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第一讲函数与图像


第9讲

平面直角坐标系及函数

第10讲 一次函数的图象与性质 第11讲 一次函数的应用 第12讲 反比例函数 第13讲 二次函数的图象与性质 第14讲 二次函数的应用

第9讲

平面直角坐标系及 函数

第9讲┃ 平面直角坐标系及函数

┃考点自主梳

理与热身反馈 ┃ 考点1 平面直角坐标系
对应关系

坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的 (1)各象限内点的坐标的特征 平面内点 点P(x,y)在第一象限:x______0,y______0; > > P(x,y)的 点P(x,y)在第二象限:x______0,y______0; < > 坐标的特征 点P(x,y)在第三象限:x______0,y______0; < < 点P(x,y)在第四象限:x______0,y______0 < >

第9讲┃ 平面直角坐标系及函数

(2)坐标轴上点的坐标的特征 平面内点 点P(x,y)在x轴上,则y=0,x为任意数; P(x,y)的 点P(x,y)在y轴上,则x=0,y为任意数; 坐标的特征 点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上,则x、y 同时为零,即点P的坐标为(0,0)

第9讲┃ 平面直角坐标系及函数

1.[2012· 宿迁]在平面直角坐标系中,点M(-2,3)在( B A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

)

第9讲┃ 平面直角坐标系及函数

2.如图9-1,已知棋子“車”的坐标为(-2,3),棋子 “馬”的坐标为(1,3),则棋子“炮”的坐标为( A )

A.(3,2) C.(2,2)

图9-1 B.(3,1) D.(-2,2)

[解析]由棋子“車”的坐标为(-2,3),棋子“馬”的坐标为(1,3), 可知原点为底边正中间的点,x轴是底边,向右为正,y轴是左右正中 间的线,向上为正方向,所以“炮”的坐标为(3,2).故选A.

第9讲┃ 平面直角坐标系及函数

3.在坐标平面内,若点P(x-2,x+1)在第二象限,则x的取 值范围是( D ) A.x>2 B.x<2 C.x>-1 D.-1<x<2
[解析] 因为点P(x-2,x+1)在第二象限,所以x-2<0,x+1 >0,解得-1<x<2.故选D.

第9讲┃ 平面直角坐标系及函数

4.点M(a,b)是第四象限中的点,且点M到x轴的距离为 (1,-4) 4,到y轴的距离为1,则点M的坐标为________.

第9讲┃ 平面直角坐标系及函数

考点2

平面直角坐标系中点的对称与平移

在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右(或左)平移a个单 (x+a,y) (x-a,y) 用坐标表 位长度,可以得到对应点是________(或________);将 示平移 点(x,y)向上(或下)平移b个单位长度,可以得到点 (x,y+b) (x,y-b) ________(或________) 点P(x,y)关于x轴对称的点 关于x轴 规律可归纳 (x,-y) P1的坐标为________ 用坐标 为:谁对称谁 点P(x,y)关于y轴对称的点 表示对 不变,另一个 关于y轴 (-x,y) P2的坐标为________ 称点 变号,原点对 点P(x,y)关于原点对称的点 称都变号 关于原点 (-x,-y) P3的坐标为________

第9讲┃ 平面直角坐标系及函数

5.[2012· 沈阳] 在平面直角坐标系中,P(-1,2)关于x轴的 对称点的坐标为( A ) A.(-1,-2) B.(1,-2) C.(2,-1) D.(-2,1)

6.在平面直角坐标系中,将点(-2,-3)向上平移3个单位再 (-4,0) 向左平移2个单位,则平移后的点的坐标为________.

第9讲┃ 平面直角坐标系及函数

考点3

函数的概念及其表示法
在一个过程中有两个变量x和y,对于x 唯一确定 的每一个确定的值,y都有________的 自变量 值与之对应,则x叫做__________, y x ____是_____的函数 列表法 函数的表示法有____________、 图象法 解析式法 ________和___________ 使函数有意义的自变量所取的值的范围

函数的 概念 函数的 表示法 函数自变量 的取值范围

第9讲┃ 平面直角坐标系及函数

7.对于圆的周长公式C=2π R,下列说法正确的是 ( D ) A.π 、R是变量,2是常量 B.R是变量,π 是常量 C.C是变量,π 、R是常量 D.C、R是变量,2、π 是常量

第9讲┃ 平面直角坐标系及函数

8.下列函数中自变量x的取值范围是x>1的是( A ) 1 A.y= B.y= x-1 x-1 1 C.y= x-1 1 D.y= 1-x

9.在某次实验中,测得两个变量m和v之间的4组对应数据如 下表,则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的( B ) m 1 2 3 4 v 0.01 2.9 8.03 15.1 A.v=2m-2 B.v=m2-1 C.v=3m-3 D.v=m+1
[解析] 当m=4时,A.v=2m-2=6; B.v=m2-1=15;C.v=3m-3=9;D.v=m+1=5.

第9讲┃ 平面直角坐标系及函数

10.小华利用计算机设计了一个计算程序,输入和输出的 数据如下表.那么当输入数据是8时,输出的数据是( C ) 输入 ? 1 2 3 ? 4 5 输出 ? 8 A. 61 1 2 2 5 3 10 8 C. 65 4 17 5 26 ? 8 D. 67

8 B. 63

x [解析] 由表可知:输入x时,输出 2 , x +1 ∴x=8时,输出 8 8 = .故选C. 82+1 65

第9讲┃ 平面直角坐标系及函数

11.下列图象不是函数图象的是( C

)

A

B 图9-2

C

D

第9讲┃ 平面直角坐标系及函数

考点4

函数图象的应用
函数图象 作函数图 象的一般 步骤 把一个函数的自变量x和函数的值y分别作 为横、纵坐标,描出点,所有这些点所组 成的图象就是函数图象
列表 作函数图象的一般步骤为_______、 连线 _______和________ 描点

函数图象 的应用

图象上点的坐标与函数解析式的两个变量 是相对应的,也就是说点在函数图象上, 成立 则点的坐标能使函数解析式________,反 之,能使函数解析式成立的一对值为坐标 在函数图象上 的点一定________

第9讲┃ 平面直角坐标系及函数

12.已知y关于x的函数图象如图9-3所示,则当y<0时,自 变量x的取值范围是( B )

A.x<0 C.x>-1

图9-3 B.-1<x<1或x>2 D.x<-1或1<x<2

第9讲┃ 平面直角坐标系及函数

13.一列火车由甲市匀速驶往相距600千米的乙市,火车的速 度是200千米/小时,火车离乙市的距离s(千米)随行驶时间t(小时) 变化的关系用图象表示是图9-4中的( D )

图9-4 第9讲┃ 平面直角坐标系及函数

[解析] 由题意知,甲市与乙市相距600千米,火车的速 度为200千米/小时,所以需用600÷ 200=3(小时),而图象表 示的是火车离乙市距离s(千米)随行驶时间t(小时)的变化关 系,随着时间的增多,离乙市的距离将越来越小,s不断变 小,排除B、C;而x的取值范围为0<x<1,排除A.

第9讲┃ 平面直角坐标系及函数

14.将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的 大圆柱形容器内,现用一注水管沿大容器内壁 匀速注水(如图9-5所示),则小水杯内水面的高 度h(cm)与注水时间t(min)的函数图象大致为 (B ) 图9-5

图9-6

第9讲┃ 平面直角坐标系及函数

[解析] 将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没 有水的大圆柱形容器内,小玻璃杯内的水原来的高度一定大 于0,则可以判断A、D一定错误.用一注水管沿大容器内壁 匀速注水,水开始时不会流入小玻璃杯,因而这段时间h不 变,当大杯中的水面与小杯水平时,开始向小杯中流水,h 随t的增大而增大,当水注满小杯后,小杯内水面的高度h不 再变化.

第9讲┃ 平面直角坐标系及函数

15.星期天,小明与小刚骑自行车去距家50千米的某地旅 游,匀速行驶1.5小时的时候,其中一辆自行车出故障,因此二人 在自行车修理点修车,用了半个小时,然后以原速继续前行,行 驶1小时到达目的地.请在图9-7的平面直角坐标系中画出符合他 们行驶的路程s(千米)与行驶时间t(时)之间的函数图象.

图9-7 第9讲┃ 平面直角坐标系及函数

[解析] 分析题意可知,2.5个小时走完全程50千米, 所以1.5小时走了30千米,休息0.5小时后1小时走了20千 米,由此作图即可.

解:

第9讲┃ 平面直角坐标系及函数

┃考向互动探究与方法归纳┃
┃典型分析┃
例 如图9-8,图象(折线OEFPMN)描述 了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关 系,下列说法中错误的是( C ) 图9-8 A.第3分时汽车的速度是40千米/时 B.第12分时汽车的速度是0千米/时 C.从第3分到第6分,汽车行驶了120千米 D.从第9分到第12分,汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时

第9讲┃ 平面直角坐标系及函数

[解析] 横轴表示时间,纵轴表示速度. 当第3分的时候,对应的速度是40千米/时,A对; 第12分的时候,对应的速度是0千米/时,B对; 从第3分到第6分,汽车的速度保持丌变,是40千米/时,行 1 驶的路程为40× =2(千米),C错; 20 第9分和第12分,汽车对应的速度分别是60千米/时,0千米/ 时,所以汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时,D对.综上可 得错误的是C.

第9讲┃ 平面直角坐标系及函数

[方法归纳] 读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的 含义,理解问题叙述的过程,能够通过图象得到随自变量的 增大,函数值是增大还是减小.

第9讲┃ 平面直角坐标系及函数

某人骑车外出,所行的路程s(千米)与时间t(小时) 的函数关系如图9-9所示.现有下列说法: ①第3小时中的速度比第1小时中的速度快; ②第3小时中的速度比第1小时中的速度慢; ③第3小时后已停止前进; ④第3小时后保持匀速前进. 其中说法正确的是( A ) A.②③ B.①④ C.①③ D.②④ 图9-9

第9讲┃ 平面直角坐标系及函数

[解析] 根据函数图象可知,前三个小时,每段的图象 都是直线,是一次函数,每段中都是匀速运动,函数图象的 倾斜角越大说明速度越大,3小时以后路程随着时间的增加不 变,因而第3小时后已停止前进,因而正确的说法是②③.

第9讲┃ 平面直角坐标系及函数

第10讲

一次函数的图象 与性质

第10讲┃ 一次函数的图象与性质

┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 一次函数的定义
≠0 形如y=kx(k____)的函数叫做正比例 函数 形如y=kx+b(k____)的函数叫做一 ≠0 次函数 正比例函数是特殊的一次函数

正比例函数 一次函数 注意

第10讲┃ 一次函数的图象与性质

-4 1.对于函数y=(m-4)x+(m2-16),当m=________时, ≠4 它是正比例函数;当m________时,它是一次函数. 2.定义[p,q]为一次函数y=px+q的特征数.若特征数 2 是[2,k-2]的一次函数为正比例函数,则k的值是________.

第10讲┃ 一次函数的图象与性质

考点2

一次函数的图象与性质

(1)图象 正比例函数 一次函数

图象关系

是经过点(0,0)和点(1,k)的一条直线 b -k b 是经过点(0,________)和(________,0) 的一条直线 一次函数y=kx+b的图象可由正比例函数 y=kx的图象平移得到,b>0,上移b个单 位;b<0,下移|b|个单位

第10讲┃ 一次函数的图象与性质

第10讲┃ 一次函数的图象与性质

第10讲┃ 一次函数的图象与性质

3.一次函数y=-3x-2的图象不经过( A A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

)

4.若一次函数y=kx+b的函数值y随x的增大而减小, 且图象与y轴的负半轴相交,那么对k和b的符号判断正确的 是( D ) A.k>0,b>0 B.k>0,b<0 C.k<0,b>0 D.k<0,b<0

第10讲┃ 一次函数的图象与性质

5.在一次函数y=2x+3中,y随x的增大而________(填 增大 “增大”或“减小”),当0≤x≤5时,y的最小值为 ________. 3

[解析] 一次函数y=2x+3中,k=2>0,∴y随x的增大 而增大,∴当0≤x≤5时,y的最小值为x=0时,y最小=3.

6.将直线y=2x向右平移1个单位后所得图象对应的函数 y=2x-2 解析式为________.
第10讲┃ 一次函数的图象与性质

考点3

待定系数法求一次函数解析式
求正比例函 数解析式 求一次函数 解析式 设正比例函数解析式为 y=kx(k≠0) _____________,然后选取一对x,y的 值代入即可求解析式 设一次函数解析式为____________,然 y=kx+b(k≠0) 后选取两对x,y的值代入解析式,联立 方程组即可求解析式

第10讲┃ 一次函数的图象与性质

7.直线y=kx+b经过点A(0,3),B(-2,0),则k的值为 ( B ) 3 2 3 A.3 B. C. D.- 2 3 2

8.已知y是x的一次函数,下表给出了部分对应值,则m的值 -7 是________. x -1 2 5 y 5 -1 m

第10讲┃ 一次函数的图象与性质

9.在直角坐标系xOy中,直线l过(1,3)和(3,1)两点,且 与x轴,y轴分别交于A,B两点. (1)求直线l的函数解析式; (2)求△AOB的面积.

图10-2

第10讲┃ 一次函数的图象与性质

解:(1)设直线l的函数解析式为y=kx+b(k≠0),
?3k+b=1, 把(3,1),(1,3)代入y=kx+b,得? ?k+b=3, ?k=-1, 解方程组得? ?b=4,

∴直线l的函数解析式为y=-x+4. (2)当x=0时,y=4,∴B(0,4). 当y=0时,-x+4=0,解得x=4,∴A(4,0). 1 1 ∴S△AOB= AO·BO= ×4×4=8. 2 2

第10讲┃ 一次函数的图象与性质

考点4

一次函数与方程(组)、不等式的关系
一次函数与 一次函数y=kx+b(k≠0)的值为0时,相 一次方程 应的自变量的值为方程kx+b=0的根 一次函数与 一次函数y=kx+b(k≠0)的值大于(或小 一元一次 于)0,相应的自变量的值为不等式kx+ 不等式 b>0(或kx+b<0)的解集 两直线的交点是两个一次函数解析式y 一次函数与 =k1x+b1和y=k2x+b2所组成的方程组 ?y=k1x+b1, 方程组 ? ? 的解 ?y=k2x+b2 ?

第10讲┃ 一次函数的图象与性质

10.如图10-4,一次函数y=kx+b的图象经过A、B两 点,则kx+b>0的解集是( C ) A.x>0 B.x>3 C.x>-3 D.-3<x<2

图10-4

第10讲┃ 一次函数的图象与性质

11.如图10-5,直线y1=k1x+a与y2=k2x+b的交点坐 标为(1,2),则使y1<y2的x的取值范围为( C ) A.x>1 B.x>2 C.x<1 D.x<2

图10-5

第10讲┃ 一次函数的图象与性质

12.下面四条直线,其中直线上每个点的坐标都是二 元一次方程x-2y=2的解的是( C )

图10-6

第10讲┃ 一次函数的图象与性质

┃考向互动探究与方法归纳┃
┃典型分析┃
例 已知一次函数的图象经过点P(0,-2),且与两条坐标 轴截得的直角三角形的面积为3,求一次函数的解析式.
1 [解析] 先画草图如图10-7,根据已知条件:S△OPA= OP· OA, 2

可求出OA,则A点坐标可求出,再求解析式.

图10-7

第10讲┃ 一次函数的图象与性质

1 1 解:根据已知条件:S△OPA= OP· OA,即3= ×|-2|· OA,∴OA 2 2 =3.∴一次函数图象经过点(3,0)和点(0,-2),或经过点(-3,0)和 点(0,-2). 设一次函数解析式为y=kx+b,

?-2=k×0+b, ?-2=k×0+b, 解方程组 ? 和? 可得b1=-2,k1 ?0=3k+b ?0=-3k+b,
2 2 2 2 = 和k2=- ,b2=-2,∴y1= x-2,y2=- x-2. 3 3 3 3

第10讲┃ 一次函数的图象与性质

[方法归纳]

注意熟练掌握直线与坐标轴围成的三角形的

1 面积= ×与x轴交点的横坐标的绝对值×与y轴交点的纵坐标 2 的绝对值. [点拨] 种情况. 本题容易出错的是把两种情况漏掉一个而当作一

第10讲┃ 一次函数的图象与性质

如图10-8,已知直线y=x+3的图象与x轴、y轴 交于A、B两点.直线l经过原点,与线段AB交于点C,把 △AOB的面积分为2∶1的两部分.求直线l的解析式.

图10-8

第10讲┃ 一次函数的图象与性质

解:求得A(-3,0),B(0,3).如图(1),当直线l把△ABO的 面积分为S△AOC∶S△BOC=2∶1时,作CF⊥OA,垂足为F, 1 9 2 2 9 CE⊥OB,垂足为E,S△AOB= ×3×3= .则S△AOC= S△AOB= × 2 2 3 3 2 =3. 1 1 ∴ AO·CF=3.即 ×3×CF=3.∴CF=2. 2 2 同理,解得CE=1.∴C(-1,2). ∴直线l的解析式为y=-2x.

第10讲┃ 一次函数的图象与性质

如图(2),当直线l把△ABO的面积分为S△AOC∶S△BOC=1∶2时, 同理求得C(-2,1). 1 ∴直线l的解析式为y=- x. 2

第10讲┃ 一次函数的图象与性质

第11讲

一次函数的应用

第11讲┃ 一次函数的应用

┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 一次函数性质的应用
一次函数的自变 量与函数值 的应用 一次函数的增、 减性的应用 利用一次函数的函数值与自变量的 对应,求实际问题中的最大值、最 小值或求某个范围 利用一次函数的增、减性解决实际 问题中的变化规律和发展趋势

第11讲┃ 一次函数的应用

1.声音在空气中传播的速度y(m/s)是气温x(℃)的一次函 数,下表列出了一组不同气温的音速: 气温x(℃) 0 5 10 15 20 音速y(m/s) 331 334 337 340 343 3 y= x+331 (1)y与x之间的函数解析式是_____________; 5 (2)气温x=23 ℃时,某人看到烟花燃放5 s后才听到声 响,此人与烟花燃放地约相距________m. 1724

第11讲┃ 一次函数的应用

2.我市化工园区一化工厂,组织20辆汽车装运A、B、C三种化学物 资共200吨到某地.按计划20辆汽车都要装运,每辆汽车只能装运同一种 物资且必须装满.请结合表中提供的信息,解答下列问题: (1)设装运A种物资的车辆数为x,装运B种物资的车辆数为y.求y与x的 函数解析式; (2)如果装运A种物资的车辆数不少于5辆,装运B种物资的车辆数不 少于4辆,那么车辆的安排有几种方案?并写出每种安排方案; (3)在(2)的条件下,若要求总运费最少,应采用哪种安排方案?请求 出最少总运费. 物资种类 每辆汽车运载量(吨) 每吨所需运费(元/吨) A 12 240 B 10 320 C 8 200

第11讲┃ 一次函数的应用

解:(1)根据题意,得12x+10y+8(20-x-y)=200, ∴y=-2x+20.
?x≥5, (2)根据题意,得? 解得5≤x≤8 ?20-2x≥4.

∵x取正整数,∴x=5,6,7,8, ∴共有4种方案,即 A 方案一 方案二 方案三 方案四 5 6 7 8 B 10 8 6 4 C 5 6 7 8

(3)设总运费为M元,则M=12×240x+10×320(20-2x)+8×200(20 -x+2x-20)即M=-1920x+64000. ∵M是x的一次函数,且M随x增大而减小,∴当x=8时,M最小,最 少为48640元.

第11讲┃ 一次函数的应用

考点2

一次函数图象的应用

图象与坐标轴 利用直线与坐标轴的交点求图 交点的应用 形面积 图象上点的坐 利用直线上点的坐标的实际意 标的应用 义解决实际问题 图象交点坐标 利用直线交点坐标的意义解决 的应用 实际问题

第11讲┃ 一次函数的应用

3.某航空公司规定,旅客乘机所携带行李的质量x(kg)与其运 费y(元)由如图11-1所示的一次函数图象确定,那么旅客可携带 的免费行李的最大质量为( A ) A.20 kg B.25 kg C.28 kg D.30 kg

图11-1

第11讲┃ 一次函数的应用

4.某校食堂有一太阳能热水器,其水箱的最大蓄水量为1000 升,往空水箱注水,在没有放水的情况下,水箱的蓄水量y(升)与匀速 注水时间x(分钟)之间的关系如图11-2所示. (1)试求出y与x之间的函数解析式; (2)若水箱中原有水400升,按上述速度注水15分钟,能否将水箱 注满?

图11-2

第11讲┃ 一次函数的应用

解:(1)设函数解析式为y=kx,由题意可得 2k=60.解得k=30.因此函数解析式为y=30x. (2)由(1)可知:当x=15时,y=15×30=450, 450+400=850<1000, 因此不能将水箱注满.

第11讲┃ 一次函数的应用

5.某家庭装修房屋,由甲、乙两个装修公司合作完成.先 由甲装修公司单独装修3天,剩下的工作由甲、乙两个装修公司 合作完成.工程进度满足如图11-3所示的函数关系,该家庭共 支付工资8000元. (1)完成此房屋装修共需多少天? (2)若按完成工作量的多少支付工资,甲装修公司应得多少 元?

图11-3 第11讲┃ 一次函数的应用

解:(1)解法一:设一次函数的解析式(合作部分)是y=kx +b(k≠0,k,b是常数).
? 1? ? 1? ∵?3,4?,?5,2?在图象上, ? ? ? ?

?1=3k+b, ?k=1, ?4 ? 8 代入得? 解得? 1 ? =5k+b, ?b=-1. 8 ?2 ?
1 1 ∴一次函数的解析式为y= x- . 8 8 当y=1时,解得x=9. ∴完成此房屋装修共需9天.

第11讲┃ 一次函数的应用

1 解法二:由正比例函数图象可知:甲的效率是 ,乙的工 12 1 1 1 作效率是 - = . 8 12 24 1? 3 ?1 甲、乙合作的天数: ÷?12+24?=6(天). 4 ? ? ∵甲先工作了3天, ∴完成此房屋装修共需9天. 1 (2)由正比例函数图象可知:甲的工作效率是 . 12 1 3 甲9天完成的工作量是9× = . 12 4 3 ∴甲得到的工资是 ×8000=6000(元). 4 第11讲┃ 一次函数的应用

考点3

一次函数与二元一次方程(组)或不等式的应用

6.甲、乙两人骑车从学校出发,先上坡到距学校6千米的A 地,再下坡到距学校16千米的B地,甲、乙两人行程y(千米)与时 间x(小时)之间的函数关系如图11-4所示.若甲、乙两人同时从 B地按原路返回到学校,返回时,甲和乙上、下坡的速度仍保持 不变.则下列结论:①乙往返行程中的平均速度相同;②乙从学 校出发45分钟后追上甲;③乙从B地返回到学校用时1小时18分 钟;④甲、乙返回时在下坡路段相遇.其中正确的结论有( D )

第11讲┃ 一次函数的应用

A.②③ C.①②④

图11-4 B.①④ D.②③④

第11讲┃ 一次函数的应用

7.某学校组织了一次野外长跑活动,参加长跑的同学出发 后,另一些同学从同地骑自行车前去加油助威.如图11-5,线 段l1,l2分别表示长跑的同学和骑自行车的同学行进的路程y(千 米)随时间x(分钟)变化的函数图象,根据图象,解答下列问题: (1)分别求出长跑的同学和骑自行车的同学 的行进路程y与时间x的函数解析式; (2)长跑的同学出发多少分钟后,骑自行车 的同学就追上了长跑的同学.

图11-5

第11讲┃ 一次函数的应用

解:(1)设长跑的同学的函数解析式为y=kx,因图象过点(60,10), 1 1 所以k= ,即该函数的解析式是y= x. 6 6 设骑自行车的同学的函数解析式为y=ax+b,因图象过点(20,0)、

?a= , ?0=20a+b, ? 2 ? (40,10),所以有 解之可得? ?10=40a+b, ?
1 1 即该函数解析式是y= x-10. 2

?b=-10,

?y=1x, ? 6 (2)根据题意,得方程组? 解得x=30. 1 ?y= x-10, ? 2
即长跑的同学出发了30分钟后,骑自行车的同学就追上了长跑的同学.

第11讲┃ 一次函数的应用

┃考向互动探究与方法归纳┃
┃典型分析┃
例 星期天,小强骑自行车到郊外与同学一起游玩,从家出 发2小时到达目的地,游玩3小时后按原路以原速返回,小强离家4 小时40分钟后,妈妈驾车沿相同路线迎接小 强,如图11-6,是他们离家的路程y(千米)与 时间x(时)的函数图象.已知小强骑车的速度 为15千米/时,妈妈驾车的速度为60千米/时. (1)小强家与游玩地的距离是多少? (2)妈妈出发多长时间与小强相遇? 图11-6
第11讲┃ 一次函数的应用

[解析] (1)直接利用时间乘速度即可求得路程;(2)分别求 出直线BD,CD的解析式,联立方程组即可求得交点横坐标, 即为相遇的时间.

图11-7

第11讲┃ 一次函数的应用

解:(1)小强家不游玩地的距离是2×15=30(千米); (2)如图11-7,过点B作x轴的垂线BE,垂足为E,交CD于点F, 延长BD交x轴于点G. 14 则由题意,得B(5,30),G(7,0),C ,0. 3 14 FE=5- ×60=20,∴点F的坐标为(5,20). 3 设直线BG的解析式为y=k1x+b1.

?5k1+b1=30, ?k1=-15, ∴? 解得? ?7k1+b1=0, ?b1=105.
∴y=-15x+105.

第11讲┃ 一次函数的应用

设直线CF的解析式为y=k2x+b2,

?14k2+b2=0, ?k2=60, ?3 ∴? 解得? ∴y=60x-280. ?b2=-280. ?5k2+b2=20, ?
∴直线BG,CD相交于点D,

?x=77, ?y=-15x+105, ? 15 77 ∴? 解得? 即D ,28. 15 ?y=60x-280, ?y=28. ?
77 14 7 ∴ - = . 15 3 15 7 答:妈妈出发 小时不小强相遇. 15

第11讲┃ 一次函数的应用

[方法点析] 对于一次函数图象应用问题,解题的关键在 于:看懂图象和熟悉实际情景中的数量关系,应用数形结合的 思想方法,联系各种知识进行分析推理,将图象信息与实际数 据转化为相应的数学问题.

第11讲┃ 一次函数的应用

[2012· 黄冈] 某物流公司的快递车和货车同时从甲地出 发,以各自的速度匀速向乙地行驶,快递车到达乙地后卸完物品再 另装货物共用45分钟,立即按原路以另一速度匀速返回,直至与货 车相遇.已知货车的速度为60千米/时,两车的距离y(千米)与货车行 驶的时间x(小时)之间的函数图象如图11-8所示,现有以下4个结 论: ①快递车从甲地到乙地的速度为100千米/时; ②甲、乙两地之间的距离为120千米;

第11讲┃ 一次函数的应用

3 ③图中点B的坐标为3 ,75; 4 ④快递车从乙地返回时的速度为90千米/时. ①③④ 以上4个结论中正确的是________.

图11-8

第11讲┃ 一次函数的应用

第12讲

反比例函数

第12讲┃ 反比例函数

┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 反比例函数的定义
k 形如y=______(k≠0,k是常数) x 反比例函数的定义 的函数叫做反比例函数
反比例函数 k y=x中k的意义 k 由y=x可得k=xy,所以k的意 义是成反比例的两个对应量的 乘积 _______

第12讲┃ 反比例函数

1.下面的函数是反比例函数的是( D ) A.y=3x+1 B.y=x2+2x C.y= x 2 2 D.y=x

2.已知y与x成反比例函数,且x=2时,y=3,则该函数 的解析式是( c ) 1 6 6 A.y=6x B.y= C.y=x D.y= -1 6x x
- 3.如果函数y=x2m 1为反比例函数,则m的值是( B )

A.-1

B.0

1 C. 2

D.1

第12讲┃ 反比例函数

考点2

反比例函数的图象及其性质
图象 k 反比例函数y=x的图象是双曲线

一、三 图象在第________象限 k>0 在每个分支上,y随x的增大而________ 减小 性质 图象在第________象限 二、四 k<0 在每个分支上,y随x的增大而________ 增大 过双曲线上任意一点,向两坐标轴作垂线,两 k的意 条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数 义 |k| ________

第12讲┃ 反比例函数

1 4.[2012· 盐城]对于反比例函数y=x,下列说法正确的是( C A.图象经过点(1,-1) B.图象位于第二、四象限 C.图象是中心对称图形 D.当x<0时,y随x的增大而增大

)

m+2 5.[2012· 茂名]若函数y= x 的图象在其象限内y的值随 x值的增大而增大,则m的取值范围是( B ) A.m>-2 B.m<-2 C.m>2 D.m<2

第12讲┃ 反比例函数

4 6.已知函数y=-x+5,y= x ,它们的共同点是:①函数y随x 的增大而减小;②都有部分图象在第一象限;③都经过点(1,4), 其中错误的有( B ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
4 [解析] ①对于y= ,“y随x的增大而减小”应为“在每个象限 x 内,y随x的增大而减少”,错误; ②y=-x+5过一、二、四象限,y= 分图象在第一象限,正确; ③将(1,4)代入两函数解析式,均成立,正确. 4 过一、三象限,故都有部 x

第12讲┃ 反比例函数

6 7.如图12-1,P是反比例函数y= x 在第一象限分支上的一 个动点,PA⊥x轴,随着x的逐渐增大,△APO的面积将 ( C ) A.增大 B.减小 C.不变 D.无法确定

图12-1

第12讲┃ 反比例函数

k 8.反比例函数y= x 和一次函数y=kx-k在同一直角坐标系中 的图象大致是( C )

A

B 图12-2

C

D
k 的图象在二,四象 x

[解析] 当k<0时,-k>0,反比例函数y=

限,一次函数y=kx-k的图象过一、二、四象限,选项C符合;当k> k 0时,-k<0,反比例函数y= 的图象在一、三象限,一次函数y=kx x -k的图象过一、三、四象限,无符合选项.

第12讲┃ 反比例函数

k 9.反比例函数y= x (k≠0)的图象如图12-3所示,若点A(x1,y1), B(x2,y2),C(x3,y3)是这个图象上的三点,且x1>x2>0>x3,则 y1,y2,y3的大小关系是( B ) A.y3<y1<y2 B.y2<y1<y3 C.y3<y2<y1 D.y1<y2<y3

图12-3
[解析] 由图象可知,在每一象限内,y随x的增大而增大.由x1> x2>0>x3可判断A、B在第四象限,则y2<y1<0;点C在第二象限,则 0<y3,故选B.

第12讲┃ 反比例函数

考点3

反比例函数的应用
反比例函数 性质的应用 反比例函数 图象的应用 反比例函数与 一次函数的 综合应用 利用反比例函数的增、减性解 决实际问题 利用图象上点的坐标的实际意 义和几何意义解决实际问题 利用两种函数的增减性、交点 等解决实际问题

第12讲┃ 反比例函数

10.红星中学冬季储煤120吨,若每天用煤x吨,则使用天数y与 x的函数关系的大致图象是( A )

图12-4
120 ,x>0,故 x

[解析] 根据题意,可知天数y与x的函数解析式为y= 其函数图象应在第一象限.

第12讲┃ 反比例函数

11.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内 气体的气压P(kPa)是气体体积V (m3)的反比例函数,其图象如图 12-5所示.当气球内的气压大于120 kPa时,气球将爆炸.为了 安全起见,气球的体积应( C ) 5 3 A.不小于 m 4 4 3 C.不小于 m 5 5 3 B.小于 m 4 4 3 D.小于 m 5

图12-5

第12讲┃ 反比例函数

[解析] 设球内气体的气压P(kPa)和气体体积V k 系式为P=V, ∵图象过点(1.6,60),∴k=96. 96 即P= V 在第一象限内,P随V的增大而减小, 96 4 ∴当P≤120时,V= P ≥ . 5

(m3)的关

第12讲┃ 反比例函数

12.为预防“手足口病”,某校对教室进行“药熏消 毒”.已知药物燃烧阶段,室内每立方米空气中的 含药量y(mg)与燃烧时间x(分钟)成正比例;燃烧后,y与x成 反比例(如图12-6所示).现测得药物10分钟燃烧完,此时教室内 每立方米空气含药量为8 mg.根据以上信息,解答下列问题: (1)求药物燃烧时y与x的函数解析式; (2)求药物燃烧后y与x的函数解析式; (3)当每立方米空气中含药量低于1.6 mg 时,对人体无毒害作用.那么从消毒开始, 经多长时间学生才可以返回教室? 图12-6

第12讲┃ 反比例函数

解:(1)设药物燃烧阶段函数解析式为y=k1x(k1≠0),由题意得8= 4 4 10k1,∴k1= ,∴此阶段函数解析式为y= x(0≤x<10). 5 5 (2)设药物燃烧结束后函数解析式为y= k2 k2 (k2≠0),由题意得8= , x 10

80 ∴k2=80,∴此阶段函数解析式为y= (x≥10). x 80 (3)当y<1.6时,得 <1.6,∵x>0,∴1.6x>80,x>50. x ∴从消毒开始经过50分钟学生才可返回教室.

第12讲┃ 反比例函数

┃考向互动探究与方法归纳┃
┃典型分析┃
m-5 例 已知图12-7中的曲线是反比例函数y= x (m为常 数)图象的一支. (1)这个反比例函数图象的另一支在第几象 限?常数m的取值范围是什么; (2)若该函数的图象与正比例函数y=2x的 图象在第一象限内的交点为A,过A点作x轴的 垂线,垂足为B,当△OAB的面积为4时,求点 A的坐标及反比例函数的解析式. 图12-7 第12讲┃ 反比例函数

[解析] (1)根据反比例函数的性质可求得反比例函数的 图象分布在第一、第三象限,所以m-5>0,即可求解;(2) 图象上的点不原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴所作垂 1 线围成的直角三角形面积S= |k|,可利用△OAB的面积求 2 出k值.

第12讲┃ 反比例函数

解:(1)这个反比例函数图象的另一支在第三象限. ∵这个反比例函数的图象分布在第一、第三象限, ∴m-5>0,解得m>5.

第12讲┃ 反比例函数

(2)如图12-8,由第一象限内的点A在正比例函数y=2x的图象上,

图12-8 设点A的坐标为(x0,2x0)(x0>0),则点B的坐标为(x0,0). 1 ∵S△OAB=4,∴ x0·2x0=4,解得x0=2或-2(负值舍去). 2 ∴点A的坐标为(2,4). m-5 又∵点A在反比例函数y= x 的图象上, m-5 ∴4= ,即m-5=8. 2 8 ∴反比例函数的解析式为y=x.

第12讲┃ 反比例函数

k [方法归纳] 反比例函数y= x 中k的几何意义是经常考查的一 个知识点,即过双曲线上任意一点引x轴、y轴的垂线,所得矩形 面积为|k|,图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴所 作垂线围成的直角三角形面积S= 1 |k|.这里体现了数形结合的思 2

想,做此类题一定要正确理解k的几何意义.

第12讲┃ 反比例函数

5 如图12-9,反比例函数y= x 的图象与直线y=kx(k >0)相交于A,B两点,AC∥y轴,BC∥x轴,则△ABC的面积等 10 于________个面积单位.

图12-9

第12讲┃ 反比例函数

第13讲

二次函数的图象 与性质

第13讲┃ 二次函数的图象与性质

┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 二次函数的定义
形如y=ax2+bx+c(a,b,c都是常数,且 a______) ≠0 一般的二次函数自变量的取值范围是全体实数, 而特殊的实际应用中的二次函数除外

二次函数 的定义 二次函数的 自变量的取 值范围

第13讲┃ 二次函数的图象与性质

1.下列函数中,二次函数是( A ) A.y=8x2 B.y=8x+1 C.y=-8x 8 D.y=-x

2.当m不为何值时,函数y=(m-2)x2+4x-5(m是常数) 是二次函数( B ) A.-2 B.2 C.3 D.-3

第13讲┃ 二次函数的图象与性质

考点2

二次函数的图象及其性质

第13讲┃ 二次函数的图象与性质

(续表) a>0 a<0 在对称轴的左侧, 在对称轴的左侧,y y随x的增大而减 随x的增大而增大; 小; 在对称轴的右侧,y 在对称轴的右侧, 随x的增大而减小 y随x的增大而增大 b 当x=- 时,y有 2a 最小值2 4ac-b ________________
4a

增减性

最值

当x=-

b 时,y有 2a

4ac-b2 最大值_________ 4a

第13讲┃ 二次函数的图象与性质

3.二次函数y=

1 (x-4)2+5的开口方向、顶点坐标分别是 2 B.向上,(-4,5) D.向下,(-4,5)

( A ) A.向上,(4,5) C.向上,(4,-5)

4.把二次函数y=x2的图象沿着x轴向右平移2个单位,再向 上平移3个单位,所得到的函数图象的解析式为( B ) A.y=(x+2)2+3 B.y=(x-2)2+3 C.y=(x+2)2-3 D.y=(x-2)2-3

第13讲┃ 二次函数的图象与性质

5.[2012· 永州]由二次函数y=2(x-3)2+1,可知( C ) A.其图象的开口向下 B.其图象的对称轴为直线x=-3 C.其最小值为1 D.当x<3时,y随x的增大而增大

第13讲┃ 二次函数的图象与性质

6.抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3)点. (1)求出m的值并画出这条抛物线; (2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标; (3)x取什么值时,y的值随x值的增大而减小?

图13-1

第13讲┃ 二次函数的图象与性质

解:(1)由抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3),得m=3. ∴抛物线为y=-x2+2x+3. 图象如图.

(2)由-x2+2x+3=0,得x1=-1,x2=3. ∴抛物线与x轴的交点为(-1,0),(3,0). ∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴抛物线的顶点坐标为(1,4). (3)由图象可知,当x>1时,y的值随x值的增大而减小.

第13讲┃ 二次函数的图象与性质

考点3

待定系数法求二次函数解析式
方法 适用条件及求法 若已知条件是图象上的三个点,则设所求二次函 数为y=ax2+bx+c,将已知条件代入,求出a、 b、c的值 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与 最大值(或最小值),设所求二次函数为y=a(x- h)2+k,将已知条件代入,求出待定系数,最后 将解析式化为一般形式

1.一般式

2.顶点式

第13讲┃ 二次函数的图象与性质

3.交点 式

若已知二次函数图象与x轴的两个 交点的坐标为(x1,0),(x2,0),设 所求二次函数为y=a(x-x1)(x- x2),将第三点(m,n)的坐标(其中 m、n为已知数)或其他已知条件代 入,求出待定系数a,最后将解析 式化为一般形式

第13讲┃ 二次函数的图象与性质

7.过(-1,0),(3,0),(1,2)三点的抛物线的顶点坐标 是( A ) A.(1,2) C.(-1,5)
? 2? B.?1,3? ? ? ? 14? ?2, ? D. 3? ?

第13讲┃ 二次函数的图象与性质

8.由表格中信息可知,若设y=ax2+bx+c,则下列y与x之间 的函数解析式正确的是( A ) -1 0 1 x ax2 1 ax2+bx+c 8 3 A.y=x2-4x+3 B.y=x2-3x+4 C.y=x2-3x+3 D.y=x2-4x+8
[解析]将x=1,ax2=1,代入y=ax2,得a=1. 将x=-1,a=1分别代入ax2+bx+c=8,得1-b+c=8, 将x=0,a=1分别代入ax2+bx+c=3,得c=3, 则b=-4,∴函数解析式是y=x2-4x+3.

第13讲┃ 二次函数的图象与性质

9.二次函数图象过A、C、B三点,点A的坐标为(-1,0),点B 的坐标为(4,0),点C在y轴正半轴上,且AB=OC. (1)求C的坐标; (2)求二次函数的解析式,并求出函数最大值.

图13-2

第13讲┃ 二次函数的图象与性质

解:(1)∵A(-1,0),B(4,0), ∴AO=1,OB=4, AB=AO+OB=1+4=5, ∴OC=5,即点C的坐标为(0,5);

第13讲┃ 二次函数的图象与性质

(2)解法1:设图象经过A、C、B三点的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,由 于这个函数图象过点(0,5),可以得到c=5.又由于该图象过点(-1,0),(4,0),

?a=-5, ? 4 ?a-b+5=0, 则? 解方程组,得? 15 ?16a+4b+5=0, ?b= 4 , ?
5 15 ∴所求的函数解析式为y=- x2+ x+5. 4 4 15 4ac-b2 4 5 3 ∵a=- <0,∴当x=- = ? 5? = 2 时,y有最大值,y最大= 4 4a ? ? 2×?-4? ? ?
? 5? ?15?2 ? ? 4×?-4?×5-? 4 ? ? ? 125 ? ? ? ? = . ? 5? 16 ? ? 4×?-4? ? ?

第13讲┃ 二次函数的图象与性质

解法2:设图象经过A、C、B三点的二次函数的解析式为y=a(x- 4)(x+1). ∵点C(0,5)在图象上, 5 ∴所求的二次函数解析式为y=- (x-4)(x+1). 4 ∵点A,B的坐标分别是A(-1,0),B(4,0), 3 ? 3 ∴线段AB的中点坐标为 2,0?,即抛物线的对称轴为直线x= . ? 2 ? 5 ∵a=- <0, 4 3 5 ?3 ??3 ? 125 ∴当x= 时,y有最大值,y最大=- ×?2-4??2+1?= . ?? ? 2 4 ? 16 ? ?? ?
? ? ? ?

第13讲┃ 二次函数的图象与性质

考点4

二次函数与一元二次方程、不等式的关系
二次函数y= ax2+bx+c 与x轴交点 交点横坐标是一元二次方程ax2+bx +c=0的解 二次函数图象与x轴有 b -4ac>0 两 ______个交点 二次函数图象与x轴有 2 b -4ac=0 ______个交点 一 二次函数图象与x轴 2 b -4ac<0 没有 ______交点 利用图象求不等式ax2+bx+c>0或 ax2+bx+c<0的解集
2

二次函数图 象与x轴交 点的个数

二次函数图 象与不等式

第13讲┃ 二次函数的图象与性质

10.二次函数y=x2-5x+6的图象与x轴有交点,则交点坐标是 ( B) A.(-2,0),(-3,0) B.(2,0),(3,0) C.(0,-2),(0,-3) D.(0,2),(0,3)

第13讲┃ 二次函数的图象与性质

11.如图13-3是抛物线y=ax2+bx+c的一部分,其对称轴为 直线x=1,若其与x轴一交点为B(3,0),则由图象可知,不等式 x<-1或x>3 ax2+bx+c>0的解集是_____________.

图13-3
[解析] ∵抛物线与x轴的一个交点为(3,0),而对称轴为x=1, ∴抛物线与x轴的另一交点是(-1,0). 当y=ax2+bx+c>0时,图象在x轴上方,此时x<-1或x>3.

第13讲┃ 二次函数的图象与性质

12.如图13-4,二次函数y=ax2+bx+c的图象开 口向上,图象经过点(-1,2)和点(1,0),且与y轴交 于负半轴,给出下面四个结论:①abc<0;②2a+b >0;③a+c=1;④b2-4ac>0.其中正确结论的序号 ②③④ 是________.(请将正确结论的序号都填上) 图13-4
[解析] ①图象开口向上,与y轴交于负半轴,对称轴在y轴右侧,能得到a> b b 0,c<0,- >0,b<0,∴abc>0,错误;②∵对称轴在1的左边,∴- <1. 2a 2a 又a>0,∴2a+b>0,正确;③图象经过点(-1,2)和点(1,0),可得
?a-b+c=2, ? 消去b项可得a+c=1,正确;④图象与x轴有2个交点,依据根的 ?a+b+c=0,

判别式可知b2-4ac>0,正确.

第13讲┃ 二次函数的图象与性质

13.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图13-5所示,根据 图象解答下列问题: (1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根; (2)写出不等式ax2+bx+c>0的解集; (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围; (4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k的取值范 围.

图13-5 第13讲┃ 二次函数的图象与性质

解:(1)由抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),可得x1=1,x2=3; (2)由图,ax2+bx+c>0时x的取值范围为1<x<3; (3)由图可知,当y随x的增大而减小,自变量x的取值范围为x>2; (4)由顶点(2,2),设方程为a(x-2)2+2=0, ∵二次函数与x轴的2个交点为(1,0),(3,0), ∴a=-2,∴抛物线解析式为y=-2(x-2)2+2. 抛物线y=-2(x-2)2+2-k实际上是原曲线下移k个单位, 由图形知,当k<2时,曲线与x轴有两个交点. 故k<2.

第13讲┃ 二次函数的图象与性质

┃考向互动探究与方法归纳┃
┃典型分析┃
例 已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中 的位置如图13-6所示,则下列结论中正确的是( D )

A.a>0 C.c<0

图13-6 B.b<0 D.a+b+c>0 第13讲┃ 二次函数的图象与性质

[解析] ∵抛物线的开口向下,∴a<0;又∵抛物线的对称轴在y轴 的右侧,∴a,b异号,∴b>0;又∵抛物线不y轴的交点在x轴上方,∴c >0;又x=1时,对应的函数值在x轴上方,即x=1时,y=ax2+bx+c= a+b+c>0,所以A,B,C选项都错,D选项正确.故选D.
[方法归纳] 二次函数图象与系数的关系,要理解如下:(1)a>0, 开口向上;a<0,开口向下.(2)对称轴为x=- b ,a,b同号,对称 2a

轴在y轴的左侧;a,b异号,对称轴在y轴的右侧.(3)抛物线与y轴的交 点为(0,c),c>0,与y轴正半轴相交;c<0,与y轴负半轴相交;c= 0,过原点.

第13讲┃ 二次函数的图象与性质

二次函数y=ax2+bx+c的图象如图13-7所示,给出下列 说法:①abc<0;②方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1、x2=3;③ 当x>1时,y随x值的增大而减小;④当y>0时,-1<x<3.其中正确 的说法是( D ) A.① B.①② C.①②③ D.①②③④ 图13-7

第13讲┃ 二次函数的图象与性质

[解析]

①由函数的图象开口向下,与y轴交于正半轴,∴a<

b 0,c>0.又函数的对称轴为x=1,∴- =1>0,∴b>0,∴abc 2a <0,正确;②由函数图象知函数与x轴的交点为(-1,0)、(3, 0),正确; ③由函数图象知,当x>1,y随x的增大而减小,正确; ④由函数图象知,当-1<x<3时,y>0,正确.综上 ①②③④正确.

第13讲┃ 二次函数的图象与性质

第14讲

二次函数的应用

第14讲┃ 二次函数的应用

┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 二次函数与一次函数、反比例函数的综合
图象类问题 利用函数的特征进行函数图象的判断 有关交点 ①求交点坐标;②判断交点情况;③ 类问题 判断图象的大概位置 函数值 比较给定区域内的函数值的 性质的综 大小 大小 合应用 求函数 利用函数间的相互联系和提 解析式 供的信息求函数解析式

第14讲┃ 二次函数的应用

1.下列四个函数图象中, x>0 时, 随 x 的增大而 当 y 增大的是( C )

图 14-1

第14讲┃ 二次函数的应用

2.已知二次函数 y1=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数 y2=kx+ m(k≠0)的图象相交于点 A(-2,4),B(8,2)(如图 14-2 所示), x<-2 或 x>8 则能使 y1>y2 成立的 x 的取值范围是_____________.

图 14-2
[解析] 由图形可以看出:抛物线 y1=ax2+bx+c 和一次函数 y2= kx+m(k≠0)的交点横坐标分别为-2,8,当 y1>y2 时,x 的取值范围 正好在两交点之外,即 x<-2 或 x>8.

第14讲┃ 二次函数的应用

考点2

二次函数与几何图形
求图象的边长、 建立二次函数模型, 利用函数的 面积 性质求图形的边长、面积 探索图形中的边、 通过建立二次函数关系,探索 角和面积间的关系 边、角及图形面积之间的关系 通过建立二次函数关系探究点、 探究图形中点、 线的变化中图形性质及相关数 线的运动规律 量关系

第14讲┃ 二次函数的应用

3.如图14-3,已知:正方形ABCD边长为1,E、 F、G、H分别为各边上的点,且AE=BF=CG= DH,设小正方形EFGH的面积为S,AE为x,则S关 于x的函数图象大致是( D ) 图14-3

图14-4

第14讲┃ 二次函数的应用

4.如图14-5,已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形 MNPQ的边长均为20厘米,AC与MN在同一直线 上,开始时点A与点N重合,让△ABC以每秒2厘米 的速度向左运动,最终点A与点M重合,则重叠部 分面积y(厘米2)与时间t(秒)之间的函数解析式为 y=2t2-40t+200 _____________. 图14-5
1 1 2 [解析]AM=20-2t,则重叠部分面积 y= ×AM = (20-2t)2= 2 2 2t2-40t+200.

第14讲┃ 二次函数的应用

5.如图14-6,一面利用墙,用篱笆围成一个外形为矩形的花 圃,花圃的面积为S平方米,平行于院墙的一边长为x米. (1)若院墙可利用最大长度为10米,篱笆长为24米,花圃中间 用一道篱笆间隔成两个小矩形,求S与x之间的函数解析式; (2)在(1)的条件下,围成的花圃面积为45平方米时,求AB的 长.能否围成面积比45平方米更大的花圃?如果能,应该怎么围? 如果不能,请说明理由.

图14-6

第14讲┃ 二次函数的应用

解:(1)由题意得 24-x 1 2 S=x× =- x +8x(0<x≤10). 3 3 1 (2)由 S=- x2+8x=45, 3 24-x 解得 x1=15(舍去),x2=9,∴x=9,AB= =5. 3 1 1 又 S=- x2+8x=- (x-12)2+48,0<x≤10, 3 3 140 ∴当 x=10 米时,S 最大,为 平方米>45 平方米, 3 ∴平行于院墙的一边长大于 9 时, 就能围成面积比 45 平方米更大的花圃.

第14讲┃ 二次函数的应用

考点3

二次函数与生产、生活问题
商品利润 利用二次函数的性质, 解决商 问题 品的利润问题 最长、最短 利用二次函数的性质解决距 距离问题 离问题 最优设计 通过建立二次函数关系探究 问题 方案的最优设计

第14讲┃ 二次函数的应用

6.如图14-7,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是16米,跨 度是40米,在线段AB上离中心M处5米的地方,桥的高度是( B )

A.14米

图14-7 B.15米 C.13米

D.12米

第14讲┃ 二次函数的应用

[解析] 如图,建立平面直角坐标系,

点A的坐标是(-20,0),点C的坐标是(0,16), 设抛物线的解析式为y=ax2+k,

?a=- , ?400a+k=0, ? 25 ? 把点A、C的坐标代入函数解析式得 解得? ?k=16, ?
1

?k=16,

因此抛物线的解析式为y=-

1 2 1 x +16,把D(5,0)点的横坐标代入y=- 25 25

x2+16=15(米),故桥的高度是15米.

第14讲┃ 二次函数的应用

7.如图14-7,一名男生推铅球,铅球行进高度y(单位:m)与 1 2 2 5 水平距离x(单位:m)之间的关系是y=- x + x+ .则他将铅球推 12 3 3
10 出的距离是________m.

图14-7

第14讲┃ 二次函数的应用

8.某商场销售一种进价为 20 元/台的台灯,经调查发现,该 台灯每天的销售量 w(台),销售单价 x(元)满足 w=-2x+80,设 销售这种台灯每天的利润为 y(元). (1)求 y 与 x 之间的函数解析式; (2)当销售单价定为多少元时,每天的利润最大?最大利润为 多少? (3)在保证销售量尽可能大的前提下.该商场每天还想获得 150 元的利润,应将销售单价定位为多少元?

第14讲┃ 二次函数的应用

解:(1)y=(x-20)(-2x+80)=-2x2+120x-1600; (2)∵y=-2x2+120x-1600=-2(x-30)2+200,∴当 x=30 元 时,最大利润 y=200 元; (3)由题意,y=150,即-2(x-30)2+200=150,解得 x1=25,x2 =35. 又销售量 w=-2x+80 随单价 x 的增大而减小, 所以当 x=25 时, 既能保证销售量大,又可以每天获得 150 元的利润.

第14讲┃ 二次函数的应用

┃考向互动探究与方法归纳┃
┃典型分析┃
例 红星公司生产的某种时令商品每件成本为 20 元, 经过市场调研发现,这种商品在未来 40 天内的日销售量 m(件)与时间 t(天)的关系如下表: 时间 t(天) 1 3 6 10 36 ? 日销售量 94 90 84 76 24 ? m(件)

第14讲┃ 二次函数的应用

未来 40 天内,前 20 天每天的价格 y1(元/件)与时间 t(天)的 1 函数解析式为 y1= t+25.(1≤t≤20 且 t 为整数),后 20 天每天的价 4 1 格 y2(元/件)与时间 t(天)的函数解析式为 y2=- t+20(21≤t≤40 且 t 2 为整数). (1)认真分析上表中的数据,用所学过的一次函数、二次函数、 反比例函数的知识确定一个满足这些数据的 m(件)与 t(天)之间的解 析式; (2)请预测未来 40 天中哪一天的日销售利润最大, 最大日销售利 润是多少?

第14讲┃ 二次函数的应用

[解析] (1)从表格可看出每天比前一天少销售 2 件,所以判 断为一次函数解析式;(2)日销售利润=日销售量×每件利润, 据此分别表示前 20 天和后 20 天的日销售利润,根据函数性质 求最大值后比较得结论.

第14讲┃ 二次函数的应用

?t=1, ?t=3, ? ? 解:(1)将? 和? 代入一次函数 m=kt+b 中,有 ?m=94 ?m=90 ? ? ?94=k+b, ?k=-2, ? ? ? ∴? ?90=3k+b, ?b=96, ? ?
∴m=-2t+96. 经检验,其他点的坐标均适合以上解析式, 故所求函数解析式为 m=-2t+96.

第14讲┃ 二次函数的应用

(2)设前 20 天日销售利润为 p1 元,后 20 天日销售利润为 p2 元. 1 1 1 p1=(-2t+96) t+5=- t2+14t+480=- (t-14)2+578, 4 2 2 ∵1≤t≤20,∴当 t=14 时,p1 有最大值为 578 元. 1 p2=(-2t+96)- t+20=t2-88t+1920=(t-44)2-16, 2 ∵21≤t≤40,且对称轴为 t=44,函数 p2 在 21≤t≤40 上随 t 的 增大而减小.∴当 t=21 时,p2 有最大值为 513 元. ∵578>513,故第 14 天时,销售利润最大,为 578 元.

第14讲┃ 二次函数的应用

[方法归纳] 最值问题是近几年中考中热点题型问题,解题 时根据实际问题通过正确分析题意,列出二次函数解析式,然 后利用二次函数的性质解题.注意表示总利润时分别表示出商 品的单件利润和所卖商品件数是解决问题的关键.

第14讲┃ 二次函数的应用

青年企业家刘敏准备在北川禹里乡投资修建一个有 30 个房间供旅客住宿的旅游度假村, 并将其全部利润用于灾后重建. 据 测算,若每个房间的定价为 60 元/天,房间将会住满;若每个房间的 定价每增加 5 元∕天时,就会有一个房间空闲.度假村对旅客住宿 的房间将支出各种费用 20 元/(天· 间)(没住宿的不支出).问房价每天 定为多少时,度假村的利润最大?

第14讲┃ 二次函数的应用

解:设每天的房价为(60+5x)元, 则有 x 个房间空闲,已住宿了(30-x)个房间. ∴度假村的利润 y=(30-x)(60+5x)-20(30-x),其中 0≤x≤30. ∴y=(30-x)· (8+x) 5· =5(240+22x-x2) =-5(x-11)2+1805. 因此,当 x=11 时,y 取得最大值 1805 元. 即每天房价定为 115 元/间时,度假村的利润最大.

第14讲┃ 二次函数的应用


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