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集合及其表示方法


集合及其表示方法 知识精要
1.集合:我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合,简称集。集合中的各 个对象叫做集合的元素。 集合、元素以及关系的表示符号: 集合常用大写英文字母 A 、 B 、 C ??来表示,集合中的元素常用小写英文字母 a 、 b 、 c ??来表示。 如果 a 是集合 A 的元素,记作 a ? A ,读作“ a 属于 A ” ;如果 a 不是

集合 A 的元素, 记作 a ? A ,读作“ a 不属于 A ” 。 2.集合元素的特性 (1) 确定性: 元素与集合的从属关系是明确的 (即 a ? A 与 a ? A , 二者必居其一) 。 元素的属性是明确的(模棱两可是不可以的) 。 (2)互异性:集合中的元素是互不相同的(即一个给定的集合中的任何两个元素都 是不同的对象) 。 (3)无序性:不考虑集合中元素之间的顺序。 3.集合的分类 (1)有限集:含有有限个元素的集合; (2)无限集:含有无限个元素的集合; 另外,根据集合元素的类型可以把集合分成数集、点集等。 4.空集:空集不含元素。记作 ? 5.集合的表示方法 (1)列举法:将集合中的元素一一列出(不考虑元素的顺序) ,注意元素之间用逗号 隔开,并且写在大括号内。 例如:不等式 2 x ? 11 ? 0 的正整数解的集合,可以表示成{1,2,3,4,5}。 又如:方程组 ?

? x? y ?5 的解组成的集合可表示为 {( 2,3)} 。 ? x ? y ? ?1
王新敞
奎屯 新疆

① a 与{a}不同:a 表示一个元素,{a}表示一个集合,该集合只有一个元素

② 元素与元素之间用逗号隔开,单元素集合不用逗号。 (2)描述法:在大括号内先写出这个集合的元素一般形式,再画出一条竖线,在竖 线后面写出集合中元素所共同具有的特性。其形式是{x|x 满足性质 p}。
2 例如:方程 x ? x ? 6 ? 0 的解的集合,可表示为 {x | x ? x ? 6 ? 0} ;
2

又如:直线 x+y=1 上的点组成的集合,可以表示为:{ ( x, y) x ? y ? 1} 注:同一个集合,有时既可以用列举法又可以用描述法,那么何时用列举法?何时用 描述法? (1)有些集合的公共属性不明显,难以概括,不适合用描述法表示,只能用列举法。 如集合 {x ,3x ? 2,5 y ? x, x ? y } 。
2 3 2 2

(2)当集合中元素个数较少时,多用列举法。 (3)当集合中元素个数较多时,都写出来太烦了,可写其中一部分元素,由此提供 一定规律可用省略号代表余下的元素。如:从 51 到 100 的所有整数组成的集合:
1

{ 51,52,53,?,100};所有正奇数组成的集合:{ 1,3,5,7,? }。 (4)有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来,或者不便于、不需要一一列举出 来,常用描述法。 注:1)在不致混淆的情况下,可以省去竖线及左边部分,即{锐角三角形},但不可 写成{所有锐角三角形}或{锐角三角形集},因为集合符号“{ }”已包含“所有”的意思; 且“{ }”就是集合的符号,因而大括号内的文字描述,不应再用“全体” “所有” “全部” 或“集”等术语。 2)用描述法表示一个集合,必须认真找出集合中元素的公共属性,既要是每一元 素所共有,又要不为集合外其它元素具有。 例如将 1、3、5、7、9 所组成的集合表示为:{小于 10 的自然数}就不对,因为 1、3、 5、7、9 虽然是小于 10 的自然数,但尚有其他小于 10 的自然数 2、4、6、8 等不是集合中 的元素。 6.常用数集的符号表示: 数的集合简称数集。 自然数集,记作 N ,不包括零的自然数组成的集合,记作 N
? ?

?

整数集,记作 Z ;正整数集,记作 Z ;负整数集,记作 Z ; 有理数集,记作 Q ;正有理数集,记作 Q ? ;负有理数集,记作 Q ? ; 实数集,记作 R ;正实数集,记作 R ;负实数集,记作 R .
? ?

精解名题
例 1.判断下列对象能否组成集合: (1)不等式 2 x ? 5 ? 0 的正整数解; (2)方程 x ? 2 y ? 1 ? 0 的解; (3)数轴上非常靠近原点的点; (4)使 | x ? 1 | 的值很小的 x 的值。

注意:元素的属性是明确的(模棱两可是不可以的) 集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就 必须符合条件. 例 2. 用 ? 或 ? 填空: (1) 0 {0}; (2) 0

?;
2

(3) 0

N;

(4)

-1

Z;

(5)

2

Q;

(6) 0

N?。

注: {0} 、 ? 与 {?} 区别:它们都表示集合。但 {0} 只有一个元素 0; ? 不含任何元 素; {?} 是以空集作为元素的集合。

例 3. 用适当的方法表示下列集合: (1) 关于 x 的不等式 | x |? 5 的整数的解集; (2) 所有奇数构成的集合; (3) 方程 ( x 2 ? 1)(x 2 ? x ? 2) ? 0 的解的集合; (4) 直角坐标平面上所有第三象限的点; (5) 函数 y=|x|-3 的所有函数值组成的集合。

例 4.判断元素 0, 1, (0, 1) 分别与集合 A={x|y=x +1},B={y|y=x +1},C={(x,y)|y=x +1} 之间的关系。

2

2

2

注意:点集与数集的区别。集合中的元素可以是数、点、图形甚至是集合。 例 5.已知集合 A ? {2 x, x ? x} , 求 x 的取值范围.
2

3

例 6.已知集合 A ? {2, a2 ? 1, a2 ? a}, B ? {0,7, a 2 ? a ? 5, 2 ? a},5 ? A ,求集合 B 。

例 7.用列举法表示下列集合:

12 ? N , x ? N }; 6? x (2) B ? {( x, y) | x ? 2 y ? 7, x ? N * , y ? N * }; (1) A ? {x |

(3) C ? { y | y ? x 2 ? 1, | x |? 2, x ? Z}.

备选例题
例 1、用适当的方法表示下列集合 (1)大于 0 且不超过 6 的全体偶数组成的集合 A (2)被 3 除余 2 的自然数全体组成的集合 B (3)直角坐标平面上第二象限的点组成的集合 C

例 2、已知集合 A ? ?x ax2 ? 2x ? 1 ? 0, x ? R? , a ? R ,若集合 A 中至多有一个元素,求 a

4

例 3、设集合 A={(x,y)|x+y=6, x ? N , y ? N } ,使用列举法表示集合 A。

例 4.关于 x 的方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) ,当 a,b,c 分别满足什么条件时解集

为空集、含一个集合、含两个集合?

例 5、已知集合 A={ kx 2 ? 8x ? 16 ? 0 }只有一个元素,试求实数 k 的值,并用列 举法表示集合 A。

巩固练习 一、选择题

5

1、下列给出的对象中,能表示集合的是( A、一切很大的数 C、聪明的人 2、给出下列命题: 1) N 中最小的元素是 1; 2) 若 a ? N ,则 ? a ? N ; 3)若 a ? N b ? N 则 a+b 的最小值是 2 其中所有正确命题的个数为( A、0 B、1 ) C、2

) B、无限接近零的数 D、方程 x 2 ? ?2 的实数根

D、3 )

3、 由 a 2 ,2 ? a,4 组成一个集合 A,A 含有 3 个元素,则实数 a 的取值是( A、1 B、-2 C、6 D、2 )

4、下列集合表示法正确的是( A.{1,2,2} C.{有理数} B.{全体实数}

D.不等式 x 2 ? 5 ? 0 的解集为{ x 2 ? 5 ? 0 } ) C、 a ? A ) D、a=A

5、设 A={a},则下列各式正确的是( A、 0 ? A B、 a ? A

6、集合{ x ? N ? | x ? 5 }的另一种表示法是( A、{0,1,2,3,4} C、{0,1,2,3,4,5}

B、{1,2,3,4} D、{1,2,3,4,5} ) B、{x|-3<x<11} D、{x|-3<x<11,x=2k, k ? Z }

7、由大于-3 且小于 11 的偶数所组成的集合是( A、{x|-3<x<11, x ? Q } C、{x|-3<x<11,x=2k, k ? N }

8、下列说法正确的是 ( ) A.某个村子里的年青人组成一个集合 B.所有小正数组成的集合 C. {1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合

1 3 6 1 D. 1, 0.5, , , , 这些数组成的集合有五个元素 2 2 4 4
6

9、下面有四个命题: (1)集合N中最小的数是 0; (2)0是自然数; (3) {1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合; (4) a ? N , B ? N 则a ? b不小于2 其中正确的命题的个数是 A.1个 B.2个 ( C.3个 ) D.4个

二、填空题 10、已知集合 A={2,4, x 2 ? x },若 6 ? A ,则 x=________________

11、在平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合为_______________

12、方程 x 2 ? 5x ? 6 ? 0 的解集可表示为_____________________

13、方程 ( x ? 1) 2 ( x ? 2)(x ? 3) ? 0 的解集中含有_________个元素。

14、集合{ x ? N | ?1 ? x ? 4 }用列举法表示为_________________

7


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