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高考数学考前串讲


2011 年浙江高考数学考前串讲 【主要内容】 一、2011 年浙江省高考数学考试内容与预测 二、考试中的数学思想 三、考试技巧、策略与训练

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近三年浙江省高考数学理科试题的考查内容 考查内容 08 年 09 年 10 年 集合的关系 1, 函数图象过点问题 10, 导数 22 集合 2, 集合的运算 1, 函数 分段函数(峰谷电费

15, 计算)14,导数(函 导数 21 数不单调,值域)22

集合与函数

三角函数

余弦型 正弦型函数图 三角函数的图象 4,三角 函数图象 5, 8,平面向量数量 象 函数的零点问题 9,三角函数 辅助角公式 积、二倍角公式、三 的周期 11,二倍角余弦公式, 8,和角公式 角形面积公式、 余弦 正、余弦定理 18 13 定理 18 08 年 09 年 10 年

考查内容

二项式定理 错排问题 17, 二项式特定项 排列、组合、 (思想)4,排列组 二项式定理 系数 4,排列组合 概率与统计 合 16,概率、期望 14, 16,概率、期望 19 19 概率、期望 19 等比数列求和 数列 6, 递推数列与不 等式综合 22 08 年 等比数列 11 等比数列的 项、和的问题 3,等 差数列的求和与变 量的范围问题 15, 等差数列性质 22 10 年

考查内容

09 年

不等式

不等式的性质 不等式的性质 线性规划 17, (以充要条件为载 4,解不等式 21,线 不等式性质(以充 体)2,绝对值不等 性规划(确定边界 要条件为载体)3, 式的性质 10,线性 直线方程的参数范 不等式的放缩 22 规划 13,解不等式 围) 22 复数除法、纯 复数加法、除 虚数概念 1 法、乘法运算 3 08 年 充要条件 3 09 年 充要条件 2 复数运算、 5 模 10 年 充要条件 4 平面向量减法、夹角、 模、解三角形 16

复数 考查内容 常用逻辑用 语 平面向量

平面向量数 平面向量数 量积、 向量减法、 量积、平面向量 模的几何意义 9 减法 7,共线向

1

量与双曲线的综 合 9,平面向量 数量积 18 圆柱被斜截 线面角的求 面所截的截口的 法 5,已知三视 线面平行、垂直的判定 形状 10,三垂线 图求体积 12,线 6, 已知三视图求体积 12, 折 定理、球的体积 面平行的论证、 叠问题、二面角的求法、折 14,线面平行的 线面垂直的存在 叠前后的不变性 20 论证、二面角的 性问题 20 求法 18 08 年 09 年 10 年 双曲线的渐近 线方程 8, 抛物线的性 质、定义 13,椭圆 与直线的位置关系 21

立体几何

考查内容

解析几何

双曲线离心 双曲线离心 率、渐近线 9, 率、准线 7, 椭圆方程、抛 椭圆的定义 物线与直线的位置 12,抛物线性质、 关系、求变量的最 轨迹方程的求法 20 值 21

一、2011 年浙江省数学考试内容与预测 考试说明中样卷考查的知识点基本在当年高考中都要考,历年考试常见考点: 集合运算、简易逻辑(充要条件)、复数运算、程序框图、平面向量、二项式定理 (理科)、三角函数变形及图象与性质、解三角形、解析几何(直线与圆、椭圆、抛物 线、双曲线)、不等式、线性规划、立体几何、三视图、计数原理(理)、概率统计(期 望(理科))、数列(等差等比数列)、函数导数、抽样方法、茎叶图、频率分布直方 图。 2011 年高考必考点: 1.集合运算 2.简易逻辑 3.复数运算 4.程序框图 5.平面向量 6.三视图 7.计数原理(排列组合)及概率统计(期望(理科)) 8.二项式定理 9.线性规划 10.不等式(基本不等式) 11.立体几何 12.三角求值、三角函数及解三角形 13.数列 14.解析几何 15.函数、导数 预测考点 1 集合运算
2

【集合运算】1 个小题(考察集合的交、并、补的基本运算及不等式解法、函数值域 的联系(注意空集、无限集合和互异性))

1.已知 U 为实数集,集合 =___ 。 答案:{x|0<x<1} 2.集合 A. 答案:D B.A=B , C. D. ,则( )

,则

3.设集合 M={y|y=2 ,x<0}, , 则“x∈M”是 “x∈N” 的( ) A.充分不必要 条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 4.集合 ,则运算 可能是( ) A.加法 减法 乘法 B.加法 乘法 C.加法 减法 除法 D.乘法 除法 答案:B 预测考点 2 简易逻辑 【简易逻辑】1 个小题(命题真假、原命题、逆否命题、逆命题、否命题、命题的否 定形式,尤其是充分必要条件与其他知识点的结合) 1.下列说法错误的是( ) A.如果命题 与命题“ ”都是真命题,那么命题 q 一定是真命题

x

B.命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是“若 a≠0,则 ab≠0” C.若命题:

D.

的充分不必要条件



答案:D a b c 2.已知 a、b、c>0,“lna、lnb、lnc 成等差数列”是“2 、2 、2 成等比数列”的 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:D 预测考点 3 复数运算 【复数】1 个小题(记清复数概念:虚部、共轭、纯虚数、复数的模等;复数加减乘

3

除运算,注意复数和其他知识点的结合)

1.已知复数 A.1+i 答案:A B.-1+i

,则复数 Z 的共轭复数为( ) C.1-i D.-1-i

2.已知复数 A.第一象限 C.第三象限 答案:D B.第二象限 D.第四象限

为虚数单位)在复平面上对应的点不可能是( )

3.若 是 。 答案:1

, 是虚数单位,则函数 f(x)=ax +bx 的极大值点

3

预测考点 4 程序框图 【程序框图】1 个小题(注意与数列的结合) 1.如果执行图 1 的程序框图,若输入 n=6,m=4,那么输出的 P 等于( ) A.720 B.360 C.240 D.120 答案:B

2.若右边的程序框图输出的 S 是 126,则条件①可能为( ) A. 答案:B B. C. D.

4

3.给出下面的程序框图,则输出的结果为_________.

答案:

解析:由程序框图可知输出的结果应为数列

的前六项的和,因此

预测考点 5 向量 【向量】1 个小题(图形、基向量、坐标的运算) 1.如图,在直角梯形 ABCD 中,AB⊥AD,AD=DC=1,AB=3,动点 P 在以点 C 为圆心,且 与直线 BD 相切的圆内运动,设 ,则 的取值范围是( )

5

A. 答案:D 2.已知向量

B.

C.

D.

, 其中 x,y≥0.若 a·b≤4, y-x 的取值范围为 则

.

答案:[-4,2] 3.在周长为 16 的△PMN 中,MN=6,则 A.[7,+∞) C.(7,16] 答案:D B.(0,16) D.[7,16) 的取值范围是( )

预测考点 6 计数原理(排列组合)及概率统计(期望(理科)) 【排列组合、概率统计】2-3 个小题(排列组合主要以位置元素分析方法为主,古典 概型的关键也是排列组合) 1.5 名参加社会实践活动的同学, 被安排去清除 3 个公交车站站牌上的垃圾广告 (每 站都要去人)其中甲车站的站牌这种广告较多至少需要两个人完成,则不同的分配方案 共有_______.(用数字作答) 答案: 80 2.2011 年某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,后四位数从 “0000”到“9999”共 10000 个号码。公司规定:凡卡号的后四位带数字“6”或“8” 的一律作为“金兔卡”,享受一定优惠政策,则这组号码中“金兔卡”的个数为( ) A.2000 B.4096 C.5904 D.8320 答案 C 3.在 2011 年某大 学的小语种提前招生考试中,某中学共获得了 5 个推荐名额,其 中俄语 2 名,日语 2 名,西班牙语 1 名,并且日语和俄语都要求必须有男生参加考试。 学校通 过选拔定下 3 男 2 女五个推荐对象,则不同的推荐方案共有___ _____. 答案:24 4.将 3 个相同的黑球和 3 个相同的白球自左向右排成一排,如果满足:从任何一个 位置(含这个位置)开始向左数,黑球的个数大于等于白球的个数,就称这种排列为“有 效排列”,则出现“有效排列”的概率为 ( )

A.

B.

C.

D.

答案:B 5.第 26 届世界大学生夏季运动会将于 2011 年 8 月 12 日到 23 日在深圳举行,为了 搞好接待工作,组委会在某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿 者。将这 30 名志 愿者的身高编成如右所示的茎叶图(单位:cm):若身高在 175cm 以上(包括 175cm)定 义为“高个子”,身高在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“非高个子”,且只有“女 高个子”才担任“礼仪小姐”。若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用 愿者中能担任“礼仪小姐”的人数,则 的数学期望为 。 表示所选志

6

答案: 6.某时段内共有 辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直方图如下图所示,则时 速超过 60km/h 的汽车数量为 。 答案:38

预测考点 7 二项式定理 【二项式定理】1 个小题(注意项数对应的系数不要错) 1.若 为 。 答案:-2 值

2.二项式

的展开式中的常数项是第几项( )

A.11 B.12 C.13 D.14 答案:C 3.二项式 展开式中,除常数项外,各项系数的和为 答案:671 预测考点 8 线性规划 【线性规划】1 个小题(注意可行域不要判断错)



1.关于 x,y 的不等式组 则 2b-a 的最小值为( ) A. 答案:A B. C.2 D.1

所确定的区域面积为 2,

7

2.已知 x,y 满足约束条件

的最小值是( )

A. 答案:B

B.

C.

D.1

3.在平面坐标系 xoy 中已知集合 |(x,y)∈A}表示的平面区域的面积为______。 答案:10

, 则集合 B={ (2x+y,x-2y)

4.实数 x,y 满足不等式组 答案:



的范围

.

5.设不等式组 时, 的最小值为 答案:32

在直角坐标系中所表示的区域的面积为 S,则当 k>1 .

预测考点 9 不等式(基本不等式) 【不等式】1 个小题,大题里有结合(不等式的性质、解不等式和基本不等式即均值 不等式) 1.已知 a.b 为非零实数,且 a<b,则下列命题成立的是( )

A.a2<b2

B.a2b>ab2

C.2a-2b<0

D.

答案:C 2.若 a<0,则下列不等式成立的是( )

A.

B.

C. 答案:B 3.已知

D.

,则 x+y 的取值范围是( )

8

A.(0,1] B.[2,+∞) C.(0,4] D.[4,+∞) 答案:D 4.设方程 2lnx=7-2x 的解为 x0,则关于 x 的不等式 x-2<x0 的最大整数解为___ ___. 答案:4 5.设奇函数 f (x) (0,+∞) 在 上是增函数, f 且 (1) 则不等式 x[f =0, (x) (-x) -f ]<0 的解集为 ( ) A. C. 答案:A 预测考点 10 三视图 【三视图】1 个小题(抓住三视图间及与原几何体的恒等关系) 1.如图,网格纸的小正方形的边长是 1,在其上用粗线画,出了某多面体的三视图, 则这个多面体最长的一条棱的长为( ) B. D.

A.

B.

C.4

D.

答案:A 2.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 是上底面 A1B1C1D1 内一动点,则三棱锥 P-ABC 的主视图与左视图的面积的比值为_________.

答案:1 3.一个四棱锥的三视图如下图所示,其侧视图是等边三角形,则该四棱锥的体积等 于( ) A. B. C. D.

9

答案:A 预测考点 11 立体几何 【立体几何】1 个小题 1 个大题(空间平行垂直,空间角以二面角和线面角为主) 1.对于平面 σ 和异面直线 m,n,下列命题中真命题是( ) A.存在平面 σ,使 m⊥σ,n⊥σ B.存在平面 σ,使 m σ,n σ C.存在平面 σ,满足 m⊥σ,n∥σ D.存在平面 σ,满足 m∥σ,n∥σ 答案:D 2.设二面角 σ-l-β 的大小为 60°,m,n 为异面直线,且 m⊥σ,n⊥β,则 m,n 所成 角的大小为 _____ 。 答案:60° 3.若一平面与长方体的十二条棱所在直线都成相等的角 θ,则 sinθ 的值为____ ____。 答案: 4.(本小题 14 分)已知在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,且 AD=2,AB=1, PA⊥平面 ABCD,E、F 分别是线段 AB、BC 的中点.

(Ⅰ)证明:PF⊥FD; (Ⅱ)判断并说明 PA 上是否存在点 G,使得 EG∥平面 PFD; (Ⅲ)若 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45°,求二面角 A-PD-F 的余弦值.

10

解法一:(Ⅰ)∵ PA⊥平面 ABCD,∠BAD=90°,AB=1,AD=2,建立如图所示的空间 直角坐标系 A-xyz,则 A(0,0,0),B(1,0,0),F(1,1,0),D(0,2,0).………2 分 不妨令 P(0,0,t)∵ ∴ , ,即 PF⊥FD.……4 分

(Ⅱ)设平面 PFD 的法向量为

,由

,得



令 z=1,解得:

.∴

. …………………6 分

设 G 点坐标为(0,0,m), 只需 ,即

,则 ,得

,要使 EG∥平面 PFD, ,从而满足

的点 G 即为所求.………………………9 分 (Ⅲ)∵ 分 又∵ 平面 , ∴ 是 与平面 ……12 分; 所成的角, 得 , ,∴ 是平面 的法向量,易得 ……10

,平面 PFD 的法向量为

∴ .………14 分 解法二:(1)证明:连接 AF,则
2 2 2

,;故所求二面角

的余弦值为

,



又 AD=2,∴DF +AF =AD ,∴DF⊥AF………………………………………2 分 又 PA⊥平面 ABCD,∴DF⊥PA,又 PA∩AF=A, ∴ ……4 分

11

(II) 过点 E 作 EH∥FD 交 AD 于点 H, EH∥平面 PFD, 则 且有 分 再过点 H 用 HG∥DP 交 PA 于点 G,则 HG∥平面 PFD 且 ,

……………5

∴平面 EHG∥平面 PFD ……………………………………………………7 分 ∴EG∥平面 PFD. 从而满足 的点 G 即为所求,………………………………8 分

(III)∵PA⊥平面 ABCD,∴∠PBA 是 PB 与平面 ABCD 所成的角,且∠PBA=45°. ∴PA=AB=1 ………………………………………………………………9 分 取 AD 的中点 M,则 FM⊥AD,FM⊥平面 PAD, 在平面 PAD 中,过 M 作 MN⊥PD 于 N,连接 FN,则 PD⊥平面 FMN, 则∠MNF 即为二面角 A-PD-F 的平面角…………………………………………10 分 ∵Rt△MND∽Rt△PAD,∴ ∵ , ,且∠FMN=90°









……14 分

预测考点 12 三角求值、三角函数及解三角形 【三角函数】2 个小题 1 个大题(公式求值、三角函数性质、图像,解三角形) 1.cos17°cos43°+sin17°cos133°= . 答案: 2.已知 答案: 3.由函数 f(x)=sinx(x∈R)的图象经过平移得到函数 y=f’(x)的图象,下列 说法正确的是( ) A.向左平移 π 个单位长度 。

12

B.向左平移

个单位长度

C. 向右平移 π 个单位长度 D.向右平移 个单位长度 答案:B 4.已知函数 f(x)=cosxsinx(x∈R),给出下列四个命题( ) ①若 f(x1)=-f(x2),则 x1=-x2 上是增函数. ④f(x)的图象关于直线 A.①②④ 答案:D B.①③ 对称;其中真命题是( ) C.②③ D.③④ , 且 , ②f(x)的最小正周期是 2π③在区间

5.已知锐角三角形 ABC 中, 边长 a,b 满足 则另一边长 c= . 答案:

13

预测考点 13 数列 【数列】1 个小题 1 个大题(等差等比数列,多项递推求通项,数列求和;注意数列 与函数的结合) 1.设等差数列 的首项及公差均是正整数, n 项和为 Sn, a1>1, 前 且 a4>6, S3≤12,
14

则 a2011= . 答案:4022 2 2 * 的图象在点 (an,an ) 处的切线与 轴交点的横坐标为 an+1, n∈N , 2.函数 y=x(x>0) 若 a1=16,数列{an}的通项公式为 . 5-n 答案:an=2 3.已知 a1,a2,a3 为一等差数列,b1,b2,b3 为一等比数列,且这 6 个数都为实数,则 下面四个结论中正确的是( ) ①a1<a2 与 a2>a3 可能同时成立; ②b1<b2 与 b2>b3 可能同时成立; ③若 a1+a2<0,则 a2+a3<0; ④若 b1·b2<0,则 b2·b3<0 A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 答案:B 4.(本小题满分 14 分)

15

预测考点 14 解析几何 【解析几何】2 个小题 1 个大题(直线、圆、圆锥曲线) 2 2 2 则在下列曲线中: ①y=x -2 ②(x-1) 1.若直线 被圆 C:x +y =2 所截的弦长不小于 2,

2

+y =1 ③

2



与直线 l 一定有公共点的曲线的序号是

. (写出你认

为正确的所有序号) 答案:① ③ 2.已知 F1、F2 分别是双曲线 (a>b,b〉0)的左、右焦点,以坐标原点 O
2

为圆心,OF1 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为 P,则当△PF1F2 的面积等于 a 时, 双曲线的离心率为( )

答案:A

16

答案:A 2 4.已知抛物线 y =4x 过焦点 F 的弦与抛物线交于 A、B 两点,过 A、B 分 别作 y 轴垂 线,垂足分别为 C、D,则| AC | + | BD |的最小值是 . 答案:2 5.(本小题满分 15 分)

(I)判断直线 l 与椭圆 E 交点的个数; (II)直线 l0 过 P 点与直线 垂直,点 M(-1,0)关于直线 l0 的对称点为 N,直线 PN 恒过一定点 G,求点 G 的坐标。 解:

预测考点 15 函数、导数 【函数、导数】2 小 1 大题(分段函数,函数图像、零点;导数的几何意义,函数单 调性的讨论,最值,不等式恒成立、有解及证明不等式)

17

1.已知函数

,那么在下列区间中含有函数 f(x)零点的是( )

答案:B x 2.已知函数 f (x) =xe , 则函数 f (x) 图象在点 (0,f (0) 处的切线方程为_______。 ) 答案:y=x 3.若直角坐标平面内两点 P、Q 满足条件:①P、Q 都在函数 f(x)的图象上;②P、Q 关于原点对称,则称点对(P,Q)是函数 f(x)的一个“友好点对”(点对(P,Q)与(Q,

P) 看作同一个“友好点对”) .已知函数

则f (x) 的“友好点对”

有 个. 答案:2 个 x 4.在同一个坐标系中画出函数 y=a ,y=sinax 的部分图象,其中 a>0 且 a≠1,则下列 所给图象中可能正确的是( )

答案:D 5.已知函数 ,若 f’(x)=0 在(1,3]上有解, 则实数 a 的取值范围为 . 答案:-7≤a<1 3 6.已知函数 f(x)的图象过点(0,-5),它的导数 f’(x)=4x -4x,则当 f(x) 取得最大值-5 时,x 的值应为( ) A.-1 B. 0 C. 1 D. ±1 答案:选 B

18

2011 年高考必考点 必考试题有: (1)三角函数题:1 小 1 大; (2)函数、导数、不等式题:2 小 1 大;

19

(3)数列题:1 大; (4)解析几何题:2 小 1 大; (5)立体几何题:2 小 1 大; (6)集合与简易逻辑,算法,线性规划,复数,二项式定理,排列组合与概率,平 面向量,各 1 小题。 二、考试数学思想 思想: 1、思想:函数方程,分类讨论,数形结合,等价转换等 思维: 2、思维:分析,综合,归纳,反证等 方法: 3、方法:配方,换元,待定系数等 (1)等价转换思想 (浙江 2010 年底第 9 题):设函数 f(x)=4sin(2x+1)-x,则在下列区间中函数 f(x)不存在零点的是( ) A.[-4,2] B.[-2,0] C.[0,2] D.[2,4] 利用二分法,只能淘汰 C 思路 1:转化为在哪个选项区间上,函数 y=sin(2x+1)(-4≤x≤4)与 象无公共点。 的图

思路 2:令 2x+1=t,则议程化为

, 问题化为: 在下列区间中方程

没有实数根的是( ) A.[-7,-3] B.[-3,1] C.[1,5] D.[5,9] 较快得到答案(A) (浙江省 2010 年第 17 题:)有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、 “立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午 各测试一个项目,且不重复。若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其余 项目上、下午都各测试一人。则不同的安排方式共有_____种.

这样就变成下午的 234 不能和上午派的位置一样,根据位置元素关系很快可以得出: (2)数形结合思想

1.设 f x) ( 是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数, 已知 x∈ (0,1) 时, 则 f(x)在(1,2)上( ) A.是增函数,且 f(x)<0 C.是减函数,且 f(x)<0 B.是增函数,且 f(x)>0 D.是减函数,且 f(x)>0



20

答案:D 2.已知 a>0 且 a≠1,f(x)=x -a ,当 x∈[-1,1]时,均有 值范围是( )
2 x

,则实数 a 的取

答案:B

21

22

23

24

三、考试技巧策略与训练 1、考试题型相对比较固定 选择题:10 题×5 分 填空题:7 题×4 分 解答题:5 题,共 72 分(三角,数列,立体几何,解析几何,函数不等式综合题) 命题人预设难度系数约在 0.60-0.65 2、最后阶段学习的重点:以基础题和中档题为主,难题作为调剂品,运算变形要加 强。 (1)八规律以不变应万变。高考常考常新,背景新颖、设问创新,但绝大多数试题 (至少 80%)新中见旧,属于旧题翻新,形变质不变,而真正意义上的创新试题不足 20%. 因此高考数学复习的基本策略就是突出重点(狠抓 80%),“以不变应万变”;力争 突破难点(兼顾 20%)。 (2)思想上要重视少失分,平时做题中也要形成好的做题习惯。 少失分就是多得分.值得注意的是,在高考中真正拉开考生档次的不是难题,而是中 低档题; 难题得分少是共同的, 容易题丢分多造成了差距, 这是一个规律.“做好基本题, 捞足基本分(80%)”,是高考成功的秘诀; 平时做中低档题时不要看看感觉容易就不做下去,要把做题进行到底,同时关注时 间花了多少,基本运算有么有算错。 (3)限时做题,做后归纳和反思。最后阶段基本每 3 天要限时做一套试卷的前 20 题(包含第 21 题 22 题第 1 问)(既中低档题),每周做套完整的模拟卷。做后看那些 知识点还失分,同时做正对性练习。 (4)做题习惯要好,做题要有霸气。平时做模拟卷时要学会个别难题先跳过去。不 要放弃最后 2 题的第(1)问。因为最后 2 题的第(1)问一般还算好拿分。总之①先做 会的,求全对,多多益善;②稳做中档题,一分也别浪费;③舍弃全不会。做到①容易 题不丢分;②中等题拿高分;③难题分段得分! (5)运算变形要加强,运算效率要提高。 (6)中低档题的题型最后阶段放松,保证熟练度。如立体几何解答题的几何法和向

25

量法每 3 天至少练一次。 (7)做题要求: ①选择题、填空题,看清题目要求;注意能否优先选用特殊方法如特值法 例.如图,BC 是单位圆 A 的一条直径, F 是线段 AB 上的点,且 ; 的值是 若 DE 是圆 A 中绕圆心 A 运动的一条直径,则

答案: 【分析】题设的 DE 我们可以取特殊位置,即取与 BC 重合。快速可得 。 ②解答题?计算仔细,书写规范清楚。?写出关键步骤;?将自己的分析计算尽可能地 反映出来。这样可以多得分。 (8)最后要做到不松懈,和平时一样坚持训练到 6 月 7 号高考。 最后预祝各位考生考出理想的成绩!

26


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