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河北省石家庄市正定中学2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析


2015-2016 学年河北省石家庄市正定中学高二(上)期中数学试卷 (理科)
一、选择题(本题共 12 个小题,每题只有一个正确答案,每题 5 分,共 60 分) 1.设 p:1<x<2,q:2x>1,则 p 是 q 成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.命题“存在 x0∈R,2x0≤0”的否定是( )

x0 A.不存在 x0∈R,2 >0 B.存在 x0∈R,2x0≥0 C.对任意的 x∈R,2x<0 D.对任意的 x∈R,2x>0

3.双曲线 A. B. C.

的顶点到渐近线的距离等于( D.

)

4.设{an}是等差数列,下列结论中正确的是( ) A.若 a1+a2>0,则 a2+a3>0 B.若 a1+a3<0,则 a1+a2<0 C.若 0<a1<a2,则 a2 D.若 a1<0,则(a2﹣a1) (a2﹣a3)>0

5.袋中有形状、大小都相同的 4 只球,其中 1 只白球,1 只红球,2 只黄球,从中一次随机 ) 摸出 2 只球,则这 2 只球颜色不同的概率为( A. B. C. D.

6.执行图的程序框图,若输入的 a,b,k 分别为 1,2,3,则输出的 M=(

)

A.

B.

C.

D.

7.若 x,y 满足约束条件

,则

的最大值为(

)

A.2

B.

C.3

D.1

8.已知双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x﹣a)2+y2=a2 截得的弦长 )

为 a.则双曲线 C 的离心率为( A.2 B. C. D.

9.已知 =(1,sinα) , =(cos2α,2sinα﹣1) ,α∈( 的值为( A. ) B.﹣ C. D.﹣

,π) .若 ? = ,则 tan(α+



10.在平面直角坐标系中,A,B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y﹣4=0 相切,则圆 C 面积的最小值为( ) A . π B. π C. (6﹣2 )π D. π

11.已知三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上,△ ABC 是边长为 1 的正三角形,SC ) 为球 O 的直径,且 SC=2,则此三棱锥的体积为( A. B. C. D.

12.已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, ) 中 O 为坐标原点) ,则△ ABO 与△ AFO 面积之和的最小值是( A.2 B.3 C. D.

?

=2(其

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若曲线 y=kx+lnx 在点(1,k)处的切线平行于 x 轴,则 k=__________.

14.双曲线

的离心率为 ,则 m 等于__________.

15.如图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆) ,则该几何体的表面积是 __________.

16.已知函数 y=f(x) (x∈R) ,对函数 y=g(x) (x∈R) ,定义 g(x)关于 f(x)的“对称函数” 为函数 y=h(x) (x∈R) ,y=h(x)满足:对任意 x∈R,两个点(x,h(x) ) , (x,g(x) )关 于点(x,f(x) )对称.若 h(x)是 g(x)= 关于 f(x)=3x+b 的“对称函数”,且 h

(x)>g(x)恒成立,则实数 b 的取值范围是__________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.在△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 2cosBsinA﹣2sinA=sin(A﹣B) , 且 a=2,cosC= ,求 b 及△ ABC 的面积. 18.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 2Sn=3n+3. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn},满足 anbn=log3an,求{bn}的前 n 项和 Tn. 19.某班 50 名学生在一次数学测试中,成绩全部介于 50 与 100 之间,将测试结果按如下方 式分成五组:第一组[50,60) ,第二组[60,70) ,…,第五组[90,100].如图所示是按上述分 组方法得到的频率分布直方图. (Ⅰ) 若成绩大于或等于 60 且小于 80, 认为合格, 求该班在这次数学测试中成绩合格的人数; (Ⅱ)从测试成绩在[50,60)∪[90,100]内的所有学生中随机抽取两名同学,设其测试成绩 分别为 m、n,求事件“|m﹣n|>10”概率.

20.已知函数 f(x)=ax3+x2(a∈R)在 x=

处取得极值.

(Ⅰ)确定 a 的值; (Ⅱ)若 g(x)=f(x)ex,讨论 g(x)的单调性. 21.直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1=AB=AC=1,E,F 分别是 CC1、BC 的中点,AE⊥ A1B1,D 为棱 A1B1 上的点. (1)证明:DF⊥AE;

(2)是否存在一点 D,使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 说明点 D 的位置,若不存在,说明理由.

?若存在,

22.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)过点 A(﹣



) ,离心率为

,点 F1,F2 分别

为其左右焦点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若 y2=4x 上存在两个点 M,N,椭圆上有两个点 P,Q 满足,M,N,F2 三点共线,P, Q,F2 三点共线,且 PQ⊥MN.求四边形 PMQN 面积的最小值.

2015-2016 学年河北省石家庄市正定中学高二(上)期中 数学试卷(理科)
一、选择题(本题共 12 个小题,每题只有一个正确答案,每题 5 分,共 60 分) 1.设 p:1<x<2,q:2x>1,则 p 是 q 成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】运用指数函数的单调性,结合充分必要条件的定义,即可判断. 【解答】解:由 1<x<2 可得 2<2x<4,则由 p 推得 q 成立, 若 2x>1 可得 x>0,推不出 1<x<2. 由充分必要条件的定义可得 p 是 q 成立的充分不必要条件. 故选 A. 【点评】本题考查充分必要条件的判断,同时考查指数函数的单调性的运用,属于基础题. 2.命题“存在 x0∈R,2x0≤0”的否定是( ) x0 A.不存在 x0∈R,2 >0 B.存在 x0∈R,2x0≥0 C.对任意的 x∈R,2x<0 D.对任意的 x∈R,2x>0 【考点】命题的否定. 【专题】简易逻辑. 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题,写出结果即可. 【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题, 所以命题“存在 x0∈R,2x0≤0”的否定是:对任意的 x∈R,2x>0. 故选:D. 【点评】本题考查命题的否定,全称命题与特称命题的否定关系,基本知识的考查.

3.双曲线 A. B. C.

的顶点到渐近线的距离等于( D.

)

【考点】双曲线的简单性质;点到直线的距离公式. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由对称性可取双曲线 离公式即可得到顶点到渐近线的距离. 【解答】解:由对称性可取双曲线 则顶点到渐近线的距离 d= . 的顶点(2,0) ,渐近线 , 的顶点(2,0) ,渐近线 ,利用点到直线的距

故选 C. 【点评】熟练掌握双曲线的顶点、渐近线方程及得到直线的距离公式是解题的关键. 4.设{an}是等差数列,下列结论中正确的是( ) A.若 a1+a2>0,则 a2+a3>0 B.若 a1+a3<0,则 a1+a2<0 C.若 0<a1<a2,则 a2 D.若 a1<0,则(a2﹣a1) (a2﹣a3)>0

【考点】等差数列的性质. 【专题】计算题;等差数列与等比数列. 【分析】对选项分别进行判断,即可得出结论. 【解答】解:若 a1+a2>0,则 2a1+d>0,a2+a3=2a1+3d>2d,d>0 时,结论成立,即 A 不正 确; 若 a1+a3<0,则 a1+a2=2a1+d<0,a2+a3=2a1+3d<2d,d<0 时,结论成立,即 B 不正确; {an}是等差数列,0<a1<a2,2a2=a1+a3>2 ,∴a2> ,即 C 正确;

若 a1<0,则(a2﹣a1) (a2﹣a3)=﹣d2<0,即 D 不正确. 故选:C. 【点评】本题考查等差数列的通项,考查学生的计算能力,比较基础. 5.袋中有形状、大小都相同的 4 只球,其中 1 只白球,1 只红球,2 只黄球,从中一次随机 ) 摸出 2 只球,则这 2 只球颜色不同的概率为( A. B. C. D.

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计. 【分析】这 2 只球颜色不同的对立事件是 2 只球都是黄球,由此利用对立事件概率性质能求 出这 2 只球颜色不同的概率. 【解答】解:这 2 只球颜色不同的对立事件是 2 只球都是黄球, 摸出的 2 只球都是黄球的概率: p1= = ,

∴由对立事件概率性质得这 2 只球颜色不同的概率为: p=1﹣p1=1﹣ = . 故选:A. 【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意对立事件概率计算公式 的合理运用. 6.执行图的程序框图,若输入的 a,b,k 分别为 1,2,3,则输出的 M=( )

A.

B.

C.

D.

【考点】程序框图. 【专题】算法和程序框图. 【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 V 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 【解答】解:当 n=1 时,满足进行循环的条件,执行循环体后:M= ,a=2,b= ,n=2; 当 n=2 时,满足进行循环的条件,执行循环体后:M= ,a= ,b= ,n=3; 当 n=3 时,满足进行循环的条件,执行循环体后:M= 当 n=4 时,不满足进行循环的条件, 故输出的 M 值为: , ,a= ,b= ,n=4;

故选:D 【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正 确的结论,是基础题.

7.若 x,y 满足约束条件

,则

的最大值为(

)

A.2

B.

C.3

D.1

【考点】简单线性规划. 【专题】计算题;转化思想;数形结合法;不等式. 【分析】由约束条件作出可行域,由 连线的斜率求得答案. 的几何意义,即可行域内的动点与定点 M(0,1)

【解答】解:由约束条件

作出可行域如图,

的几何意义为可行域内的动点与定点 M(0,1)连线的斜率,

联立

,解得 A(﹣1,﹣1) ,



的最大值为



故选:A. 【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法, 是中档题.

8.已知双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x﹣a)2+y2=a2 截得的弦长 )

为 a.则双曲线 C 的离心率为( A.2 B. C. D.

【考点】双曲线的简单性质;直线与圆的位置关系. 【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】求出双曲线的一条渐近线方程,利用渐近线被圆(x﹣a)2+y2=a2 截得的弦长为 可得 = a,即可求出双曲线的离心率.

a,

【解答】解:双曲线



=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 bx+ay=0, a,

∵渐近线被圆(x﹣a)2+y2=a2 截得的弦长为 ∴ = a,

∴c2=2b2, ∴e= . 故选:B. 【点评】本题考查双曲线的性质和应用,解题时要注意公式的合理运用.

9.已知 =(1,sinα) , =(cos2α,2sinα﹣1) ,α∈( 的值为( A. ) B.﹣ C. D.﹣

,π) .若 ? = ,则 tan(α+



【考点】三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算;两角和与差的正切函数. 【专题】函数思想;转化思想;三角函数的求值. 【分析】由已知向量的坐标以及向量的数量积得到关于 α 的三角函数的等式,先求 sinα,再 求解 tanα.然后利用两角和的正切函数求解即可. 【解答】解:∵ =(1,sinα) , =(cos2α,2sinα﹣1) ,α∈( ,π ) .

若 ? = , ∴ =cos2α﹣sinα+2sin2α=1﹣sinα; 解得 sinα= ,cosα=﹣ ∴tanα= =﹣ .

tan(α+

)=

=



故选:D. 【点评】本题考查了向量的数量积的坐标运算以及三角函数的变形,考查计算能力. 10.在平面直角坐标系中,A,B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y﹣4=0 相切,则圆 C 面积的最小值为( ) A . π B. π C. (6﹣2 )π D. π

【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】直线与圆. 【分析】如图,设 AB 的中点为 C,坐标原点为 O,圆半径为 r,由已知得|OC|=|CE|=r,过点 O 作直线 2x+y﹣4=0 的垂直线段 OF,交 AB 于 D,交直线 2x+y﹣4=0 于 F,则当 D 恰为 AB 中点时,圆 C 的半径最小,即面积最小. 【解答】解:如图,设 AB 的中点为 C,坐标原点为 O,圆半径为 r, 由已知得|OC|=|CE|=r, 过点 O 作直线 2x+y﹣4=0 的垂直线段 OF, 交 AB 于 D,交直线 2x+y﹣4=0 于 F, 则当 D 恰为 AB 中点时,圆 C 的半径最小,即面积最小 此时圆的直径为 O(0,0)到直线 2x+y﹣4=0 的距离为: d= = ,

此时 r= ∴圆 C 的面积的最小值为:Smin=π×( 故选:A. )2= .

【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系,考查圆的面积的最小值的求法,是中档题, 解题时要认真审题,注意数形结合思想的合理运用. 11.已知三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上,△ ABC 是边长为 1 的正三角形,SC ) 为球 O 的直径,且 SC=2,则此三棱锥的体积为( A. B. C. D.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】 根据题意作出图形, 利用截面圆的性质即可求出 OO1, 进而求出底面 ABC 上的高 SD, 即可计算出三棱锥的体积. 【解答】解:根据题意作出图形: 设球心为 O,过 ABC 三点的小圆的圆心为 O1,则 OO1⊥平面 ABC, 延长 CO1 交球于点 D,则 SD⊥平面 ABC. ∵CO1= ∴OO1= = = , , ,

∴高 SD=2OO1=

∵△ABC 是边长为 1 的正三角形, ∴S△ ABC= , = .

∴V 三棱锥 S﹣ABC= 故选:C.

【点评】 本题考查棱锥的体积, 考查球内接多面体, 解题的关键是确定点 S 到面 ABC 的距离. 12.已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, ) 中 O 为坐标原点) ,则△ ABO 与△ AFO 面积之和的最小值是( A.2 B.3 C. D. ? =2(其

【考点】直线与圆锥曲线的关系. 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】可先设直线方程和点的坐标,联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程,再 利用韦达定理及 ? =2 消元,最后将面积之和表示出来,探求最值问题. 【解答】解:设直线 AB 的方程为:x=ty+m,点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线 AB 与 x 轴 的交点为 M(m,0) , 由 ∵ 结合 ? ?y2﹣ty﹣m=0,根据韦达定理有 y1?y2=﹣m, =2,∴x1?x2+y1?y2=2, 及 ,得 ,

∵点 A,B 位于 x 轴的两侧,∴y1?y2=﹣2,故 m=2. 不妨令点 A 在 x 轴上方,则 y1>0,又 ∴S△ ABO+S△ AFO= = . , = ×2×(y1﹣y2)+ × y1,

当且仅当

,即

时,取“=”号,

∴△ABO 与△ AFO 面积之和的最小值是 3,故选 B. 【点评】求解本题时,应考虑以下几个要点: 1、联立直线与抛物线的方程,消 x 或 y 后建立一元二次方程,利用韦达定理与已知条件消元, 这是处理此类问题的常见模式. 2、求三角形面积时,为使面积的表达式简单,常根据图形的特征选择适当的底与高.

3、利用基本不等式时,应注意“一正,二定,三相等”. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若曲线 y=kx+lnx 在点(1,k)处的切线平行于 x 轴,则 k=﹣1. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】导数的概念及应用. 【分析】先求出函数的导数,再由题意知在 1 处的导数值为 0,列出方程求出 k 的值. 【解答】解:由题意得,y′=k+ , ∵在点(1,k)处的切线平行于 x 轴, ∴k+1=0,得 k=﹣1, 故答案为:﹣1. 【点评】本题考查了函数导数的几何意义应用,难度不大.

14.双曲线

的离心率为 ,则 m 等于 9.

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用双曲线的离心率计算公式 即可得出.

【解答】解:∵双曲线

可得 a2=16,b2=m,

又离心率为 ,则 解得 m=9. 故答案为 9. 【点评】熟练掌握双曲线的离心率计算公式



是解题的关键.

15.如图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆) ,则该几何体的表面积是 20+3π.

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离.

【分析】由几何体的三视图,知该几何体的上半部分是棱长为 2 的正方体,下半部分是半径 为 1,高为 2 的圆柱的一半,由此能求出该几何体的表面积. 【解答】解:由几何体的三视图,知该几何体的上半部分是棱长为 2 的正方体,下半部分是 半径为 1,高为 2 的圆柱的一半, ∴该几何体的表面积 S=5×22+π×12+ =20+3π.

故答案为:20+3π. 【点评】本题考查由几何体的三视图求几何体的表面积的求法,是基础题.解题时要认真审 题,仔细解答. 16.已知函数 y=f(x) (x∈R) ,对函数 y=g(x) (x∈R) ,定义 g(x)关于 f(x)的“对称函数” 为函数 y=h(x) (x∈R) ,y=h(x)满足:对任意 x∈R,两个点(x,h(x) ) , (x,g(x) )关 于点(x,f(x) )对称.若 h(x)是 g(x)= 关于 f(x)=3x+b 的“对称函数”,且 h

(x)>g(x)恒成立,则实数 b 的取值范围是(2 ,+∞) . 【考点】函数恒成立问题;奇偶函数图象的对称性. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据对称函数的定义,将不等式恒成立转化为直线和圆的位置关系,即可得到结论. 【解答】解:根据“对称函数”的定义可知, ,

即 h(x)=6x+2b﹣ 若 h(x)>g(x)恒成立, 则等价为 6x+2b﹣ 即 3x+b> 设 y1=3x+b,y2=



> 恒成立, ,



作出两个函数对应的图象如图, 当直线和上半圆相切时,圆心到直线的距离 d= 即|b|=2 , ∴b=2 或﹣2 , (舍去) , 即要使 h(x)>g(x)恒成立, 则 b>2 , 即实数 b 的取值范围是(2 ,+∞) , 2 + ∞ 故答案为: ( , ) ,

【点评】本题主要考查对称函数的定义的理解,以及不等式恒成立的证明,利用直线和圆的 位置关系是解决本题的关键. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.在△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 2cosBsinA﹣2sinA=sin(A﹣B) , 且 a=2,cosC= ,求 b 及△ ABC 的面积. 【考点】余弦定理;正弦定理. 【专题】解三角形. 【分析】 先通过正弦定理可求得 a 和 c 的关系式, 同时利用余弦定理求得 a 和 c 的另一关系式, 最后联立求得 b 和 c,利用三角形面积公式即可求得答案. 2cosBsinA﹣2sinA=sinAcosB﹣cosAsinB, ∵2cosBsinA﹣2sinA=sin 【解答】 解: (A﹣B) , 可得: ∴整理可得 sinC=2sinA,由正弦定理可得:c=2a,① 由余弦定理可知 cosC= = ,②

再由 a=2,①②联立求得 b=4,c=4, sinC= ∴S= absinC= = , = .

【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理和三角函数中恒等变换的应用.考查了学生基 本分析问题的能力和基本的运算能力. 18.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 2Sn=3n+3. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn},满足 anbn=log3an,求{bn}的前 n 项和 Tn. 【考点】数列的求和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 (Ⅰ)利用 2Sn=3n+3,可求得 a1=3;当 n>1 时,2Sn﹣1=3n﹣1+3,两式相减 2an=2Sn ﹣2Sn﹣1,可求得 an=3n﹣1,从而可得{an}的通项公式;

(Ⅱ)依题意,anbn=log3an,可得 b1= ,当 n>1 时,bn=31﹣n?log33n﹣1=(n﹣1)×31﹣n,于是 可求得 T1=b1= ;当 n>1 时,Tn=b1+b2+…+bn= +(1×3﹣1+2×3﹣2+…+(n﹣1)×31﹣n) ,利用 错位相减法可求得{bn}的前 n 项和 Tn. 【解答】解: (Ⅰ)因为 2Sn=3n+3,所以 2a1=31+3=6,故 a1=3, 当 n>1 时,2Sn﹣1=3n﹣1+3, 此时,2an=2Sn﹣2Sn﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1,即 an=3n﹣1, 所以 an= .

(Ⅱ)因为 anbn=log3an,所以 b1= , 当 n>1 时,bn=31﹣n?log33n﹣1=(n﹣1)×31﹣n, 所以 T1=b1= ; 当 n>1 时,Tn=b1+b2+…+bn= +(1×3﹣1+2×3﹣2+…+(n﹣1)×31﹣n) , 所以 3Tn=1+(1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+(n﹣1)×32﹣n) , 两式相减得:2Tn= +(30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣(n﹣1)×31﹣n)= +
n

﹣(n﹣1)×31﹣

=

﹣ ﹣

, ,经检验,n=1 时也适合, ﹣ .

所以 Tn=

综上可得 Tn=

【点评】本题考查数列的求和,着重考查数列递推关系的应用,突出考“查错位相减法”求和, 考查分析、运算能力,属于中档题. 19.某班 50 名学生在一次数学测试中,成绩全部介于 50 与 100 之间,将测试结果按如下方 式分成五组:第一组[50,60) ,第二组[60,70) ,…,第五组[90,100].如图所示是按上述分 组方法得到的频率分布直方图. (Ⅰ) 若成绩大于或等于 60 且小于 80, 认为合格, 求该班在这次数学测试中成绩合格的人数; (Ⅱ)从测试成绩在[50,60)∪[90,100]内的所有学生中随机抽取两名同学,设其测试成绩 分别为 m、n,求事件“|m﹣n|>10”概率.

【考点】频率分布直方图. 【专题】计算题. 【分析】 (1)先算出频率分布直方图成绩大于或等于 60 且小于 80 的频率,再利用频数等于 频率×样本总数即可解得全班学生中成绩合格的人数. (2) 欲求事件“|m﹣n|>10”概率, 根据古典概型, 算出基本事件的总个数 n 和算出事件事件“|m ﹣n|>10”中包含的基本事件的个数 m;最后 算出事件 A 的概率,即 P(A)= . 【解答】解: (I)由直方图知,成绩在[60,80)内的人数为:50×10×(0.18+0.040)=29. 所以该班在这次数学测试中成绩合格的有 29 人. (II)由直方图知,成绩在[50,60)内的人数为:50×10×0.004=2, 设成绩为 x、y 成绩在[90,100]的人数为 50×10×0.006=3,设成绩为 a、b、c, 若 m,n∈[50,60)时,只有 xy 一种情况, 若 m,n∈[90,100]时,有 ab,bc,ac 三种情况, 若 m,n 分别在[50,60)和[90,100]内时,有 a b x xa xb y ya yb 共有 6 种情况,所以基本事件总数为 10 种, 事件“|m﹣n|>10”所包含的基本事件个数有 6 种 ∴ . ,所以有: c xc yc

【点评】在频率分布直方图中,每一个小矩形都是等宽的,即等于组距,高是 ×组距=频率;即可把所求范围内的频率求出,进而求该范围的人数.

20.已知函数 f(x)=ax3+x2(a∈R)在 x=

处取得极值.

(Ⅰ)确定 a 的值; (Ⅱ)若 g(x)=f(x)ex,讨论 g(x)的单调性. 【考点】函数在某点取得极值的条件. 【专题】综合题;导数的综合应用.

【分析】 (Ⅰ)求导数,利用 f(x)=ax3+x2(a∈R)在 x= 即可确定 a 的值;

处取得极值,可得 f′(﹣ )=0,

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 g(x)=( x3+x2)ex,利用导数的正负可得 g(x)的单调性. 【解答】解: (Ⅰ)对 f(x)求导得 f′(x)=3ax2+2x. ∵f(x)=ax3+x2(a∈R)在 x= ∴f′(﹣ )=0, ∴3a? ∴a= ; (Ⅱ)由(Ⅰ)得 g(x)=( x3+x2)ex, ∴g′(x)=( x2+2x)ex+( x3+x2)ex= x(x+1) (x+4)ex, 令 g′(x)=0,解得 x=0,x=﹣1 或 x=﹣4, 当 x<﹣4 时,g′(x)<0,故 g(x)为减函数; 当﹣4<x<﹣1 时,g′(x)>0,故 g(x)为增函数; 当﹣1<x<0 时,g′(x)<0,故 g(x)为减函数; 当 x>0 时,g′(x)>0,故 g(x)为增函数; 综上知 g(x)在(﹣∞,﹣4)和(﹣1,0)内为减函数,在(﹣4,﹣1)和(0,+∞)内为 增函数. 【点评】本题考查导数的运用:求单调区间和极值,考查分类讨论的思想方法,以及函数和 方程的转化思想,属于中档题. 21.直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1=AB=AC=1,E,F 分别是 CC1、BC 的中点,AE⊥ A1B1,D 为棱 A1B1 上的点. (1)证明:DF⊥AE; (2)是否存在一点 D,使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 说明点 D 的位置,若不存在,说明理由. ?若存在, +2?(﹣ )=0, 处取得极值,

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的性质. 【专题】空间位置关系与距离;空间向量及应用.

【分析】 (1)先证明 AB⊥AC,然后以 A 为原点建立空间直角坐标系 A﹣xyz,则能写出各点 坐标,由 与 共线可得 D(λ,0,1) ,所以 ? =0,即 DF⊥AE;

(2)通过计算,面 DEF 的法向量为 可写成 =(3,1+2λ,2(1﹣λ) ) ,又面 ABC 的法向量 = (0,0,1) ,令|cos< , >|= ,解出 λ 的值即可.

【解答】 (1)证明:∵AE⊥A1B1,A1B1∥AB,∴AE⊥AB, 又∵AA1⊥AB,AA1⊥∩AE=A,∴AB⊥面 A1ACC1, 又∵AC?面 A1ACC1,∴AB⊥AC, 以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A﹣xyz, 则有 A(0,0,0) ,E(0,1, ) ,F( , ,0) ,A1(0,0,1) ,B1(1,0,1) , 设 D(x,y,z) , 则 D(λ,0,1) ,所以 ∵ =(0,1, ) ,∴ ? =( = 且 λ∈[0,1],即(x,y,z﹣1)=λ(1,0,0) , , ,﹣1) , =0,所以 DF⊥AE; .

(2)结论:存在一点 D,使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 理由如下: 设面 DEF 的法向量为 =(x,y,z) ,则 ,



=(

, , ) ,

=(

,﹣1) ,



,即



令 z=2(1﹣λ) ,则 =(3,1+2λ,2(1﹣λ) ) . 由题可知面 ABC 的法向量 =(0,0,1) , ∵平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 ,

∴|cos< , >|=

=

,即

=



解得



(舍) ,所以当 D 为 A1B1 中点时满足要求.

【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间向量及其应用,建立空间直角坐标系 是解决问题的关键,属中档题.

22.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)过点 A(﹣



) ,离心率为

,点 F1,F2 分别

为其左右焦点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若 y2=4x 上存在两个点 M,N,椭圆上有两个点 P,Q 满足,M,N,F2 三点共线,P, Q,F2 三点共线,且 PQ⊥MN.求四边形 PMQN 面积的最小值. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程及 a,b,c 的关系,解方程,即可得到椭 圆方程; (2)讨论直线 MN 的斜率不存在,求得弦长,求得四边形的面积;当直线 MN 斜率存在时, 设直线方程为:y=k(x﹣1) (k≠0)联立抛物线方程和椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式, 以及四边形的面积公式,计算即可得到最小值. 【解答】解: (1)由题意得: 因为椭圆过点 A(﹣ 则 + =1, , ) , ,a2﹣b2=c2,得 b=c,

解得 c=1,所以 a2=2, 所以椭圆 C 方程为 .

(2)当直线 MN 斜率不存在时,直线 PQ 的斜率为 0, 易得 , . 当直线 MN 斜率存在时,设直线方程为:y=k(x﹣1) (k≠0) 2 2 2 2 2 与 y =4x 联立得 k x ﹣(2k +4)x+k =0, 令 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则 |MN|= .即有 ,x1x2=1, ,

?

∵PQ⊥MN,∴直线 PQ 的方程为:y=﹣ (x﹣1) , 将直线与椭圆联立得, (k2+2)x2﹣4x+2﹣2k2=0, 令 P(x3,y3) ,Q(x4,y4) ,x3+x4= ,x3x4= ,

由弦长公式|PQ|=

?



代入计算可得



∴四边形 PMQN 的面积 S= |MN|?|PQ|= 令 1+k2=t, (t>1) , 上式 =





所以 .最小值为 . 【点评】本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率和方程的运用,同时考查直线 和椭圆联立,运用韦达定理和弦长公式,以及四边形的面积的最小值的求法,考查运算求解 能力,属于中档题.


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