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对函数单调性的一点认识


空  
2 m  
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年第   期   I   上   旬 1 )  
中学 数 学教 学 参 考 

晰   ∞  

濮 一 
郑  良( 安徽 省灵璧 县第 一 中学)   王  峰 ( 安徽 省宿州 市教 育局教 研室 )  
函数 是 高 中数 学 的

核 心 内 容 , 是 高 中数 学 的主  观探 索并 了解 函数 的单 调性 与导数 的关 系… …” .   人教 A 版 、 人 教 B版 、 北师大版、 苏教版、 湘 教版  ( 下 文依 次简称 为 工、 Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ、 V) 教 材对 函数 单 调  性 概念 的 引 入 与 给 出方 式 , 大 同小 异 ( 1 I 通过 A y给  出单调性 概念 , V中 提及 A y ) . 先 给 出某 几 个 函数 图  象让 学生 根据直 觉思 维获得 直观感 受 ( 图形刻 画 ) : 从 

线, 贯 穿于 中学数 学 的始终 , 而 函数 单 调性 ( 也 称 函数 
增减性 ) 是研 究 函数变 化最基 本 、 最重 要 的性质 . 函数  的单 调性架起 了 自变量 和 函数 值 沟通 的桥 梁 , 把 自变  量 的变化方 向和函数值 的变 化方 向定 性 地联 系起 来 ,  

描述 了 函数 的变化 过程 和趋 势 , 它 反 映 了函数 值从 哪 
里来 , 要 到 哪里去 , 中间是否 经历“ 曲折 历程 ” . 也就 是  说, 只要 函数 确定 了 , 通 过研究 函数 的单调 性 , 可 以给 

左 向右看 , 给定 区 间上 函数 厂 ( z ) 图象 的“ 上升 ” 与“ 下  降” ; 然后 通过 列表 从 数 据 角度 给 出 自然 语 言 的叙 述 
( 定 性刻 画) : 在 某个 区间上 , 随着 自变量 X的增 大 , 相 

出 函数 准确 的图象 , 函数其他 的性 质 , 如值 域 ( 最值 ) ,  
图象 的对称 性 ( 奇偶 性 ) , 函数 值 的循 环 反 复 ( 周期性)  
等 一 目 了然 .  

应 的 函数 值 , ( z ) 增大( 或减 小 ) , 显 然 这 种 自然语 言  描述 不够 精练 , 无 法应 用 于 相 关 的计 算 和推 理 证 明.   学 生 自然 地产生 质疑 : 从 函数值 的角 度来 看 , 大, 大 到  什 么程度 ?上 面封顶 不封 顶 ?小 , 小 到 什 么程 度?下  面保 底不 保底 ?只靠 眼睛 观察得 到 的认 识是 否 准确 ?   必 须把描 述性 的 自然 语 言 严格 化 、 精确 化 , 提炼 成 数  学 语言 , 通 过 逻 辑 推 理 从 数 量 关 系 的角 度 来 加 以确  认, 即函数性质 的形 式化 定 义 ( 定量刻画) . 它 体 现 着 

根 据数 学课 程 的 整 体设 计 , 在 整 个 高 中 阶段 , 对 

函数单 调性 的理解 共分 为两 个 阶段 : 第 一 阶段 安 排在 
《 数学 1 》 中, 课标要求 “ …… , 理 解 函数 的 单 调 性 、 最 

大( 小) 值及 其几何 意 义 . . . …? 学会 运用 函数 图象 理解 
和研究 函数 的性 质 ” . 第 二 阶 段 安排 在 《 选修 1 》 、 《 选  修 2 》 的导数及 其 应用 中 , 课 标要 求 “ … …借 助几 何 直 

( 上 接第 1 9页 )  

是 教学 内容分 析 的依 据 , 从 案 例 2看 出 , 忽 视 学 情 分 
析 的教学 设计 , 往往偏 离教 学方 向. 那么 , 如何 做 好学 
情 分析 呢?  

学 内容放到 知识 的结 构链 中 , 把握 这一 知 识点 在 知识 

链 中所处 的位置 ; 不 能 以老 眼 光 解 读新 教 材 , 要 关 注  某块 内容 的特点 , 关 注 其 在 初 中、 高 中教 材 中 的变 化 
情况 ; 弄清 楚教材 中的重点 、 难点 和疑 点 所在 ; 弄 清每 


要根 据 本 单元 、 本课 的教 学 内容 , 确定 学 生 需 掌 

握 哪些知 识 、 具 备 哪些生活 经验 . 可 以通 过作 业 、 问卷  及 访谈 等 形 式 , 弄 清 楚 所 教 学 生 是 否 具 备 ?如 不 具 
备, 则考 虑如何 弥补 .   这 种建立 在分 析研究 的基础上 , 对概念 、 结论、 例 

道 例题 的功能 , 把握 变式 的“ 度” .  

( 3 ) 读懂显性 知识 背 后 的 隐形 知识 , 如数 学 思 想 、   数学文化 、 理性精 神和哲学思想 等情感 价值观的 因素.   4 .2   目标定位 要 合理 。 解 读教 材须“ 合力作 用”   面对 同一个 教学 内容 , 不 同的教 师可 能有 不 同 的 

题 等 的教 学才 可能做 出准 确 的 目标 定位 , 进 行 的教 学  设计 , 方可“ 出乎 其外 ” —— 具 有 针 对性 和 实 效性 , 使  “ 创 造性 地用活 教材 、 减轻 学生课 业 负担 ” 的追求 成 为 
可能.  

解读. 因此 , 需要 加 强 备 课 组 、 学科 组 的集 体 解 读 , 发 
挥集 体的力 量 , 发 挥名 教 师 的引 领 作用 , 并 注入 每位 
参 与 者 的个 性 化 理 解 .   4 .3   目标定位 要合 理 。 解 读教材 须“ 分析学 情”  

提 升解读 教材 的水平 还有很 长 的路 , 需 要 数学 教 

师不断摸 索 、 不 懈努 力.  
参 考 文献 :  

如何将 集体 的共识 、 个人 的理 解 和感 悟巧 妙 地融 

人 到教 学设 计 中去 , 从 而取得 较好 的教学 效果 呢 ?其 
中很重 要 的一点就 是要 进行 学情 分析 . 因为学 情 分析 

[ 1 ] 孙 福 明. 从 教 材到 教 学 的 三部 曲[ J ] . 数学通报, 2 0 1 1  
( 1 2): 29 .  

教 鬯  
从具 体到 抽象 ( 具 体数 字到 符号表 示 ) 、 从 无 限到 有 限  ( 用z   , z   , f ( x   ) , f ( x   ) 表示 ) 的思维 过程 。 怎样从 自  

中 学 嚣  墨 学 教 W l 学 (   参 考   -  
实质 : 从“ 数” 上看 是 自变 量 和 函数 值 的 变 化 情况 ( 变 
化 情况 相 同为增 , 变 化情 况相 反为减 ) ; 从“ 形” 来看 是 

然 语言 提炼 成用 数 学 符号 对 定 义 的刻 画是 问 题 的关  键, 是教 师教学 的重 点 , 也是 学 生知识 建 构 、 思维 生成  的难点 . 师 生亲历从 特殊 实例 的共 同特 征到 一般 性 质 
的发 现 、 归纳、 概括 的过程 , 体 验从 特殊 到一 般发 现 问 

函数 图象变 化趋 势. 很 容易判 断定 义 域不 连续 或分 段 

函数的单调性, 如 函数 一÷在 ( 一。 。 , o ) U( o , +。 。 )  

题 的思 想方 法 , 感 受 数 形 结合 思 想 , 感 知 研 究 函 数性 
质 的 基 本 思路 : ( 1 ) 观 察 函数 图 象 , 描 述 函数 图 象 特  征; ( 2 ) 结合 图表 , 用 自然 语 言 描述 函数 图象 的 特 征 ;  

不 具 有 单 调 性 , Y 一 { - 。 x + r l ( 、 x n  ̄ 、   ’ 与 Y = 5 z ,  
I   6Z  Z / u ,  

∈{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) ( I中 第 1 9页 的 例 3实 际 问 题 的抽  象) 分别是 数集 A—R 和 A一 { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) 上 的 减 函 

( 3 ) 用 数学 语 言 给 出函 数性 质 的形 式 化 定 义. 该 部 分  重点 、 难点 是引 导学生 充分经 历获取 增 ( 减) 函数 的形  式化 定义 的过程 , 而不是 教给 学生 判断 单调 性 的规 范  步骤, 突破 了教 学重 点 、 难点 , 其他 问题水 到渠 成.   I对 单调 性 的定 义 为 : 设 函数 厂 (  ) 的定 义 域 为 
I , 如果 对 于定义域  内某 个 区 间 D 上 的任 意两 个 自  

数、 增 函数 . ( 严格的) 单调增( 减) 函数 定 义 等 价形 式 
为  兰 二 
l~ Z2  
?

> 0( < 0) ,( 3 . 7 1— 3 7 , 2 )( z  一 z  )  

[ - 厂 ( z 1 ) 一f ( x 2 ) ] >0 ( <o ) ( 工 l , 3 2 2 ∈D, z 1 ≠z 2 ) . 几 

何 意义是 : 增( 减) 函数 - 厂 ( z ) 图 象上 的任 意 不 同两 点 
P( x 。 , f ( x   ) ) , Q( z   , f( x   ) ) 的连 线 的斜 率 大 于 ( 小 
于) 零.  

变 量 的值 z 1 , z 2 , 当3 . 7 1 <z 2时 , 都有 f ( x 1 ) < ,( z 2 ) ,   那 么就说 函数 . 厂 ( z ) 在 区间 D 上是 增 函数 ( i n c r e a s i n g   f u n c t i o n ) ; 如 果对于 定义域 f内某个 区间 D 上 的任意  两 个 自变 量 的 值  。 , z   , 当z   <X  时 , 都 有 厂(  )   >, (  ) , 那么 就说 函数 ,( z ) 在 区 间 D 上 是 减 函数 
( d e c r e a s i n g   f u n c t i o n ) . 如 果 函数 Y =, ( z ) 在 区间 D   上是 增 函数或 减 函数 , 那 么就说 函数 Y 一. 厂 ( z ) 在 这一 

大学 教材 对 函数 单调 性定义 为 : 设 厂为定 义 在 D  

上 的 函数 , 若 对 任 何  , - z   E   D, 当  < z z时 , 总有  ( 1 ) f ( x   ) ≤f( x   ) , 则称 - 厂为 D 上 的增 函数 , 特 别 当 
成 立严格 不等 式 f ( x   ) <厂( z   ) 时, 称 厂为 D 上 的严 

格增 函数 ; ( 2 ) 厂 ( z   ) ≥f( x   ) , 则 称 厂为 D 上 的减 函  数, 特别 当成 立严 格不等式 f( x   ) <, ( z z ) 时, 称 厂为 
D 上 的严 格 减 函数. 增 函 数 和 减 函 数 统 称 为 单 调 函 

区间具有 ( 严格 的) 单 调性 , 区 间 D 叫做 Y 一厂 (  ) 的单 
调 区 间.  

数, 严 格增 函数 和严 格 减 函数 统 称 为严 格 单 调 函数.   显然 中学教 材里 的单调 函数 ( I、 V中严 格单 调 函数 )   实质上 就是 高等教 材里 的严格 单调 函数 , 不 包 括常 数  函数 . 这样 就为用 导数研 究 函数 的单调 性 和极 值带 来 
了不便 , 不少 教师 建议将 高 中教 材 与大 学教 材 对 函数  单调 性 ( 极 值) 的定 义“ 接轨 ” . 笔者 以为这 只是 知识 衔  接 的需要 , 忽略 了学 生 认 知 发展 的 需求 . 每个 人 对 事  物 的认 识都 是循 环 渐 进 、 螺旋上升的, 而不 是 一 步 到 

工、 V均 提 到严 格 的单 调 性 , 另 外 三个 版 本 则 没 

有提及. 这个 定 义 的前 提 条 件 “ 很强” , 假 定 了“ 函 数 
厂 ( z ) 在 定义域 f内某个 区间 D 上连 续” . 另外 Ⅲ中还  附加这样 一段话 : 设 函数 , ( z ) 的定 义 域 为 , 如 果对 

于定义 域  内某个 子 集 A 上 的任意 两 个 自变 量 的值  z 1 , z 2 , 当  1 <  2时 , 都 有 厂( z 1 ) < f( x 2 ) , 那 么 就 说 

函数 厂 ( z ) 在数 集 A 上 是增 函数 ; 如果对于定义域 I  
内某个 子集 A 上 的任 意两个 自变量 的值 X  ,   , 当   <z 。 时, 都 有 f( x 。 ) >f( x   ) , 那 么就 说 函数 ,( z ) 在  数 集 A 上是减 函数 . 如果 函数 y 一厂 ( z ) 在定 义域 的某  个子 集 A 上 是 增 函数 或 减 函数 , 那 么 就 称 函 数 


位 的. 以函数概念 为例 , 初 中以“ 变 量说 ” 定 义 函数 , 借 
助一 次 函数 、 二 次 函数 、 反 比列 函 数 等 与学 生 生 活 经  验 紧密相 关的几类 函数 , 帮 助学生 形 成对 函数 的 直接  体验, 体会 函数 的意 义 , 形 成用 函数 解 决 问题 的 直接  经验 ; 高 中采用“ 对应说 ” , 引进 高度 抽象 的符 号 厂 ( z )   表示 函数 , 较全 面地 学 习 函数 的 表 示 和性 质 等 , 这 样 

一厂 ( z ) 在这个 子集 A上 具有 单调性 ( *) . 这样 则 使 

得 函数单 调性 定 义更 加 严 谨 、 完善 , 避免 了学 生 认 为  单 调性就 一定是 针对 区 间的误解 . 因为 有些 函数 没 有  单 调 区间 , 或者 它 的定义域 本身 就不 是 区 间 , 如《 数 学 
5 》 研究 的数列 等. Ⅲ附加 的这 段话 中 , 数集 是狭 义 的 ,  

安排 函数概 念符 合学生 在不 同 阶段 的认 知水平 特点.  
对于 刚入校 门 的高 中生 , 虽然 具 有一 定 的抽 象能 

力, 但总体 来说 , 学 生 的认 知 水平 还 处 于 螺 旋 上 升 阶 
段 的较低 层次 , 逻 辑 思 维 明显 劣 于 感 性 思 维. 刚 刚 学  习函数 的“ 对应 说 ” 概念, 对 常数 是 函数 尚存 疑 虑 , 此  时 灌输大 学教 材单 调性概 念必 然会 导致 消 化不 良. 因  

仅 指 由孤 立 的数组成 的集 合 ; 广 义 的数 集应 该包 括 孤  立 的数组 成 的集合 与连续 的数 集 ( 区 间) . 在这个 意 义  下, ( *) 能够 囊 括单 调 函数 的所 有 情 形 , 这 样 定 义 下 
的单调性 才是 完备 的. 从这 个 角度更 能 反 映单 调性 的 

为 在学生 潜意 识 中 , 增 量 是 正值 , 对 于负 增 长 的接 受 

 

2 0 1 2年 第4期 ( I - 旬 )  

室  
‰ 

…  磅  詹   蠢李毒  …  … …   …   …  

~   …  … … …   … … … … …  

尚需 花费 一定 的时 间和精力 , 而 常数 没有 发生 值 的增  减, 却把它 同 时定 义为 增 函数 与 减 函数 , 这对 其 来 说 
是不 易理解 的 , 只能被 迫 接 受 , 这 与 新 课 标倡 导 的理 

远. 如画函数 Y 一3 s i n ( 2 x +2 -   ) +1 在[ o , 7 c ] 上的图  
、   u /  

象, 基本思 路还 是 找 出端 点 和可 能 的极 值 点 ( 外加 平 
衡 点使 图象更 准确 ) .  

念是 相悖 的 , 而 高 中课 本 定 义 有 效 地 避 开这 些 问 题 ,   更加 符合学 生 的认知规 律.  
研 究 单调 性 的方 法 中 , 定 义法 、 复 合 函数 法 可 以  

工欲 善 其事 , 必 先 利 其 器. 我 们要 想 更好 地 为学  生传 授知识 、 打开 思路 、 拓展思 维 , 就要 做 到教 学分 析  先 于教学 决策 , 满足理 解数 学 、 理解 学 生 、 理解 教 学 的 
需要 . 理解 数 学 就 是 明 确 数 学 知 识 发 生 与 发 展 的背 

解决 一些 比较 简单 的 函数 经过 几 次 基 本 运算 后 所 得 
函数 的单调 性 , 但 对于 一元 高次 函数或 非 初等 函数 单  调性 问题就 显得 力 不 从 心 , 甚 至不 能 求 解. 而 导 数 法 

景, 这有利 于从数 学上把 握学 习 内容 的整体 性 和联 系  性, 避免教 学 内容散 点 割 裂 化 , 从 而 更 易把 握 学 习 内  容 的数学本 质 ; 明确 蕴 涵 在 数 学 内 容 中 的科 学 方 法 、  
理性 思维过 程和教 学观 等资 源 , 使我 们 的教 学 “ 立 意”   更高 . 理解 学生就 是根 据学 习内容 的特 点 和学 生学 习   数学 的认 知规律 , 分析学 生学 习新 知识 应具 备 的认 知 

却得 心应 手 , 因此 引入 这 简 明、 高 效 的 导数 工 具 是 大 
势所 趋. 这 是在《 数学 1 》 基 础 上对 单 调性 认 识 的一 个  提升 , 同时导数 作 为刻 画 函数 变化 的 瞬时 变 化 率 , 能  从数 量上反 映 函数在某 点 附近 的变化 情况 , 导 数绝 对  值 的大小反 映 函数增 长 的快慢 .  

“ 数缺形 时少 直观 , 形少数 时难 入微 , 数形 结合 百  般好 , 隔裂 分家 万事休 ” ( 华 罗庚语 ) .  
单调性 与 函数 图象 有密切 关 系 , 了解 函数 的单 调  性, 基 本上决 定 函数 图象 的走 势 ; 反过来 , 掌握 函数 图  象 的走势 , 也就 基本 了解 函数 的 单调 性 . 通过 单 调 性  的学 习 , 培养 学生 一种 意识 : 只要 有可 能 , 就 画出 函数 

起点 和可 能的思维 障碍 , 使 内容和 教 学方 法 的选择 更  适合 学生 实际. 理 解 教 学 就是 通 晓教 学 理 论 , 熟 悉 常  见教 学模式 , 根据 “ 教学 有法 , 但 无 定法 ” 的科 学论 断 ,   结合 实际情 形 , 采 用切 实可行 的能 够 反映 数学 的本 质  和有利 于学 生认 知 的 教 学 方式 方 法 . 通过驾驭教材、  
走进 学 生 心 灵 、 顺 应教学规 律 , 教 学 定 能 结 出 累 累 
硕果 .  
参考文献 :   [ 1 ]   罗新兵, 陈德 裕. 从直观到抽象: 数 学 知 识 的 生 成 过 

的 图象 , 借助 函数 图象 的直观 , 化 隐为 显. 对 于 一些 简  单 函数 这是 很 容易 的 事 情 , 但 对 于复 杂 的 函数 , 需 借  助 函数 的单 调 性 ( 用 导数 研 究 ) 才 能 画 出较 精 确 的 函  
数 图象.   由于高 中教 材和 大学教材 对 单调 性 定义 的不 同 ,  

程——《 数学 1 》 ( 北 师 大版 ) 教材的思考与分析_ J ] . 中 学 
数学教学参考( 上旬) , 2 0 0 8 ( 1 / 2 ) : 1 3 — 1 6 .  

[ 2 ]   张 格 波. 如 何 帮 助 学 生 实 现 从 直 观 到 抽 象 的 跨 越?  
— —

要全 面加 深 对 导 数 的认 识 ,谨 防 走 进 误 区. 若 函 数 
厂(  ) 在( 口 , 6 ) 内可导 , 则 - 厂 (  ) 在( 口 , 6 ) 内严 格递 增 ( 或 

由 函数 单 调 性 的教 学 设 计 引 发 的思 考 [ J ] . 中 学 数 

学教学参考( 上旬) , 2 0 0 8 ( 8 ) : 1 3 — 1 5 .   [ 3 ] 王 尚志 , 胡凤娟 , 张思 明 . 函 数 的 单 调 性 — — 从 局 部 到 整 

递减 ) 的充要 条 件 是 : ( 1 ) 对 任 何 X∈( n , 6 ) 有f   ( z )   ≥0 ( 厂   ( z ) ≤0 ) ; ( 2 ) 在( a , 6 ) 内 的任 意 子 区 间上 不 恒  等于 0 . 对于 可 导 函数 单 调 性 求 参 数 范 围 , 可 先 利 用 
( 1 ) 找 出必要 条件 , 再对 ( 2 ) 检验, 验 证充分 性.   导数是 对某 一 区间上连续 函数而 言 的 , 而 数 列 是 

体、 再 到局 部 [ J ] . 中学 数 学 教 学 参 考 ( 上 旬) . 2 0 0 9 ( 7 ) :  
2 — 4.  

[ 4 ] 王 尚志 等 . 理 解 与 实 践 高 中 数 学 新 课 程— — 与 高 中数 学 
教 师 的对 话 [ M] . 北京 : 高等 教 育 出版 社 , 2 0 0 7 .   [ 5 3   中华 人 民共 和 国 教 育部 . 普通 高中数学课程 标准 ( 实验)  

定 义在 正 自然数集 ( 或 其子集 ) 上 的 函数 , 对应 的 图象  是 一些离 散 的点 , 在 任意点 都不存 在导 数 ,因此要 研  究 数列 的单 调性 , 不 能 直 接 利 用 导数 来 判 断 . 一 般 先 
退 而求其 次 , 先构 造数 列 对 应 的辅 助 函数 , 再 利用 导 

[ M] . 北京: 人 民教 育 出 版社 , 2 0 0 3 .  
E 6 3 钱佩玲. 课 堂 教 学 需 要 从 数 学 上 把 握 好 教 学 内 容 的整 体  性 和 联 系 性 之 二— — 对 函 数 单 调 性 教 学 的 思 考 [ J ] . 数 
学通报 , 2 0 0 8 ( 3 ) : 2 2 — 2 3 .  

[ 7 ] 章建跃 , 陶维林 . 注 重 学 生 思 维 参 与 和 感 悟 的 函 数 概 念 
教学 [ J ] . 数学通报 , 2 0 0 9 ( 6 ) : 1 9 — 2 4   [ 8 ] 华东师大数学系编. 数学 分析[ M] . 北京: 高 等 教 育 出 版 
社, 2 0 0 1 .  

数 研究辅 助 函数 的图象 或性质 , 进 而达 到研 究 数列 的 
目的. 但 要注 意 函数 普适 性及 数列特 殊性 .  

三角 函数 也是 特殊 的 函数 , 求 其单 调 区 间与最 值 


般 直 接 利 用 函数  —As i n ( ∞  + ) +忌 ( A> 0 , 0 3  

[ 9 ] 邬云德. 基 于“ 数学 是过 程” 的“ 圆( 1 ) ” 教 学 探 索 与 反 思 
[ - J - I . 数学教学研究 , 2 0 1 1 ( 3 ) : 2 - 7 .  

>0 ,  , 愚均为 常 数 ) 的 性 质 而不 用 求 导 的方 式 , 主 要 

I - l o ] 朱 贤 良. 初、 高 等 数 学 中“ 函 数 的单 调 性 ” 概 念 的 差 异 引  发 的两 个 错 误 [ J ] . 中学 数 学 教 学 参 考 ( 上旬 ) , 2 0 1 1 ( 3 ) :  
48 — 49  

原 因是学 生对 三角 函数基 本性 质较 为熟 悉 , 而 对解 三  角方 程或 三 角 不 等 式 等 则 相 对 陌生 , 没 必 要 舍 近 求 


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