tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 高中教育 >>

2014-2015学年重庆一中高二(下)期末数学试卷(文科)


2014-2015 学年重庆一中高二(下)期末数学试卷(文科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.下列函数是奇函数的是( ) A. f(x)=x|x| ﹣1 2.已知 a,b∈R,i 是虚数单位,若(a+i) (1+i)=bi,则 a+bi=( A. ﹣1+2i B. 1+

2i C. 1﹣2i
2

B. f(x)=lgx

C. f(x)=2 +2

x

﹣x

D. f(x)=x

3

) D. 1+i )

3. 已知命题 p: ?x0∈R, sinx0= ; 命题 q: ?x∈R, x ﹣x+1>0. 则下列结论正确的是 ( A. 命题是 p∨q 假命题 B. 命题是 p∧q 真命题 C. 命题是(?p)∨(?q)真命题 D. 命题是(?p)∧(?q)真命题 4.已知 A. B. ,则 C. 等于( ) D.

5.设 x∈R ,向量 =(1,1) , =(x,﹣2) ,且| + |= A. ﹣2 6.函数 y=ln A. [0,+∞) B. 4 C. ﹣1

+

,则 ? =(

) D. 0

的值域为 R,则实数 a 的取值范围是(



B. [﹣1,0)∪(0,+∞) C. (﹣∞,﹣1) D. [﹣1,1)

7.已知函数 f(x)=

,则下列结论正确的是(



A. f(x)是奇函数 C. f(x)是周期函数

B. f(x)在[0,

]上递增

D. f(x)的值域为[﹣1,1]

8. 在△ABC 中, 若| ( ) A.

+

|=|



|, AB=2, AC=1, E, F 为 BC 边的三等分点, 则

?

=

B.

C.

D.

9.函数 f(x)= A. C. [kπ+ ,kπ+ ](k∈Z)

的单调增区间为( B. [kπ﹣ D. [kπ+

) ,kπ](k∈Z) ,kπ+ ](k∈Z)

10.曲线 A. B.

在点 M(

,0)处的切线的斜率为( C.

) D.

11.如果对定义在 R 上的函数 f(x) ,对任意 x1≠x2,都有 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2) +x2f(x1)则称函数 f(x)为“H 函数”.给出下列函数: 3 ①y=﹣x +x+1; ②y=3x﹣2(sinx﹣cosx) ; ③y=e +1; ④f(x)= . ) C. 2 D. 1
x

其中函数式“H 函数”的个数是( A. 4 B. 3

12.已知点 A(0,1) ,曲线 C:y=alnx 恒过定点 B,P 为曲线 C 上的动点且 值为 2,则 a=( A. ﹣2 ) B. ﹣1 C. 2

?

的最小

D. 1

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.) 13.计算: = .

14.函数 f(x)=

在[a,b]上的最大值为 1,最小值为 ,则 a+b=



15. 小明在做一道数学题目时发现: 若复数 z1=cosα1+isinα1, z2=cosα2+isinα2, z3=cosα3+isinα3 (其中 α1, α2, α3∈R) , 则 z1?z2=cos (α1+α2) +isin (α1+α2) , z2?z3=cos (α2+α3) +isin (α2+α3) , 根据上面的结论,可以提出猜想:z1?z2?z3= . 16.已知 G 点为△ABC 的重心,且 为 . ⊥ ,若 + = ,则实数 λ 的值

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.已知 p:x ﹣8x﹣20≤0;q:1﹣m ≤x≤1+m . (Ⅰ)若 p 是 q 的必要条件,求 m 的取值范围; (Ⅱ)若¬p 是¬q 的必要不充分条件,求 m 的取值范围. 18.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,满足:c?cosBsinC+( cosC=0. (Ⅰ)求 C 的大小; (Ⅱ)若 c= ,求 a+b 的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的值. a+csinB)
2 2 2

19.学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其在 40 分钟 的一节课中,注意力指数 y 与听课时间 x(单位:分钟)之间的关系满足如图所示的图象, 当 x∈(0,12]时,图象是二次函数图象的一部分,其中顶点 A(10,80) ,过点 B(12,78) ; 当 x∈[12,40]时,图象是线段 BC,其中 C(40,50) .根据专家研究,当注意力指数大于 62 时,学习效果最佳. (1)试求 y=f(x)的函数关系式; (2)教师在什么时段内安排内核心内容,能使得学生学习效果最佳?请说明理由.

20.某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|< 周期内的图象时,列表并填入的部分数据如下表: x ωx+φ x1 0 x2 π x3 2π

)在某一个

Asin(ωx+φ) 0 0 ﹣ 0 (Ⅰ)请求出上表中的 x1,x2,x3,并直接写出函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)将 f(x)的图象沿 x 轴向右平移 个单位得到函数 g(x) ,若函数 g(x)在 x∈[0, m](其中 m∈(2,4)上的值域为[﹣ Q,求 与 夹角 θ 的大小. , ],且此时其图象的最高点和最低点分别为 P、

21.定义在 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 4,且 x∈(0,2)时, (1)求 f(x)在[﹣2,2]上的解析式; (2)判断 f(x)在(0,2)上的单调性,并给予证明; (3)当 λ 为何值时,关于方程 f(x)=λ 在[﹣2,2]上有实数解? 22.设函数 f(x)=lnx﹣ ﹣bx



(Ⅰ)当 a=b= 时,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)令 F(x)=f(x)+ 的斜率 k≤ 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)当 a=0,b=﹣1 时,方程 f(x)=mx 在区间[1,e ]内有唯一实数解,求实数 m 的取值 范围.
2

<x≤3) ,其图象上任意一点 P(x0,y0)处切线

2014-2015 学年重庆一中高二 (下) 期末数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.下列函数是奇函数的是( ) A. f(x)=x|x| ﹣1 考点:函数奇偶性的判断. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据函数奇偶性的定义进行判断即可. 解答: 解:A.f(﹣x)=﹣x|x|=﹣f(x) ,则函数 f(x)为奇函数,满足条件. B.函数的定义域为(0,+∞) ,关于原点不对称,函数为非奇非偶函数. C.f(﹣x)=2 +2 =f(x) ,则函数为偶函数. 3 D.f(﹣x)=﹣x ﹣1,则 f(﹣x)≠﹣f(x)且 f(﹣x)≠f(x) ,则函数为非奇非偶函数, 故选:A 点评:本题主要考查函数奇偶性的判断,根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键. 2.已知 a,b∈R,i 是虚数单位,若(a+i) (1+i)=bi,则 a+bi=( A. ﹣1+2i B. 1+2i C. 1﹣2i ) D. 1+i
x
﹣x

B. f(x)=lgx

C. f(x)=2 +2

x

﹣x

D. f(x)=x

3

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数代数形式的乘法运算化简,然后由复数相等的条件列式求得 a,b 的值,则 答案可求. 解答: 解:由(a+i) (1+i)=bi,得 a﹣1+(a+1)i=bi, ∴ ,即 .

∴a+bi=1+2i. 故选:B. 点评:本题考查了复数代数形式的乘法运算,考查了复数相等的条件,是基础题. 3. 已知命题 p: ?x0∈R, sinx0= ; 命题 q: ?x∈R, x ﹣x+1>0. 则下列结论正确的是 ( A. 命题是 p∨q 假命题 B. 命题是 p∧q 真命题 C. 命题是(?p)∨(?q)真命题 D. 命题是(?p)∧(?q)真命题
2



考点:复合命题的真假. 专题:简易逻辑. 分析:首先判断命题 p 和 q 的真假, 再利用真值表对照各选项选择. 命题 p 的真假有正弦函 数的有界性判断,命题 q 的真假结合二次函数的图象只需看△.

解答: 解:命题 p:因为﹣1≤sinx≤1,故不存在 x∈R,使 sinx= ,命题 p 为假; 2 命题 q:△=1﹣4=﹣3<0,故?x∈R,都有 x +x+1>0 为真. ∴,命题是 p∨q 是真,命题“p∧q”是假命题,命题是(?p)∨(?q)真命题,命题是(?p) ∧(?q)假命题. 故选:C 点评:本题考查命题和复合命题真假的判断、正弦函数的有界性及二次函数恒成立等知识, 属基本题型的考查.

4.已知 A. B.

,则 C.

等于(

) D.

考点:两角和与差的余弦函数. 专题:计算题;三角函数的求值. 分析:根据 sinα= 值. 解答: 解:∵α∈(0, ∴sinα= 因此,cos(α+ 故选:A 点评:本题给出锐角 α 的余弦,求 的余弦值.着重考查了同角三角函数的基本关系 = )=cosαcos ) ,cosα= = , = × ﹣ × = ﹣ . , = ,利用同角三角函数的平方关系算出 ,再利用两角和的余弦公式加以计算,即可得到 的

﹣sinαsin

和两角和的余弦公式等知识,属于基础题.
+

5.设 x∈R ,向量 =(1,1) , =(x,﹣2) ,且| + |= A. ﹣2 B. 4 C. ﹣1

,则 ? =(

) D. 0

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:通过向量的模求出 x,然后利用数量积的运算法则求解即可. 解答: 解:向量 =(1,1) , =(x,﹣2) ,且| + |= 可得 =
+





解得 x=2 或 x=0(舍去,因为 x∈R ) . 则 ? =(1,1)?(2,﹣2)=2﹣2=0.

故选:D. 点评:本题考查向量的数量积的求法,向量的模的求法,考查计算能力. 6.函数 y=ln A. [0,+∞) 的值域为 R,则实数 a 的取值范围是( )

B. [﹣1,0)∪(0,+∞) C. (﹣∞,﹣1) D. [﹣1,1)

考点:函数的值域. 专题:函数的性质及应用. 分析:本题中函数 y=ln 的值域为 R,故内层函数 ax +2x﹣1 的值域为全体正
2

实数,当 a>0 时,可由△≥0 保障内层函数的值域能取到全体正实数. 解答: 解:∵函数 y=ln 的值域为 R, 的值域为 R;

∴①当 a=0 时,只需保证 x> ,即可使得函数 y=ln ②当 a≠0 时, .

解得 a>0, 综上知实数 a 的取值范围是[0,+∞) , 故选:A. 点评:本题考点是对数函数的值域与最值, 考查对数函数的定义其值域为全体实数的等价条 件的理解,本题是一个易错题,应依据定义理清转化的依据.

7.已知函数 f(x)=

,则下列结论正确的是(



A. f(x)是奇函数 C. f(x)是周期函数 考点:三角函数的周期性及其求法. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:画出函数 f(x)=

B. f(x)在[0,

]上递增

D. f(x)的值域为[﹣1,1]

的图象,可得结论.

解答: 解:结合函数 f(x)=

的图象,可得该函数为周期函数,不

是奇函数,在[0, 故选:C.

]上没有单调性,值域为[﹣

,1],

点评:本题主要考查三角函数的图象特征,体现了数形结合的数学思想,属于基础题.

8. 在△ABC 中, 若| ( ) A.

+

|=|



|, AB=2, AC=1, E, F 为 BC 边的三等分点, 则

?

=

B.

C.

D.

考点:平面向量数量积的运算. 专题:计算题;平面向量及应用. 分析:运用向量的平方即为模的平方,可得 共线的知识,化简即可得到所求. 解答: 解:若| 则 即有 =0, + |=| = ﹣ |, , =0,再由向量的三角形法则,以及向量

E,F 为 BC 边的三等分点, 则 =( = + + =( + )?( + )?( + + ) . )=( )?( )

= ×(1+4)+0=

故选 B. 点评:本题考查平面向量的数量积的定义和性质, 考查向量的平方即为模的平方, 考查向量 共线的定理,考查运算能力,属于中档题. 9.函数 f(x)= A. 的单调增区间为( B. [kπ﹣ ) ,kπ](k∈Z)

C. [kπ+

,kπ+

](k∈Z)

D. [kπ+

,kπ+

](k∈Z)

考点:三角函数的化简求值;二倍角的余弦. 专题:三角函数的求值. 分析:首先求出函数的定义域, 然后在此前提下, 求出三角函数 cos (2x﹣ 解答: 解:f(x)= (2x﹣ )≤ , ≤2x﹣ ≤2kπ+ ,k∈Z,即函数的定义域为[kπ ],k∈Z; ,kπ+π],k∈Z 的定义域为 1﹣2cos(2x﹣ ) 的递减区间. )≥0,所以 cos

所以 2kπ+

函数的递增区间为[kπ

,kπ+

故选 D. 点评:本题考查了复合函数的单调区间的求法;首先求出函数的定义域,然后在此前提下, 求出三角函数 cos(2x﹣ )相反区间.

10.曲线 A. B.

在点 M(

,0)处的切线的斜率为( C.

) D.

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:计算题;压轴题. 分析:先求出导函数,然后根据导数的几何意义求出函数 f(x)在 x= 出切线的斜率. 解答: 解:∵ 处的导数,从而求

∴y'=

=

y'|x=

=

|x=

=

故选 B. 点评:本题主要考查了导数的几何意义,以及导数的计算,同时考查了计算能力,属于基础 题.

11.如果对定义在 R 上的函数 f(x) ,对任意 x1≠x2,都有 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2) +x2f(x1)则称函数 f(x)为“H 函数”.给出下列函数: 3 ①y=﹣x +x+1; ②y=3x﹣2(sinx﹣cosx) ; x ③y=e +1; ④f(x)= . ) C. 2 D. 1

其中函数式“H 函数”的个数是( A. 4 B. 3

考点:函数单调性的性质;函数的图象. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析:不等式 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)等价为(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)] >0,即满足条件的函数为单调递增函数,判断函数的单调性即可得到结论. 解答: 解:∵对于任意给定的不等实数 x1,x2,不等式 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2) +x2f(x1)恒成立, ∴不等式等价为(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0 恒成立, 即函数 f(x)是定义在 R 上的增函数. ①y=﹣x +x+1;y'=﹣3x +1,则函数在定义域上不单调. ②y=3x﹣2(sinx﹣cosx) ;y'=3﹣2(cosx+sinx)=3﹣2 满足条件. ③y=e +1 为增函数,满足条件. ④f(x)= ,当 x>0 时,函数单调递增,当 x<0 时,函数单调递减,不满
x 3 2

sin(x+

)>0,函数单调递增,

足条件. 综上满足“H 函数”的函数为②③, 故选 C. 点评:本题主要考查函数单调性的应用, 将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关 键.

12.已知点 A(0,1) ,曲线 C:y=alnx 恒过定点 B,P 为曲线 C 上的动点且 值为 2,则 a=( A. ﹣2 ) B. ﹣1 C. 2

?

的最小

D. 1

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用.

分析:运用对数函数的图象特点可得 B(1,0) ,设 P(x,alnx) ,运用向量的数量积的坐标 表示,可得 f(x)= ? =x﹣alnx(0,+∞)+1,再由导数,求得极值点即为最值点,对

a 讨论通过单调性即可判断. 解答: 解:曲线 C:y=alnx 恒过点 B,则令 x=1,可得 y=0, 即 B(1,0) ,又点 A(0,1) ,设 P(x,alnx) , 则 ? =f(x)=x﹣alnx+1,

由于 f(x)=x﹣alnx+1 在(0,+∞)上有最小值 2, 且 f(1)=2,故 x=1 是 f(x)的极值点,即最小值点. f′(x)=1﹣ = ,

a<0,f'(x)>0 恒成立,f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以没有最小值;故不符合题 意; 当 a>0,x∈(0,a)时,f'(x)<0,函数 f(x)在(0,a)是减函数,在(a,+∞)是增 函数,有最小值为 f(a)=2,即 a﹣alna+1=2,解得 a=1; 故选 D. 点评:本题考查了利用导数求函数的最值; 关键是将数量积表示为关于 x 的函数, 通过求导, 判断单调性,得到最值求参数 a. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.) 13.计算: = .

考点:运用诱导公式化简求值. 专题:计算题;三角函数的求值. 分析:利用诱导公式即可求得 cos 解答: 解:∵cos 故答案为:﹣ . 点评:本题考查运用诱导公式化简求值,属于基础题. 14.函数 f(x)= 在[a,b]上的最大值为 1,最小值为 ,则 a+b= 6 . =cos(4π﹣ 的值. )=cos =﹣ .

考点:函数的最值及其几何意义. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析:分类讨论,利用函数的单调性,结合函数 f(x)= 小值为 ,求出 a,b,即可求出 a+b. 在[a,b]上的最大值为 1,最

解答: 解:由题意,a>1,则 a<1 则 = ,不成立.

=1,

= ,∴a=2,b=4,∴a+b=6;

故答案为:6. 点评:本题考查函数的最值及其几何意义,考查学生的计算能力,比较基础. 15. 小明在做一道数学题目时发现: 若复数 z1=cosα1+isinα1, z2=cosα2+isinα2, z3=cosα3+isinα3 (其中 α1, α2, α3∈R) , 则 z1?z2=cos (α1+α2) +isin (α1+α2) , z2?z3=cos (α2+α3) +isin (α2+α3) , 根据上面的结论,可以提出猜想:z1?z2?z3= cos(α1+α2+α3)+isin(α1+α2+α3) . 考点:归纳推理. 专题:推理和证明. 分析:根据已知中复数 z1=cosα1+isinα1,z2=cosα2+isinα2,满足 z1?z2=cos(α1+α2)+isin (α1+α2) , 将 z1?z2=cos (α1+α2) +isin (α1+α2) 看成一个整体, 可推理出 z1?z2?z3=cos (α1+α2+α3) +isin(α1+α2+α3) . 解答: 解:∵当复数 z1=cosα1+isinα1,z2=cosα2+isinα2 时, z1?z2=cos(α1+α2)+isin(α1+α2) , ∴z1?z2?z3=(z1?z2)?z3=[cos(α1+α2)+isin(α1+α2)]?(cosα3+isinα3)=cos(α1+α2+α3) +isin(α1+α2+α3) , 故答案为:cos(α1+α2+α3)+isin(α1+α2+α3) 点评:归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相 同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想) . 16. 已知 G 点为△ABC 的重心, 且



, 若

+

=

, 则实数 λ 的值为



考点:向量在几何中的应用. 专题:计算题;解三角形. 分析:首先根据三角形的重心性质及直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半,得到 CD= AB,再应用余弦定理推出 AC +BC =5AB ,将 公式化简得 λ=
2 2 2

+

=

应用三角恒等变换

,然后运用正弦定理和余弦定理,结合前面的结论,即可求

出实数 λ 的值. 解答: 解:如图,连接 CG,延长交 AB 于 D, 由于 G 为重心,故 D 为中点, ∵AG⊥BG,∴DG= AB, 由重心的性质得,CD=3DG,即 CD= AB, 由余弦定理得,AC =AD +CD ﹣2AD?CD?cos∠ADC, 2 2 2 BC =BD +CD ﹣2BD?CD?cos∠BDC, ∵∠ADC+∠BDC=π,AD=BD,
2 2 2

∴AC +BC =2AD +2CD , ∴AC +BC = AB + AB =5AB , 又∵ ∴ ∴λ= = = = + + = = , ,
2 2 2 2 2

2

2

2

2

=

= . 即 λ= . 故答案为: .

点评:本题主要考查解三角形中的正弦定理与余弦定理及应用, 考查三角恒等变换, 三角形 的重心的性质,考查运算能力,有一定的难度. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 2 2 2 17.已知 p:x ﹣8x﹣20≤0;q:1﹣m ≤x≤1+m . (Ⅰ)若 p 是 q 的必要条件,求 m 的取值范围; (Ⅱ)若¬p 是¬q 的必要不充分条件,求 m 的取值范围. 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析: (Ⅰ)求出 p,q 成立的等价条件,根据 p 是 q 的必要条件,建立条件关系即可.

(Ⅱ)利用¬p 是¬q 的必要不充分条件,即 q 是 p 的必要不充分条件,建立条件关系进行 求解即可. 解答: 解:由 x ﹣8x﹣20≤0 得﹣2≤x≤10,即 p:﹣2≤x≤10, 2 2 由 x +2x+1﹣m ≤0 得[x+(1﹣m)][x+(1+m)]≤0, 2 2 q:1﹣m ≤x≤1+m . (Ⅰ)若 p 是 q 的必要条件, 则 ,即 ,即 m ≤3,
2 2

解得 ≤m≤ , 即 m 的取值范围是[ , ]. (Ⅱ)∵¬p 是¬q 的必要不充分条件, ∴q 是 p 的必要不充分条件. 即 ,即 m ≥9,解得 m≥3 或 m≤﹣3.
2

即 m 的取值范围是 m≥3 或 m≤﹣3. 点评:本题主要考查充分条件和必要条件的应用,利用逆否命题的等价性将¬p 是¬q 的必 要不充分条件转化为 q 是 p 的必要不充分条件,是解决本题的关键. 18.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,满足:c?cosBsinC+( cosC=0. (Ⅰ)求 C 的大小; (Ⅱ)若 c= ,求 a+b 的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的值. a+csinB)

考点:余弦定理;正弦定理. 专题:解三角形. 分析: (Ⅰ)由三角函数恒等变换的应用及正弦定理化简已知等式可得:sinCsinA=﹣ sinAcosC,结合范围 0<A<π,可得 tanC=﹣ ,从而解得 C 的值. (Ⅱ)由正弦定理可得 a+b=2sin(A 可求 sin(A+ )∈( ) ,由 A , ,

,1],即可得解.

解答: 解: (Ⅰ)由 c?cosBsinC+( a+csinB)cosC=0. 可得 csin(B+C)=﹣ acosC,所以 csinA=﹣ acosC, 由正弦定理可得:sinCsinA=﹣ sinAcosC, 因为 0<A<π,所以 sinA>0,从而 sinC=﹣ cosC, 即 tanC=﹣ ,从而解得:C= …6 分 ,可得 ) )=2( , )=2sin(A ) ,

(Ⅱ)由正弦定理:

所以:a+b=2(sinA+sinB)=2(sinA+sin(

又因为 A+B= 1], 所以 a+b∈(

,得:A



,sin(A+

)∈(



,2],所以(a+b)max=2,此时 A+

=

,即 A=B=

…12 分

点评:本题主要考查了三角函数恒等变换的应用及正弦定理的应用,所以基本知识的考查. 19.学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其在 40 分钟 的一节课中,注意力指数 y 与听课时间 x(单位:分钟)之间的关系满足如图所示的图象, 当 x∈(0,12]时,图象是二次函数图象的一部分,其中顶点 A(10,80) ,过点 B(12,78) ; 当 x∈[12,40]时,图象是线段 BC,其中 C(40,50) .根据专家研究,当注意力指数大于 62 时,学习效果最佳. (1)试求 y=f(x)的函数关系式; (2)教师在什么时段内安排内核心内容,能使得学生学习效果最佳?请说明理由.

考点:函数解析式的求解及常用方法;函数的最值及其几何意义. 专题:函数的性质及应用. 分析: (1)当 x∈(0,12]时,设 f(x)=a(x﹣10) +80,把点(12,78)代入能求出 解析式;当 x∈[12,40]时,设 y=kx+b,把点 B(12,78) 、C(40,50)代入能求出解析式. (2)由(1)的解析式,结合题设条件,列出不等式组,能求出老师就在什么时段内安排核 心内容,能使得学生学习效果最佳 解答: 解: (1)当 x∈(0,12]时, 2 设 f(x)=a(x﹣10) +80…(1 分) 过点(12,78)代入得, 则 …(3 分)
2

当 x∈[12,40]时, 设 y=kx+b,过点 B(12,78) 、C(40,50) 得 ,即 y=﹣x+90…(6 分)

则的函数关系式为

…(7 分)

(2)由题意得,



…(9 分)

得 4<x≤12 或 12<x<28, 4<x<28…(11 分) 则老师就在 x∈(4,28)时段内安排核心内容,能使得学生学习效果最佳.…(12 分)

点评:本题考查解析式的求法,考查不等式组的解法,解题时要认真审题,注意待定系数法 的合理运用.

20.某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|< 周期内的图象时,列表并填入的部分数据如下表: x ωx+φ x1 0 x2 π x3 2π

)在某一个

Asin(ωx+φ) 0 0 ﹣ 0 (Ⅰ)请求出上表中的 x1,x2,x3,并直接写出函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)将 f(x)的图象沿 x 轴向右平移 个单位得到函数 g(x) ,若函数 g(x)在 x∈[0, m](其中 m∈(2,4)上的值域为[﹣ Q,求 与 夹角 θ 的大小. , ],且此时其图象的最高点和最低点分别为 P、

考点:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)由五点作图的第二点和第四点列式求出 ω,φ 的值,则函数解析式可求,再 由五点作图的第一、三、五点求解 x1,x2,x3 的值; (Ⅱ)求出平移后的函数解析式,结合 g(x)在 x∈[0,m](其中 m∈(2,4)上的值域为[﹣ , ]求得图象的最高点和最低点分别为 P、Q 的坐标,代入向量的夹角公式得答案.

解答: 解: (Ⅰ)由图表可知,

,解得



由 由 由 ∴

,得 ,得 ,得

. . . ; , ],

(Ⅱ)将 f(x)的图象沿 x 轴向右平移 个单位得到函数 g(x)= 由于 g(x)在 x∈[0,m](其中 m∈(2,4)上的值域为[﹣ 则 m≥3,故最高点为 则 ,最低点为 Q( , , ) .

则 ∵θ∈[0,π], ∴ .



点评:本题考查了三角函数的五点作图法,考查了 y=Asin(ωx+φ)的图象的变换,训练了 向量的夹角公式的应用,是中档题.

21.定义在 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 4,且 x∈(0,2)时, (1)求 f(x)在[﹣2,2]上的解析式; (2)判断 f(x)在(0,2)上的单调性,并给予证明; (3)当 λ 为何值时,关于方程 f(x)=λ 在[﹣2,2]上有实数解?



考点:函数与方程的综合运用;函数解析式的求解及常用方法;函数单调性的判断与证明; 奇函数;函数的周期性. 专题:综合题. 分析: (1)可设 x∈(﹣2,0) ,则﹣x∈(0,2)由 x∈(0,2)时, =

可求 f(﹣x) ,再由奇函数的性质可求 (2)利用函数的单调性的定义进行证明即可 (3)转化为求解函数 f(x)在(﹣2,2)上的值域,结合(2)可先求 f(x)在(0,2) 上的值域,然后结合奇函数的对称性可求在(﹣2,0)上的值域 解答: 解: (1)设 x∈(﹣2,0) ,则﹣x∈(0,2) ∵x∈(0,2)时, =



由函数 f(x)为奇函数可得,f(﹣x)=﹣f(x) ∴

∵f(0)=0, ∵周期为 4 且为奇函数,f(﹣2)=﹣f(2)=f(2) ∴f(﹣2)=f(2)=0

(2)设 0<x1<x2<2 令



=

= ∵0<x1<x2<2 ∴g(x1)<g(x2) ∴函数 g(x)在(0,2)单调递增,且 g(x)>0 ∴f(x)在(0,2)单调递减 (3)由(2)可得当 0<x<2 时, 故 由奇函数的对称性可得,x∈(﹣2,0)时, 当 x=0 时,f(0)=0 ∵关于方程 f(x)=λ 在[﹣2,2]上有实数解 ∴ 点评:本题主要考查了利用函数的奇函数的 性质求解函数的解析式,及利用函数单调性的 定义进行判断函数单调性的问题,还考查了方程与函数的相互转化的思想在解题中的应用, 属于综合试题 单调递减

22.设函数 f(x)=lnx﹣

﹣bx

(Ⅰ)当 a=b= 时,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)令 F(x)=f(x)+ 的斜率 k≤ 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)当 a=0,b=﹣1 时,方程 f(x)=mx 在区间[1,e ]内有唯一实数解,求实数 m 的取值 范围. 考点:利用导数研究函数的单调性; 根的存在性及根的个数判断; 利用导数研究曲线上某点 切线方程. 专题:计算题;压轴题. 分析: (I)先求导数 fˊ(x)然后在函数的定义域内解不等式 fˊ(x)>0 和 fˊ(x)<0, fˊ(x)>0 的区间为单调增区间,fˊ(x)<0 的区间为单调减区间. (II)先构造函数 F(x)再由以其图象上任意一点 P(x0,y0)为切点的切线的斜率 k≤ 恒 成立,知导函数≤ 恒成立,再转化为所以 a≥(﹣ ,x0 +x0)max 求解. (III)先把程 f(x)=mx 有唯一实数解,转化为 有唯一实数解,再利用单调函数
2 2

<x≤3) ,其图象上任意一点 P(x0,y0)处切线

求解. 解答: 解: (Ⅰ)依题意,知 f(x)的定义域为(0,+∞) . (1 分) 当 a=b= 时,f(x)=lnx﹣ x ﹣ x, f′(x)= ﹣ x﹣ = . (2 分)
2

令 f′(x)=0,解得 x=1. 当 0<x<1 时,f′(x)>0,此时 f(x)单调递增; 当 x>1 时,f′(x)<0,此时 f(x)单调递减. (3 分) 所以函数 f(x)的单调增区间(0,1) ,函数 f(x)的单调减区间(1,+∞) . (4 分) (Ⅱ)F(x)=lnx+ ,x∈(0,3], ≤ ,在 x0∈(0,3]上恒成立, (6 分)

所以 k=F′(x0)=
2

所以 a≥(﹣ x0 +x0)max,x0∈(0,3](7 分) 当 x0=1 时,﹣ x0 +x0 取得最大值
2

.所以 a≥ . (9 分)

(Ⅲ)当 a=0,b=﹣1 时,f(x)=lnx+x, 2 因为方程 f(x)=mx 在区间[1,e ]内有唯一实数解, 所以 lnx+x=mx 有唯一实数解.





设 g(x)=

,则 g′(x)=



令 g′(x)>0,得 0<x<e; g′(x)<0,得 x>e, ∴g(x)在区间[1,e]上是增函数,在区间[e,e ]上是减函数, g(1)=1,g(e )=1+ 所以 m=1+ ,或 1≤m<1+
2 2

=1+ .

,g(e)=1+ ,

点评:本题主要考查函数的单调性、极值、不等式、方程的解等基本知识,同时考查运用导 数研究函数性质的方法,分类与整合及化归与转化等数学思想.


推荐相关:

2014-2015学年重庆一中高二(下)期末数学试卷(文科)

2014-2015学年重庆一中高二(下)期末数学试卷(文科)_高中教育_教育专区。2014-2015 学年重庆一中高二(下)期末数学试卷(文科)一、选择题: (本大题共 12 小题,...


2014-2015学年重庆一中高二(下)期末数学试卷(文科) Word版含解析

2014-2015学年重庆一中高二(下)期末数学试卷(文科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。2014-2015 学年重庆一中高二(下)期末数学试卷(文科)一、选择题: (本...


重庆市第一中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文科)试卷_Word版含答案

重庆市第一中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文科)试卷_Word版含答案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。秘密★启用前 2015 年重庆一中高 2016 级高二...


重庆一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析

重庆一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。重庆一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷(文科)一、选择题(本...


2014-2015学年重庆一中高二下期末文科语文试卷G

2014-2015学年重庆一中高二下期末文科语文试卷G_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。1.按要求默写填空。 (8 分) 【小题 1】只恐双溪舴艋舟, 。 【小题 ...


2014-2015学年重庆一中高二(下)期中生物试卷(文科)

2014-2015 学年重庆一中高二(下)期中生物试卷(文科)一、单项选择题(共 30 题,每小题 2 分,共 60 分) 1. (2 分) (2012 秋?安溪县校级期末)如果绵羊的...


重庆一中2014-2015学年高二(上)期末生物试卷(文科)

2014-2015 学年重庆一中高二()期末生物试卷(文科)一、单选题(本题共 30 题,每题 2 分,共 60 分) 1. (2 分) (2014 秋?重庆校级期末)一个大肠杆菌...


重庆市第一中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学试卷

重庆市第一中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学试卷_数学_高中教育_教育专区。秘密★启用前 2015 重庆一中高 2017 级高一下期期末考试 数学试题卷 1.直线 3x...


重庆一中2014-2015学年高二数学上学期期中试题 文

重庆一中 2014-2015 学年高二数学上学期期中试题 文本试卷分第 I 卷(选择题)...2014 年重庆一中高 2016 级高二上期半期考试 数学答案(文科)2014.11 C1 一、...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com