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哈师大附中2014届高三第一次高考模拟考试理科数


参考答案 一、选择题 题号 答案 二、填空题 13. 2 3 三、解答题 17.解:(Ⅰ) sin B ? sin( A ? C ) ? 2sin 2C 14. 1 C 2 C 3 D 4 A 5 D 6 C 7 D 8 B 9 B 10 D 11 A 12 B

3 5

15. 4?

16. 5


? sin( A ? C ) ? sin( A ? C ) ? 4sin C cos C ? sin A ? 2sin C ……………………….2 分
? a ? 2c
……4 分 又因为 b ? ac ? 2c
2 2

…………………

所以 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 3 ? ……………………….6 分 2ac 4

(Ⅱ) b ? 3 ? a ? 6, c ?

3 ……………………….8 分 2
7 ……………………….10 分 4
S E D z

又因为 sin B ? 1 ? cos B ?
2

1 3 ac sin B ? 7 ……………………….12 分 2 8 18.(Ⅰ)证明:? 侧棱 SA ? 底面 ABCD , CD ? 底面 ABCD ? SA ? CD . ……………………….1 分 又? 底面 ABCD 是直角梯形, AD 垂直于 AB 和 DC ? AD ? CD ,又 AD ? SA ? A ? CD ? 侧面 SAD ,……………………….3 分 AE ? 侧面 SAD
所以 S? ABC ?

y C

? AE ? CD, AE ? SD, CD ? SD ? D
? AE ? 平面 SDC ……………………….5 分 (Ⅱ) 连结 AC ,? 底面 ABCD 是直角梯形, AD 垂直于 AB 和 DC , ? SA ? 2, AD ? DC ? 1. ? AC ? 2 , ?CAB ? ,设 AB ? t ,则 4

A

B x

S ?ABC ?


1 2 1 1 2 1 AC ? t ? t ,? 三棱锥 VS ? ABC ? ? ? t ,? t ? AB ? .……………………….7 6 3 2 2 4 2

如图建系, 则 A(0,0,0), S (0,0,2), D(0,1,0), B( ,0,0), C (1,1,0) ,由题意平面 SAD 的一个法向 量为 m ? (1,0,0) ,不妨设平面 SBC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) , SB ? ( ,0,?2)

1 2

1 2

?x ? 4z ? 0 ,不妨令 z ? 1 ,则 SC ? (1,1,?2) ,则 n ? SB ? 0, n ? SC ? 0 ,得 ? ?x ? y ? 2z ? 0

n ? (4,?2,1) ……………………….10 分
cos ? m, n? ? m?n | m || n | ? 4 21
,……………………….11 分

设面 SAD 与面 SBC 所成二面角为 ? ,则 sin ? ?

105 ……………………….12 分 21

19.解: (Ⅰ) 设 “在本年内随机抽取一天, 该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元” 为事件 A?? 1分 由 200 ? S ? 600 ,得 150 ? w ? 250 ,频数为 39,??3 分

P ( A) ?

39 ……………………….4 分 100
非重度污染 供暖季 非供暖季 合计 22 63 85 重度污染 8 7 15 合计 30 70 100 ……………………….8 分

(Ⅱ)根据以上数据得到如下列联表:

100 ? ? 63 ? 8 ? 22 ? 7 ? K 的观测值 k ? ? 4.575 ? 3.841 ……………………….10 分 85 ?15 ? 30 ? 70
2

2

所以有 95%的把握认为空气重度污染与供暖有关. ……………………….12 分 20.解:

? 2 c, ?a ? 2 ? a 2 ? 2, ? ? 2 2 2 (Ⅰ)依题意有 ? ,又因为 a ? b ? c ,所以得 ? 2 9 ? ?b ? 1. ?1 4 ? 2 ? 2 ?1 b ?a 2 x ? y 2 ? 1. 故椭圆 C 的方程为 2

??3 分

? x2 2 ? ? y ? 1, (Ⅱ)依题意,点 A, C 满足 ? 2 ?y ? k x ? m , ? 1 1 2 2 所以 xA , xC 是方程 (2k1 ? 1) x ? 4k1m1 x ? 2m12 ? 2 ? 0 的两个根.
? ? ? 8 ? (2k12 ? 1 ? m12 ) ? 0, ? 得? 4k1m1 ? x A ? xC ? ? 2k 2 ? 1 . ? 1

2k1m1 m , 21 ) . 2 2k1 ? 1 2k1 ? 1 2k2 m2 m2 同理,所以线段 BD 的中点为 (? , ) .……………………….5 分 2 2k 2 ? 1 2 k 2 2 ? 1
所以线段 AC 的中点为 (?

2k2 m2 ? 2k1m1 ? ? 2k 2 ? 1 ? ? 2k 2 ? 1 , ? 1 2 因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 ? m m 1 2 ? ? . 2 2 ? ? 2k1 ? 1 2k2 ? 1
解得, m1 ? m2 ? 0 或 k1 ? k2 (舍). 即平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于原点 O . ??7 分

?x 2 ? ? y ? 1, (Ⅲ)点 A, C 满足 ? 2 ? y ? k x, ? 1
2

所以 xA , xC 是方程 (2k12 ? 1) x2 ? 2 ? 0 的两个根,即 xA ? xC ?
2 2

2 2k12 ? 1

故 | OA |?| OC |? 1 ? k1 ?

2

2 2k1 ? 1
2 2

.

同理, | OB |?| OD |? 1 ? k2 ?

2 2k 2 ? 1
2

.

……………………….9 分

又因为 AC ? BD ,所以 | OB |?| OD |? 1 ? (

1 2 2 ,其中 k1 ? 0 . ) ? 1 2 k1 2( ) ? 1 k1

从而菱形 ABCD 的面积 S 为

S ? 2 | OA | ? | OB | ? 2 1 ? k1 ?

2

1 2 , ? 1 ? ( )2 ? 1 2 k1 2k ? 1 2( ) ? 1 k1

2

2 1

整理得 S ? 4

1 2? 1 (k1 ? 1 2 ) k1

,其中 k1 ? 0 .……………………….10 分

故,当 k1 ? 1 或 ? 1 时,菱形 ABCD 的面积最小,该最小值为

8 . 3

??12 分

21. 解: (Ⅰ)∵函数的定义域为 R, f ?( x ) ? ?

x ……………………….2 分 ex

∴ 当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 。 ∴f ( x ) 在 (??, 0) 上单调递增,在 (0, ? ?) 上单调递减。……………………….4 分 (Ⅱ) 假设存在 x1 , x2 ?[0, 1] , 使得 2? ( x1 ) ? ? ( x2 ) 成立, 则 2[? ( x)]min ? [? ( x)]max 。 ∵ ? ( x) ? xf ( x) ? tf ?( x) ? e
?x

?

x 2 ? (1 ? t ) x ? 1 ex

? ?( x) ? ∴

? x 2 ? (1 ? t ) x ? t ( x ? t )( x ? 1) ?? ………………………6 分 x e ex

① 当 t ? 1 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 [0, 1] 上单调递减,∴ 2? (1) ? ? (0) ,即

t ? 3?

e ? 1。 2
……………………….8 分

② 当 t ? 0 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 [0, 1] 上单调递增,∴ 2? (0) ? ? (1) ,即

t ? 3 ? 2e ? 0 。
……………………….10 分 ③ 当 0 ? t ? 1 时, 在 x ? ?0, t ? , ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 [0, t ] 上单调递减 在 x ? ?t ,1? , ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 [t , 1] 上单调递增 所以 2? (t ) ? max{? (0), ? (1)} ,即 2 由(Ⅰ)知, g (t ) ? 2

t ?1 3?t ? max{1, } —— (*) t e e

t ?1 在 [0,1] 上单调递减 et 4 t ?1 2 3?t 3 ? ,所以不等式 (*) 无解 故 ? 2 t ? 2 ,而 ? e e e e e e 综上所述,存在 t ? ( ??,3 ? 2e) ? (3 ? , ??) ,使得命题成立. ………………………12 2


22.证明:
(Ⅰ)连结 AB .因为△ PBC ∽△ PDB ,所以

A

BD PD ? . BC PB
D

AD PD ? 同理 . AC PA
又因为 PA ? PB ,所以

O Q B ?? 5分 C

P

BD AD BD BC ? ? ,即 . BC AC AD AC

(Ⅱ)因为 ?BAC ? ?PBC ? ?DAQ , ?ABC ? ?ADQ , 所以△ ABC ∽△ ADQ ,即

BC DQ . ? AC AQ



BD DQ . ? AD AQ

又因为 ?DAQ ? ?PBC ? ?BDQ , 所以△ ADQ ∽△ DBQ . ??10 分

1 ? x ? 3? t ? 2 ? , t为参数 ……………………….5 23. 解: (Ⅰ) 圆 C:( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 16 , 直线 l:? ?y ? 5? 3 t ? ? 2
分 (Ⅱ)将直线的参数方程代入圆的方程可得 t 2 ? (2 ? 3 3)t ? 3 ? 0 ,……………………….8 分 设 t1 , t2 是方程的两个根,则 t1t2 ? ?3 ,所以 | PA || PB |?| t1 || t2 |? | t1 t2 |? 3……………………….10 分 24.解:

1 ? x? ? x ? 3, 2 ? 1 ? (Ⅰ) f ( x) ? ? ?3 x ? 1, ?2 ? x ? , 2 ? x ? ?2 ? 3 ? x, ? ?
? 1 1 ? ? x ? ?2 ? x? ??2 ? x ? 所以原不等式转化为 ? ??3 分 2 或? 2 或? 3? x ? 3 ? ?x ? 3 ? 3 ? ??3x ? 1 ? 3 ?
所以原不等式的解集为 ? ??, ? ? ? ? 6, ?? ? ………………….6 分 3

? ?

4? ?

(Ⅱ)只要 f ( x)max ? t 2 ? 3t ,……………………….8 分 由(Ⅰ)知 f ( x)max ? ?1 ? t ? 3t 解得 t ?
2

3? 5 3? 5 或t ? ……………………….10 分 2 2


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