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2017年高考文科数学一轮 专题二十二 坐标系与参数方程 听课手册


坐标系与参数方程

1.[2014· 辽宁卷改编] 将圆 x2+y2=1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C,则 C 的参数方程为________. 2.[2015· 全国卷Ⅰ改编] 在直角坐标系 xOy 中,直线 C:x=-2,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则直线 C 的极坐标方程为________. 3.

[2015· 广东卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系.曲线 C1 的极坐标方程为ρ (cos θ +sin θ )=-2,曲线 C2 的参数方程为

?x=t , ? (t 为参数),则 C1 与 C2 交点的直角坐标为________. ?y=2 2t
?x=2+t, ? 4.[2014· 新课标全国卷Ⅰ改编] 直线 l:? (t 为参数)的普通方程为________. ? ?y=2-2t
2 ? ?x=t , 5.[2013· 陕西卷] 圆锥曲线? (t 为参数)的焦点坐标是________. ?y=2t ?

2

6.[2013· 广东卷] 已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ .以极点为原点,极轴为 x 轴 的正半轴建立直角坐标系,则曲线 C 的参数方程为________. π 7.[2015· 广东卷] 已知直线 l 的极坐标方程为 2ρsin?θ- ?= 2,点 A 的极坐标为 4? ? A?2

?

7π 2, ?,则点 A 到直线 l 的距离为________. 4 ?

8.[2015· 湖南卷] 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系. 若曲线 C 的极坐标方程为ρ =2sin θ , 则曲线 C 的直角坐标方程为________.

考点一

极坐标系与简单曲线的极坐标方程 题型:解答 分值:5~10 分 难度:中等 热点:极坐标与直角坐标的互化

1 [2015· 全国卷Ⅰ改编] 在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标 原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C1 的极坐标方程; π (2)若直线 C2 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R),设 C1 与 C2 的交点为 M,N,求△C1MN 的 4 面积. [听课笔记]

[小结] 处理极坐标问题时,主要是依据 x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2 进行极坐 标与直角坐标的互化, 而当对极坐标问题不熟悉时, 可考虑转化为直角坐标方程后使用直角 坐标方法解决. 式题 直角坐标系 xOy 的原点和极坐标系的极点重合,x 轴正半轴与极轴重合,单位 π π x2 y2 长度相同.曲线 C 的直角坐标方程为 + =1,若曲线 C 与射线 θ= 和射线 θ=- 分 16 4 4 4 别交于 A,B 两点,求△AOB 的面积.

考点二

简单曲线的参数方程 题型:解答 分值:5~10 分 难度:中等 热点:直线的参数方程

π 2 已知直线 l 经过点 P(1,1),倾斜角 α= . 6 (1)写出直线 l 的参数方程;
? ?x=2cos θ , (2)设 l 与圆? (θ 为参数)相交于 A,B 两点,求点 P 到 A,B 两点的距离之 ?y=2sin θ ?

积.

[听课笔记]

[小结] 曲线的参数方程的实质是将曲线上每一点的横、纵坐标分别用同一个参数表示 出来,所以处理有关曲线上点的坐标问题时用参数方程非常方便.熟悉直线、圆、椭圆、抛 物线的参数方程的形式及参数的几何意义,是解决参数问题的前提.

?x=-3+ 3t, x2 y2 式题 已知椭圆 C: + =1,直线 l:? (t 为参数). 4 3 ?y=2 3+t
(1)写出椭圆 C 的参数方程及直线 l 的普通方程; (2)设 A(1,0),若椭圆 C 上的点 P 满足到点 A 的距离与其到直线 l 的距离相等,求点 P 的坐标.

考点三

极坐标与参数方程的综合 题型:解答 分值:5~10 分 难度:中等偏难 热点:极坐标与参数方程的综合 1

?x=3+2t, 3 [2015· 陕西卷] 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为? (t 为参 3 ?y= 2 t
数).以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为 ρ=2 3sin θ . (1)写出⊙C 的直角坐标方程; (2)P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求 P 的直角坐标. [听课笔记]

[小结] 极坐标方程与直角坐标方程的互化主要是立足公式 ρ2=x2+y2,x=ρcos θ,y =ρsin θ进行,而参数方程化为普通方程则是消去参数方程中的参数即可. 式题 已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=4cos θ .以极点为平面直角坐标系的原点,极
? ?x=1+tcos α , 轴为 x 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系, 直线 l 的参数方程是? (t 是参数). ?y=tsin α ?

(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,且|AB|= 14,求直线的倾斜角α 的值.

坐标系与参数方程 ■ 核心知识聚焦
?x=cos t, ? 1.? (t 为参数) [解析] 设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为 C 上的点(x, ? ?y=2sin t
2 ?x=x1, y2 2 2 ?y? 2 y).依题意,得? 由 x2 1+y1=1 得 x + 2 =1,即曲线 C 的方程为 x + =1. ? ? 4 ?y=2y1,

? ?x=cos t, 故 C 的参数方程为? (t 为参数). ?y=2sin t ?

2.ρ cos θ =-2 [解析] 因为 x=ρcos θ ,y=ρsin θ ,所以直线 C 的极坐标方程为 ρcos θ =-2. 3.(2,-4) [解析] 曲线 C1 的直角坐标方程为 x+y=-2,曲线 C2 的普通方程为 y2

?x+y=-2, ?x=2, =8x,由? 2 得? 所以 C1 与 C2 交点的直角坐标为(2,-4). ?y =8x, ?y=-4,
4.2x+y-6=0 [解析] 消去参数 t,可得直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. 5.(1,0) [解析] 由所给的曲线的参数方程化为普通方程为 y2=4x,为抛物线,其焦 点坐标为(1,0).
?x=1+cos θ , ? 6.? (θ 为参数) [解析] 将曲线 C 的极坐标方程 ρ=2cos θ 化为普通方程 ? ?y=sin θ ?x=1+cos θ , ? 为(x-1)2+y2=1,则其参数方程为? (θ 为参数). ? ?y=sin θ

7.

5 2 2

π [解析] 直线 l 的极坐标方程 2ρsin?θ- ?= 2化为直角坐标方程为 x-y+1= 4? ?

7 ? 7π 7π ? ? 0,点 A? ?2 2,4π ?在直角坐标系中的坐标为?2 2cos 4 ,2 2sin 4 ?,即 A(2,-2),故点 |1×2-1×(-2)+1| 5 A 到直线 l 的距离为 = 2. 2 2 8. x2+y2-2y=0 [解析] 将曲线 C 的极坐标方程 ρ=2sin θ 两边同时乘 ρ, 得 ρ2=2ρsin θ ,即 x2+y2=2y,故曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0. ■ 考点考向探究 考点一 极坐标系与简单曲线的极坐标方程

例 1 解:(1)因为 x=ρcos θ ,y=ρsin θ ,所以 C1 的极坐标方程为ρ 2-2ρ cos θ - 4ρ sin θ +4=0.

π (2)将 θ= 代入 ρ2-2ρcos θ -4ρsin θ +4=0,得ρ 2-3 2ρ+4=0,解得 ρ1=2 2, 4 ρ 2= 2,故 ρ1-ρ2= 2,即|MN|= 2. π 1 1 由于圆 C1 的半径为 1,所以△C1MN 的面积为 × 2×1×sin = . 2 4 2 ρ2cos2θ ρ2sin2θ 变式题 解:将曲线 C 的直角坐标方程化为极坐标方程为 + =1, 16 4 π π 32 分别代入 θ= 和 θ=- ,得 ρ2=|OA|2=|OB|2= , 4 4 5 π 1 16 因为∠AOB= ,所以△AOB 的面积 S= |OA|· |OB|= . 2 2 5 考点二 简单曲线的参数方程

例2

?x=1+ 23t, 解:(1)直线 l 的参数方程是? (t 是参数). 1 ?y=1+2t

(2)因为点 A,B 都在直线 l 上,所以可设点 A,B 对应的参数分别为 t1 和 t2,将直线 l 的参数方程代入圆的普通方程 x2+y2=4 中,整理得 t2+( 3+1)t-2=0.① 因为 t1 和 t2 是方程①的解,从而 t1t2=-2, 所以|PA|· |PB|=|t1t2|=2.

?x=2cos θ , 变式题 解:(1)椭圆 C:? (θ 为参数),直线 l:x- 3y+9=0. ?y= 3sin θ
(2)设 P(2cos θ , 3sin θ ),则|AP|= (2cos θ -1)2+( 3sin θ )2=2-cos θ , |2cos θ -3sin θ +9| 2cos θ -3sin θ +9 P 到直线 l 的距离 d= = . 2 2 3 4 由|AP|=d 得 3sin θ -4cos θ =5,又 sin2θ +cos2θ =1,得 sin θ = ,cos θ =- . 5 5 8 3 3 故 P(- , ). 5 5 考点三 极坐标与参数方程的综合

例 3 解:(1)由 ρ=2 3sin θ ,得 ρ2=2 3ρsin θ , 从而有 x2+y2=2 3y,所以⊙C 的直角坐标方程为 x2+(y- 3)2=3.

1 3 (2)设 P(3+ t, t),又 C(0, 3), 2 2 1 3 (3+ t)2+( t- 3)2= t2+12, 2 2 故当 t=0 时,|PC|取得最小值, 此时,P 点的直角坐标为(3,0). 则|PC|= 变式题 解:(1)由 ρ=4cos θ 得(x-2)2+y2=4.

?x=1+tcos α , (2)将? 代入圆的方程得(tcos α -1)2+(tsin α )2=4, ?y=tsin α ,
化简得 t2-2tcos α -3=0.

?t1+t2=2cos α , 设 A,B 两点对应的参数分别为 t1,t2,则? ?t1t2=-3,
∴|AB|=|t1-t2|= (t1+t2)2-4t1t2= 4cos2α +12= 14, π 3π 2 ∴4cos2α =2,cos α =± ,α = 或 . 2 4 4 ■ 教师备用例题 [备选理由] 例 1 考查将圆的极坐标方程化为直角坐标方程.例 2 考查椭圆的参数方程、 伸缩变换以及轨迹问题.例 3 是极坐标与参数方程的综合题,并涉及直线参数方程的应用. π 例 1(配听课例 1 使用)[2015· 江苏卷] 已知圆 C 的极坐标方程为 ρ2+2 2ρsin?θ- ?-4 4? ? =0,求圆 C 的半径. 解:以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直 角坐标系 xOy. 圆 C 的极坐标方程为 ρ2+2 2ρ? 2 2 ? 2 sin θ - cos θ -4=0,化简得 ρ +2ρsin θ - 2 2 ? ?

2ρcos θ -4=0, 则圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x+2y-4=0, 即(x-1)2+(y+1)2=6, 所以圆 C 的半径为 6.
?x=3cos θ , ? 例 2(配听课例 2 使用)已知曲线 C 的参数方程为? (θ 为参数),在同一平面 ? ?y=2sin θ

?x′=3x, 直角坐标系中,将曲线 C 上的点按坐标变换? 得到曲线 C′. 1 ?y′=2y
(1)求曲线 C′的普通方程; (2)若点 A 在曲线 C′上,点 B(3,0),当点 A 在曲线 C′上运动时,求 AB 的中点 P 的轨 迹方程.

1

?x=3cos θ , ? 解:(1)将? 代入 ? ?y=2sin θ

?x′=3x, ?x′=cos θ , ? (θ 为参数), ? 1 得 C′的参数方程为? ? ?y′=sin θ ?y′=2y,

1

所以曲线 C′的普通方程为 x′2+y′2=1. (2)设 P(x,y),A(x0,y0),又 B(3,0),且 AB 的中点为 P,
? ?x0=2x-3, 所以有? ① ?y0=2y. ?
2 2 2 又点 A(x0,y0)在曲线 C′上,所以 x2 0+y0=1,将①式代入得(2x-3) +(2y) =1,

3 1 所以点 P 的轨迹方程为(x- )2+y2= . 2 4

?x=1+2t, 例 3(配听课例 3 使用)直线 l 的参数方程为? (t 为参数),曲线 C 的极坐标方 3 ?y= 2 t
程为(1+sin2θ )ρ2=2. (1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; 1 1 (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,若点 P 为(1,0),求 + . |AP|2 |BP|2 解:(1)消去参数 t 得直线 l 的普通方程为 3x-y- 3=0, x2 曲线 C 的极坐标方程 ρ2+ρ2sin2θ =2 化成直角坐标方程为 x2+2y2=2,即 +y2=1. 2 (2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C:x2+2y2=2,得 7t2+4t-4=0. 设 A,B 两点在直线 l 的参数方程中对应的参数分别为 t1,t2, 4 4 则 t1+t2=- ,t1t2=- , 7 7 ∴
2 2 2 1 1 1 1 t1+t2 (t1+t2) -2t1t2 9 = . 2+ 2= 2+ 2= 2 2= |AP| |BP| |t1| |t2| t1·t2 2 (t1t2)2

1


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