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北京市房山区2014届高三上学期期末考试数学理试题


房山区高三年级第一学期期末统考 数学(理科)2014.1
本试卷共 5 页,150 分。考试时间 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答 无效。考试结束后,将答题卡交回。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项.
1.设全集 U ? R ,集合 A

? x ? R x ? 2 x ? 0 , B ? y y ? e ? 1, x ? R ,则 A ? B ?
2 x

?

?

?

?

A. {x |1 ? x ? 2}

B. {x | x ? 2}

C. {x | x ? 1}

D. {x |1 ? x ? 2}

i3 2.复数 z ? (其中 i 为虚数单位) ,则下列说法中正确的是 1? i
A.在复平面内复数 z 对应的点在第一象限 B.复数 z 的共轭复数 z ? ?

1 i ? 2 2
1 2

C.若复数 z1 ? z ? b (b ? R ) 为纯虚数,则 b ? ?

1 2 a b 3.“ 2 ? 2 ”是“ log 2 a ? log 2 b ”的
D.复数 z 的模 | z |? A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 设 a ? 0, b ? 0. 若 3 是 3 与 3 的等比中项 ,则
a

2b

2 1 ? 的最小 a b

值为 A.8 C.1 B.4 D.

1 4

5.若右边的程序框图输出的 S 是 126,则条件①可为 A.n ? 5 B.n ? 6 C.n ? 7 D.n ? 8 6.已知一个空间几何体的三视图如图所示, 且这个空间几何 体的所有顶点都在一个球面上,则球的表面积是 49 7 A. ? B. ? 9 3 28 28 C. ? D. ? 3 9

2 正视图 2 2 俯视图 2 (第 6 题) 侧视图

?x ? y ? 3 ? 0 ? 7.已知直线 y ? 2 x 上存在点 ( x, y ) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则实数 m 的取值范围是 ?x ? m ?
B. [?1, ??) C. [2, ??) D. (??,1] 8.如图所示,正方体 ABCD ? A?B?C?D? 的棱长为 1, E , F 分别是棱 AA? ,CC? 的中点,过直线 E , F 的平面分别与棱 BB? 、DD? 交于 M , N , M ?x , 设B D' x ? [0,1] ,给出以下四个命题: C' ①平面 MENF ? 平面 BDD?B? ; N A. (??, ?1]

1 时,四边形 MENF 的面积最小; 2 ③四边形 MENF 周长 L ? f ( x ) , x ? [0,1] 是单调函
②当且仅当 x= 数; ④四棱锥 C? ? MENF 的体积 V ? h( x ) 为常函数; 以上命题中假命题 的序号为 ... A.①④ B.C.③ B.② D.③④
E

A'

B' F

D

M B

C

A

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
CD ? 2 7 , 9.如图, 圆 O 是 ?ABC 的外接圆, 过点 C 的切线交 AB AB 的延长线于点 D ,

AB ? BC ? 3 ,则 BD 的长___________, AC 的长_______.
C

O D A B

10.以双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心,并与其渐近线相切的圆的标准方程是_________. 9 16

1 ? x ? t, ? 2 ? (t为参数) , 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 11. 已 知 直 线 l 的 参 数 方 程 为 ? ? y ? 3 t ? 1. ? ? 2
? x =2+ cos ?, (? 为参数) .则直线 l 的倾斜角为_________;设点 Q 是曲线 C 上的一个动点, ? ? y = sin ? .
则点 Q 到直线 l 的距离的最小值为_________. 12.用 1,2,3,4 这四个数字组成无重复数字的四位数,其中恰有一 个偶数字夹在两个奇数字之间的四位数的个数为 __________. 13.如图, 半径为 3 的扇形 AOB 的圆心角为 120? , 点 C 在⌒ AB 上, 且 ?COB ? 30? ,若→ OC =λ→ OA +μ→ OB ,则 λ+μ=__________. 14.2010 年,我国南方省市遭遇旱涝灾害,为防洪抗旱,某地区

大面积植树造林, 如图, 在区域 {( x, y) | x ? 0, y ? 0} 内植树, 第一棵树在 A1 (0, 1) 点,第二棵树在 B1 (1, 1) 点,第三棵树在

C1 (1, 0) 点,第四棵树在 C2 (2, 0) 点,接着按图中箭头方向,
每隔一个单位种一颗树, 那么, 第 2014 棵树所在的点的坐标是。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 在△ABC 中, a、 b、 c 分别是三个内角 A、 B、 C 的对边, a=2, sin 且△ABC 的面积为 4 (Ⅰ)求 cosB 的值; (Ⅱ)求边 b、c 的长。 16.(本小题满分 14 分)已知在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,且 AD=2,AB =1,PA⊥平面 ABCD,E、F 分别是线段 AB、BC 的中点. (1)证明:PF⊥FD; (2)判断并说明 PA 上是否存在点 G,使得 EG∥平面 PFD; (3)若 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45° ,求二面角 A-PD -F 的平面角的余弦值. 17. (本小题满分 13 分) 前不久, 社科院发布了 2013 年度“全 国城市居民幸福排行榜”,北京市成为本年度最“幸福城”.随 后,某师大附中学生会组织部分同学,用“10 分制”随机调 查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取 16 名,如图所示的茎叶图记录了他们 的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶): (Ⅰ)指出这组数据的众数和中位数; (Ⅱ)若幸福度不低于 9.5 分,则称该人的幸福 度为“极幸福”.求从这 16 人中随机选取 3 人,至 多有 1 人是“极幸福”的概率; (Ⅲ)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的 总体数据, 若从该社区(人数很多)任选 3 人, 记? 表示抽到“极幸福”的人数,求 ? 的分布列及数学期望. 18.(本小题满分 13 分)已知函数 f ? x ? ? (Ⅱ)讨论函数 f ? x ? 的单调区间. (Ⅲ) a >

B 5 ? , 2 5

(Ⅰ)已知函数 f ? x ? 在 x ? 2 取得极小值,求 a 的值;

x2 4a ? 1 ? (1 ? 2a) x ? ln(2 x ? 1) , a ? 0 . 2 2

1 1 1 2 时,存在 x0 ? ( ,+ ? ) , f ( x0 ) < ? 2a ,求实数 a 的取值范围; 4 2 2

19.(本小题满分 14 分)已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴,离心率为 焦点是椭圆 M 的一个焦点.

2 , 且抛物线 y 2 ? 4 2 x 的 2

(Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)设直线与椭圆 M 相交于 A、B 两点,以线段为邻边作平行四边形 OAPB,其中点 P 在椭圆 M 上,为坐标原点.求点到直线 l 的距离的最小值. 20. (本小题满分 13 分)如果项数均为 n n ? 2, n ? N

?

?

? 的两个数列 {a } , {b } 满足
n n

ak ? bk ? k (k ? 1,2,?, n), 且集合 {a1 , a 2 ,?, an , b1 , b2 ,?, bn } ? {1,2,3,?,2n} ,则称数列 {a n }, {bn } 是一对“ n 项相关数列”.
(Ⅰ)设 {a n }, {bn } 是一对“4 项相关数列”,求 a1 ? a2 ? a3 ? a4 和 b1 ? b2 ? b3 ? b4 的值,并 写出一对“ 4 项相关数列” {a n }, {bn } ; (Ⅱ)是否存在“ 15 项相关数列” {a n }, {bn } ?若存在,试写出一对 {a n }, {bn } ;若不存在, 请说明理由; (Ⅲ) 对于确定的 n , 若存在“ n 项相关数列”, 试证明符合条件的“ n 项相关数列”有偶数对.

房山区高三年级第一学期期末练习参考答案 数学(理科)2014.01
一、选择题: 1.D 2.C 二、填空题: 9.4, 3.B 4.A 5.B 6.C 7.D 8.C

3 7 10. ( x ? 5)2 ? y 2 ? 16 2
13. 3

11.

? , d min ? 3

2 3 ?1 2

1 1 2 ? C2 ?A2 ?8 12. C2

14.(10,44)

三、解答题:
15(本小题满分 13 分) (1) cos B ? 1 ? 2sin
2

B 3 ? (2) b ? 17.c ? 5 2 5

16.(本小题满分 14 分) 解:(1)∵PA⊥平面 ABCD,∠BAD=90° ,AB=1,AD=2,建立如图所示的空间直角坐标 系 A-xyz,则 A(0,0,0),B(1,0,0),F(1,1,0),D(0,2,0). 不妨令 P(0,0,t), ∵ PF =(1,1,-t), DF =(1,-1,0), ∴ PF · 0=0,即 PF⊥FD.…4 分 DF =1×1+1×(-1)+(-t)× (2)存在.设平面 PFD 的一个法向量为 n=(x,y,z),结合(1),

???

??? ?

??? ??? ?

??? ? ? ?x+y-tz=0 t ?n ? PF ? 0 由 ? ??? ,得? ,令 z=1,解得:x=y= . ? 2 ?x-y=0 ? ? ?n ? DF ? 0
t t ∴n=( , ,1). 2 2

??? ? 1 1 设 G 点坐标为(0,0,m),E( ,0,0),则 EG =(- ,0,m), 2 2 ??? ? 1 t t t 要使 EG∥平面 PFD,只需 EG · n=0,即(- )× +0× +m× 1=m- =0, 2 2 2 4
1 1 得 m= t,从而满足 AG= AP 的点 G 即为所求.…………………………………8 分 4 4 (3)∵AB⊥平面 PAD,∴ AB 是平面 PAD 的法向量,易得 AB =(1,0,0), 又∵PA⊥平面 ABCD,∴∠PBA 是 PB 与平面 ABCD 所成的角, 1 1 得∠PBA=45° ,PA=1,结合(2)得平面 PFD 的法向量为 n=( , ,1), 2 2

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? AB ? n ? ∴cos〈 AB ,n〉= ??? = | AB | ? | n |

1 2 1 1 + +1 4 4



6 , 6

由题意知二面角 A-PD-F 为锐二面角, 故所求二面角 A-PD-F 的平面角的余弦值为 6 .…………………………………12 分 6

17.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)众数:8.6;中位数:8.75;……………………3 分 (Ⅱ)设 Ai 表示所取 3 人中有 i 个人是“极幸福”,至多有 1 人是“极幸福”记为事件 A ,则
P( A) ? P( A0 ) ? P( A1 ) ?
3 1 2 C12 C4 C12 121 ;……………………7 分 ? ? 3 3 140 C16 C16

(Ⅲ) ξ 的可能取值为0,1,2,3.高…考.资.源+网高.考.资.源+网 P(? ? 0) ? ( 3 ) 3 ? 27 ;
4 64

1 3 9 ; 1 1 . 1 3 27 ; P(? ? 2) ? C32 ( ) 2 ? P(? ? 3) ? ( ) 3 ? P(? ? 1) ? C ( ) 2 ? 4 4 64 4 64 4 4 64
1 3

ξ 的分布列为: ξ
P
所以 E? ? 0 ?

0
27 64

1
27 64

2
9 64

3
1 64

27 27 9 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 0.75 .……………………12分 64 64 64 64
k

另解: ξ 的可能取值为0,1,2,3. 则 ? ~ B(3, ) , P(? ? k ) ? C3 ( ) ( )
k

1 4

1 4

3 4

3? k

.所以 E? = 3 ?

1 ? 0.75 . 4

18.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 (? , ??) ,且 f ?( x) = x 因为函数 f ? x ? 在 x ? 2 取得极小值,所以 f ?(2) ? 0, 即 f ?(2) =2 ? (1+2 a )+

1 2

? (1+2 a )+ 4a ? 1 ,………1 分
2x ?1

解得 a ? 1 .………………3 分

4a ? 1 =0,.……………………2 分 4 ?1

经检验: a ? 1 时,函数 f ? x ? 在 x ? 2 取得极小值,所以 a ? 1 .……………4 分 (Ⅱ) f ?( x) = x

? (1+2 a )+ 4a ? 1 = (2 x ? 1)( x ? 1-2) ? 4a ? 1 = ? 2 x ? 1?? x ? 2a ?
2x ?1

2x ?1

2x ?1

1 或 x =2 a ……………6 分 2 1 1 i、当 2 a > ,即 a > 时, 2 4 1 1 1 1 x (? , ) ( ,2 a ) 2 2 2 2 f ?( x) + 0 ?
令 f ?( x) =0,则 x =

2a 0

(2 a ,+ ? ) + ↗

f ( x)





所以 f ( x) 的增区间为( ?

1 1 1 , )和(2 a ,+ ? ) ,减区间为( ,2 a )……7 分 2 2 2

1 1 ? 2 x ? 1? ? 0 在( ? 1 ,+ ? )上恒成立, ii、当 2 a = ,即 a = 时, f ?( x) = 2 4 2 2x ?1 1 所以 f ( x) 的增区间为( ? ,+ ? )……………8 分 2 1 1 iii、当 0<2 a < ,即 0< a < 时, 2 4 1 1 1 1 x ( ? ,2 a ) 2 a (2 a , ) ( ,+ ? ) 2 2 2 2 f ?( x) + 0 0 + ?
2

f ( x)







所以 f ( x) 的增区间为( ? 综上所述:

1 1 1 ,2 a )和( ,+ ? ) ,减区间为(2 a , )……9 分 2 2 2

1 1 1 1 时, f ( x) 的增区间为( ? ,2 a )和( ,+ ? ) ,减区间为(2 a , ) 4 2 2 2 1 1 a = 时, f ( x) 的增区间为( ? ,+ ? ) 4 2 1 1 1 1 a > 时, f ( x) 的增区间为( ? , )和(2 a ,+ ? ) ,减区间为( ,2 a ) 4 2 2 2 1 1 1 1 1 2 +?) (Ⅲ) 由题意,a > 时, 存在 x0 ? ( , , f ( x0 ) < ? 2a , 即 a > 时, f ( x ) 在 ( , 4 4 2 2 2 1 2 + ? )上的最小值小于 ? 2a .……………10 分 2 1 1 由(Ⅱ) a > 时, f ( x) 在( ,2 a )上递减,在(2 a ,+ ? )上递增, f ( x) 在 4 2 1 ( ,+ ? )上的最小值为 f (2a) ,…………………………………………………11 分 2 1 2 所以 f (2a) < ? 2a , 2 1 4a ? 1 2 ln(4a ? 1) < ? 2a 2 …………………12 分 即 2a ? 2a(1 ? 2a) ? 2 2
0< a < 化简得 ln(4a ? 1) ? 1 , 4a ? 1 ? e , a ? 又a>

e ?1 , 4

1 1 e ?1 1 e ?1 ). ……………13 分 ,所以 ? a ? ,所求实数 a 的取值范围为 ( , 4 4 4 4 4

19(本小题满分 14 分) 解: (I) 由已知抛物线的焦点为 ( 2, 0) ,故设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

则 c ? 2,由e ?

2 x2 y 2 , 得a ? 2, b 2 ? 2. 所以椭圆 M 的方程为 ? ? 1. ……5 分 2 4 2

(II)当直线斜率存在时,设直线方程为,

则由 ?

? y ? kx ? m, 2 2 2 消去得, (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 4 ? 0 ,………6 分 2 2 ?x y ? 1. ? ? ?4 2

? ? 16k 2 m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 4) ? 8(2 ? 4k 2 ? m2 ) ? 0 ,①…………7 分
设 A、B、P 点的坐标分别为,则:

x0 ? x1 ? x2 ? ?

4km 2m …………8 分 , y0 ? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ,
2 x0 y2 ? 0 ? 1 .………9 分 4 2

由于点在椭圆 M 上,所以

从而

4k 2 m 2 2m 2 ? ? 1 ,化简得 2m2 ? 1 ? 2k 2 ,经检验满足①式.……10 分 (1 ? 2k 2 ) 2 (1 ? 2k 2 ) 2

又点到直线的距离为:

d?

|m| 1? k 2

?

1 2 ?k 1 1 2 2 ? 1? ? 1? ? 2 2(1 ? k ) 2 2 ………11 分 1? k 2

当且仅当时等号成立………12 分 当直线无斜率时,由对称性知,点一定在轴上, 从而点的坐标为 (?2,0)或(2,0) ,直线的方程为,所以点到直线的距离为 1.

所以点到直线的距离最小值为 20.(本小题满分 13 分)

2 .13 分 2

解: (Ⅰ)依题意, a1 ? b1 ? 1, a2 ? b2 ? 2, a3 ? b3 ? 3, a4 ? b4 ? 4 ,相加得,

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? (b1 ? b2 ? b3 ? b4 ) ? 10 ,又 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ?b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? 36 ,
则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 23 , b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? 13 . “4 项相关数列” {a n } :8,4,6,5; {bn } :7,2,3,1(不唯一)………3 分 参考: (“4 项相关数列”共 6 对:

{a n } :8,5,4,6; {bn } :7,3,1,2;或 {a n } :7,3,5,8; {bn } :6,1,2,4;
或 {a n } :3,8,7,5; {bn } :2,6,4, ;或 {a n } :2,7,6,8; {bn } :1,5,3,4; 或 {a n } :2,6,8,7; {bn } :1,4,5,3;或 {a n } :8,4,6,5; {bn } :7,2,3,1.

(Ⅱ)不存在. 理由如下: 假设存在“15 项相关数列” {a n }, {bn } , 则 a1 ? b1 ? 1, a 2 ? b2 ? 2,?, a15 ? b15 ? 15 ,相加,得

(a1 ? a2 ? ? ? a15 ) ? (b1 ? b2 ? ? ? b15 ) ? 120
又由已知 a1 ? a 2 ? ? ? a15 ? b1 ? b2 ? ? ? b15 ? 1 ? 2 ? ? ? 30 ? 465 ,由此

2(a1 ? a 2 ? ? ? a15 ) ? 585 ,显然不可能,所以假设不成立。
从而不存在“15 项相关数列” {a n }, {bn } ………7 分 (Ⅲ)对于确定的 n ,任取一对“ n 项相关数列” {a n }, {bn } , 令 c k ? 2n ? 1 ? bk , d k ? 2n ? 1 ? a k (k ? 1,2,?, n) , 先证 {cn }, {d n } 也必为“ n 项相关数列”. 因为 c k ? d k ? (2n ? 1 ? bk ) ? (2n ? 1 ? a k ) ? a k ? bk ? k (k ? 1,2,?, n), 又因为 {a1 , a2 ,?, an , b1 , b2 ,?, bn } ? {1, 2,3, 4,?, 2n} ,很显然有

{( 2n ? 1) ? a1 , (2n ? 1) ? a2 ,?, (2n ? 1) ? an , (2n ? 1) ? b1 , (2n ? 1) ? b2 ,?, (2n ? 1) ? bn }
? {1,2,3,?,2n} ,
所以 {cn }, {d n } 也必为“ n 项相关数列”. 再证数列 {cn } 与 {a n } 是不同的数列. 假设 {cn } 与 {a n } 相同,则 {cn } 的第二项 c2 ? 2n ? 1 ? b2 ? a2 ,又 a 2 ? b2 ? 2 ,则

2b2 ? 2n ? 1 ,即 b2 ?

2n ? 1 显然矛盾. 2 ,

从而,符合条件的“ n 项相关数列”有偶数对.┅┅┅┅┅┅13 分


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