好 . (0,π ), 选 余 弦 较

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方法探究
4. 解 这 类 问 题 的 一 般 步 骤 : 值 ;( 2 ) 确 定 角 的 范 围 ; ( 1 ) 求 角 的 某 一 个 三 角 函 数

( 3 ) 根 据 角 的 范 围 写 出 所 求 的 角 .

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π ( 2 0 1 3 · 广 东 理 )已 知 函 数 f(x)= 2c o s ( x-1 2 ),x∈R. π ( 1 ) 求f(-6)的 值 ; 3 3 π π ( 2 ) 若c o s θ=5,θ∈( 2 ,2 π ) , 求 f(2θ+3).

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π 答 案 :( 1 ) f(-6) π π = 2c o s ( -6-1 2) π π = 2c o s ( -4)= 2c o s 4 =1 π π π π ( 2 ) f(2θ+ 3 )= 2cos(2θ+ 3 - 12 )= 2cos(2θ+ 4 )=cos2θ -sin2θ

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3 3 π 因 为c o s θ=5,θ∈( 2 ,2 π ) , 4 所 以s n i θ= -5 2 4 2 2 所 以s n i2 θ=2 s n i θc o s θ= -2 , c o s 2 θ = c o s θ - s n i θ= - 5 7 2 5 π 7 2 4 1 7 所 以 f(2θ+3)=c o s 2 θ-s n i2 θ= -2 5 -( - 2 5 )=2 5.

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三 角 函 数 变 换 的 简 单 应 用

[例3 ]

已 知 函 数 f(x)=s n i( x+θ)+ac o s ( x+2θ), 其 中

π π a∈R,θ∈(-2,2). π ( 1 ) 当a= 2 ,θ= 4 时 , 求 f(x)在 区 间 [0,π ]上 的 最 大 值 与 最 小 值 ; π ( 2 ) 若f(2)=0,f( π ) =1,求a,θ的 值 .

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( 1 ) 先 化 简 函 数 关 系 式 , 再 结 合 三 角 函 数 的 性 质 求 最 值 . ( 2 ) 利 用 方 程 组 求 解 字 母 的 值 .

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π π [解 析] ( 1 ) f ( x) =s n i( x+4)+ 2c o s ( x+2) 2 2 2 =2( s n i x+c o s x)- 2s n i x= 2 c o s x- 2 s n i x π =s n i( 4-x). π 3π π 因 为 x∈[0,π],从而4-x∈[- 4 ,4]. 2 故f(x)在[0,π]上的最大值为 2 ,最小值为-1.

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π ? ? ?f? ?=0 o s θ?1-2as n i θ?=0 ?c 2 ( 2 ) 由? 得? , 2 ? n i θ-s n i θ-a=1 ?2as ? ?f?π?=1 π π 又θ∈(-2,2)知c o s θ≠0, a= -1 ? ? 解 得? π . θ= -6 ? ?

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方 法 探 究
1 .利 用 as n i x+bc o s x= a2+b2 s n i( x+φ)把 形 如 y=as n i x

+bc o s x+k的 函 数 化 为 一 个 角 的 一 种 函 数 的 一 次 式 , 可 以 求 三 角 函 数 的 周 期 、 单 调 区 间 、 值 域 、 最 值 和 对 称 轴 等 . 2. 化 as n i x+bc o s x= a2+b2 s n i( x+φ)时φ的 求 法 ①a tn φ b =a;②φ所 在 象 限 由 (a,b)点 确 定 .

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设 函 数 f(x)=s n i(

πx π c o s 3 -6)-2

2πx

6.

( 1 ) 求y=f(x)的 最 小 正 周 期 及 单 调 递 增 区 间 ; ( 2 ) 若 函 数 y=g(x)与y=f(x)的 图 像 关 于 直 线 求 当 x∈[ 0 1 ,] 时 , 函 数 y=g(x)的 最 大 值 . x=2对 称 ,

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解 析 : ( 1 ) 由 题 意 知 f(x) 3 πx 3 πx πx π =2s n i 3 -2c o s 3 -1= 3· s n i( 3 -3)-1, 所 以 y=f(x) 的 最 小 正 周 期 2 π T= π =6 . 3

π π π π 由2kπ-2≤3x-3≤2kπ+2,k∈Z, 1 5 得6k-2≤x≤6k+2,k∈Z, 所 以 y=f(x)的 单 调 递 增 区 间 为
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1 5 [6k-2,6k+2],k∈Z.
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( 2 ) 因 为 函 数 y=g(x)与y=f(x)的 图 像 关 于 直 线 称 , 所 以 当 x∈[ 0 1 ,] =f(x)的 最 大 值 . 当x∈[ 3 4 ,] 时 , y=g(x)的 最 大 值 即 为

x=2对

x∈[ 3 4 ,]

时 ,y

π π 2 π π 3 时 , 3x-3∈[3π,π ] ,s n i( 3x-3)∈[0, 2 ], 1 2.

1 f(x)∈[-1,2], 此 时 y=g(x)的 最 大 值 为

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1.两 角 和 与 差 的 正 弦 、 余 弦 、 正 切 公 式 与 倍 角 公 式 的 关 系

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2.拼 角 、 凑 角 的 技 巧 ( 1 ) 用 已 知 角 表 示 未 知 角 2α=(α+β)+(α-β);2β=(α+β)-(α-β); α=(α+β)-β=(α-β)+β; α+β α-β α+β α-β α= 2 + 2 ,β= 2 - 2 ; α-β β α =(α+ )-( +β)等 . 2 2 2

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2. 拼 角 、 凑 角 的 技 巧 ( 1 ) 用 已 知 角 表 示 未 知 角 2α=(α+β)+(α-β);2β=(α+β)-(α-β); α=(α+β)-β=(α-β)+β; α+β α-β α+β α-β α= 2 + 2 ,β= 2 - 2 ; α-β β α . 2 =(α+2)-(2+β)等

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( 2 ) 互 余 与 互 补 关 系 π π π π π π (4+α)+(4-α)=2;(3+α)+(6-α)=2; 3 π π π 5 π ( 4 -α)+(4+α)=π;(6+α)+( 6 -α)=π .

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3.应 用 公 式 解 决 问 题 的 三 个 变 化 角 度 ( 1 ) 变 角 : 目 的 是 沟 通 题 设 条 件 与 结 论 中 所 涉 及 的 角 , 其 手 法 通 常 是 “配 凑 ”.

( 2 ) 变 名 : 通 过 变 换 函 数 名 称 达 到 减 少 函 数 种 类 的 目 的 , 其 手 法 通 常 有 “切 化 弦 ”、“升 幂 与 降 幂 ”等 .

( 3 ) 变 式 : 根 据 式 子 的 结 构 特 征 进 行 变 形 , 使 其 更 贴 近 某 个 公 式 或 某 个 期 待 的 目 标 , 其 手 法 通 常 有 : 换”、“逆 用 变 用 公 式 合”、“配 方 与 平 方
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“常 值 代

”、“通 分 约 分 ”、“分 解 与 组 ”等 .
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4. 辅 助 角 公 式 可 利 用 辅 助 角 公 式 求 最 值 、 单 调 区 间 、 周 期 . y = as n i α+bc o s α= a2+b2≥|y|. b a +b s n i( α+φ)(其 中a tn φ= a )有
2 2

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5.三 角 恒 等 变 换 的 基 本 方 向 三 角 函 数 求 值 、 化 简 的 基 本 思 路 是 “变 换 ”、 通 过 适 当

的 变 换 达 到 由 此 及 彼 的 目 的 . 变 换 的 基 本 方 向 有 两 个 : 一 是 变 换 函 数 名 称 , 可 以 使 用 诱 导 公 式 、 同 角 三 角 函 数 关 系 、 二 倍 角 的 余 弦 公 式 等 ; 二 是 变 换 角 的 形 式 , 可 以 使 用 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 公 式 、 倍 角 公 式 、 对 角 进 行 代 数 形 式 的 变 换 等 .

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易错警示 ·提素能 03
拨云去雾·巧释疑云

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忽 视 三 角 函 数 中 的 隐 含 条 件 致 误 [典 例] ( 2 0 1 5 · 临 沂 模 拟 )若α、β是 锐 角 , 且 1 1 = - 2,c o s α-c o s β=2, 则a tn ( α-β)=_ _ _ _ _ _ _ _ . s n i α-s n i β

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[审 题 视 角 ]

由 于 α、β是 锐 角 , 所 以 -

π π 但 2 <α-β< 2 ,

1 还 应 注 意 s n i α-s n i β=-2<0,∴s n i α< s n i β,α<β. π 从 而 - 2 <α-β<0, 故 由 co s ( α-β)的 值 只 能 得 到 β) < 0 的 值 , 本 题 若 直 接 由 s n i( α-

π π α,β∈(0, 2 ), 得 α-β∈(- 2 ,

π 则 放 宽 了 角 的 范 围 , 会 导 致 出 现 两 个 结 果 的 错 误 . 2 ),

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1 1 [解 析 ] ∵s n i α-s n i β=-2,c o s α-c o s β=2, 两 式 平 方 相 加 得 : 即2-2 c o s ( 1 2-2 c o s αc o s β-2 s n i αs n i β=2,

1 3 α-β)=2,∴c o s ( α-β)=4. 1 π s n i α-s n i β= - 2<0,∴0 < α<β<2.

∵α、β是 锐 角 , 且

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π ∴- 2 <α-β< 0 . ∴s n i( α-β)= - s n i ?α-β? 7 ∴a tn ( α-β)= = - 3. c o s ?α-β?
7 [答案] - 3

7 1-c o s 2?α-β? = - 4 .

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三 角 函 数 值 符 号 的 确 定 , 是 解 决 三 角 求 值 、 明 的 关 键 , 学 生 解 题 中 容 易 忽 视 对 条 件 的 深 刻 挖 掘 , 直 接 根 据 已 知 , “宽 松 ”条 件 确 定 符 号 , 扩 大 角 的 范 围 致 误 ,

化 简 、 证

俗 话 说 : “明 枪 易 躲 , 暗 箭 难 防 认 真 分 析 、 小 心 论 证 .

”, 我 们 在 解 题 时 一 定 要

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已 知 函 数 f(x)=2 s n i( 5 π ( 1 ) 求f( 4 )的 值 ;

1 π 3x-6),x∈R.

π π 10 6 ( 2 ) 设α,β∈[0, 2 ],f(3α+ 2 )= 13 ,f(3β+2π)= 5 ,求 cos(α+β)的值.

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解 析 : ( 1 ) 由 题 设 知 : ( 2 ) 由 题 设 知 : =2 s n i(

5 π f( 4 )=2 s n i(

5 π π π s n i 4= 2. 1 2 -6)=2

1 0 π 6 s n i α,5=f(3β+2 π ) 1 3 =f(3α+2)=2

π β+2)=2 c o s β,

5 3 即s n i α=1 o s β=5, 3 ,c π 又α,β∈[0,2],

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1 2 4 ∴c o s α=1 n i β=5, 3 ,s 1 2 3 4 5 1 6 ∴c o s ( α+β)=c o s αc o s β-s n i αs n i β=1 3 ×5-5×1 3 =6 5.

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