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必修五3.1.1基本不等式教学设计


《基本不等式(第一课时)》教学设计 汪清刚 吉林省辽源市东辽县第一高级中学 一、教学目标 知识与技能: 1.理解两个正数的算术平均数不小于他们之积的 2 倍的不等式的证明。 2.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及几何解释。 过程与方法 本节的学习是学生对不等式认知的一次飞跃。 要善于引导学生从数和形俩方面深入的探 究不等式的证明,从而进一步突破难点。基本不等式的证明要注重严密性,每一步都有理论 依据,培养学生的逻辑能力。 情感,态度与价值观 培养学生举一反三地逻辑推理能力, 并通过不等式的几何解释, 丰富学生数形结合的想 象力。引导学生领会运用基本不等式 的三个限制条件(一正二定三相等)在解

决最值中的作用,提升解决问题的能力,体会方法与策略. 二、教学重点和难点

三、重点:应用数形结合的思想理解基本不等式,并从不同角度探索不等式



证明过程; 难点:理解“=”成立的充要条件. 三、教学过程: 1.动手操作,几何引入 如图是 2002 年在北京召开的第 24 届国际数学家大会会标, 会标是根据我国古代数学家赵爽 的“弦图”设计的, 该图给出了迄今为止对勾股定理最早、 最简洁的证明, 体现了以形证数、 形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的.

探究一:在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗? 在正方形 中有 4 个全等的直角三角形.设直角三角形两条直角边长为 .于是, , ,

那么正方形的边长为 4 个直角三角形的面积之和 正方形的面积 由图可知 ,即 .



探究二: 先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形, 再用这两个三角形 拼接构造出一个矩形(两边分别等于两个直角三角形的直角边,多余部分折叠).假设两个 正方形的面积分别为 和 现一个不等式吗? ( ),考察两个直角三角形的面积与矩形的面积,你能发

通过学生动手操作,探索发现: 2.代数证明,得出结论 根据上述两个几何背景,初步形成不等式结论: 若 ,则 .



,则



学生探讨等号取到情况,教师演示几何画板,通过展示图形动画,使学生直观感受不等关系 中的相等条件,从而进一步完善不等式结论:

(1)若

,则

;(2)若

,则

请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明. 证法一(作差法): ,当 (在该过程中,可发现 证法二(分析法):由于 的取值可以是全体实数) ,于是 时取等号.

要证明

,只要证明

, 即证





,该式显然成立,所以

,当

时取等号.

得出结论,展示课题内容 基本不等式:

若 若

,则 ,则

(当且仅当 (当且仅当

时,等号成立) 时,等号成立)

深化认识:





的几何平均数;称



的算术平均数

基本不等式

又可叙述为:

两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 3.几何证明,相见益彰 探究三:如图, 于 的弦 是圆 的直径,点 . 由于 Rt 中直角边 斜边 , 是 上一点, , .过点 作垂直

,连接

根据射影定理可得:

于是有 故而再次证明:

当且仅当点

与圆心

重合时,即

时等号成立.



时,

(当且仅当

时,等号成立)

(进一步加强数形结合的意识,提升思维的灵活性) 4.应用举例,巩固提高 例 1.(1)用篱笆围一个面积为 100 平方米的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时, 所用篱笆最短,最短的篱笆是多少? (2)一段长为 36 米的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽为多少时,菜园的面积 最大,最大面积是多少? (通过例 1 的讲解,总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化) 对于 (1)若 , (定值),则当且仅当 时, 有最小值 ;

(2)若

(定值),则当且仅当

时,

有最大值



(鼓励学生自己探索推导,不但可使他们加深基本不等式的理解,还锻炼了他们的思维,培 养了勇于探索的精神.)

例 2.求

的值域.

变式 1. 若

,求

的最小值.

在运用基本不等式解题的基础上,利用几何画板展示 再次感受数形结合的数学思想.

的函数图象,使学生

并通过例 2 及其变式引导学生领会运用基本不等式

的三个限制条件(一正二定

三相等)在解决最值问题中的作用,提升解决问题的能力,体会方法与策略. 练一练(自主练习):

1.已知 2.设 ,且

,且 ,求

,求

的最小值. 的最小值.

5.归纳小结,反思提高 基本不等式:若 ,则 (当且仅当 时,等号成立)



,则

(当且仅当

时,等号成立)

(1)基本不等式的几何解释(数形结合思想); (2)运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法. 媒体展示,渗透思想:

若将算术平均数记为

,几何平均数记为

利用电脑 3D 技术,在空间坐标系中向学生展示基本不等式的几何背景:平面



曲面

的上方

6.布置作业,课后延拓 (1)基本作业:课本 P100 习题 组 1、2 题 (2)拓展作业:请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释,整理并相 互交流. (3)探究作业: 现有一台天平,两臂长不相等,其余均精确,有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在 左右托盘各称一次, 则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量. 这种说法对吗?并说 明你的结论.


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