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排列组合二项式定理


排列组合与二项式定理 一、考点,热点回顾。 1。了解分类计数原理与分步计数原理。 分类计数原理: 完成一件事,有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m1 种不 同的方法,在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法错误!未找到引用源。在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1+m2+错误!未找到引用源。n 种不同的方法。(加法原理) 例题 书架的第一层有 4 本不同的数学书, 第二层有 3 本不同的语文书, 第三层有 2 本不同的英语书。 (1) 从书架上任取一本书,共有多少种方法? 分步计数原理: 完成一件事,需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 m1 种方 法, 做第 2 步有 m2 种方法错误! 未找到引用源。 做第 n 步有 mn 种方法, 那么完成这件事共有 N=m1m2 错误!未找到引用源。mn 种不同的方法.(乘法原理) 例题 (2) 以上个例题为条件,从书架的第 1,2,3 层分别各取一本 书,有多少种不同的方法? 排列: 一般地,从 n 个不同元素中取 m(m 错误!未找到引用源。个 元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的一个排列。 用符号错误!未找到引用源。表示。 错误!未找到引用源。=n(n-1)(n-2)错误!未找到引用源。(n-m+1) 排 列数公式
1

当 m=n 时,错误!未找到引用源。=n(n-1)(n-2) 错误!未找到引用源。 3 错误!未找到引用源。2 错误!未找到引用源。1. 可以写成错误! 未找到引用源。=n!叫做 n 的阶乘 所以 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 成立,规定 0!=1. 组合:从 n 个不同元素中取出 m(m 错误!未找到引用源。从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的组合数,用符号错误!未找到引用源。表示。 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 = 错误!未找到引 用源。 (组合数公式) 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 用源。 错误!未找到引用源。=1. 了解 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 二项式定理 (a+b 错误!未找到引用源。=a2+2ab+b2=错误!未找到引用源。a2+错 误!未找到引用源。ab+错误!未找到引用源。b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=错误!未找到引用源。a3+错误!未找到引用源。 a2b+错误!未找到引用源。ab2+错误!未找到引用源。b3 一般地, (a+b 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。an+错误! 未找到引用源。an-1b+错误!未找到引用源。an-rbr 错误!未找到引用源。 +错误!未找到引用源。bn 这个公式所表示的定理叫做二项式定理,右边多项式叫做(a+b)n 的二 , 错误!未找到引 为了使 m=n 时

2

项展开式,共有 n+1 项,错误!未找到引用源。叫做二项式系数。 错误!未找到引用源。an-rbr 叫做二项展开式的通项,用 Tr+1 表示。 (第 r+1 项)

二、典型例题 运算题 1.错误!未找到引用源。 引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到 错误!

错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

未找到引用源。+错误!未找到引用源。

证明题 1.错误!未找到引用源。=n 错误!未找到引用源。 用源。=n2 错误!未找到引用源。 错误!未找到引

3

2.错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+ 错误!未找到引用源。=0

二项式运用 1. 求(1+2x 错误!未找到引用源。的展开式第 4 项的系数。

2. 求(x+a 错误!未找到引用源。的展开式的倒数第 4 项。

3. 证明 2n=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引 用源。+错误!未找到引用源。

4. 已知(1+2x)20=a0+a1x+a2x+错误!未找到引用源。a20x20,求 a0+a2+a4 错误! 未找到引用源。a20 的值

5. 两本不同的语文书, 两本不同的数学书和一本英语书排放在书架上, 若同

4

类书不相邻,英语书不放在最左边,则有多少种排法?(32)

6. 四个相同小球放入三个不同盒子。 (隔板法) (1) 每个盒子至少有 1 个球,有多少种方法? (2) 每个盒子所放小球数量不限,有多少种方法?

课后练习 1. 方程 ay=b2x+c 中的 a,b,c 属于这些数(-3,-2,0,1,2,3),且 a,b,c 互不相同,在所有这些方程中,不同的二元一次方程有多少种?(62)

2. 在 0,1,2,3,5 中任取 4 个数字组成没有重复数字的四位数,且使得该 四位数能被剩下的那个数除尽,则这样的四位数有多少个?(30)

5

3. 由 1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字且 1,3 都不与 5 相邻的六位偶数 的个数是多少?(108)

4. 3 位男生和 3 位女生站成一排,若男生甲不站两端,三位女生中有且只 有两位相邻,则不同的站法有多少种?(288)

5. 若(1-2x)2014=a0+a1x+a2x2+错误!未找到引用源。a2014x2014,求错误!未找 到引用源。+ 错误!未找到引用源。 +错误!未找到引用源。 的值?

6.(1+x+x2)(x-错误!未找到引用源。的展开式中常数项是多少?

6



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