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河南省信阳市2015-2016学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2015-2016 学年河南省信阳市高一(上)期中数学试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知集合 A={0,1,2},集合 B={x|x=2m,m∈N},则 A∩B=( A.{0} B.{0,2} C.{0,4} D.{0,2,4}

)

2.函数 A. (﹣5,+∞) B.[﹣5,+∞) 3.函数 y=﹣xcosx 的部分图象是(

的定义域为( C. (﹣5,0) )

) D. (﹣2,0)

A.

B.

C.

D.

4.如 f(x)=

则 f(﹣3)=(

)

A.2

B.

C.8

D.

5.设 a=20.3,b=0.32,c=log23,则 a,b,c 的大小关系是( A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.c<a<b 6.下列四组函数,表示同一函数的是( A.f(x)= C.f(x)= ,g(x)=x ,g(x)= )

)

B.f(x)=x,g(x)= ? D.f(x)=x,g(x)=

7.如果幂函数 A.﹣1≤m≤2 B.m=1 或 m=2

的图象不过原点,则 m 取值是( C.m=2 D.m=1

)

8.已知函数 y=x2﹣6x+8 在[1,a]为减函数,则 a 的取值范围是( A.a≤3 B.1<a≤3 C.a≥3 D.0≤a≤3 9.设 f(x)是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是( ) A.f(x)f(﹣x)是奇函数 B.f(x)|f(﹣x)|是奇函数 C.f(x)﹣f(﹣x)是偶函数 D.f(x)+f(﹣x)是偶函数 10.已知 x0 是函数 f(x)=2x+

)

的一个零点.若 x1∈(1,x0) ,x2∈(x0,+∞) ,则( C.f(x1)>0,f(x2)<0

)

A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 D.f(x1)>0,f(x2)>0

11.设 f(x)是 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上递增,若 f( )=0,f(log x 的取值范围是( )

x)<0,那么

A. <x<2 B.x>2 C. <x<1 D.x>2 或 <x<1

12.在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,如果函数 f(x)的图象 恰好通过 n(n∈N+)个整点,则称函数 f(x)为 n 阶整点函数,有下列函数: ①y=x3;②y=( )x;③y= A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ;④y=ln|x|,其中是二阶整点的函数的个数为( )

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.函数 f(x)=log2(x2﹣3x+2)的单调递减区间是__________. 14. =logax 在区间[a, 2a]上的最大值与最小值之差为 , 设 a>1, 函数 f (x) 则 a=__________. 15.f(x)为 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2x+2x+b(b 为常数) (b 为常数) ,则 f(﹣1) =__________. 16.给出下列命题: ①已知集合 M 满足??M?{1,2,3},且 M 中至少有一个奇数,这样的集合 M 有 6 个; ②已知函数 f(x)= 的定义域是 R,则实数 a 的取值范围是(﹣12,0) ;

③函数 f(x)=loga(x﹣3)+1(a>0 且 a≠1)图象恒过定点(4,2) ; 2 ④已知函数 f(x)=x +bx+c 对任意实数 t 都有 f(3+t)=f(3﹣t) ,则 f(1)>f(4)>f(3) . 其中正确的命题序号是__________(写出所有正确命题的序号)

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.已知集合 A={x|1≤x≤7},B={x|﹣2m+1<x<m},全集为实数集 R. (1)若 m=5,求 A∪B, (?RA)∩B; (2)若 A∩B=A,求 m 的取值范围.

18.已知函数

(a>0 且 a≠1)

(1)f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明. 19.某商场购进一种每件价格为 100 元的新商品,在商场试销发现:销售单价 x(元/件)与 每天销售量 y(件)之间满足如图所示的关系: (1)求出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)写出每天的利润 W 与销售单价 x 之间的函数关系式; 若你是商场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的利润最大,最大利润是多少?

20.设 y1=loga(3x+1) ,y2=loga(﹣3x) ,其中 a>0 且 a≠1. (Ⅰ)若 y1=y2,求 x 的值; (Ⅱ)若 y1>y2,求 x 的取值范围. 21.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2﹣2x. (Ⅰ)求 f(x)的解析式,并画出的 f(x)图象; (Ⅱ)设 g(x)=f(x)﹣k,利用图象讨论:当实数 k 为何值时,函数 g(x)有一个零点? 二个零点?三个零点?

22.若非零函数 f(x)对任意实数 a,b 均有 f(a+b)=f(a)?f(b) ,且当 x<0 时,f(x) >1. (1)求证:f(x)>0; (2)求证:f(x)为减函数; (3)当 f(4)= 时,解不等式 f(x﹣3)?f(5)≤ .

2015-2016 学年河南省信阳市高一(上)期中数学试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知集合 A={0,1,2},集合 B={x|x=2m,m∈N},则 A∩B=( A.{0} B.{0,2} C.{0,4} D.{0,2,4}

)

【考点】交集及其运算. 【专题】集合. 【分析】根据 B 中 x=2m,m∈N,得到 B 为非负偶数集,找出 A 与 B 的交集即可. 【解答】解:∵A={0,1,2},集合 B={x|x=2m,m∈N}={0,2,4,6,…}, ∴A∩B={0,2}. 故选:B. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.函数 A. (﹣5,+∞) B.[﹣5,+∞)

的定义域为( C. (﹣5,0)

) D. (﹣2,0)

【考点】对数函数的定义域;函数的定义域及其求法;指数函数的定义、解析式、定义域和 值域. 【专题】计算题. 【分析】列出使得原函数有意义的条件,解不等式组即可 【解答】解:由题意得: ∴原函数的定义域为(﹣5,+∞) 故选 A 【点评】本题考查函数定义域,求函数的定义域,需满足分式的分母不为 0、偶次根式的被开 方数大于等于 0,对数的真数大于 0,0 次幂的底数不为 0.属简单题 3.函数 y=﹣xcosx 的部分图象是( ) ,解得 x>﹣5

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象;奇偶函数图象的对称性;余弦函数的图象. 【专题】数形结合. 【分析】由函数的表达式可以看出,函数是一个奇函数,因只用这一个特征不能确定那一个 选项,故可以再引入特殊值来进行鉴别. 【解答】解:设 y=f(x) ,则 f(﹣x)=xcosx=﹣f(x) ,f(x)为奇函数; 又 时 f(x)<0,此时图象应在 x 轴的下方

故应选 D. 【点评】本题考查函数的图象,选择图象的依据是根据函数的性质与函数本身的局部特征.

4.如 f(x)=

则 f(﹣3)=(

)

A.2

B.

C.8

D.

【考点】函数的值. 【专题】计算题. 【分析】 本题考查的分段函数的函数值, 由函数解析式, 应先进行﹣3 与 2 的大小关系的确定, 再代入相应的解析式求解. 【解答】解:∵﹣3<2,∴f(﹣3)=f(﹣3+2)=f(﹣1) , 而﹣1<2,∴f(﹣1)=f(﹣1+2)=f(1) , 又∵1<2,∴f(1)=f(3) , 而 3≥2,∴f(3)=2﹣3= . 故选:B. 【点评】分段函数分段处理,这是研究分段函数图象和性质最核心的理念,具体做法是:分 段函数的定义域、值域是各段上 x、y 取值范围的并集,分段函数的奇偶性、单调性要在各段 上分别论证;分段函数的最大值,是各段上最大值中的最大者. 5.设 a=20.3,b=0.32,c=log23,则 a,b,c 的大小关系是( A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.c<a<b 【考点】对数值大小的比较. 【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 【解答】解:∵1<a=20.3<20.5= ,0<b=0.32<1,c=log23> = , )

∴c>a>b. 故选:C. 【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档 题. 6.下列四组函数,表示同一函数的是( A.f(x)= ,g(x)=x )

B.f(x)=x,g(x)=

C.f(x)=

,g(x)=

?

D.f(x)=x,g(x)=

【考点】判断两个函数是否为同一函数. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致,否则不是同一函数. 【解答】解:A.f(x)= =|x|,g(x)=x,所以两个函数的对应法则不一致,所以 A 不是

同一函数. B.f(x)的定义域为 R,而 g(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) ,所以定义域不同, B 所以 不是同一函数. C.由 x2﹣4≥0,解得 x≥2 或 x≤﹣2,由 以 C 不是同一函数. D.f(x)的定义域为 R,而 g(x)的定义域为 R,且 g(x)= =x,所以定义域和对应法 ,解得 x≥2,两个函数的定义域不一致,所

则相同,所以 D 是同一函数. 故选 D. 【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数,判断的标准就是判断两个函数的定义 域和对应法则是否一致,否则不是同一函数.

7.如果幂函数 A.﹣1≤m≤2 B.m=1 或 m=2

的图象不过原点,则 m 取值是( C.m=2 D.m=1

)

【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 【专题】计算题. 【分析】幂函数的图象不过原点,所以幂指数小于等于 0,系数为 1,建立不等式组,解之即 可. 【解答】解:幂函数 的图象不过原点,所以

解得 m=1 或 2,符合题意. 故选 B. 【点评】本题主要考查了幂函数的图象及其特征,考查计算能力,属于基础题. 8.已知函数 y=x2﹣6x+8 在[1,a]为减函数,则 a 的取值范围是( A.a≤3 B.1<a≤3 C.a≥3 D.0≤a≤3 【考点】二次函数的性质. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】由二次函数在[1,a]为减函数可知[1,a]在对称轴左侧. 【解答】解:y=x2﹣6x+8 图象开口向上,对称轴为 x=3, ∵y=x2﹣6x+8 在[1,a]为减函数, ∴1<a≤3. 故选:B. 【点评】本题考查了二次函数的单调性与对称轴的关系,是基础题. )

9.设 f(x)是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是( ) A.f(x)f(﹣x)是奇函数 B.f(x)|f(﹣x)|是奇函数 C.f(x)﹣f(﹣x)是偶函数 D.f(x)+f(﹣x)是偶函数 【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】令题中选项分别为 F(x) ,然后根据奇偶函数的定义即可得到答案. 【解答】解:A 中令 F(x)=f(x)f(﹣x) ,则 F(﹣x)=f(﹣x)f(x)=F(x) , 即函数 F(x)=f(x)f(﹣x)为偶函数, B 中 F(x)=f(x)|f(﹣x)|,F(﹣x)=f(﹣x)|f(x)|,因 f(x)为任意函数,故此时 F (x)与 F(﹣x)的关系不能确定,即函数 F(x)=f(x)|f(﹣x)|的奇偶性不确定, C 中令 F(x)=f(x)﹣f(﹣x) ,令 F(﹣x)=f(﹣x)﹣f(x)=﹣F(x) ,即函数 F(x)=f (x)﹣f(﹣x)为奇函数, D 中 F(x)=f(x)+f(﹣x) ,F(﹣x)=f(﹣x)+f(x)=F(x) ,即函数 F(x)=f(x)+f (﹣x)为偶函数, 故选 D. 【点评】本题考查了函数的定义和函数的奇偶性的判断,同时考查了函数的运算. 10.已知 x0 是函数 f(x)=2x+

的一个零点.若 x1∈(1,x0) ,x2∈(x0,+∞) ,则( C.f(x1)>0,f(x2)<0

)

A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 【考点】函数零点的判定定理. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】因为 x0 是函数 f(x)=2x+ 调性可得到答案. 【解答】解:∵x0 是函数 f(x)=2x+ ∵f(x)=2x+

的一个零点 可得到 f(x0)=0,再由函数 f(x)的单

的一个零点∴f(x0)=0

是单调递增函数,且 x1∈(1,x0) ,x2∈(x0,+∞) ,

∴f(x1)<f(x0)=0<f(x2) 故选 B. 【点评】本题考查了函数零点的概念和函数单调性的问题,属中档题.

11.设 f(x)是 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上递增,若 f( )=0,f(log x 的取值范围是( )

x)<0,那么

A. <x<2 B.x>2 C. <x<1 D.x>2 或 <x<1 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系,将不等式进行转化即可得到结论. 【解答】解:∵函数 f(x)是 R 上的偶函数, ∴f(x)=f(﹣x)=f(|x|) ,

∴f(log

x)=f(|log

x|) .

∵f( )=0, ∴不等式 f(log x)<0 等价为 f(|log x|)<f( ) ,

又∵函数 f(x)在[0,+∞)上递增, ∴|log x|< ,得: <log x< ,

解得 <x<2. 故选 A. 【点评】本题主要考查不等式的求解,根据函数奇偶性和单调性之间的关系,将不等式进行 转化是解决本题的关键. 12.在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,如果函数 f(x)的图象 恰好通过 n(n∈N+)个整点,则称函数 f(x)为 n 阶整点函数,有下列函数: ①y=x3;②y=( )x;③y= ;④y=ln|x|,其中是二阶整点的函数的个数为( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】导数的运算. 【专题】整体思想;导数的概念及应用. 【分析】首先,结合二阶整数点函数的概念,对所给的函数进行逐个验证即可. 【解答】解:对于函数 y=x3,当 x∈Z 时,一定有 y=x3∈Z,即函数 y=x3 通过无数个整点,它 不是二阶整点函数; 对于函数 y=( )x; ,当 x=0,﹣1,﹣2,时,y 都是整数,故函数 y 通过无数个整点,它不 是二阶整点函数; ③y= =﹣1+ ,当 x=0,2,时,y 都是整数,它是二阶整点函数;

④y=ln|x|,当 x=﹣1,1 时,y 都是整数, 它是二阶整点函数; 故只有③④是二阶整数点函数, 故选 B. 【点评】本题重点考查了函数的基本性质、二阶整数点的概念及信息的理解与处理能力,属 于中档题. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.函数 f(x)=log2(x2﹣3x+2)的单调递减区间是(﹣∞,1) . 【考点】复合函数的单调性. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据复合函数单调性之间的关系即可得到结论. 【解答】解:由 x2﹣3x+2>0,解得 x>2 或 x<1,即函数的定义域为{x|x>2 或 x<1}, 设 t=x2﹣3x+2,则函数 y=log2t 为增函数,

要求函数 f(x)=log2(x2﹣3x+2)的递减区间,根据复合函数单调性之间的关系,即求函数 t=x2﹣3x+2 的减区间, ∵函数 t=x2﹣3x+2 的减区间为(﹣∞,1) , 2 ∴函数 f(x)=log2(x ﹣3x+2)的单调递减区间是(﹣∞,1) , 故答案为: (﹣∞,1) 【点评】本题主要考查函数单调区间的求解,根据复合函数单调性之间的关系是解决本题的 关键.

14.设 a>1,函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为 ,则 a=4. 【考点】对数函数的单调性与特殊点;函数的最值及其几何意义. 【专题】计算题. 【分析】利用函数的单调性表示出函数的最大值和最小值,利用条件建立等量关系,解对数 方程即可. f x) =logax 在区间[a, 2a]上的最大值与最小值分别为 loga2a, logaa=1, ∵a>1, 【解答】 解: 函数 ( 它们的差为 , ∴ ,a=4,

故答案为 4 【点评】本题考查了对数函数的单调性,以及函数最值及其几何意义,属于基础题. 15.f(x)为 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2x+2x+b(b 为常数) (b 为常数) ,则 f(﹣1) =﹣3. 【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】利用函数的奇函数,将 f(﹣1)转化为 f(1)进行求值. 【解答】解:因为函数 f(x)是奇函数, 所以 f(0)=1+b=0,即 b=﹣1 且 f(﹣1)=﹣f(1) , 因为 x≥0 时,f(x)=2x+2x+b, 所以 f(﹣1)=﹣f(1)=﹣(2+2+b)=﹣4﹣b=﹣3, 故答案为:﹣3 【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用,要求熟练掌握函数奇偶性的性质. 16.给出下列命题: ①已知集合 M 满足??M?{1,2,3},且 M 中至少有一个奇数,这样的集合 M 有 6 个; ②已知函数 f(x)= 的定义域是 R,则实数 a 的取值范围是(﹣12,0) ;

③函数 f(x)=loga(x﹣3)+1(a>0 且 a≠1)图象恒过定点(4,2) ; 2 ④已知函数 f(x)=x +bx+c 对任意实数 t 都有 f(3+t)=f(3﹣t) ,则 f(1)>f(4)>f(3) . 其中正确的命题序号是①④(写出所有正确命题的序号) 【考点】命题的真假判断与应用.

【专题】函数的性质及应用. 【分析】①,依题意,可例举出样的集合 M 有{1}、{1,2}、{1,3}、{3}、{3,2}、{1,2, 3}6 个,可判断①; ②,通过对 a=0 与 a≠0 的讨论,可求得实数 a 的取值范围是(﹣12,0],可判断②; ③,利用对数型函数 f(x)=loga(x﹣3)+1(a>0 且 a≠1)图象恒过定点(4,1)可判断③; ④,利用二次函数的对称性与单调性可判断④. 【解答】解:对于①,∵集合 M 满足??M?{1,2,3},且 M 中至少有一个奇数,这样的集 合 M 有{1}、{1,2}、{1,3}、{3}、{3,2}、{1,2,3}6 个,故①正确; 对于②,∵函数 f(x)= 的定义域是 R,

∴当 a=0 时,f(x)=

,其定义域是 R,符合题意;

当 a≠0 时,



,解得 a∈(﹣12,0) ;

综上所述,实数 a 的取值范围是(﹣12,0],故②错误; 对于③,函数 f(x)=loga(x﹣3)+1(a>0 且 a≠1)图象恒过定点(4,1) ,故③错误; 2 f x =x +bx+c t f 3+t =f 3 t 对于④,∵函数 ( ) 对任意实数 都有 ( ) ( ﹣ ) , ∴函数 f(x)=x2+bx+c 的对称轴为 x=3,f(x)在[3,+∞)上单调递增, ∴f(1)=f(5)>f(4)>f(3) ,故④正确. 故答案为;①④. 【点评】本题考查命题的真假判断与应用,着重考查对数函数与二次函数的对称性、单调性、 恒过定点等性质,考查恒成立问题与集合间的关系,考查转化思想. 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.已知集合 A={x|1≤x≤7},B={x|﹣2m+1<x<m},全集为实数集 R. (1)若 m=5,求 A∪B, (?RA)∩B; 2 A B=A m ∩ ( )若 ,求 的取值范围. 【考点】交、并、补集的混合运算;交集及其运算. 【专题】集合. 【分析】 (1)将 m=5,代入集合 B 化简,然后求解即可, (2)由 A∩B=A,得 A?B,利用子 集概念求解. 【解答】解: (1)∵m=5, ∴A={x|1≤x≤7},B={x|﹣9<x<5}, ∴A∪B={x|﹣9<x≤7}, 又∵?RA={x|x<1,或 x>7}, ∴(?RA)∩B={x|﹣9<x<1}, (2)∵A∩B=A,∴A?B, ∴ ,





∴m>7. 【点评】本题考查集合的包含关系,以及交并补的运算,属于基础题目,熟练运用概念求解, 也可利用数轴辅助求解.

18.已知函数

(a>0 且 a≠1)

(1)f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明. 【考点】对数函数的定义域;函数奇偶性的判断. 【专题】综合题. 【分析】 (1)由 能够得到原函数的定义域.

(2)求出 f(﹣x)和 f(x)进行比较,二者互为相反数,所以 F(x)是奇函数. 【解答】解: (1) ,解得﹣1<x<1,∴原函数的定义域是: (﹣1,1) .

(2)f(x)是其定义域上的奇函数. 证明: ∴f(x)是其定义域上的奇函数. 【点评】本题考查对数函数的性质和应用,解题时要注意对数函数的不等式. 19.某商场购进一种每件价格为 100 元的新商品,在商场试销发现:销售单价 x(元/件)与 每天销售量 y(件)之间满足如图所示的关系: (1)求出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)写出每天的利润 W 与销售单价 x 之间的函数关系式; 若你是商场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的利润最大,最大利润是多少? ,

【考点】函数模型的选择与应用. 【专题】应用题;函数思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b(k≠0) ,根据所给函数图象列出关于 kb 的关系式,求出 k、b 的值即可; (2) 把每天的利润 W 与销售单价 x 之间的函数关系式化为二次函数顶点式的形式, 由此关系 式即可得出结论. 【解答】解: (1)设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b(k≠0) ,由所给函数图象得

,解得 k=﹣1,b=180 ∴函数关系式为 y=﹣x+180… (2)W=(x﹣100) (﹣x+180)=﹣x2+280x﹣18000=﹣(x﹣140)2+1600 当售价定为 140 元,W 最大=1600 ∴售价定为 140 元/件时,每天最大利润 W=1600 元… 【点评】本题考查的是二次函数的应用,根据题意列出关于 k、b 的关系式是解答此题的关键. 20.设 y1=loga(3x+1) ,y2=loga(﹣3x) ,其中 a>0 且 a≠1. y =y x (Ⅰ)若 1 2,求 的值; (Ⅱ)若 y1>y2,求 x 的取值范围. 【考点】对数函数图象与性质的综合应用. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (1)由 y1=y2,即 loga(3x+1)=loga(﹣3x) ,可得 3x+1=﹣3x,由此求得 x 的值, 检验可得结论. (2)分当 0<a<1 时、和当 a>1 时两种情况,分别利用对数函数的定义域及单调性,化为 与之等价的不等式组,从而求得原不等式的解集. 【解答】解: (1)∵y1=y2,即 loga(3x+1)=loga(﹣3x) ,∴3x+1=﹣3x, 解得 ,

经检验 3x+1>0,﹣3x>0,所以,x=﹣ 是所求的值. (2)当 0<a<1 时,∵y1>y2,即 loga(3x+1)>loga(﹣3x) , ∴ 解得 .

当 a>1 时,∵y1>y2,即 loga(3x+1)>loga(﹣3x) , ∴ 解得 .

综上,当 0<a<1 时,

;当 a>1 时,



【点评】本题主要考查对数方程、对数不等式的解法,体现了转化及分类讨论的数学思想, 属于中档题. 21.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2﹣2x. (Ⅰ)求 f(x)的解析式,并画出的 f(x)图象; (Ⅱ)设 g(x)=f(x)﹣k,利用图象讨论:当实数 k 为何值时,函数 g(x)有一个零点? 二个零点?三个零点?

【考点】函数奇偶性的性质;奇偶函数图象的对称性. 【专题】计算题;数形结合. 【分析】 (Ⅰ)先设 x<0 可得﹣x>0,则 f(﹣x)=(﹣x)2﹣2(﹣x)=x2+2x,由函数 f(x) 为奇函数可得 f(x)=﹣f(﹣x) ,可求,结合二次函数的图象可作出 f(x)的图象 (II)由 g(x)=f(x)﹣k=0 可得 f(x)=k,结合函数的图象可,要求 g(x)=f(x)﹣k 的 零点个数,只要结合函数的图象,判断 y=f(x)与 y=k 的交点个数 【解答】解: (Ⅰ)当 x≥0 时,f(x)=x2﹣2x. 设 x<0 可得﹣x>0,则 f(﹣x)=(﹣x)2﹣2(﹣x)=x2+2x ∵函数 f(x)为奇函数,则 f(x)=﹣f(﹣x)=﹣x2﹣2x ∴ 函数的图象如图所示

(II)由 g(x)=f(x)﹣k=0 可得 f(x)=k 结合函数的图象可知 ①当 k<﹣1 或 k>1 时,y=k 与 y=f(x)的图象有 1 个交点,即 g(x)=f(x)﹣k 有 1 个零 点 ②当 k=﹣1 或 k=1 时,y=k 与 y=f(x)有 2 个交点,即 g(x)=f(x)﹣k 有 2 个零点 ③当﹣1<k<1 时,y=k 与 y=f(x)有 3 个交点,即 g(x)=f(x)﹣k 有 3 个零点

【点评】本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数的解析式,函数的零点个数的判断,体 现了数形结合思想的应用 22.若非零函数 f(x)对任意实数 a,b 均有 f(a+b)=f(a)?f(b) ,且当 x<0 时,f(x) >1. (1)求证:f(x)>0; (2)求证:f(x)为减函数; (3)当 f(4)= 时,解不等式 f(x﹣3)?f(5)≤ .

【考点】抽象函数及其应用. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】 (1)f(x)=f( + )=f2( ) ,结合函数 f(x)为非零函数可得; (2)利用函数的单调性的定义证明; (3)由 f(4)= 可得 f(2)= ,从而化简不等式 f(x﹣3)?f(5)≤ 为 f(x﹣3+5)≤f(2) ,

从而利用单调性求解. 【解答】解: (1)证明:f(x)=f( + )=f2( )>0, (2)证明:∵f(0)=f2(0) ,∴f(0)=1; ∴f(b﹣b)=f(b)?f(﹣b)=1; ∴f(﹣b)= ;

任取 x1<x2,则 x1﹣x2<0, ∴ =f(x1﹣x2)>1,

又∵f(x)>0 恒成立, ∴f(x1)>f(x2) ; f x 则 ( )为减函数; (3)由 f(4)=f2(2)= ,则 f(2)= ,

原不等式转化为 f(x﹣3+5)≤f(2) , 结合(2)得:x+2≥2, ∴x≥0; 故不等式的解集为{x|x≥0}. 【点评】本题考查了函数单调性的证明与应用,属于中档题.



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