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专题04 数列通项公式的求解策略-备战2015高考技巧大全之高中数学巧学巧解巧用(解析版)


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【高考地位】 在高考中数列部分的考查既是重点又是难点,不论是选择题或填空题中对基础知识的考查,还是压轴 题中与其他章节知识的综合,抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈。求通项公式 也是学习数列时的一个难点。由于求通项公式时渗透多种数学思想方法,因此求解过程中往往显得方法多、 灵活度大、技巧性强。 【方法点评】

方法一 数学归纳法 解题模板:第一步 求出数列的前几项,并猜想出数列的通项; 第二步 使用数学归纳法证明通项公式是成立的. 例1 若数列 ?an ? 的前 n 项和为 sn ,且方程 x2 ? an x ? an ? 0 有一个根为 sn -1,n=1,2,3...

(1) 求 a1 , a2 ; (2)猜想数列 ?S n ? 的通项公式,并用数学归纳法证明

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【变式演练 1】已 知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 ,a1 ? ,求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

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由此可知,当 n ? k ? 1 时等式也成立。 根据(1) , (2)可知,等式对任何 n ? N 都成立。
*

方法二 使用情景:已知 Sn ? f (an )或Sn ? f (n)

Sn 法

解题模板:第一步 利用 S n 满足条件 p ,写出当 n ? 2 时, S n ?1 的表达式; 第二步 利用 an ? Sn ? Sn ?1 (n ? 2) ,求出 an 或者转化为 an 的递推公式的形式; 第三步 根据 a1 ? S1 求出 a1 ,并代入 {an } 的通项公式进行验证,若成立,则合并;若不成立, 则写出分段形式或根据 a1 和 {an } 的递推公式求出 an . 例2 数列{ an }的前 n 项和为 S n , a1 =1, an ?1 ? 2Sn ( n ? N ),求{ an }的通项 公式。
?

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【答案】 an = ?

?1 ?2 ? 3
n?2

(n=1) (n ? 2)

所以 an = ?

?1 ?2 ? 3
n?2

(n=1) (n ? 2)



【变式演练 2】在数列 {an } 中, a1 ? 1 , a1 ? 2a 2 ? 3a3 ? ...... ? nan ? (1)求数列 {an } 的通项 an ; (2)若存在 n ? N ,使得 an ? (n ? 1)? 成立,求实数 ? 的最小值.
*

n ?1 a n ?1 (n ? N ? ) 2

? 1, n ? 1 1 ? 【答案】 (1) an ? ? 2 n ? 2 ;(2) 3 ?3 , n ? 2 ? ?n

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方法三 累加法 使用情景:型如 an ?1 ? an ? f (n) 或 an ?1 ? an ? f (n) 解题模板:第一步 将递推公式写成 an ?1 ? an ? f (n) ; 第二步 依次写出 an ? an?1 , ???, a2 ? a1 ,并将它们累加起来; 第三步 得到 an ? a1 的值,解出 an ; 第四步 检验 a1 是否满足所求通项公式,若成立,则合并;若不成立,则写出分段形式. 例3 在数列{ an }中, a1 =1, an ? an ?1 ? n ? 1 (n= 2、3、4……) ,求{ an }的通项公式。

n2 ? n ? 2 【答案】 an ? 2

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1 1 【变式演练 3】 已知数列{an}满足 a1= ,an+1=an+ 2 ,求 an. 2 n +n 【答案】 an ?

3 1 ? 2 n

方法四 累乘法 使用情景:型如

an ?1 ? f (n) 或 an ?1 ? an ? f (n) an an ?1 ? f ( n) ; an

解题模板:第一步 将递推公式写成

第二步 依次写出

an a , ???, 2 ,并将它们累加起来; an ?1 a1

第三步 得到

an 的值,解出 an ; a1

第四步 检验 a1 是否满足所求通项公式,若成立,则合并;若不成立,则写出分段形式. 例 4 已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 【答案】 a n ?

2 n , a n ?1 ? a n , 求a n 3 n ?1

2 3n

【变式演练 4】已知 a1 ? 1 , an ? n(an ?1 ? an ) (n ? N ) ,求数列 ?a n ? 通项公式.
*

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【答案】 an ? n

方法五 构造法一 使用情景:型如 an ?1 ? pan ? q (其中 p, q 为常数,且 pq( p ? 1) ? 0, ) 解题模板:第一步 假设将递推公式改写为 an+1+t=p(an+ t); 第二步 由待定系数法,解得 t ?

q ; p ?1

第三步 写出数列 {an ?

q } 的通项公式; p ?1

第 四步 写出数列 ?a n ? 通项公式. 例5 已知数列{ an }满足 a1 =1, an ?1 = 2an ? 1 ( n ? N ),求数列{ an }的通项公式。
n

?

【答案】 an = 2 ? 1

【变式演练 5】已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,求 an. 【答案】an=2n 1-3.


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方法六 构造法二 使用情景:型如 an ?1 ? pan ? qn ? r (其中 p, q 为常数,且 pq( p ? 1) ? 0, ) 解题模板:第一步 假设将递推公式改写为 an?1 ? x(n ? 1) ? y ? p(an ? xn ? y ) ; 第二步 由待定系数法,求出 x, y 的值; 第三步 写出数列 {an ? xn ? y} 的通项公式; 第四步 写出数列 ?a n ? 通项公式. 例6
[来源:学科网 ZXXK]

已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。

【答案】 an ? 2n?4 ? 3n2 ? 10n ? 18 【解析】设 an?1 ? x(n ? 1)2 ? y(n ? 1) ? z ? 2(an ? xn2 ? yn ? z ) ⑧

【变式演练 6】 设数列{an}满足 a1=4,an=3an-1+2n-1(n≥2),求 an.

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【答案】an=2· 3 -n-1.

n

方法七 构造法三 使用情景:型如 an?1 ? pan ? qn (其中 p, q 为常数,且 pq( p ? 1) ? 0, ) 解题模板: 第一步 在递推公式两边同除以 q
n ?1

,得

an ?1 p an 1 ? ? ? ; q n ?1 q q n q

第二步 利用方法五,求数列 {

an } 的通项公式; qn

第三步 写出数列 ?a n ? 通项公式. 例7 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3 ? 5n,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。
[来源:Zxxk.Com]

【答案】

例 8 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3 ? 2n , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。

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3 1 n 【答案】 an ? ( n ? )2 2 2

1?n+1 5 1 【变式演练 7】 已知数列{an}中,a1= ,an+1= an+? ?2? ,求 an. 6 3 2?n bn ?1?n ?1?n 【答案】bn=3-2? ?3? ,an=2n=3?2? -2?3? . 1?n+1 1 2 n+1 n+1 【解析】法一:在 an+1= an+? an+1= (2n· an)+1. ?2? 两边乘以 2 ,得 2 · 3 3 2 令 bn=2n· an,则 bn+1= bn+1, 3 2 根据待定系数法,得 bn+1-3= (bn-3). 3 5 4 所以数列{bn-3}是以 b1-3=2× -3=- 为首项, 6 3 2 以 为公比的等比数列. 3
[来源 :学 |科 |网 ]

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方法八

构造法四

使用情景:型如 an ?1 ? pan ? qan ?1 (其中 p, q 为常数,且 pq ? 0, n ? 2 ) 解题模板:第一步 假设将递推公式改写成 an ?1 ? san ? t (an ? san ?1 ) ; 第二步 利用待定系数法,求出 s, t 的值; 第三步 求数列 {an ?1 ? san } 的通项公式; 第四步 根据数列 {an ?1 ? san } 的通项公式,求出数列 ?a n ? 通项公式.

例 9 数列 ?a n ?中, a1 ? 1, a 2 ? 2,3a n ? 2 ? 2a n ?1 ? a n ,求数列 ?a n ?的通项公式。

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7 3 1 n ?1 【答案】 an ? ? ? (? ) 4 4 3

【变式演练 8】已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 4, an?2 ? 4an?1 ? 3an (n ? N * ). (1)求 a3 , a4 的值; (2)证明:数列 ?an ?1 ? an ? 是等比数列; ( 3)求数列 {an } 的通项公式; 【答案】见解析

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方法九 构造五 使用情景:型如 an ?1 ?

pan (其中 p, q, r 为常数) qan ? r
1 r 1 q ? ? ? ; an ?1 p an p

解题模板:第一步 将递推公式两边取倒数得

第二步 利用方法五,求出数列 {

1 } 的通项公式; an

第三步 求出数列 ?a n ? 通项公式. 例 10 已知数列 ?a n ?满足 a n ?

a n ?1 , a1 ? 1, 求数列 ?a n ?的通项公式。 3a n ?1 ? 1

[来源:学.科.网]

【答案】 an ?

1 3n ? 2

3 3an 【变式演练 9】已知数列{an}的首项 a1= ,an+1= ,n=1,2,3,…求{an}的通项公式. 5 2an+1 3n 【答案】an= n . 3 +2 3an 1 2 1 【解析】∵an+1= ,∴ = + , 2an+1 an+1 3 3an

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1 1 1 -1?. ∴ -1= ? 3?an ? an+1

方法十 构造六
r 使用情景:型如 an ? pan ?1 (n ? 2, p ? 0)

解题模板:第一步 对递推公式两边取对数转化为 bn ?1 ? pbn ? q ; 第二步 利用方法五,求出数列 {bn } 的通项公式; 第三步 求出数列 ?a n ? 通项公式. 例 11 若数列{ a n }中, a1 =3 且 a n ?1 ? a n (n 是正整数) ,求它的通项公式是 a n 。
2

1 2 【变式演练 10】已知数列{an}中,a1=1,an+1= · a (a>0),求数列{an}的通项公式. a n 【答案】 an ? a
1? 2n?1

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【高考再现】 2 1 1. 【2013 年全国高考新课标 I 理科】 若数列{an}的前 n 项和为 Sn= an+ , 则数列{an}的通项公式是 an=______. 3 3

2.【2014 高考重庆理 22】设 a1 (Ⅰ)若 b (Ⅱ)若 b

2 ? 1, an?1 ? an ? 2an ? 2 ? b(n ? N *)

? 1 ,求 a2 , a3 及数列 {an } 的通项公式;

? ?1 ,问:是否存在实数 c 使得 a2 n ? c ? a2 n?1 对所有 n ? N * 成立?证明你的结论.

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假设 n ? k 时结论成立,即 ak ?

k ? 1 ? 1 .则 ak ?1 ?

? ak ? 1?

2

?1 ?1 ?

? k ? 1? ? 1 ? 1 ? ? k ? 1? ? 1 ? 1 ,

这就是说,当 n ? k ? 1 时结论成立.∴ an ?

n ? 1 ? 1, ? n ? N * ?

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考点:1、数列通项公式的求法;2、等差数列;3、函数思想在解决数列问题中的应用 .4、数学归纳法. 3.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)理】 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n .已知 a1 ? 1 , (Ⅰ) 求 a2 的值; (Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? . an 4

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4.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 】设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,满
2 ? 足 4Sn ? an ?1 ? 4n ? 1, n ? N , 且 a2 , a5 , a14 构成等比数列.

(1) 证明: a2 ?

4a1 ? 5 ;

(2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1a2 a2 a3

?

1 1 ? . an an ?1 2

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(3)

1 1 ? ? a1a2 a2 a3

?

1 1 1 1 ? ? ? ? an an ?1 1 ? 3 3 ? 5 5 ? 7

?

? 2n ? 1?? 2n ? 1?

1

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ?? 1 ? 1 ? 1 ? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? 2. 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? ? 2 ? 2 n ? 1 ?
【反馈练习】 1.已知数列 ?a n ? 的首项 a1 ? 2 ,其前 n 项和为 S n .若 Sn ?1 ? 2Sn ? 1,则 an ? .

2 2 ? 2.设 {an } 是首项为 1 的正项数列,且 (n ? 1)an ?1 ? nan ? an ?1an ? 0(n ? N ) ,则 an ?

.

3

? 3. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 an ?1 ? S n ? n ? 3 , n ? N , a1 ? 2 .则 a n ?


.

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4.已知数列 ?a n ?中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , a n ? 2 ?

2 1 a n ?1 ? a n ,求 a n . 3 3

5.已知数列{an}满足:a1=1,(n-1)an=n×2nan-1(n∈N,n≥2),则数列{an}的通项公式为________.

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6.【成都七中高 2014 届高三 3 月高考模拟考试数学(理) 】(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

2 1 1 ? ( x ? 0) ,数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ? f ( ), n ? N *且n ? 2. 3 x an?1

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)对 n ? N ,设 Sn ?
*

1 1 ? ? ? ? a1a2 a2 a3 a3a4

?

3t 1 ,若 S n ? 恒成立,求实数 t 的取值范围. 4n an an ?1

g ( n) ? g ( n) ? g ( n) ?

4n 2 4n 2 (n ? N *) 的最小值.将 g (n) ? (n ? N *) 变形得 2n ? 3 2n ? 3

9 4n 2 (4n 2 ? 9) ? 9 9 ? ? 2n ? 3 ? ? 6(n ? N *) .利用函数 h( p ) ? p ? 的单调性便可得 p 2n ? 3 2n ? 3 2n ? 3
4n 2 (n ? N *) 最小值,进而得 t 的取值范围. 2n ? 3

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考点:1、等差数列;2、裂项求和;3、不等关系. 7.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 3n ,数列 {bn } 满足: b1 ? ?1, (1) 求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)求数列 {bn } 的通项公式 bn ; (3) bn?1 ? bn ? (2n ?1)(n ? N * ) 。 若 cn ?

an ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . n

【答案】 (1) an ? ? 【解析】

?1, n ? 1
n ?1 ?2 ? 3 , n ? 1

;(2) bn ? n2 ? 2n ;(3) Tn ?

(2n ? 5)3n ? 3 (n ? N * ) . 2

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试题分析:(1)已知前 n 项和公式 S n 求 an ,则 an ? ?

? S1 , n ? 1 .用此公式即 可得通项公式 an ; ? Sn ? S n ?1 , n ? 1

(2)根据递推公式的特征,可用学科网叠加法求 bn ; (3)由(1) (2)及题意得,

cn ?

?3, n ? 1 an ? bn ? ?? n ?1 n ?2(n ? 2) ? 3 , n ? 2

由等差数列与等比数列的积或商构成的新数列,求和时用错位相消法.本题中要注意,首项要单独考虑.

8.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 3S n ? 4an ? 4 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? log 2 a1 ? log 2 a2 ? 立的实数 k 的取值范围.

1 1 ? log 2 an , Tn ? ? ? c1 c2

n 2n 1 ? (2n ? 9)Tn 恒成 ? ,求使 k n ?1 cn

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考查相邻两项的差的符号. d n ?1 ? d n ?

2(n ? 1) ? 9 2n ? 9 11 ? 2n 由此可知,n ? 6 时, 数列 {d n } 单 ? ? n ?1 , 2n ?1 2n 2

调递减, 1 ? n ? 5 时,数列 {d n } 单调递增.所以 d 6 ?

3 3 最大,从而 k ? . 64 64

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9.设数列

的前 项和为
n?2

,已知



3S n ? a n ?1 ? ?? 2?
(Ⅰ) 求 的值;

? 6, n ? N ?

(Ⅱ)求数列

的通项 公式. .
n n

(Ⅲ)证明:对一切正整数 n,有 【答案】(Ⅰ) a2 ? 20 (Ⅱ) an ? 4 ? ? ?2 ? (Ⅲ)略

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考点:1、 an ? ?

?S1 n ? 1, n ? Z ? ,由递推公式构造等比数列求通项;2、放缩法证明不等式. S ? S n ?1 ? n

?

?

10.【江 苏省南通第一中学 2014—2015 学年度第一学期期中考试,理 24】若数列 ?an ? 的前 n 项和为 sn ,且 方程 x2 ? an x ? an ? 0 有一个根为 sn -1,n=1,2,3...
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

(2) 求 a1 , a2 ; (2)猜想数列 ?sn ? 的通项公式,并用数学归纳法证明

[来源:学。科。网]

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试题解析:解: (1) a1 ?

1 1 , a2 ? …………2 分 2 6

2 2 (2)由 (Sn ? 1) ? an (Sn ? 1) ? an ? 0 知 Sn ? 2Sn ? 1 ? an Sn ? 0

an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) 代入 Sn 2 ? 2Sn ? 1 ? an Sn ? 0 Sn Sn ?1 ? 2Sn ? 1 ? 0 (n ? 2) …… …( ? )
由(1) S1 ?

1 2 , S2 ? 2 3 3 由( ? ) S3 ? 4

猜想: S n ?

n ………5 分 n ?1

考点:数学归纳法


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