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辽宁省实验中学分校2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析


2015-2016 学年辽宁省实验中学分校高二(上)期中数学试卷(理 科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.设命题 p:?x∈R,x2+1>0,则¬p 为( ) A.?x0∈R,x02+1>0 B.?x0∈R,x02+1≤0 C.?x0∈R,x02+1<0 D.?x∈R,x2+1

≤0 2.椭圆 2x2+3y2=6 的焦距是( A.2 B.2( ﹣ ) ) C.2

D.2(

+

) )

3.在等比数列{an}中,若 a3a6=9,a2a4a5=27,则 a2 的值为( A.2 B.3 C.4 D.9

4.设 F1 和 F2 为双曲线



=1(a>0,b>0)的两个焦点,若 F1,F2,P(0,2b)是正 )

三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( A. B.2 C. D.3

5.在正项等比数列{an}中 A.3 或﹣1 B.9 或 1 C.1 D.9

成等差数列,则

等于(

)

6.已知双曲线

的左、右焦点分别是 F1、F2,其一条渐近线方程为 y=x, 在双曲线上、则 D.4 =( )



?

A.﹣12 B.﹣2 C.0

7.下列命题错误的个数( ) ①“在三角形 ABC 中,若 sinA>sinB,则 A>B”的逆命题是真命题; ②命题 p:x≠2 或 y≠3,命题 q:x+y≠5,则 p 是 q 的必要不充分条件; ③命题“若 a2+b2=0,则 a,b 都是 0”的否命题是“若 a2+b2≠0,则 a,b 都不是 0”. A.0 B.1 C.2 D.3

8.设 F1、F2 分别为双曲线

的左、右焦点.若在双曲线右支上

存在点 P,满足|PF2|=|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近 ) 线方程为( A.3x±4y=0 B.3x±5y=0 C.4x±3y=0 D.5x±4y=0

9.在数列{an}中,a1=3,an+1=an+ln(1+ ) ,则 an=( A.3+lnn B.3+(n﹣1)lnn C.3+nlnn

)

D.1+n+lnn

10.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 S17>0,S18<0,则 大的项为( A. B. ) C. D.

中最

11. = 已知 f (n) A.0 B.2014 C.﹣2014

+f , 且 an=f (n) (n+1) , 则 a1+a2+…+a2014 的值为( D.2014×2015

)

12.椭圆

+

=1(a>b>0)与直线 x+y=1 交于 P、Q 两点,且 OP⊥OQ,其中 O 为坐标原

点.椭圆的离心率 e 满足 A.[ ,1] B.[

≤e≤

,则椭圆长轴的取值范围是( , ] D.[ , ]

)

,2] C.[

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知命题 p:?x∈[0,3],a≥﹣x2+2x﹣ ,命题 q:?x∈R,x2+4x+a=0,若命题“p∧q”是真 命题,则实数 a 的范围为__________.

14.等差数列{an}, {bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,且

=

,则

=__________.

15.将数列{an}按如图所示的规律排成一个三角形表,并同时满足以下两个条件: ①各行的第一个数 a1,a2,a5 构成公差为 d 的等差数列;

②从第二行起,每行各数按从左到右的顺序构成公比为 q 的等比数列. 若 a1=1,a3=4,a5=3,则 d=__________;第 n 行的和 Tn=__________.

16.设 F1,F2 分别是椭圆

的左、右焦点,若在直线

上存在点 P,

使线段 PF1 的中垂线过点 F2,则椭圆的离心率的取值范围是__________.

三、解答题(共 6 小题,共 70 分;要求写出必要的文字说明,解题过程和演算步骤) 17.设命题 p:实数 x 满足(x﹣a) (x﹣3a)<0,其中 a>0;命题 q:实数 x 满足 x2﹣5x+6≤0, 若¬p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

18. (1)求与双曲线



=1 有相同焦点,且经过点(3

,2)的双曲线的标准方程.

(2)已知双曲线



=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x2+y2﹣6x+5=0 相切,且

双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,求该双曲线的方程.

19.定义:称 的“均倒数”为 .

为 n 个正数 p1,p2,…,pn 的“均倒数”,已知数列{an}的前 n 项

(1)求{an}的通项公式 (2)设 Cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Sn.

20.已知椭圆

的离心率

,过点 A(0,﹣b)和 B(a,0)的直

线与原点的距离为



(1)求椭圆的方程; (2)已知定点 E(﹣1,0) ,若直线 y=kx+2(k≠0)与椭圆交于 C、D 两点,问:是否存在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由.

21.已知数列{an}满足 a1= ,



=0,n∈N*.

(1)求证:数列{

}是等差数列;

(2)设 bn=

﹣1,数列{bn}的前 n 项之和为 Sn,求证:Sn< .

22.在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(﹣1,1)关于原点 O 对称,P 是动点,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于﹣ . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; N, (Ⅱ) 设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M, 问: 是否存在点 P 使得△ PAB 与△ PMN 的面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

2015-2016 学年辽宁省实验中学分校高二(上)期中数学 试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.设命题 p:?x∈R,x2+1>0,则¬p 为( ) 2 2 A.?x0∈R,x0 +1>0 B.?x0∈R,x0 +1≤0 C.?x0∈R,x02+1<0 D.?x∈R,x2+1≤0 【考点】命题的否定. 【专题】简易逻辑. 【分析】题设中的命题是一个特称命题,按命题否定的规则写出其否定即可找出正确选项 【解答】解∵命题 p:?x∈R,x2+1>0,是一个特称命题. ∴¬p:?x0∈R,x02+1≤0. 故选 B. 【点评】本题考查特称命题的否定,掌握其中的规律是正确作答的关键. 2.椭圆 2x2+3y2=6 的焦距是( A.2 B.2( ﹣ ) ) C.2

D.2(

+



【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】把椭圆的方程化为标准形式,求出 a、b、c 的值,可得焦距 2c 的值. 【解答】解:椭圆 2x2+3y2=6 可化为 ,

∴c=

=1,

∴椭圆 2x2+3y2=6 的焦距是 2c=2, 故选:A. 【点评】本题考查椭圆的标准方程以及椭圆的简单性质的应用,属于基础题. 3.在等比数列{an}中,若 a3a6=9,a2a4a5=27,则 a2 的值为( A.2 B.3 C.4 D.9 【考点】等比数列的通项公式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】设公比为 q,可得 =9, =27,两式相除可得答案. )

【解答】解:设等比数列{an}的公比为 q, 由题意可得 a3a6= a2a4a5= = = =27,② =9,①

可得 a2=3 故选 B 【点评】本题考查等比数列的通项公式,属基础题.

4.设 F1 和 F2 为双曲线



=1(a>0,b>0)的两个焦点,若 F1,F2,P(0,2b)是正 )

三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( A. B.2 C. D.3

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】 =tan60°= ?4b2=3c2?4(c2﹣a2)=3c2?c2=4a2? =4?e=2.

【解答】解:如图,∵ ∴ = ,

=tan60°,

∴4b2=3c2, ∴4(c2﹣a2)=3c2, ∴c2=4a2, ∴ =4,

∴e=2. 故选 B.

【点评】本题考查双曲线的性质和应用,解题时要认真审题,注意公式的灵活运用.

5.在正项等比数列{an}中 A.3 或﹣1 B.9 或 1 C.1 D.9

成等差数列,则

等于(

)

【考点】等比数列的通项公式. 【专题】等差数列与等比数列.

【分析】通过设数列{an}的公比为 q(q>0) ,利用 a3=3a1+2a2 计算可知 q=3,通过 = 计算即得结论.

【解答】解:设数列{an}的公比为 q(q>0) , 依题意,a3=3a1+2a2, ∴a1q2=3a1+2a1q, 整理得:q2﹣2q﹣3=0, 解得:q=3 或 q=﹣1(舍) , ∴ = =q2=9,

故选:D. 【点评】本题考查等比数列的通项公式,注意解题方法的积累,属于中档题.

6.已知双曲线

的左、右焦点分别是 F1、F2,其一条渐近线方程为 y=x, 在双曲线上、则 D.4 =( )



?

A.﹣12 B.﹣2 C.0

【考点】平面向量数量积的运算;双曲线的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】由双曲线的渐近线方程,不难给出 a,b 的关系,代入即可求出双曲线的标准方程, 进而可以求出 F1、F2,及 P 点坐标,求出向量坐标后代入向量内积公式即可求解. 【解答】解:由渐近线方程为 y=x 知双曲线是等轴双曲线, ∴双曲线方程是 x2﹣y2=2, 于是两焦点坐标分别是 F1(﹣2,0)和 F2(2,0) , 且 或 、 不妨令 , 则 ∴ ? = ,

故选 C 【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质和平面向量的数量积运算,处理的关键是熟 练掌握双曲线的性质(顶点、焦点、渐近线、实轴、虚轴等与 a,b,c 的关系) ,求出满足条 件的向量的坐标后,再转化为平面向量的数量积运算. 7.下列命题错误的个数( ) ①“在三角形 ABC 中,若 sinA>sinB,则 A>B”的逆命题是真命题; ②命题 p:x≠2 或 y≠3,命题 q:x+y≠5,则 p 是 q 的必要不充分条件; ③命题“若 a2+b2=0,则 a,b 都是 0”的否命题是“若 a2+b2≠0,则 a,b 都不是 0”. A.0 B.1 C.2 D.3

【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】对应思想;定义法;简易逻辑. 【分析】①根据大角对大边,正弦定理可得结论; ②根据原命题和逆否命题为等价命题,可相互转化; ③在否定中,且的否定应为或. 【解答】解:①“在三角形 ABC 中,若 sinA>sinB,则 A>B”的逆命题是 在三角形 ABC 中,若 A>B,则 a>b,由正弦定理得 sinA>sinB,故逆命题为真命题; ②命题 p:x≠2 或 y≠3,命题 q:x+y≠5,则非 p:x=2 且 y=3,非 q:x+y=5, 显然非 p?非 q, ∴q?p,则 p 是 q 的必要不充分条件,故正确; ③命题“若 a2+b2=0,则 a,b 都是 0”的否命题是“若 a2+b2≠0,则 a≠=或 b≠0”故错误. 故选 B. 【点评】考查了命题的等价关系和或命题的否定,正弦定理的应用.属于基础题型,应熟练 掌握.

8.设 F1、F2 分别为双曲线

的左、右焦点.若在双曲线右支上

存在点 P,满足|PF2|=|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近 ) 线方程为( A.3x±4y=0 B.3x±5y=0 C.4x±3y=0 D.5x±4y=0 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系,得出 a 与 b 之间的等量关系, 可知答案选 C, 【解答】解:依题意|PF2|=|F1F2|,可知三角形 PF2F1 是一个等腰三角形,F2 在直线 PF1 的投影 是其中点,由勾股定理知 可知|PF1|=2 =4b

根据双曲定义可知 4b﹣2c=2a,整理得 c=2b﹣a,代入 c2=a2+b2 整理得 3b2﹣4ab=0,求得 = ∴双曲线渐近线方程为 y=± x,即 4x±3y=0 故选 C 【点评】本题主要考查三角与双曲线的相关知识点,突出了对计算能力和综合运用知识能力 的考查,属中档题

9.在数列{an}中,a1=3,an+1=an+ln(1+ ) ,则 an=( A.3+lnn B.3+(n﹣1)lnn C.3+nlnn 【考点】数列递推式. 【专题】等差数列与等比数列.

)

D.1+n+lnn

【分析】把递推式整理,先整理对数的真数,通分变成 出正确选项. 【解答】解:∵a1=3,an+1=an+ln(1+ )=an+ln ∴a2=a1+ln2,a3=a2+ln , a4=a3+ln , …, an=an﹣1+ln , =3+lnn, ,

,用迭代法整理出结果,约分后选

累加可得:an=3+ln2+ln +ln +…+ln

故选:A 【点评】 数列的通项 an 或前 n 项和 Sn 中的 n 通常是对任意 n∈N 成立, 因此可将其中的 n 换成 n+1 或 n﹣1 等,这种办法通常称迭代或递推.了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公 式的异同;会根据数列的递推公式写出数列的前几项.

10.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 S17>0,S18<0,则 大的项为( A. B. ) C. D.

中最

【考点】等差数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】由题意可得 a9>0,a10<0,由此可知 >0, >0,…, <0, <0,…,

<0,即可得出答案. 【解答】解:∵等差数列{an}中,S17>0,且 S18<0 即 S17=17a9>0,S18=9(a10+a9)<0 ∴a10+a9<0,a9>0,∴a10<0, ∴等差数列{an}为递减数列, 故可知 a1,a2,…,a9 为正,a10,a11…为负; ∴S1,S2,…,S17 为正,S18,S19,…为负, ∴ >0, >0,…, <0, <0,…, <0,

又∵S1<S2<…<S9,a1>a2>…>a9, ∴ 中最大的项为

故选 D 【点评】本题考查学生灵活运用等差数列的前 n 项和的公式化简求值,掌握等差数列的性质, 属中档题.

11. = 已知 f (n) A.0 B.2014 C.﹣2014

+f , 且 an=f (n) (n+1) , 则 a1+a2+…+a2014 的值为( D.2014×2015

)

【考点】数列的求和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】由已知条件推出 n 为奇数时,an+an+1=2,即 a1+a2=2,a3+a4=2,…,a2013+a2014=2, 由此能求出 a1+a2+…+a2014. 【解答】解:∵f(n)= ,且 an=f(n)+f(n+1) ,

n 为奇数时,an=f(n)+f(n+1)=n2﹣(n+1)2=﹣2n﹣1, an+1=f(n+1)+f(n+2)=﹣(n+1)2+(n+2)2=2n+3, ∴an+an+1=2, ∴a1+a2=2,a3+a4=2,…,a2013+a2014=2, ∴a1+a2+…+a2014 =(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2013+a2014) =1007×2=2014. 故选:B. 【点评】本题考查数列中前 2014 项的和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意 n 的奇 偶性的合理运用.

12.椭圆

+

=1(a>b>0)与直线 x+y=1 交于 P、Q 两点,且 OP⊥OQ,其中 O 为坐标原

点.椭圆的离心率 e 满足 A.[ ,1] B.[

≤e≤

,则椭圆长轴的取值范围是( , ] D.[ , ]

)

,2] C.[

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】方程思想;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,直线方程与椭圆方程联立化为: (a2+b2)x2﹣2a2x+a2 =0,把根与系数的关系可得:a2+b2=2a2b2.由椭 ﹣a2b2=0,△ >0.由 OP⊥OQ,可得 圆的离心率 e 满足 ≤e≤ ,化为 ,即可得出.

【解答】解:设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , 联立 ,化为: (a2+b2)x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0,

△ =4a4﹣4(a2+b2) (a2﹣a2b2)>0,化为:a2+b2>1. x1+x2= ,x1x2= .

∵OP⊥OQ, =x1x2+y1y2=x1x2+(x1﹣1) ∴ (x2﹣1)=2x1x2﹣(x1+x2)+1=0, ∴2× ﹣ +1=0.

化为 a2+b2=2a2b2. ∴b2= .

∵椭圆的离心率 e 满足 ∴ ,

≤e≤







∴ ≤1﹣

≤ ,

化为 5≤4a2≤6. 解得: ≤2a≤ .满足△ >0. ∴椭圆长轴的取值范围是[ , ]. 故选:D. 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系、一元二次方程的 根与系数的关系、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知命题 p:?x∈[0,3],a≥﹣x2+2x﹣ ,命题 q:?x∈R,x2+4x+a=0,若命题“p∧q”是真 命题,则实数 a 的范围为[ ,4]. 【考点】复合命题的真假. 【专题】函数思想;综合法;简易逻辑. 【分析】结合二次函数的性质分别求出关于命题 p,q 的 a 的范围,从而求出 a 的范围. 【解答】解:设 f(x)=﹣x2+2x﹣ , (0≤x≤3) , 则 f(x)=﹣(x﹣1)2+ , 又 0≤x≤3,∴当 x=1 时,f(x)max=f(1)= ,

由已知得:命题 P:a≥ , 由命题 q:△ =16﹣4a≥0,即 a≤4, 又命题“p∧q”是真命题, ∴a≥ 且 a≤4 成立,即 ≤a≤4, 故答案为:[ ,4]. 【点评】本题考查了复合命题的判断,考查二次函数的性质,是一道基础题.

14.等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,且

=

,则

=



【考点】等差数列的性质. 【专题】计算题;转化思想;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】由题意和等差数列前 n 项和的特点,设出两数列的前 n 项和分别为 Sn=kn(3n﹣1) , Tn=kn(2n+3) (k≠0) ,由关系式:n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1 求出它们的通项公式,再求出 值即可. 【解答】解:∵{an},{bn}为等差数列,且其前 n 项和满足 = , 的

∴设 Sn=kn(3n﹣1) ,Tn=kn(2n+3) (k≠0) ,则 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=6kn﹣4k,当 n=1 时也满足,则 an=6kn﹣4k; 当 n≥2 时,bn=Tn﹣Tn﹣1=4kn+k,当 n=1 时也满足,则 bn=4kn+k, ∴ = .

故答案为:



【点评】本题考查等差数列的通项公式、前 n 项和公式的应用,求出等差数列{an},{bn}的通 项是解题的关键,是中档题. 15.将数列{an}按如图所示的规律排成一个三角形表,并同时满足以下两个条件: ①各行的第一个数 a1,a2,a5 构成公差为 d 的等差数列; ②从第二行起,每行各数按从左到右的顺序构成公比为 q 的等比数列. 若 a1=1,a3=4,a5=3,则 d=1;第 n 行的和 Tn=n?22n﹣1﹣n.

【考点】归纳推理. 【专题】综合题;推理和证明. 【分析】依题意,可求得 d=1,又 a3=a2q=(a1+d)q,可求得 q=2;记第 n 行第 1 个数为 A, 易求 A=n;据此数表的排列规律可知:每行的总个数构成一个以 1 为首项,2 为公差的等差数 列,而第 n 行共有(2n﹣1)个数,第 n 行各数为以 n 为首项,q=2 为公比的等比数列,于是 可求得第 n 行各数的和 Tn. 【解答】解:依题意得 a5=a1+2d,∴3=1+2d, ∴d=1. 又∵a3=a2q=(a1+d)q,q=2, ∴d,q 的值分别为 1,2; 记第 n 行第 1 个数为 A,则 A=a1+(n﹣1)d=n, 又根据此数表的排列规律可知:每行的总个数构成一个以 1 为首项,2 为公差的等差数列, ∴第 n 行共有(2n﹣1)个数, ∴第 n 行各数为以 n 为首项,q=2 为公比的等比数列, 因此其总数的和 Tn= =n?22n﹣1﹣n.

故答案为:1,n?22n﹣1﹣n; 【点评】本题考查数列的求和,突出考查归纳推理,考查方程思想与运算推理能力,判断出 每行的总个数构成一个以 1 为首项,2 为公差的等差数列是关键.

16.设 F1,F2 分别是椭圆

的左、右焦点,若在直线

上存在点 P,

使线段 PF1 的中垂线过点 F2,则椭圆的离心率的取值范围是[

,1) .

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设准线与 x 轴的交点为 Q,连结 PF2,根据平面几何的知识可得|PF2|=|F1F2|=2c 且 |PF2|≥|QF2|,由此建立关于 a、c 的不等关系,化简整理得到关于离心率 e 的一元二次不等式, 解之即可得到椭圆离心率 e 的取值范围. 【解答】解:设准线与 x 轴的交点为 Q,连结 PF2, ∵PF1 的中垂线过点 F2, ∴|F1F2|=|PF2|,可得|PF2|=2c, ∵|QF2|= ∴2c≥ ﹣c,且|PF2|≥|QF2|, ﹣c,两边都除以 a 得 2? ≥ ﹣ , , ≤e<1.

即 2e≥ ﹣e,整理得 3e2≥1,解得 e 结合椭圆的离心率 e∈(0,1) ,得 故答案为:[ ,1) .

【点评】本题给出椭圆满足的条件,求椭圆离心率的范围.着重考查了椭圆的标准方程与简 单几何性质、线段的垂直平分线性质和不等式的解法等知识,属于中档题. 三、解答题(共 6 小题,共 70 分;要求写出必要的文字说明,解题过程和演算步骤) 17.设命题 p:实数 x 满足(x﹣a) (x﹣3a)<0,其中 a>0;命题 q:实数 x 满足 x2﹣5x+6≤0, 若¬p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】对应思想;综合法;简易逻辑. 【分析】分别解出关于 p,q 的 x 的范围,根据?p 是 q 的必要不充分条件,得到关于 a 的不等 式,解出即可. 【解答】解:命题 P:A=(a,3a) ,命题 q:B=[2,3], ∵?p 是 q 的必要不充分条件, ∴q 是¬p 的充分不必要条件, ∴a≥3 或 0<a≤ . 【点评】本题考查了充分必要条件,考查集合的包含关系,是一道基础题.

18. (1)求与双曲线



=1 有相同焦点,且经过点(3

,2)的双曲线的标准方程.

(2)已知双曲线



=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x2+y2﹣6x+5=0 相切,且

双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,求该双曲线的方程. 【考点】双曲线的简单性质;双曲线的标准方程. 【专题】计算题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)设所求双曲线方程为: 求出双曲线方程. (2)双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为 ,圆心 C(3,0) ,半径 ﹣ =1, (﹣4<λ<16) ,利用待定系数法能

r=2,由此利用点到直线距离公式能求出双曲线方程. 【解答】解: (1)∵双曲线与双曲线 ﹣ =1 有相同焦点,

∴设所求双曲线方程为:



=1, (﹣4<λ<16) ,

∵双曲线过点(

,2) ,∴

+

=1,

∴λ=4 或 λ=﹣14. (舍) ∴所求双曲线方程为 .

(2)双曲线



=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为



即一条渐近线方程为 bx﹣ay=0, ∵圆 C:x2+y2﹣6x+5=0 可转化为(x﹣3)2+y2=4, ∴圆心 C(3,0) ,半径 r=2,∴c2=9, =2,解得 a2=5,b2=4,



∴双曲线方程为



【点评】本题考查双曲线方程的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意待定系数法和点 到直线距离公式的合理运用.

19.定义:称 的“均倒数”为 .

为 n 个正数 p1,p2,…,pn 的“均倒数”,已知数列{an}的前 n 项

(1)求{an}的通项公式 (2)设 Cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Sn.

【考点】数列的求和;数列递推式. 【专题】计算题;新定义;转化思想;综合法;等差数列与等比数列;点列、递归数列与数 学归纳法. 【分析】 (1)数列{an}的前项和为 Sn=n(n+2) ,由此能求出{an}的通项公式. (2)由 Cn= = ,利用错位相减法能求出数列{cn}的前 n 项和 Sn. ,

【解答】解: (1)∵数列{an}的前 n 项的“均倒数”为

∴根据题意得数列{an}的前项和为:Sn=n(n+2) , 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=n(n+2)﹣(n﹣1) (n﹣2)=2n+1, n=1 时,a1=S1=3 适合上式, ∴an=2n+1. (2)由(1)得 Cn= = ,



,①

3Sn= ②﹣①,得:2Sn=3+

,②

=3+

= ∴Sn=2﹣

, .

【点评】本题考查数列的通项公式和前 n 项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意 错位相减法的合理运用.

20.已知椭圆

的离心率

,过点 A(0,﹣b)和 B(a,0)的直

线与原点的距离为



(1)求椭圆的方程; (2)已知定点 E(﹣1,0) ,若直线 y=kx+2(k≠0)与椭圆交于 C、D 两点,问:是否存在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由. 【考点】圆与圆锥曲线的综合;椭圆的标准方程.

【专题】综合题.

【分析】 (1)直线 AB 方程为 bx﹣ay﹣ab=0,依题意可得:

,由此能求出椭

圆的方程. (2)假设存在这样的值. ,得(1+3k2)x2+12kx+9=0,再由根的判别式和

根与系数的关系进行求解. 【解答】解: (1)直线 AB 方程为 bx﹣ay﹣ab=0,

依题意可得:



解得:a2=3,b=1, ∴椭圆的方程为 (2)假设存在这样的值. , 得(1+3k2)x2+12kx+9=0, ∴△=(12k)2﹣36(1+3k2)>0…①, 设 C(x1,y1) ,D(x2,y2) , .



而 y1?y2=(kx1+2) (kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4, 要使以 CD 为直径的圆过点 E(﹣1,0) , 当且仅当 CE⊥DE 时, 则 y1y2+(x1+1) (x2+1)=0, 2 ∴(k +1)x1x2+(2k+1) (x1+x2)+5=0…③ 将②代入③整理得 k= , 经验证 k= 使得①成立综上可知,存在 k= 使得以 CD 为直径的圆过点 E. 【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合 理地进行等价转化.

21.已知数列{an}满足 a1= ,



=0,n∈N*.

(1)求证:数列{

}是等差数列;

(2)设 bn=

﹣1,数列{bn}的前 n 项之和为 Sn,求证:Sn< .

【考点】数列与不等式的综合. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 (1)把已知的数列递推式变形,得到 可得到答案; (2)由(1)中的等差数列求出数列{an}的通项公式,代入 bn= 项相消法求数列{bn}的前 n 项和后得答案. 【解答】证明: (1)由 ﹣ =0,得 = , ﹣1 并整理,然后利用裂 ,然后代入 即



,即

,∴





=



∴数列{

}是以﹣1 为公差的等差数列;

(2)由数列{

}是以﹣1 为公差的等差数列,且





,则



bn=

﹣1=



Sn=b1+b2+…+bn=

=

=



【点评】本题考查了数列递推式,考查了等差关系的确定,训练了裂项相消法求数列的和, 是中档题. 22.在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(﹣1,1)关于原点 O 对称,P 是动点,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于﹣ . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; N, (Ⅱ) 设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M, 问: 是否存在点 P 使得△ PAB 与△ PMN 的面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由. 【考点】轨迹方程;三角形中的几何计算;点到直线的距离公式. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】 (Ⅰ)设点 P 的坐标为(x,y) ,先分别求出直线 AP 与 BP 的斜率,再利用直线 AP 与 BP 的斜率之间的关系即可得到关系式,化简后即为动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)对于存在性问题可先假设存在,由面积公式得: .根据角相等消去三角函数得比例式,最 后得到关于点 P 的纵坐标的方程,解之即得. 【解答】解: (Ⅰ)因为点 B 与 A(﹣1,1)关于原点 O 对称,所以点 B 得坐标为(1,﹣1) . 设点 P 的坐标为(x,y)

化简得 x2+3y2=4(x≠±1) . 2 故动点 P 轨迹方程为 x +3y2=4(x≠±1) (Ⅱ)解:若存在点 P 使得△ PAB 与△ PMN 的面积相等,设点 P 的坐标为(x0,y0) 则 因为 sin∠APB=sin∠MPN, 所以 .

所以

=

即(3﹣x0)2=|x02﹣1|,解得 因为 x02+3y02=4,所以 故存在点 P 使得△ PAB 与△ PMN 的面积相等,此时点 P 的坐标为 【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识,属于中档题. .


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