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2014年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题及解析


6 0  

数学通讯 一 2 0 1 4年第 6期 ( 下半 月)  

? 课外 园地?  

2 0 1 4年全 国高中数学联合 竞赛  湖 北 省 预赛 试 题 及 解 析 
徐胜林  
( 华 中师 范大 学数学竞赛与数学普及研究所 , 4 3 0 0 7 9 )  

李建 国  
( 华 中师范大学 一附中 , 4 3 0 2 2 3 )  





填 空题 【 本题满分 9 O分 。 每 小 题 9分 . 直 接 

将答案写在横线上 . )  

.  

1 2 . 设A , B是双曲 线z 2 一 等=  上的 两点, 点  
N( 1 , 2 ) 是线段 A B的中点 , 线段 A B 的垂直平分线 
交 双 曲线 于 C, D 两点 .   ( 1 ) 确 定  的取值 范 围 ;   ( 2 )试 判 断 A , B, C, D 四点 是 否 共 圆?并 说   明理 由 .  

1 . 已知正整 数数列 { a   } 满足 a   + 2 =a   + 1 +   a   , , z ∈N  . 若口 l 1 =1 5 7 , 则a 1 =— — .   2 . 函数  :s i n 2 z+s i n  ̄ c o s x一 2 c 。 s 2   的值域 
为— — .   3 .  ̄AA BC 中 , A =3 0 。 , 2   .   =3   , 则 

1 3 . 在单调递增数列 { a   } 中, a 1 =2 , a 2 =4 , 且  a 2   一 1 , 口 2   + l 成等差数列 ,  2   , 口 2   + 1 , 口 2   + 2 成等 比   数列 ,  =1 , 2 , 3 , ….   ( 1 ) 求数列 { n   } 的通项公式 ; .  

AA B C的最大角的余弦值为— — .   4 . 在直角坐标平面 内, 曲线 l   一1   J +l   z+1     I +I  I =3 围成的图形的面积是— — .  

5 . 若 ̄ / r  

— V 厂  

>告恒成立, 则 祝的取 

( 2 ) 设 数列{ ÷} 的 前, z 项和为s   , 证明: S   >  
” 
,   .  

值范围是— — .   。 6 . 去掉集合 A={ 7 2   l  ≤ 1 0 0 0 0 , 竹E   N  } 中所 

有的完全平方数 和完全立方数后 , 将剩下 的元素按 
从小到大的顺序排成一个数列 , 这个数列的第 2 0 1 4  
项 为— — .  
1 . 3 .  

参 考答 案 和解 析 

解法 1   a l 1 =a 1 0 十a 9 =2 a 9 +a 8 =3 a 8 +2 a 7  
=… =5 5 a 2 +3 4 a 1 , 所以 5 5 a 2 +3 4 a 1 =1 5 7 . 又 a l ,  

7 . 在四面体 A B C D 中, A B=A C=3 , B D=B C   = 4 , B D上面 A B C, 则四面体 A B C D 的外接球的半 
径为一 .   .  

a 2 EN  , 所以 5 5 ≤5 5 a 2 ≤1 5 7 , 所以 a 2 =1或 a 2 =  

2 . 若 a 2 =1 , 则  1 =3 ; 若 a 2 =2 , 则 3 4 a 1 =4 7 , 没有  整数 解 . 因此 , a 1 =3 .  

8 . 三对夫妻排成一排照相 , 仅有一对夫妻相邻 
的概 率为— — .   9 . 若 口 EA 且 a一1   A,   a+1   A, 则 称 n为 

解法 2  若a 3 ≥5 , 则依次可得 a 4 ≥n 3 +a 2 ≥ 
6 , n 5 ≥1 1 , a 6 ≥1 7 , a , 7 ≥2 8 , a 8 ≥4 5 , a 9 ≥7 3 , a l 0 ≥ 

集合 A 的孤立元素 . 那么 , 集合 M ={ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,  

1 1 8 , a l l ≥1 9 1 , 与题设矛盾 , 所 以一定有 a 3 =2 或3  

7 , 8 , 9 } 的无孤立元素的 4 元子集有— — 个 .   1 0 . 共焦 点 的椭 圆 与双 曲线 的离 心率分 别 为  e 1 , e 2 , 若椭圆的短轴长 为双 曲线的虚轴长 的 2倍 ,  
则  +   的最大值为— — ?   e2
二、 解 答题 ( 本题 满 分 6 O分 , 每 小题 2 O分 . )   1 1 .当 l   z   I ≤ 1时 , 不 等式 2 p z   十   一P+1 ≥O  

或4 . 代人检验可知只有一组解满足条件 :  
n1   3 , a 2 : 1, a 3 = 4, a4 =5, a 5   9, a6   1 4, a 7   =2 3, a8 =3 7 , a 9 =6 0, al 0 =9 7, al l =1 5 7 .  

2 . [ 一 — Cf   0 +l / T 0 1 ]



‘ L 

1 

, ’  

,  


. ’  

v= s i n 2 z + s i nz c O s   一 2c o s 2 z =— 1




c  os 2z
— —

+ 

1   s i n 2 z一( c o s 2  +1 ) =百 1( s i n 2 z一3 C O S 2 z) 一   1=  

恒成立 , 试求 P十g的最大值 .  

?

课 外园地 ?  

数学通讯 一 2 0 1 4年 第 6期 ( 下半 月)  

s i n ( 2 z一  ) 一   1
,  

解 得 口>1 +  

, 或 口 <1 一  

.  

其中  ∈( 0 , 号) , 且t a n  = 3 .  
所 以函数 Y=s i n Z x+s i n zc o s z一2 ∞s 2   的值 域  为[ 一— , / - f 。   + 1 ,/ T 。  1 ]


综合可得 一1 ≤n <1 一  

.  

解法 2   由3 一a ≥0 , a+1 / o可 得 一1 > ≤n ≤ 
3.  
一  





,—

. 

> 去  2   v 厂  

> 1+  
= > 7— 8 口  

3 . 一 号 .  
解法 1   设 AB=C , AC=b , BC=a.  

‘  

2 ̄ /  

1 2—4 口> l+4 口 +4+ 4  ̄ /  

>4   V 厂  
所 以 

.  

‘  

由   2一 2   A B  AC . ?   一   =3 =   3   B   C  得  得  2 c b c o s A  =3 =   3 a 2 , 又 A  =3 0 。 , 所以 b c =4 3 a   . 结合正弦定理可得 s i n Bs i n C  

7—8 a>0  

① 

=   s i n 2 A :   , 即 c 0 s ( c — B ) 一 ∞ s ( c + B ) = 譬 .  
又 C+B=丁 c —A =1 5 0 。 , 所以 C O S ( C—B) =0 ,  

( 7—8 口 )   >1 6 ( a+1 )  

② 

从而 I   C— B   f =9 0 。 , 所 以 C=1 2 0 。 , B=3 0 。 , 或 C=  

由 ① 得 : n < 詈 ; 由 ② 得 : n >  
8-   , / N


或 盘 <  

3 0 。 , B=1 2 0 。 . 于是可知 AA B C 的最 大角 的余 弦值 



综合可得 一1 ≤口 <1 一  

.  

为 一 号 .  
解法 2   不妨设 B C=1 , B ≥ C, 则6 ≥f .   由   2   一 A B   . ?   一 AC   =   3   一   BC  得 得3   =2 =   2 b   c c o s 3 0 。   =4 — 3 b c ,  
所以 b c =√ 3 .  

6 . 2 0 6 8.  

解法 1   在 1 , 2 , 3 , …, 2 0 7 0中 , 完全 平 方 数 有  4 5 个( 因为 4 5   =2 0 2 5 , 4 6   =2 1 1 6 ) , 完 全立 方 数 有  1 2个 ( 因为 1 2 0 =1 7 2 8 , 1 3 3 :2 1 9 7 ) , 完全 六 次 方 的  数 有 3个 ( 因为 3   =7 2 9 , 4   =4 0 9 6 ) .   于是 , 由2 0 7 0 —4 5 —1 2+3 :2 0 1 6知 2 0 7 0是该 

又 由余 弦定 理 得 1 =b  +C  一2 b c c o s 3 0 。 =b  +   c   一   6 c , 于是 可得 b  +C   =4 .  

联立解很 b = , / 3 - , C :1 , 因此 
C O S B =  1+ c 2 一b z   1+ 1—3  
2c  
4. 5.  

数列的第 2 0 1 6 项.  
又2 0 7 0 , 2 0 6 9 , 2 0 6 8均不是 完 全平 方数 、 完 全立 
1   2‘  

2  

方数和完全六 次方数 , 故这个数列 的第 2 0 1 4项是 
2 0 6 8 .  
C 

当  ≥0时 ,   :3 一l   z  


。 _
A  0 

1   I —J   +1   I  
f 3 +2 x,  ≤ 一1 ,  


; \ D —  
1  1 . 5  

I  

解法 2   在1 , 2 , 3 , …, 2 1 0 0中, 完全平方数有  4 5 个( 1   , 2   , …, 4 5   ) , 完全立方数 有 1 2个 ( 1 。 , 2 。 ,  




1 2 3 ) , 完全六次方的数有 3 个( 1   , 2   , 3   ) . 故这个 

. 《 1 , 一1 <  ≤1 ,  
l 【   3
图 1  

数列 的第 2 0 1 4项 为 2 0 1 4 +4 5+1 2—3 =2 0 6 8 .  
, , , —

_2 x.   >1 .  

/ 8 o 5  


其图象为图中折线 A B C D.   当v ≤0 时, 只需将上述折线沿  轴翻折 . 故曲   线l   z一1   I +l   +1   l +l  I =3围成 的图形为六边 
形, 其 面积 为 2 S  ̄c D =5 .  
/ _   .  

1 O  ‘  

设 AA BC 的 外 接 圆 

的圆心为 o   , 半 径为 r ,   四面体 A BC D 的外 接 球 

的球 心为 ( = ) , 半径 为 R,  
显 然 有 01   0 上 平 面 

5 . [ - 1 , 1 一  

) .  

解法 1   由题 意 知 : 3一a≥ 0 , n+1 ≥ 0且 

v 厂  

—v 厂  

>0 , 可得 一i ≤a <1 .  

将原不等式两边平方得  = 

<  ,  

6 2  

数学通讯 一 2 0 1 4年第 6期 ( 下半 月)  

? 课外 园地?  

以0 1 0 = E B = +B D = 2 .  

种 插法 ; 所以, 共有 3 ×8 ×6 =1 4 4种站 法 .  

第三类 : 三对夫妻均不相邻 . 不妨把三对夫妻设 
为: A 和 a, B 和 b, C和 C .  

 ̄A A B C中, 由 余弦 定理可得c o s A= 吉, 所以  
s i n A=   . 由正 弦定 理 得 n=2 r s i n A, 即 4=2  .  

第一步 , 先排 第 一个 位置 , 有 6种排法 , 比如 
A;  

警, 所 以 r =  .  
一 一    

’  

第二步 , 再排第二个位置 , 有4 种排法 , 比如 B;   第三步 , ( 1 ) 第 三个位置若排 a, 则第五个位置  只能排 b ( 否则会出现 C, c 相邻的情况) , 最后 C , c   排在第四和第六个位置上 , 有2 种排法 ;   ( 2 ) 第三个位置若不排 口 , 则 只能排 C或 C , 有 

故 四面体 A B C D 的外接球的半径R=  ̄ / r   + 2 2  
_5  
‘ 

, )  

8 . 导 .  
)  

2 种排法( 比如排 C) , 第 四个位置排 a或6 , 有两种 ,  
最后 , 剩下的两个人排在第五和第六个位置上 , 有2  
种 排法 .  

解法 1   三 对 夫 妻 排成 一 排 , 无 条 件 限 制 的站 
法有 6   1 =7 2 0种 .  

下面考虑仅有一对夫妻相邻 的情况 , 分为以下 
几步 :  

故三对夫妻均不相邻 的站法共有 6 ×4 ×( 2 + 2  
×2 ×2 ) =2 4 0种 .  

①先确定哪一对夫妻相邻( 叫第一对) , 并捆绑 ,  
有3 ×2=6种 方法 ;  

所 以, 仅 有 一 对 夫 妻 相 邻 的 站 法有 7 2 0—4 8—  
1 4 4 —2 4 0 =2 8 8 种.  

②将上面的“ 捆” 与另两对夫妻的 2 个丈夫进行 
排序, 有3   1 =6种 排法 ;  

因此 , 仅有一对夫 妻相邻 时的概率 P=  
5。  
9. 21.  

=  

③情形 1 : 插入一个妻子在 自己丈夫的两边 ( 叫  

第二对 ) , 最后一个 妻子放到第二对夫妻之间 , 有2  
×1 =2种 插法 ;  

考察 满足题 意 的某 个集 合 中最小 的元 素 i 与 最  大 的元 素J, 设 这个 集合 为 A, 则 i +1 ∈A, J 一1 ∈A 

情形 2 : 插入一个妻子不在 自己丈夫 的两边 , 有  2 种插法 , 插入最后一个妻子不在 自己丈夫 的两边 ,  
有3 种 插法 , 所以, 这种 情形 共 有 2 义3 =6种 插法 ;  

( 否则 i 或 为孤立元素 ) , 故 A= { i , i +1 , J一1 ,   } , 而2 ≤i +1 <  一1 ≤8 , 故i +1 , J 一1 的选法共 

所 以, 仅有一对夫妻相邻的站法有 6 ×6 ×( 2 +  
6 ) =2 8 8种 .  

有C ; :2 1 种, 所以 , 集合 M :{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ,  
9 } 的元 孤立元 素 的 4元子 集有 2 1个 .  

因此 , 仅有一对夫妻相邻 时 的概 率 P=  
5’  

:  

1 o . 丢 .  
设双曲线的虚半轴长为 b , 则椭 圆的短半轴长 
为2 6 . 不 妨设 它们 的焦 点 为 ( ±C , 0 ) , 其中0 <b < 

解法 2   三对 夫 妻 排成 一 排 , 无 条 件 限 制 的站 

法有 6   1=7 2 0 种. 再去掉不符合条件的如下三类 :   第一类 : 三对夫妻都相邻 . ①捆绑 甲夫妻 , 有2  

则  :V   C 2 - t - ( 2 b ) 21
, , 一


: —

/c 2
- —

b 2


所以   +   4  
e t   P  

e l  
=5.  

C  

e 2  

C  

种方法 ; ②捆绑乙夫妻 , 有2 种方法 ; ③捆绑丙夫妻 ,  
有2 种方法 ; ④三对夫妻排序 , 有3   1=6 种方法. 所 
以共有 2 x2 ×2×6 =4 8种 站法 .  

第二类 : 恰有两对夫妻各 自相邻 . ①先确定哪两 

由 柯 西 不 等 式 , 得   1 +   4 ) ( 1 + 丢 ) ≥ ( 去 +   )   , 所 以 去 +   1  5 , 当 且 仅 当 e   =   1 , e z = 2 时  
取 等号 .  

对夫妻相邻 , 有3 种方法 ; ②将这两对夫妻分别捆绑  并排序 , 有2 × 2 × 2 =8 种方法 ; ③将另一对夫妻两 
个分别插入到上面 的排序 间隔或两端 , 有3 ×2 =6  

1 1 . 解法 1 令f ( x ) =2 p x   +   一P+1 ,  ∈  
[ 一1 , 1 ] .  

?

课 外园地?   ( 1   J凭 考 虑 P>0时 的 情 况 ?  

数学通讯 一 2 0 1 4年第 6期 ( 下半月)  

6 3  

A= 4 k   ( 忌 一 2 )   十4 ( 2 一忌   ) [ ( 志 - 2 ) 2 +2   ] >0  
② 
f  ̄ . x l +x z =   .  

①若 一1 ≤一   ≤1 , 即 一4  ≤ q ≤4  , 则 由题 

意知 厂 ( 一   ) ≥0 , 即2 p。 ( 一   )   十q ‘ ( 一   ) 一p  

+ l j > O , 整 理 得g 2 + 8 (   一 号 )   ≤ 2 .   设q = r ∞ s 臼 ,   一 号 =   , 其 中 0 ≤ , ≤   ,  
一  ‘  二 

2  ̄ N ( 1 , 2 ) 是 线 段 A B 的 中 点 , 故   冬  = 1 ,  
解得 忌 =1 , 故直 线 A B 的方 程 为 y=1 ? (   一1 ) +2 ,  
即  :z十1 .  

∈[ 0 ' 2  

+q  r (  

. S i n 臼 +c o s O ) +1 2.

’  


将  =1 代人②, 得4 + 4 ( 1 + 2   ) >0 , 解得  >  
1.  

设  ∈( 0 , - f i   ) , 且t a n   2   , 贝 Ⅱ  

又C D 是线 段 A B 的垂直平 分线 , 故C D 所在  直线的方程是 Y一 2 = 一( z一1 ) , 即   =一   +3 , 将 

+ g  ’  . ( s i n 0 c o s  ̄ + o 0 S   i n   ) + 号  
‘ 

其代入双曲线方程 , 整理得 
z   +6 x一2  一9 =0   ③ 

- s i 椰   + 丢  

¨丢 _ 2 ,  


等号成立 的条件 是 : r :   , § i n 0 =   1

由题意 , 方程③也有两个不 同实根 , 所以 △   =  
6   一4 ( 一2  一9 ) >0 , 解 得  > 一9 .   又 J = 【 ≠0 , 于是 可得 :   的取值 范 围为 ( 一1 , 0 ) U   ( 0 , +o o ) .   ( 2 )设 C( z 3 ,  3 ) , D(  4 ,  4 ) , 线段 C D 的 中点 

c os   = 

学  = 号  号 .  
②若 一   < 一1 , 即q >4 p, 则由厂 ( 一1 )   —   g +1 ≥0得 g ≤ +1 , 所以4 p<g ≤  +1 , 从 而可 

为M (   0 ,  o ) , 则 z 3 ,  4 是 方程③的两根, 所以 3  

得户 < { , 此 时P 十 q <  ̄ Z p + 1 < 5 < 2 ;  
③若 一   >1 , 即q < 一4 p, 则 P+q ≤ 一3 p <  
0 <2 :  

+ X 4 = 一 6 ,   3 z 4 = ~ 2   一 9 , 于 是z o = 牮


=  

3 . Yo = 一 XO + 3= 6 .  

于是 , 由弦 长公 式可 得 

( 2 ) 当 ≤0 时, 由f ( 一1 ) =2 p—g —P+1 =   P—q +1 ≥O 得g ≤ +1 , 故 P+q  ̄2 < p+1 <2 .  

f   C D   f =  ̄ / 1 +( 一1 )   f   z 3 一z 4   f  
=   ?

√( z 3 +  4 )   一 4 z l 3   4  
^ / / 6 z 一 4 ( 一2  一 9 ) =4  ̄ /   .  
~2   一2   一1=0 , 同 理 可 得 

综合可知 : P十g的最大值为 2 .  
解 法二 特殊 值 法 .  

=  

?

又方 程 ① 即 

在不等式 2 如。 +   一P十l ≥0中取特殊值 z  
: 一

I   A B   f =  ̄ / 1 +1 2 ? √( z l + z 2 ) 2 — 4 x 1   2 = 4  ̄ / 而

.  

寺, 得P + 口 ≤2 .  
当且仅 当  =   , g =   4时


显然 l   A B   l <l   C D   f , 又C D 是线段 A B 的垂直  平分线 , 假设存在  ∈( 一1 , 0 ) U( 0 , 十∞) 使得 A,  
2   +q z —P 十 1  

B, C, D 四点共 圆, 则 C D 必为该 圆的直径 , 点 M 
为 圆心 .  



 

4  


2 十 号   十 号 = 詈 (   +   )   ≥ O .  

所以, P+q的最大值为 2 .   1 2 . ( 1 )依题 意 , 可设 直线 A B 的方 程 为 y=  


又点 M 到直 线 AB 的距 离 为  :  
’ 

√2  

L   {  

: 4  , 由 勾 股 定 理 得  
l   :d Z +(   )  

五 ( z一1 ) + 2 , 代人双曲线方程并整理得  ( 2 一尼   )   十 2 忌 ( 愚 一2 ) z一[ ( 忌 一 2 )   + 2   ] =0  
① 

l   MA   l   :{  

=( 4   )   +( 2  

)   3 6 +4 2 .  

设 A(  1 , y 1 ) , B(  2 , y 2 ) , 则  l ,  2 是 方程①  的两个不同实根 , 于是可知 
又(   )   :( 2   )   3 6 + 4 1 , 所以  

数 学通讯 一 2 0 1 4年 第 6期 ( 下半月)  

? 课外 园地?  

I  

I   =I  

I   =I   MC   1   =I   MD   l 2 .  
为 半 径 的 圆 

故当  C -( 一1 , 0 ) U( 0 , +o o ) 时, A, B, C, D 四 
点均在 以 M ( 一3 , 6 ) 为 圆心、 2  
上.  

丢 [ 1  - 1 ) 川] ?  
+( _1 )   =l n 2 +n   q 一  

十 号 [ 1  
.  

1 3 . ( 1 ) 因为 数 列 { a   } 为单 调递增数列 , a 1 :2  
>0 , 所以 口   >O(  ∈N  ) .  

由 题意得 2 a 2   =0 - 2 ” 一 1 +a 2 ” + 1 , 口 l n + 1 =0 - 2 n ?  

( 2 ) 因 为 口   =   1   2 +   +   ≤ 丢   z +   + 1 =   < 丢 (   + 2 ) (   + 3 ) , 所 以  

a 2 n + 2 , 于是 2 a 2   :  ̄ / — a 2 n - — 2 - 0 2 n + V   a 2 n a 2 n + 2 , 化简 
得2   =   +   , 所 以数列 {  
’  

}  

麦 >  
Sn =1
“。




口 



为等差数列 . 又a 3 =2 a 2 一口   :6 , 0 . 4 =   =9 , 所 以 

: 4   ( 上 — n + — 2   一   1   3 ) ,   去 + . . . +  
1 ) +   1 一   ) ]  

数列{  

} 的首项为v 厂  = 2 , 公差为 d=  

一  

> 4 [ ( 号 一   1 ) + (   1 一 了 1 ) + …  
+ 

 ̄ / 广  = 1 , 所以  

=1 1 . + 1 , 从而 n 2   = ( , z + 1 )   .  


一  

结合 口 i   一 1 : 口 2   一 2 - 0 2 n 可得0 - 2   一 l =  ( 扎 + 1 ) .  

=4 ‘ 了 1一  1 ) =  
,  

因此, 当   为偶数时 : ÷(  + 2 )   , 当   为奇 
数时 a n :   上 


所以 s   > 

,n   EN .  

所以数列 { a n } 的通项公 

重心原理在 自然 数幂和公式证 明中的应用 
赖巧芳   , 2  
( 1 华 中师 范大学数 学与统计学院 , 4 3 0 0 7 9 )  

范   琼  
( 2广州大学 附属中学 , 5 1 0 0 5 0 )  

1 .引言 

拉伯的阿尔 一卡希等都分别得到过二次幂或三次幂 
的求和公式 , 后者还得到过 四次幂和公式.  

自然数幂和 
s  ) =∑ 足  =1 m+2  +3  十… 十扎 m  
1  

在中国 , 由沈括《 梦溪笔谈》 卷1 8 “ 刍童垛” 公式 
可以导出杨辉《 详解九章算法》 中的“ 四隅垛 ” 公式 :  

是一个古老的数学问题 , 但幂和公式至今仍 是一个 
不 少人 争 相 探 讨 但 尚未 得 出 理 想 结 论 的 问 题 ( 文 

1 2 + 2 2 + …+ 7 z 2 = 告(  + 1 ) , z (  + —   ) .  
莱布尼茨在 1 6 7 3 年 的一封信 中提到用差分方  法处理 自 然数立方 和问题 , 并 提出这个发现归功于 

[ 1 ] ) .  
古希腊阿基米德提出过 自然数平方和公式 s   )  
=  

± 


尼可曼丘 ( 文[ 2 ] ) 由1 3 =1 , 2 3  

法国穆顿( 文[ 3 ] ) . 实 际上 , 用差分方法 已经可以解 
决 自然数正整数次幂和所有问题 了.  


=3 +5 , 3 0 =7 +9十1 1 , 4 。 =1 3+1 5+1 7+1 9 , 即把 

整数立方剖分为若干连续奇数和 , 从而归纳 出自然  数立方和公式 .  

, 

k   : 耋 i   j = z + 1   (   ≥ 1 且  为 整   扣  0   ,   l  十1 1J  
。  

数) .  

印度的婆罗门笈多 、 马哈维拉、 巴斯卡拉 以及阿 

其中 △为差分算子 ,  0  为零的差分, 即  


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