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高二数学《圆的一般方程》教学设计


高二数学《圆的一般方程》教学设计

教材版本:人教版(必修)

学科:数学 年级:高二年级

册别:第二册(上)

课题:第七章第二节圆的方程第二课时教学设计 一、教材分析 圆的方程这节内容是学习圆锥曲线的基础,由于圆的方程应用及其广泛,所以对圆的一般方程 的要求层次是“掌握”,又由于圆的一般方程中含

有三个参变数 D、E、F,对它的理解带来一定的困 难。因而本节的难点是对圆的一般方程的认识,掌握和应用。突破难点的关键是抓住一般方程的特 点。 二、学情分析 圆的一般方程是学生在学习了圆的标准方程后, 又掌握了利用待定系数法求圆的标准方程的基 础上进行研究的。 但由于学生基础差、学习程度较浅,且对圆的标准方程运用还不够熟练,在学 习过程中难免会出现困难。另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强。 三、教法分析 为了充分调动学生学习的积极性,本节课采用“合作探究与启发式教学法” ,用环环相扣的问 题将探究活动层层深入,教师组织学生分析讨论、合作探究。 四、学法分析 通过展开圆的标准方程,归纳总结得出圆的一般方程,通过求圆的方程,加深对数形结合思想 和待定系数法的理解,通过应用圆的一般方程,熟悉用待定系数法求解的过程。 五、设计思想 本节课的设计思想是:以多媒体网络教学平台为依托,为学生营造一个探究学习的环境,让他 们参与到多媒体教学中来,探究新知,发现规律,解决问题。 六、教学策略 结合本节内容的特点,可以向学生渗透多种数学思想方法::配方法、待定系数法、数形结合 的思想、转化的思想、 分类讨论的思想、方程的思想,同时对学生的观察类比,创新等多种能力 的培养有利,通过求圆的一般方程使学生又进一步熟悉待定系数法的应用。 七、教学目标 (一)知识与技能 使学生掌握圆的一般方程的特点; 能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和 半径;能用待定系数法,由已知条件导出圆的方程。 (二)过程与方法

通过对方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件的探讨,让学生经历知识形成的过程,培养学 生探索发现及分析解决问题的实际能力,并使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法,熟练地用待 定系数法由已知条件导出圆的方程的方法。 (三)情感态度价值观 渗透数形结合、转化、分类讨论与方程等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生创新, 勇于探索。 八、教学重点、难点 1.重点:(1)能用配方法,由圆的一般方程求出圆心坐标和半径;(2)能用待定系数法,由已 知条件导出圆的方程。 (解决办法: (1)要求学生不要死记配方结果, 而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法; (2) 加强这方面题型训练。) 2.难点:圆的一般方程的探讨过程。 (解决办法:通过对方程配方分三种讨论得限制条件。) 九、教具:多媒体、黑板、圆规、三角板 十、 【教学过程与设计】(课堂实录) 教学内容 教师活动 学生活动 设计

意图 一、复习引入: 师:同学们!上节课我们研究了圆的 学生活动:回答问题,并 复习巩固 填写学案: 圆的标准 问题 1: 圆的标准方程的形式是怎样 标准方程,请同学们回忆 一下圆的标 方程,进 的?其中圆心的坐标和半径各是什 准方程,并填写学案, 一步明确 么? 其结构特 征,为新 知识作铺 教师:提出问题,并对学生的回答加 垫。 若圆心在坐标原点,半径为 r 的圆 以肯定。 的方程怎么表示?

学生带着

疑问,亲 教师活动:让学生先独立思考,自主 问题 2:若把标准方程 2 2 2 (x-a) +(y-b) =r 展开后,会得出怎 探究, 样的形式? 引导学生得出方程形式: x2+y2+Dx+Ey+F=0,提出课题

自动笔实

学生活动:动笔展开方程 践,发现 (x-a)2+(y-b)2=r2. 新问题, 题。

引 入 课

二、新课讲解 师:这就是我们今天要学习的内容: 圆的一般方程. 教师板书:圆的一般方程

使学生明

确本节课 容。

的学习内 课题:圆的一般方程

问题 3:是不是每个形如 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的方程表示的曲线 都是圆呢?

教师活动: 提出问题. 引导学生思考圆 学生活动:先独立思考, 自主探究后,再与前后同 的方程的要求,想到利用配方法将展 学合作交流。 开式化成圆的标准方程的形式,并引 导学生总结在什么情况下,它的轨迹 生生互动:在教师引导 下,合作交流,共同探讨 是圆、点或无轨迹。 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表 组织学生分析讨论,给学生充足 示的图形。 的时间讨论,并作适当的引导。 共同探讨后,达成共识: 【师生互动】:教师巡视指导,参与 先将方程配方,再与圆的 学生的讨论。 标准方程比较。

让学生经 历知识形 成的过 程,体会 数形结合 思想,加 深对知识 的理解。

1、探讨形成:将方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 左边配方

教师预设:先将方程配方,再与圆的 学生活动:在教师的引导 让学生积 标准方程比较。教师板书:
D E D ? E ? 4F (x ? )2 ? ( y ? )2 ? 2 2 4 ①
2 2

下 通过观察、分析后发 极主动地 现: 当 D2+E2-4F>0 时

参与到讨

论中来,

成为学习

(1)当 D +E -4F>0 时, 方程①表示 一个圆; 师:请同学们观察方程①,可以看出 什么? 教师提示学生:先把方程①与标准方 程比较,再分类讨论。 当 D2+E2-4F>0 时,方程①表示什么?

2

2

的主人, 方 程 ① 表 示 一 个 以

让学生经

历知识形

成的过 D E (? ,? ) 为 圆 心 , 程,体会 2 2 知识的来

龙去脉, 1 D 2 ? E 2 ? 4F 为 半 径 2 加深对知 识的理 的圆; 解。

教师继续引导:当 D +E -4F = 0 时, (2)当 D2+E2-4F = 0 时,方程①表 又表示什么? 学生回答:当 D2+E2-4F = 示一个点; 教师预设:当学生回答不明确时,教 0 时,方程①表示一个点 师作适当的提示:当 D2+E2-4F = 0 时, 方程①
D E 只有实数解 x ? ? , y ? ? 2 2
(? D E ,? ) 2 2

2

2

教师设问:方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 有 (3)当 D2+E2-4F<0 时,方程①不表 示任何图形。 教师活动:教师在学生基础上梳理思 路,板书:方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表 2.归纳总结: 示的图形分别是圆、点或不表示任何 图形。 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示的图形分 师:根据以上结论,请同学们给出圆 别是圆、点或不表示任何图形. 的一般方程的定义。 【教师活动】板书: 学生口答: 圆的一般方程的定义 3.提出概念:(圆的一般方程 的定义) 当 D2+E2-4F>0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 称为圆的一般方程。 当 D2+E2-4F>0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 称为圆 的一般方程.圆心坐标 没有实数解?.

使学生学

会归纳总 学生回答:没有,因而它 结 不表示任何图形

学生活动:归纳总结:方 程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示 的图形分别是圆、点或不 使学生明 确圆的一 表示任何图形。 定义。

般方程的

为: (?
D E 圆心坐标为: (? ,? ) ,半径为: 2 2
1 2 2 D ? E ? 4F 2

D E ,? ) ,半径为: 2 2

1 2 2 D ? E ? 4F 2

教师强调:不要死记结果,要熟记通 过配方求圆心和半径的方法。 教师活动:巡视学生完成情况,对学 生的回答作点评,给出正确答案,同 时强调:方程中隐含条件以及分类讨 论的情况。

加强巩固

会通过配

方法判断

学生活动:独立完成,并 方程所表 示的图形 回答问题。

和求圆的 4.巩固练习: 1、下列方程各表示什么图形?

半径及圆

心坐标。

(1) x 2 ? y 2 ? 0 (2) x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 6 ? 0 (3) x 2 ? y 2 ? 2ax ? b 2 ? 0
2、求下列各圆的圆心和半径

(1) x 2 ? y 2 ? 6 x ? 0 (2) x 2 ? y 2 ? 2by ? 0
(3) x 2 ? y 2 ? 2ax ? 2 3 y ? 3a 2 ? 0

教师设问:圆的一般方程有什么特 点?

教师活动:引导学生比较二元二次方 学生活动:归纳结论: 程的一般形式 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,与圆的一般 (1)x2 和 y2 的系数相同, 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0, (D2+E2-4F>0)。 不等于零,即 A=C≠0; 问题 4: 圆的一般方程有什么特点? 教师强调:1.条件(1)、(2)是二元二 (2)没有 xy 项,即 B=0; 次方程(2)表示圆的必要条件,但不是 充分条件; 2.只要确定了 D、E、F 即可写出圆的 一般方程。

让学生通 过归纳得 出圆的一 般方程的 形式特 点,体会 圆的标准 方程和圆 的一般方 程各自的 优点。

教师活动:巡视学生完成情况,并请 一位学生上黑板展示,教师点评学生 的回答。 教师预设:

进一步巩 固学生能 够利用圆 的标准方 程求解圆 的方程, 【学生活动】: 并加强圆 独立完成,认真作答,学 的标准方 生自愿到黑板上展示各 程与一般

解:(利用待定系数法) 设圆的方程为: 三、例题精讲 圆的方程,并化为一般方程。

自解法:

方程的转 化。

( x ? 8) 2 ? ( y ? 3) 2 ? r 2
∴ (5 ? 8) 2 ? (?1 ? 3) 2 ? r 2

通过利用 圆的方程 2 r ? 13 的两种形 式求解圆 例 1 求过点 A(5,-1),圆心在点 ∴ ( x ? 8) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 13 的方程, C(8,-3)的圆的一般方程,并化为一 进一步体 般方程 会各自的 教师活动:引导学生尝试利用圆的方 程的两种形式求解圆的方程,并引导 学生活动:在老师的引导 优点,并 学生小结例 1、例 2:一般说来,如果 下,认真完成,并体会如 掌握待定 由已知条件容易求圆心的坐标、半径 何根据题目条件,恰当选 系数法求 解圆的方 或需要用圆心的坐标、半径列方程的 择圆方程形式。 程的方 问题,往往设圆的标准方程;如果已 法。 知条件和圆心坐标或半径都无直接关 题型二 : 求利用圆的一般方程求圆 系,往往设圆的一般方程。 的方程: 教师预设: 例2 求过三点 O(0, 0)、 M1(1, 1)、 解:(利用待定系数法) M2(4,2)的圆的方程。 设圆的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0, 由题意得, F=0 D+E+F+2=0 4D+2E+F+20=0 解之得,D=-8,E=6 ∴圆的方程为:x2+y2-8x+6y=0,

题型一:利用圆的标准方程 求 ∵圆经过点 A(5,-1)

教师活动:让学生先独立思考,自主 完成,教师纠错,并给予适当的点评, 出示正确答案.

学生活动:独立完成.

让学生进 一步体会 如何根据 题目条 件,恰当 选择圆方 程形式, 并加强待 定系数法 求解圆的 方程的方 法.

四、反馈练习:求过三点 A(-1,5)、 B(-2,-2)、C(5,5)的圆的方程。

教师活动:引导学生回顾本节课所学 学生活动:回顾本节课的 通过学生 的小结, 知识要点,点评学生小结,并加以归 知识要点与方法,认真总 加深对新 问题 5: 通过这节课的学习你获 纳补充: 结,并认真听取老师的补 知识的记 得了哪些知识? 忆,通过 充。 1.本节课的主要知识点: 老师的补 充升华本 (1)圆的一般方程及其形式特点; 节课的课 题。 (2)圆的一般方程与圆的标准方程的 转化; (1)知识性小结: (3)用待定系数法求圆的方程。

简洁明了

(2)方法性小结:

2.本节课用的数学方法和数学思想:

概括本节

问题 6: 通过这节课的学习你掌 ⑴数学方法: 配方法、待定系数法。 握了哪些数学思想和方法? ⑵数学思想: ① 数形结合的思想; ② 转化的思想; ③ 分类讨论的思想; ④ 方程的思想。

课的重要

知识,学

生易于理

解记忆。

1、分层作业 ○ 1 巩固型作业:(必做题) P90 习题 7.6 5,6

○ 2 思维拓展型作业:(选作题)

针对学生实际,对课后书面作业实施 分两个层次留作业,第一 巩固所学 新知识, 分层设置。 层次要求所有学生都要 加深对新 完成,第二层次要求学有 知识的理 解。能在 余力的同学完成。 作业中发 现和弥补 教学中的 不足。

十一、板书设计 一、复习引入:把圆的标准方程(x-a)2+ (y-b)2=r2 展开: 二、新课讲解 课题:圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 左边配方:
D E D ? E ? 4F ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? 2 2 4
2 2

提出概念:圆的一般方程的定义 三、例题精讲 例 1、 例 2 四、反馈练习 五、课堂小结 (1)知识性小结 (2)方法性小结 六、课后作业

归纳总结:当 D2+E2-4F>0 时, 当 D2+E2-4F = 0 时, 当 D2+E2-4F<0 时,


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