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1.3.球的表面积与体积


高一(8)班
李天芝

球的概念
球的直径

球心

球的半径

球的体积
A

问题:已知球的半径为R,

用R表示球的体积.
O R

球的体积

O

R

半径为R的球的体积:

4 3 V ? ?R 3

球的表面积

球面不能像柱体、锥体、台体那样展成平面图形,所 以求球的表面积无法用展开图求出,如何求球的表面 积公式呢?

球的表面积

?S i

o o
半径为R的球的表面积:

S ? 4?R

2

例1.

钢球直径是5cm,求它的体积和表面积. 4 3 4 5 3 125 3 解 : V ? ?R ? ? ? ( ) ? ? (cm ) 3 3 2 6

5 2 2 S ? 4?R ? 4? ? ( ) ? 25? (cm ) 2 125 3 2 答 : 钢球的体积为 ?cm , 面积为25?cm . 6
2

若两球半径之比为

r1 : r2

,则两球表面积之比



r : r2 1

2

2

;体积之比为

r : r2

3 1

3

28页 练习 1

(1)若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的

4 倍.

(2)若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是 1 : 2 2 .

例2

如图,圆柱的底面直径与高都等于 球的直径,求证:
2 (1)球的体积等于圆柱体积的 3 ;

O

(2)球的表面积等于圆柱的侧面积.

练习.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的 各个顶点都在球O的球面上,问球O的体积。
分析:正方体内接于球,则由球和正方 体都是中心对称图形可知,它们中心重 合,则正方体对角线与球的直径相等。
解:Rt?B1 D1 D中 : (2 R ) ? a ? ( 2a ) , 得
2 2 2

D A D1 A1 B

C

O
C1 B1

3 R? a 2 ? 3 ? 4 4 3 3 ? ? ? ?V ? ?R ? ? ? ? a? ?a 3 3 3 2 ? 2 ?
3

D
A D1 A1 B1 O B

C

C1

若正方体的棱长为a
D A O B C

D1
A1 B1

C1

正方体的外接球
的直径=

3a

正方体的内切球的 直径=a

与正方体所有 侧棱相切的 球的直径= 2a

有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方 体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球 的体积之比_________.

球心到截面的距离d,球的半径 R和截面圆的半径r,有如下关系:

R =r?d +

2

2
O

?

R d C r

用一个平面截半径为5cm的球, 截面圆面积是9? cm? ,求球心到截面 的距离.

O

R
?

d

r

课堂小结
?熟练掌握球的体积、表面积公式: 4 3 ①V ? ?R 3 ②S ? 4?R 2


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