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2016年高考全国1卷理数试题和标准答案(Word版)


绝密★启用前 2016 年普通高等学校全国统一考试 数学
本试题卷共 5 页,24 题(含选考题) ,全卷满分 150 分,考试用时 120 分钟
注意事项: 1、答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条 形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2、选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3、非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。 4、选考题作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答 题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5、考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题:本题共 12 小题 合题目要求的。 ,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

2 (1)设集合 A= x ? 4 x +3 ? 0 ,B= ?x | 2 x ? 3 ? 0? ,则 A ? B =

?

?

3? ? ? ?3, ? ? 2? (A) ?

3? ? ? ?3, ? 2? (B) ?

? 3? ?1, ? (C) ? 2 ?

?3 ? ? ,3 ? (D) ? 2 ?

(1+i)x=1+yi,期中x,y是实数 ,则|x+yi|= (2)设
(A)1 (B) 2
n

(C) 3

(D)2

(3)一直等差数列{ a }前 9 项的和为 27, a10 =8,则 a100 = (A)100 (B)99 (C)98 (D)97 (4)某公司的班车在 7:30,8:00,8:30 发车,小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车, 且到达发车站的时刻是随机的,则他等车的时间不超过 10 分钟的概率是 (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3
1

(D)

3 4

(5)已知方程 取值范围是 (A) (-1,3)

x2 y2 =1 表示双曲线,且该双曲线两焦点的间的距离为 4,则 n 的 n 2 +n 3n 2 -n

(B) (-1, 3 )

(C) (0,3)

(D) (0, 3 )

(6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径,若该 几何体的体积是 (A)17 ? (C)20 ?

28? ,则它的表面积是 3
(B)18 ? (D)28 ?

(7)函数 y ? 2 x2 ? e 在[-2,2]的图像大致为
x

(8)若 log a c ? log b c a ? b ? 1 , 0 ? c ? 1 ,则
c c (A) a ? b c c (B) ab ? ba

(C) a logb c ? b loga c

(C) log a c ? logb c

(9)执行右面的程序框图,如果输入的 x=0,y=1,n=1,则输入 x,y 的值满足 (A)y=2x (B)y=3x (C)y=4x (D)y=5x

2

(10)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 D,E 两点,已知,

AB ? 4 2 , DE ? 2 5 则 C 的焦点到准线的距离为
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 (11) 平面 ? 过正方体 ABCD- A1B1C1D1 的顶点 A, ? //平面 CB1D1 , ? ? 平面 ABCD=m, ?? 平面 ABB1 A 1 =n,则 m,n 所成角的正弦值为

(A)

3 2

(B)

2 2

(C)

3 3

(D)

1 3

? ? (? ? 0 , =sin(?x+?) (12) 已知函数 f(x)
图像的对称轴,且 f(x)在(

? ? 为 f(x) 的零点,x ? 为 y ? f(x) 4 2

π 5 π , )单调,则? 的最大值为 18 36

(A)11(B)9(C)7(D)5 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。 第(22)~(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)设向量 a=(m,1),b=(1,2) ,且 | a ? b | ?| a | ? | b | , 则 m=
2 2 2



(14) (2x+ x 的展开式中, x 的系数是

5

3

. (用数字填写答案)

( 15 ) 设 等 比 数 列 { an } 满 足 a1 ? a3 ?1 0 , a2 ? a4 ? 5 , 则 a1a2 … an 的 最 大 值 为 . (16)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品 A 需要
3

甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要用材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工时,生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元,该企业现 有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利 润之和的最大值为 元。 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分)

? ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为
(Ⅰ)求 C; (Ⅱ)若 c= 7 , ? ABC 的面积为 (18) (本小题满分 12 分)

a,b,c。已知 2 cos C (a cos B ? B cos A) ? c .

3 3 ,求 ? ABC 的周长. 2

如图,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为正方形,AF=2FD,? AFD= 90 ,
o

且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60 . (Ⅰ)证明:平面 ABEF⊥平面 EFDC; (Ⅱ)求二面角 E-BC-A 的余弦值.

o

(19)(本小题满分 12 分) 某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机 器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购 买,则每个 500 元. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了, 100 台这种机器在三年试用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:

4

以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率, 记X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数, n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数 (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)若要求 P(X≤n)≥0.5,却确定 n 的最小值; (Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 n=19 与 n=20 之中选其一,应选 用哪个? (20) (本小题满分 12 分) 设圆 x2+y2+2x-15=0 的圆心为 A,直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合,l 交圆 A 于 C,D 两 点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E。 (Ⅰ)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点 E 的轨迹方程; (Ⅱ)设 x1,x2 是 f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2 (Ⅱ)设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1 于 M,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围。

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数错误!未找到引用源。=(x—2)ex+a(x—1)2 有两个零点。 (Ⅰ)求 a 的取值范围; 请考生在第(22)、(23)、(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, △OAB 是等腰三角形, ∠AOB=120°。 以 O 为圆心, 1/2OA 为半径做圆。 (Ⅰ)证明:直线 AB 与圆 O 相切; (Ⅱ)点 C,D 在圆 O 上,且 A,B,C,D 四点共圆,证明:AB//CD.

(22) (本小题满分 10 分)选修 4-4;坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的

参数方程为

?

x=a cos t y ?1? a sin t , (t 为参数, a >0) 。在坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极

坐标系中,曲线 C2:p= 4 cos ? .
5

(Ⅰ)说明 C1 是哪一种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (Ⅱ)直线 C3 的极坐标方程为 ? = a0 ,其中 a0 满足 tan a0 =2,若 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上,求 a 。

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5; 不等式选讲已知函数发 f (x) =|x+1|-|2x-3|, (I)在答题卡第(24)题图中画出 y=f(x)的图像; (II)求不等式|f(x)|>1 的解集。

6

7

8

9

10

11



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