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高中数学必修2空间几何体专题辅导


有志者自有千计万计,无志者只感千难万难!

高中数学必修 2 专题辅导一

1. 多面体的结构特征 (1)棱柱的上下底面平行,侧棱都平行且长度相等,上底面和下底面是全等的多边形. (2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形. (3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到,其上下底面的两个多边形相似. 2. 旋转体的结构特征

(1)圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到. (2)圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到. (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到, 也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到. (4)球可以由半圆或圆绕其直径旋转得到. 3. 空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用正投影得到, 这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子 与平面图形的形状和大小是完全相同的,三视图包括正视图、侧视图、俯视图. 4. 空间几何体的直观图 画空间几何体的直观图常用斜二测画法. 5. 柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积 圆柱 圆锥 S 侧=2πrh S 侧=πrl 体积 V=Sh=πr2h 1 1 1 V= Sh= πr2h= πr2 l2-r2 3 3 3 1 1 V= (S 上+S 下+ S上S下)h= 3 3
2 π(r1 +r2 2+r1r2)h

圆台

S 侧=π(r1+r2)l S 侧=Ch 1 S 侧= Ch′ 2 1 S 侧= (C+C′)h′ 2 S 球面=4πR2

直棱柱 正棱锥 正棱台 球

V=Sh 1 V= Sh 3 1 V= (S 上+S 下+ S上S下)h 3 4 V= πR3 3

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6 .几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和. (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形;它们的表面积等于侧 面积与底面面积之和.

题型一 空间几何体的结构特征 例1 设有以下四个命题: ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体; ②底面是矩形的平行六面体是长方体; ③直四棱柱是直平行六面体; ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点. 其中真命题的序号是________. 题型二 几何体的三视图 例2 1 如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 ,则该几何体 2 的俯视图可以是 ( )

题型三 空间几何体的表面积和体积 例3 一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( )

A.48 C.48+8 17

B.32+8 17 D.80

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如图,已知一个多面体的平面展开图由一边长为 1 的正方 形和 4 个边长为 1 的正三角形组成,则该多面体的体积是________.

1. (2012· 课标全国)如图, 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗线画出的是某几何体的三视图, 则此几何体的体积为 ( )

A.6

B.9

C.12

D.18

2. 已知高为 3 的直棱柱 ABC—A′B′C′的底面是边长为 1 的正三角形 (如右图所示),则三棱锥 B′—ABC 的体积为( 1 A. 4 1 B. 2 C. 3 6 D. 3 4 ) )

3. 正六棱柱的高为 6,底面边长为 4,则它的全面积为( A.48(3+ 3) C.24( 6+ 2) B.48(3+2 3) D.144

4. 某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是个半圆,则该几何体的表面积为 (

)

3 A. π 2

B.π+ 3

3 C. π+ 3 2

5 D. π+ 3 2

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. (2012· 山东)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别 为线段 AA1,B1C 上的点,则三棱锥 D1-EDF 的体积为________. 6. (2014· 天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体 积为________m3.
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7. 图中的三个直角三角形是一个体积为 20 cm3 的几何体的三视图,则 h=________cm.

8. (2013· 北京)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是________.

9. 用半径为 r 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒,那么这个圆锥筒的高是________. 10. 一个球与一个正方体的各个面均相切,正方体的边长为 a,则球的表面积为________. 三、解答题 11. 已知正三棱锥 V—ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示.

(1)画出该三棱锥的直观图; (2)求出侧视图的面积.

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高中数学必修 2 专题辅导一

1. 多面体的结构特征 (1)棱柱的上下底面平行,侧棱都平行且长度相等,上底面和下底面是全等的多边形. (2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形. (3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到,其上下底面的两个多边形相似. 2. 旋转体的结构特征 (1)圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到. (2)圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到. (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到, 也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到. (4)球可以由半圆或圆绕其直径旋转得到. 3. 空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用正投影得到, 这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子 与平面图形的形状和大小是完全相同的,三视图包括正视图、侧视图、俯视图. 4. 空间几何体的直观图 画空间几何体的直观图常用斜二测画法. 5. 柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积 圆柱 圆锥 S 侧=2πrh S 侧=πrl 体积 V=Sh=πr2h 1 1 1 V= Sh= πr2h= πr2 l2-r2 3 3 3 1 1 V= (S 上+S 下+ S上S下)h= 3 3
2 π(r1 +r2 2+r1r2)h

圆台

S 侧=π(r1+r2)l S 侧=Ch 1 S 侧= Ch′ 2 1 S 侧= (C+C′)h′ 2 S 球面=4πR2

直棱柱 正棱锥 正棱台 球

V=Sh 1 V= Sh 3 1 V= (S 上+S 下+ S上S下)h 3 4 V= πR3 3

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6 .几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和. (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形;它们的表面积等于侧 面积与底面面积之和.

题型一 空间几何体的结构特征 例1 设有以下四个命题: ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体; ②底面是矩形的平行六面体是长方体; ③直四棱柱是直平行六面体; ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点. 其中真命题的序号是________. 思维启迪:利用有关几何体的概念判断所给命题的真假. 答案 ①④ 解析 命题①符合平行六面体的定义, 故命题①是正确的. 底面是矩形的平行六面体的 侧棱可能与底面不垂直, 故命题②是错误的. 因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形, 故命题③是错误的.命题④由棱台的定义知是正确的. 题型二 几何体的三视图 例2 1 如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 ,则该几何体 2 的俯视图可以是 ( )

思维启迪:对于三视图的有关问题,一定要抓住“投影”这个关键词,把握几何体的形 状. 答案 C 解析 若该几何体的俯视图是选项 A,则该几何体的体积为 1,不满足题意;若该几何 π 体的俯视图是选项 B,则该几何体的体积为 ,不满足题意;若该几何体的俯视图是选 4

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1 项 C,则该几何体的体积为 ,满足题意;若该几何体的俯视图是选项 D,则该几何体 2 π 的体积为 ,不满足题意.故选 C. 4 题型三 空间几何体的表面积和体积 例3 一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( )

A.48 C.48+8 17

B.32+8 17 D.80

思维启迪:先通过三视图确定空间几何体的结构特征,然后再求表面积. 答案 C 解析 由三视图知该几何体的直观图如图所示,该几何体的下底面 是边长为 4 的正方形;上底面是长为 4、宽为 2 的矩形;两个梯形 侧面垂直于底面,上底长为 2,下底长为 4,高为 4;另两个侧面是 1 矩形,宽为 4,长为 42+12= 17.所以 S 表=42+2×4+ ×(2+4)×4×2+4× 17×2 2 =48+8 17. 如图,已知一个多面体的平面展开图由一边长为 1 的正方 形和 4 个边长为 1 的正三角形组成,则该多面体的体积是________. 答案 2 6

解析 如图,四棱锥的高 h= 1-? 2 2?2 = , 2 ?2?

1 1 2 2 ∴V= Sh= ×1× = . 3 3 2 6

1. (2012· 课标全国)如图, 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗线画出的是某几何体的三视图, 则此几何体的体积为
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(

)

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A.6 答案 B

B.9

C.12

D.18

解析 结合三视图知识求解三棱锥的体积. 1 由题意知,此几何体是三棱锥,其高 h=3,相应底面面积为 S= ×6×3=9, 2 1 1 ∴V= Sh= ×9×3=9. 3 3 2. 已知高为 3 的直棱柱 ABC—A′B′C′的底面是边长为 1 的正三角形 (如右图所示),则三棱锥 B′—ABC 的体积为 1 A. 4 C. 3 6 1 B. 2 D. 3 4 ( )

答案 D 1 1 3 3 解析 VB′—ABC= ×BB′×S△ABC= ×3× ×12= . 3 3 4 4 3. 正六棱柱的高为 6,底面边长为 4,则它的全面积为 A.48(3+ 3) C.24( 6+ 2) 答案 A 解析 S 底=6× 3 2 ×4 =24 3,S 侧=6×4×6=144, 4 B.48(3+2 3) D.144 ( )

∴S 全=S 侧+2S 底=144+48 3=48(3+ 3). 4. 某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是个半圆,则该几何体的表面积为 ( )

3 A. π 2

B.π+ 3

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3 C. π+ 3 2 答案 C 1 解析 由三视图可知该几何体为一个半圆锥,底面半径为 1,高为 3,∴表面积 S= 2 1 1 3π ×2× 3+ ×π×12+ ×π×1×2= 3+ . 2 2 2 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. (2012· 山东)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别 为线段 AA1,B1C 上的点,则三棱锥 D1-EDF 的体积为________. 答案 1 6 5 D. π+ 3 2

解析 利用三棱锥的体积公式直接求解. 1 1 1 1 VD1-EDF=VF-DD1E= S△D1DE· AB= × ×1×1×1= . 3 3 2 6 6. (2014· 天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为________m3.

答案 4 解析 此几何体是两个长方体的组合,故 V=2×1×1+1×1×2=4. 7. 图中的三个直角三角形是一个体积为 20 cm3 的几何体的三视图,则 h=________cm.

答案 4 解析 如图是三视图对应的直观图,这是一个三棱锥,其中 SA⊥平面 ABC, BA⊥AC.

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1 1 1 由于 V= S△ABC· h= × ×5×6×h=5h,∴5h=20,∴h=4. 3 3 2 8. (2013· 北京)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是________.

9. 用半径为 r 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒,那么这个圆锥筒的高是________. 答案 3 r 2

解析 由题意可知卷成的圆锥的母线长为 r,设卷成的圆锥的底面半径为 r′,则 2πr′ 1 =πr,所以 r′= r, 2 所以圆锥的高 h= 1 ?2 3 r2-? ?2r? = 2 r.

10. 一个球与一个正方体的各个面均相切,正方体的边长为 a,则球的表面积为________. 答案 πa2

a 解析 由题意知,球的半径 R= . 2 所以 S 球=4πR2=πa2. 三、解答题 11. 已知正三棱锥 V—ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示.

(1)画出该三棱锥的直观图; (2)求出侧视图的面积. 解 (1)直观图如图所示:

(2)根据三视图间的关系可得 BC=2 3, ∴侧视图中 VA= 2 3 42-? × ×2 3?2=2 3, ?3 2 ?

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1 ∴S△VBC= ×2 3×2 3=6. 2

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