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2015-2016秋季高数A(上)试题A卷试题


中国农业大学 2015 ~2016 学年秋季学期(2016.01 ) 高等数学 A(上) 课程试题(A 卷)
一、填空题(本题共有 5 道小题,每小题 3 分,满分 15 分),请将合适的答案填在横线上.
1.

lim 2n sin
n →∞

9 = 2n

. x2 ? 1 , 则 x = 1 是 f ( x ) 的第 x2 ? 3 x + 2 ? ? = b 26, ? ? ? ? a× = b 72 ,则点积 a ? b =
(n)

2.设函数 f ( x ) =

类间断点. .

3. 已知向量 a , b ,且 = a 3,

? ?

4.设函数 f ( x ) = ( 1 + x )( 1 + 2 x )? ( 1 + n x ) ,( n 为正整数),则 f 5.反常积分

( x) =

.



+∞ ?∞

dx = 1 + x2

.

二、单项选择题(本题共有 5 道小题,每小题 3 分,满分 15 分,请将所选答案填在括号内).
1. 设函数

f ( x ) 可微,则 d f ( e x ) = 【

】.

(A) f ′ ( x ) e x dx ; (C) f ′ ( e x ) e x dx ;

( B) f ′ ( e x ) d x ; (D) f ′ ( e x ) e x . 】.

2 2. 若 x → 0 时, 1 ? ax ? 1 与 x sin x 是等价无穷小,则 a = 【

(A) ?1 ;

(B) 1 ;

(C) 2 ;


(D)

?2.

3.



dx x (1 ? x )

=【

1 (A) arcsin x + C (C为任意常数); (B) arcsin x + C (C为任意常数); 2

(C) 2arcsin(2 x ? 1) + C (C 为任意常数);(D) arcsin(2 x ? 1) + C (C 为任意常数).

4. 若

f (x = )

f ( ? x ) , ( ?∞ < x < +∞ ) . 在 ( ?∞ , 0) 内 f ′( x ) > 0 , f ′′( x ) < 0 ,
1

则在 (0, + ∞ ) 内有【

】.

(A) f ′( x ) > 0 , f ′′( x ) < 0 ; (C) f ′( x ) < 0 , f ′′( x ) < 0 ; tan x 5. 设 a ∫= = dx , b x
4 0

(B) f ′( x ) > 0 , f ′′( x ) > 0 ; (D) f ′( x ) < 0 , f ′′( x ) > 0 .

π



π
4 0

x dx , 则 【 tan x

】.

(A) a < b ; (C) a = b ;

(B) a > b ; (D) 以上结论都不对.

三、求解下列各题(本题共有 4 道小题,每小题 6 分,满分 24 分).
tan x ? x .   x ? sin x

1. 求极限 lim
x→0

2. 计算曲线 y =

2 3 x 2 上相应于 3 ≤ x ≤ 8 的一段弧的长度. 3

x = cos t , ? ? d2 y dy t 2 3. 设函数 y = y( x ) 由参数方程 ? 所确定,求 和 . y = ∫ e ? u sin u du . dx 2 dx ? 0 ?
4. 计算定积分 ∫
1 ?1

2 x 2 + x cos x 1 + 1 ? x2

dx

y z 且与平面 四、(本题满分 10 分)求经过点 A ( ?1, 2, 3 ) ,垂直于直线 L: x = = 4 5 6

∏ : 7 x + 8 y + 9 z + 10 = 0 平行的直线方程.
五、(本题满分 10 分)证明函数 f ( x = ) (1 +
1 x ) 在 [1, + ∞ ) 上单调增加. x
2

π 六、 (本题满分 10 分) 设常数 k > 0 , 曲线 y = k x 与 y = sin x (0 ≤ x ≤ π ) 在 = x t (0 < t < )
2

2

处相交(如图所示). (1)记 S1 ( t ) 为 y = k x 与
2

y = sin x 围成的图形的面积,

求 S1 ( t ) ;
2

(2)记 S2 ( t ) 为曲线

y = sin x 与两直线 y = sin t 和 x = π 围成的图形的

面积, 求 S2 ( t ) ;
2

(3)试证: S = ( t ) S1 ( t ) + S2 ( t ) 在 (0, π ) 内必有惟一极小值. 2 y sin t

y = k x2
y = sin x

o

t

π
2

π

x

七、(本题满分 10 分)设连续函数 f ( x ) 满足等式 ∫ f ( tx ) d = t x2 ? e? x , 求 f ( x) .
1 0

八、(本题满分 6 分)假设 f ( x ) 和 g ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 上存在二阶导数,

f= (a)

f= = ( b ) g= (a) g ( b ) 0 , 在开区间 ( a , b ) 内 g ( x ) ≠ 0 , g′′ ( x ) ≠ 0 .
g (ξ ) g ′′(ξ )

试证:在开区间 ( a , b ) 内至少存在一点 ξ , 使得 f (ξ ) = f ′′(ξ ) 成立.

3


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