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安徽省蒙城一中2014-2015学年高二第二学期期末考试数学理试题


2015 年蒙城一中高二第二学期期末数学(理)试题
2015-6-24

参考公式:

b?

? ? x1 ? y ?? y1 ? y ?
i ?1

n

?? x ? x ?
i ?1 1

n

?

/>
?x y
i ?1 n

n

1 1 2 i

? nx y ? nx 2

2

?x
i ?1

n(ac ? bd) 2 ,? ? , (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

a ? y ? bx
P( K ? k ) 0.50
2

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.897

0.001 10.828

k

0.455

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 复数 z ? 1 ? i ,则 (A) ?1 ? i

z ? z ?1
(B) ?1 ? i (C) 1 ? i (D) 1 ? i

2. 四个学习小组分别对不同的变量组(每组为两个变量)进行该组两变量间的线性相关作实 验,并用回归分析的方法分别求得相关系数 r 与方差 m 如下表所示,其中哪个小组所研究 的对象(组内两变量)的线性相关性更强 (A)第一组 (C)第三组 3. 下列求导运算正确的是 (A) [(3 ? x2 )(1 ? x)]? ? 3x2 ? 2 x ? 6 (C) ( x x ? e x )? ? (B) (sin x ? cos x)? ? cos x ? sin x (B)第二组 (D)第四组

3 x ? ex 2

1? x 2 )? ? ? (D) ( 1? x (1 ? x) 2

4.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是 A.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.由 an=2n-1,求出 S1=12,S2=22,S3=32,…,推断:Sn =n2 B.由 f(x)=xcos x 满足 f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 都成立,推断:f(x)=xcos x 为奇函数 x2 y2 C.由圆 x2+y2=r2 的面积 S=πr2,推断:椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的面积 S=πab a b D.由(1+1)2>21,(2+1)2>22,(3+1)2>23,…,推断:对一切 n∈N+,(n+1)2>2n 5.平面内有 4 个红点和 6 个蓝点,其中只有一个红点和两个蓝点共线,其余任意三点不共线, 则过这 10 个点中的两点所确定的直线中,至少过一个红点的直线的条数是 A.27 B.28 C.29 D.30

6. 在某项测量中,测量结果 X 服从正态分布 N (1, ? 2 ) ,若 X 在区间 (0,1) 内取值的概率为

0 .4 ,则 X 在区间 (0, ??) 内取值的概率是
A. 0 . 6 B. 0.9 C. 0 . 4 D. 0 . 5 3 7. 函数 f(x)=x -3x-1,若对于区间上的任意 x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数 t 的最小 值是 A.20 C.3 B.18 D.0

8. f ?? x ? 是 f ( x) 的导函数, f ?? x ? 的图象如右图所示,则 f ( x) 的图象只可能是

A A.

B B.

C C. D.

D

9. 为了考察中学生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系, 在某校中学生中随机抽取了 50 名 学生,得到如下列联表: 喜欢 数学 男 女 合 计 13 7 20 不喜 欢数学 10 20 30 合 计 23 27 50

你认为性别与是否喜欢数学课程之间有关系的把握有 A.0 B. 95 % C. 99 % D. 100% 10.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负 可导函数,且满足 xf′(x)+f(x)≤0,对任意正数 a,b,若 a<b, .. 则必有 A.af(b)≤bf(a) C.af(a)≤f(b) B.bf(a)≤af(b) D.bf(b)≤f(a)

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位 置.
11.

? (e
0

1

x

? e ? x )dx =

12. 从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”,事件 B=“取到 的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)=
3 2 2 13.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a 在 x ? 1 处有极值 10,则 f ( 2) =

14.已知 (2x ? 3) 21 = ao ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? ? a21 x 21 , 则 (a0 ? a2 ? ? a 20 ) 2 ― (a1 ? a3 ? ? a 21 ) 2 的值为 15.非空集合 G 关于运算 ? 满足: (1)对任意 a, b ? G ,都有 a ? b ? G ; (2)存在 e ? G , 使得对一切 a ? G ,都有 a ? e ? e ? a ? a ,则称 G 关于运算 ? 为“融洽集”;现给出下列 集合和运算: ① G ? ?非负整数?, ?为整数的加法 ③ G ? ?平面向量?, ?为平面向量的加法 ⑤ G ? ?虚数? , ?为复数的乘法 其中 G 关于运算 ? 为“融洽集”____________。 (写出所有“融洽集”的序号) ② ④

G ? ?偶数?, ?为整数的乘法 G ? ?二次三项式?, ?为多项式的加法

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.解答写在答题卡的制定区域内.
16. (本题满分 12 分)有 6 名同学站成一排,求: (1)甲不站排头也不站排尾有多少种不同的排法: (2)甲不站排头,且乙不站排尾有多少种不同的排法: (3)甲、乙、丙不相邻有多少种不同的排法.

17. (本题满分 12 分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常 数: (1)sin213° +cos217° -sin 13° cos 17° ; (2)sin215° +cos215° -sin 15° cos 15° ; (3)sin218° +cos212° -sin 18° cos 12° ; (4)sin2(-18° )+cos248° -sin(-18° )cos 48° ; (5)sin2(-25° )+cos255° -sin(-25° )cos 55° . (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.

18. (本题满分 12 分)假设关于某设备使用年限 x(年)和所支出的维修费用 y(万元)有如 下统计资料:

x y

2 2.2

3 3.8

4 5.5

5 6.5

6 7.0

若由资料知,y 对 x 呈线性相关关系,试求: (1)回归直线方程; (2)估计使用年限为 10 年时,维修费用约是多少?

19. (本小题满分 13 分) 在 (1 ? 2 x) n 的展开式中,前三项的系数和为 201 (1) 求展开式中第几项的二项式系数最大? (2) 求展开式中第几项的系数最大?

20.(本题满分 13 分)一盒子中有 8 个大小完全相同的小球,其中 3 个红球,2 个白球,3 个 黑球. (Ⅰ)若不放回地从盒中连续取两次球,每次取一个,求在第一次取到红球 的条件下,第二次也取到红球的概率; (Ⅱ)若从盒中任取 3 个球,求取出的 3 个球中红球个数 X 的分布列和数学期望.

21. (本题满分 13 分)对于函数 f ? x ? ?

a 3 b 2 x ? x ? a2 x ? a ? 0? 3 2

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 在 x ? 2 处的切线方程为 y ? 7 x ? 20 ,求 a 、 b 的值。 (Ⅱ)设 x1 , x2 是函数 f ? x ? 的两个极值点,且 x1 ? x2 ? 2 ,证明: b ?

4 3 . 9

参考答案 1-5 BBDAC 6-10 BADBA 10.选 A ∵xf′(x)≤-f(x),f(x)≥0, xf′?x?-f?x? -2f?x? f?x? ∴? x ?′= ≤ 2 ≤0. x2 x ? ? f?x? f?a? f?b? 则函数 在(0,+∞)上是单调递减的,由于 0<a<b,则 ≥ . x a b 即 af(b)≤bf(a). 11. e ?

1 e

12.

1 4

13.

18

14.―1

15.①③

5 16. 解: (1) A1 4 A5 ? 480 种;???????????????????4 分 5 4 (2) A6 6 ? 2A5 ? A4 ? 504 种; 1 1 4 或 A5 5 (甲在尾)+ A 4 A 4 A 4 (甲不在尾)=120+384=504; 1 4 4 或 A6 6 ? 2A 4 A 4 ? A 4 ? 504 ; ????????????????8 分 3 (3) A3 3A4 ? 144 种.

????????????????12 分

17.解:(1)选择(2)式,计算如下: 1 1 3 sin215° +cos215° -sin 15° cos 15° =1- sin 30° = 1- = . 2 4 4 3 (2)三角恒等式为 sin2α+cos2(30° -α)-sin α· cos(30° -α)= . 4 证明如下: 法一:sin2α+cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α) =sin2α+(cos 30° cos α+sin 30° sin α)2-sin α(cos 30° · cos α+sin 30° sin α) 3 3 1 3 1 =sin2α+ cos2α+ sin αcos α+ sin2α- sin αcos α- sin2α 4 2 4 2 2 3 3 3 = sin2α+ cos2α= . 4 4 4 法二:sin2α+cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α) = 1-cos 2α 1+cos?60° -2α? + -sin α· (cos 30° cos α+sin 30° sin α) 2 2

1 1 1 1 3 1 = - cos 2α+ + (cos 60° cos 2α+sin 60° sin 2α)- sin αcos α- sin2α 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 1 = - cos 2α+ + cos 2α+ sin 2α- sin 2α- (1-cos 2α) 2 2 2 4 4 4 4 1 1 1 3 =1- cos 2α- + cos 2α= . 4 4 4 4

18. 解: (1)依题列表如下:

i
xi yi xi yi

1 2 2.2 4.4

2 3 3.8 11.4

3 4 5.5 22.0

4 5 6.5 32.5

5 6 7.0 42.0

x ? 4, y ?5

? xi2 ? 90, ? xi yi ? 112.3
i ?1 i ?1

5

5

b?

?x
i ?1 5 i ?1

5

2 i 2 i

? 5x y ? 5x
2

?x

?

112.3 ? 5 ? 4 ? 5 12.3 ? ? 1.23 . 90 ? 5 ? 42 10

a ? y ? bx ? 5 ? 1.23 ? 4 ? 0.08 . y ? 1.23x ? 0.08 . ∴回归直线方程为 ?

(2)当 x ? 10 时, ? y ? 1.23 ?10 ? 0.08 ? 12.38 万元.

1 2 19.解: (1)由 1 ? 2Cn =201,得 n ? 10 ????????????????(3 分) ? 4Cn

∴展开式中第 6 项的二项式系数最大.????????????????????(5 分)
r r ?1 ?C10 ? 2 r ? C10 ? 2 r ?1 (2) ? r r r ?1 r ?1 ?C10 ? 2 ? C10 ? 2

??(9 分) ∴r ? 7

解得

19 22 ?r? 3 3

????? (11 分)

∴展开式中第 8 项的系数最大.?????????????????????(13 分) 20. 解:(Ⅰ)设事件 A=“第一次取到红球” ,事件 B=“第二次取到红球” 由于是不放回地从盒中连续取两次球,每次取一个,所以第一次取球有 8 种方法,第二次 取球是 7 种方法,一共的基本事件数是 56, 由于第一次取到红球有 3 种方法,第二次取球是 7 种方法,? P( A) ?

3 ? 7 21 ? 2分 ? 56 56

又第一次取到红球有 3 种方法,由于采取不放回取球,所以第二次取到红球有 2 种方法,

6 P ( A ? B ) 56 6 2 6 ? P ( B | A) ? ? ? ? ? P( A ? B) ? 21 21 7 P ( A) 56 56

??5 分

(Ⅱ)从盒中任取 3 个球,取出的 3 个球中红球个数 X 的可能值为 0,1,2,3?? 6 分 且有 P( X ? 0) ?
3 C5 10 5 ? ? , 3 C8 56 28

P( X ? 1) ?

1 2 C3 C5 30 15 ? ? 3 C8 56 28

P( X ? 2) ?

1 C32C5 15 , ? 3 C8 56

P( X ? 3) ?

3 C3 1 ? 3 C8 56

?? 10 分

?X 的
分布列为 X 的数学期望为: ?? 11 分

E( X )? 0 ?

5 15 15 1 63 9 ??13 分 ? ? 1 ? ? 2 ? ?3 ? ? 28 28 56 56 56 8

21. 解: (Ⅰ) f ' ? x ? ? ax2 ? bx ? a2 。

?4a ? 2b ? a 2 ? 7 ? 依题意得 ? 8 ,解得 a ? 3, b ? 2. 2 ? a ? 2b ? 2a ? ?6 ?3
(Ⅱ)由 x1 , x2 是函数 f ? x ? ?

a 3 b 2 x ? x ? a 2 x ? a ? 0 ? 的两个极值点, 3 2
2 2

知 x1 , x2 是方程 f ' ? x ? ? ax ? bx ? a ? 0 的两个根。所以,

b ? ? x1 ? x2 ? ? a ? ? ? x1 x2 ? ?a
所以,2= x1 ? x2 = 即b ? a
2 2

又因为 a ? 0 ,所以, x1 , x2 异号,

? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ?
2

b2 ? 4a 。 a2

? 4 ? 4a ? ,其中 0 ? a ? 1 。
2

设 u ? a? ? a

? 4 ? 4a ? ,则 u ' ? a ? ? 8a ? 12a2 。
? ? 2? ? ?2 ? ? ?

所以, u ? a ? 在 ? 0, ? 上单调递增,在 ? ,1? 单调递减。 3 3 所以,当 0 ? a ? 1 时, u ? a ? ? u ?

? 2 ? 16 ?? ? 3 ? 27

即b ?
2

16 4 3 ,所以, b ? 。 27 9
3 2

? a ? a ? ? 2 ? 2a ? ? 16 方法二: b ? a ? 4 ? 4a ? ? 2 ? 。 ? ? 3 27 ? ?
2


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