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高一数学(1.1.2弧度制)


1.1

任意角和弧度制 弧度制

1.1.2

问题提出

1.角是由平面内一条射线绕其端点从 一个位置旋转到另一个位置所组成的图 形,其中正角、负角、零角分别是怎样 规定的?
2.在直角坐标系内讨论角,象限角是 什么概念?

3.与角α 终边相同的角的一般表达式 是什么? S={β|β=α+k· 360°,k∈Z}
4.长度可以用米、厘米、英尺、码等 不同的单位度量,物体的重量可以用千 克、磅等不同的单位度量.不同的单位制 能给解决问题带来方便,以度为单位度 量角的大小是一种常用方法,为了进一 步研究的需要,我们还需建立一个度量 角的单位制.

探究1:弧度的概念 思考1:在平面几何中,1°的角是怎样 定义的?
将圆周分成360等份,每一段圆弧所 对的圆心角就是1°的角. 思考2:在半径为r的圆中,圆心角n°所 对的圆弧长如何计算? 2?r

l?

360

?n

思考3:如图,把长度等于半径长的圆弧 所对的圆心角叫做1弧度的角,记作1rad, 读作1弧度. 那么,1弧度圆心角的大小 与所在圆的半径的大小是否有关?为什 么? r
l= 2p r ?n 360

A

B
r 1rad O

思考4:约定:正角的弧度数为正数,负 角的弧度数为负数,零角的弧度数 2r A 为0.如果将半径为r圆的一条 r 半径OA,绕圆心顺时针旋转到 O B OB,若弧AB长为2r,那么∠AOB 的大小为多少弧度? -2rad.

思考5:如果半径为r的圆的圆心角α 所 对的弧长为l,那么,角α 的弧度数的绝 对值如何计算? l

? ?

r

思考6:半径为r的圆的圆心与原点重合, 角的始边与x轴的非负半轴重合,交圆于 点A,终边与圆交于点B,下表中∠AOB的 弧度数分别是多少?
弧AB的长

pr

OB旋转的方向 逆时 针 ∠AOB的弧度 数

2p r r 逆时 顺时 针 针

2r 顺时 针

3p r 顺时 针

p

2p

-1

-2 - 3p

探究(二):度与弧度的换算 思考1:一个圆周角以度为单位度量是多 少度?以弧度为单位度量是多少弧度? 由此可得度与弧度有怎样的换算关系? 180°=p rad. 思考2:根据上述关系,1°等于多少弧 度?1rad等于多少度?
180 0 ? 180 ? 0 0 1rad ? ? ? ? 57.30 ? 57 18? ? ? ? 1 ?
0

?

rad ? 0.01745rad

思考3:根据度与弧度的换算关系,下表 中各特殊角对应的弧度数分别是多少?
度 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600

弧 度

0

p 6

p 4

p 3

p 2

2p 3

3p 4

5p 6

p

3p 2

2p

今后用弧度制表示角时,“弧度”二字 或“rad”通常略去不写,而只写该角所 对应的弧度数.如α=2表示α是2rad的角. 思考4:在弧度制下,角的集合与实数集 R之间可以建立一个一一对应关系,这个 对应关系是如何理解的?

思考5:已知一个扇形所在圆的半径为R, 2p 弧长为l,圆心角为α ( 0 < a < )那么 扇形的面积如何计算?
1 1 l 2 S = lR = a R = 2 2 2a
2

思考6:在弧度制下,与角α 终边相同的 角如何表示? 终边在坐标轴上的角如何 表示? ? ? ? ? 2k? (k ? Z ) 终边x轴上: k? (k ? Z ) ? 终边y轴上: ? k? (k ? Z ) 2

知识迁移 例1 按照下列要求,把67°30′化成 弧度: (1)精确值; (2)精确到0.001的近似值.

3 67 30?= p rad ? 1.178 rad 8
0

例2 (1) 已知扇形的圆心角为72°, 半径等于20cm,求扇形的弧长和面积; (2)已知扇形的周长为10cm,面积为 4cm2,求扇形的圆心角的弧度数.

小结作业 1.用度为单位来度量角的单位制叫做角 度制,用弧度为单位来度量角的单位制 叫做弧度制. 2.度与弧度的换算关系,由180°= ? rad进行转化,以后我们一般用弧度为 单位度量角.
3.利用弧度制,使得弧长公式和扇形的 面积公式得以简化,这体现了弧度制优 点.

作业:
P10 习题1.1 A组: 6,7,8,9,10.


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