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2011高考试题:理数(福建卷)


2011 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷) 数学(理工农医类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷第 3 至 6 页。第Ⅱ卷第 21 题为选考题,其他题为必考题。满分 150 分。 注意事项: 1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。 考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号,姓名”与考生本人准考证 号,姓名是否一致。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,第Ⅱ卷用 0.5 毫米黑色签字 笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效。 3.考试结束,考生必须将试题卷和答题卡一并交回。 参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,…, xn 的标准差 锥体体积公式
V ? 1 Sh 3

s?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 +?+( xn ? x)2 ] n

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式
V ? Sh

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积,体积公式
4 S ? 4? R 2 , V ? ? R 3 3

其中 S 为底面面积, h 为高

其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 1. i 是虚数单位,若集合 S ={-1,0,1},则( A. i ∈ S B. i 2 ∈ S ) D.
2 ∈S i

C. i 3 ∈ S )

2.若 a ? R,则 a =2 是 (a ? 1)(a ? 2) ? 0 的( A.充分而不必要条件

B 必要而不充分条件
1 / 22

C.充要条件 3.若 tan ? =3,则 A.2

D.既不充分又不必要条件
sin 2? 的值等于( cos 2 ?

) D.6

B.3

C.4

4.如图, 矩形 ABCD 中, 点 E 为边 CD 的中点, 若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q, 则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于 ( A.
1


2 3

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

5. ? (e x ? 2 x)dx 等于(
0

) B. e ? 1 C. e ) D.10 D. e ? 1

A.1

6. (1 ? 2 x)5 的展开式中, x 2 的系数等于( A.80 B.40 C.20

7. 设 圆 锥 曲 线 E 的 两 个 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 若 曲 线 E 上 存 在 点 P 满 足

| PF1 | : | F1F2 | : | PF2 | =4:3:2,则曲线 E 的离心率等于(
A.
1 3 或 2 2

) D.
2 3 或 3 2

B.

2 或2 3

C.

1 或2 2

?x ? y ? 2 ? 8.已知 O 是坐标原点,点 A (-1,1) ,若点 M ( x, y) 为平面区域 ? x ? 1 上的一个动 ?y ? 2 ?

??? ? ???? ? 点,则 OA ? OM 的取值范围是(
A.[-1.0] B.[0.1]

) C.[0.2] D.[-1.2]

9.对于函数 f ( x) = a sin x ? bx ? c (其中 a , b ? R , c ? Z ), 选取 a , b , c 的一组值计算 是( f (1) 和 f (?1) ,所得出的正确结果一定不可能 ..... A.4 和 6 B.3 和 1 ) C.2 和 4 D.1 和 2

10. 已 知 函 数 f ( x) = e x ? x , 对 于 曲 线 y ? f ( x) 上 横 坐 标 成 等 差 数 列 的 三 个 点 ( A , B , C ,给出以下判断: )

① ?ABC 一定是钝角三角形 ② ?ABC 可能是直角三角形 ③ ?ABC 可能是等腰三角形 ④ ?ABC 不可能是等腰三角形
2 / 22

其中,正确的判断是 A.①③ 注意事项: 用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写答案,在试题卷上作答,答案无效。 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相 应位置。 11.运行如图所示的程序,输出的结果是_______。 12.三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,PA=3,底面 ABC 是边长 为 2 的正三角形,则三棱锥 P-ABC 的体积等于______。 13.何种装有形状、大小完全相同的 5 个球,其中红色球 3 个,黄 色球 2 个。若从中随机取出 2 个球,则所取出的 2 个球颜色不同 的概率等于_______。 14.如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC= 2 3 ,点 D 在 BC 边 上,∠ADC=45° ,则 AD 的长度等于______。 15.设 V 是全体平面向量构成的集合,若映射 f : V ? R 满足: ? ? 对任意向量 a =( x1 , y1 )∈ V , b =( x2 , y2 )∈ V 以及任意 ? ? ? ? ? ∈ R ,均有 f (? a+(1 ? ? )b) = ? f (a)+(1 ? ? ) f (b) 则称映射 f 具有性质 P . B.①④ C. ②③ D.②④

?? ?? 先给出如下映射:① f1 : V ? R , f1 (m) ? x ? y , m = ( x, y) ?V ; ?? ?? ② f 2 : V ? R , f2 (m) ? x2 ? y , m = ( x, y) ?V ; ?? ?? ③ f3 : V ? R , f3 (m) ? x ? y ?1 , m = ( x, y) ?V
其中,具有性质 P 的映射的序号为________。 (写出所有具有性质 P 的映射的序 号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤。 16.(本小题满分 13 分) 已知等比数列{ an }的公比 q =3,前 3 项和 S3 = (I)求数列{ an }的通项公式;
3 / 22

13 . 3

(II)若函数 f ( x) = A sin(2 x ? ? ) ( A >0,0< ? < ? )在 x ? 最大值为 a3 ,求函数 f ( x) 的解析式. 17.(本小题满分 13 分)已知直线 l : y ? x ? m , m ∈ R .

?
6

处取得最大值,且

(I)若以点 M (2,0)为圆心的圆与直线 l 相切与点 P ,且点 P 在 y 轴上,求该圆 的方程; (II) 若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l ? , 问直线 l ? 与抛物线 C:x2 ? 4 y 是否相切? 说明理由. 18. (本小题满分 13 分) 某商场销售某种商品的经验表明, 该商品每日的销售量 y (单位:千克)与销售价格 x (单位:元/千克)满足关系式 y =
a 2 ? 10( x ? 6) , x?3

其中 3< x <6, a 为常数,已知销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克。 (I)求 a 的值 (II)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该 商品所获得的利润最大。 19.(本小题满分 13 分) 某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 X 依次为 1,2,……,8,其 中 X ≥5 为标准 A , X ≥3 为标准 B,已知甲厂执行标准 A 生产该产品,产品 的零售价为 6 元/件;乙厂执行标准 B 生产该产品,产品的零售价为 4 元/件, 假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准 (I)已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下所示:

X1

5 0.4

6

7
b

8 0.1

P

a

且 X 1 的数字期望 ?X1 =6,求 a , b 的值; (II)为分析乙厂产品的等级系数 X 2 ,从该厂生产的产品中随机抽取 30 件, 相应的等级系数组成一个样本,数据如下: 3 6 8 5 3 3 3 4 4 3 7 3 8 5 4 5 3 4
4 / 22

5 4 7

6 8 5

3 5 6

4 3 7

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数 X 2 的数 学期望. (Ⅲ)在(I) 、 (II)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产 品更具可购买性?说明理由. 注: (1)产品的“性价比”=

产品的等级系数的数学 期望 ; 产品的零售价

(2)“性价比”大的产品更具可购买性.

20.(本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,四边形 ABCD 中 , AB ⊥ AD , AB+AD=4 , CD=
?CDA ? 45? .

2 ,

(I)求证:平面 PAB⊥平面 PAD; (II)设 AB=AP. (i)若直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30 ? ,求线段 AB 的长; (ii)在线段 AD 上是否存在一个点 G,使得点 G 到点 P,B,C,D 的距离都 相等?说明理由

21. 本题设有(1) 、 (2) 、 (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题做答,满 分 14 分,如果多做,则按所做的前两题计分,做答时,先用 2B 铅笔在答题卡上 把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中。 (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换

? a 0? 设矩阵 M ? ? ? (其中 a >0, b >0). ?0 b ?
(I)若 a =2, b =3,求矩阵 M 的逆矩阵 M ?1 ; ( II)若曲线 C : x2 ? y 2 ? 1 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到曲线 C ? :
x2 ? y 2 ? 1,求 a , b 的值. 4

5 / 22

(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在 直 接 坐 标 系 x Oy 中 , 直 线 l 的 方 程 为 x ? y ? 4 ? 0 , 曲 线 C 的 参 数 方 程 为
? ? ? x ? 3c o s ( ? 为参数). ? y ? s i n ? ? ?

(I)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4, 关系; (II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

? ) ,判断点 P 与直线 l 的位置 2

(3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 设不等式 | 2 x ? 1|? 1 的解集为 M . (I)求集合 M ; (II)若 a , b ∈ M ,试比较 ab ? 1 与 a ? b 的大小.

6 / 22

2011 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷) 数学(理工农医类)解析 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 1. i 是虚数单位,若集合 S ={-1,0,1},则( A. i ∈ S B. i 2 ∈ S ) D.
2 ∈S i

C. i 3 ∈ S

【命题意图】本题考查复数运算、元素与结合关系,是送分题. 【解析】∵ i 2 =-1∈ S ,故选 B. 【答案】B 2.若 a ? R,则 a =2 是 (a ? 1)(a ? 2) ? 0 的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 )

B 必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件

【命题意图】本题考查充要条件的判断,是送分题. 【解析】∵ a =2 ? (a ?1)(a ? 2) ? 0 ,但 (a ? 1)(a ? 2) ? 0 ∴ a =2 是 (a ? 1)(a ? 2) ? 0 充分而不必要条件,故选 A. 【答案】A 3.若 tan ? =3,则 A.2
sin 2? 的值等于( cos 2 ?

a =2,

) D.6

B.3

C.4

【命题意图】本题考查二倍角正弦公式、同同角三角函数基本关系式,是容易题. 【解析】
sin 2? 2sin ? cos ? = = 2 tan ? =6,故选 D. cos 2 ? cos 2 ?

【答案】D 4.如图, 矩形 ABCD 中, 点 E 为边 CD 的中点, 若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q, 则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于 ( A.
1 4


2 3

B.

1 3

C.

1 2

D.

【命题意图】本题考查几何概型计算,是容易题.

7 / 22

【解析】点 Q 取自△ABE 内部的概率等于 【答案】C 5. ? (e x ? 2 x)dx 等于(
0 1

S ?ABE S矩形ABCD

1 AB ? BC 1 2 = = ,故选 C. 2 AB ? BC

) B. e ? 1 C. e D. e ? 1

A.1

【命题意图】本题考查定积分的计算,是简答题.
1 2 0 2 【解析】 ? (e x ? 2 x)dx = (ex ? x2 ) |1 0 = (e ? 1 ) ? (e ? 0 ) = e ,故选 C.
0 1

【答案】C 6. (1 ? 2 x)5 的展开式中, x 2 的系数等于( A.80 B.40 ) D.10

C.20

【命题意图】本题考查二项展开式的通项公式,是简单题. 【解析】含 x 2 项是 (1 ? 2 x)5 展开式的第 3 项,故其系数为 C52 22 =40. 【答案】B 7. 设 圆 锥 曲 线 E 的 两 个 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 若 曲 线 E 上 存 在 点 P 满 足

| PF1 | : | F1F2 | : | PF2 | =4:3:2,则曲线 E 的离心率等于(
A.
3 1 或 2 2

) D.
2 3 或 3 2

B.

2 或2 3

C.

1 或2 2

【命题意图】 本题考查椭圆与双曲线的定义与离心率的计算, 考查分类整合思想, 是中档题. 【解析】∵ | PF1 | : | F1F2 | : | PF2 | =4:3:2, ∴设 | PF1 | = 4 k , | F1F2 | = 3k , | PF2 | = 2 k , (k ? 0) 若圆锥曲线为椭圆,则 2 a = | PF1 | + | PF2 | = 6 k , 2c = | F1F2 | = 3k ,则离心率

e=

2 c 3k 1 = = ; 2a 6k 2

当圆锥曲线为双曲线时,则 2 a = | F1F2 | — | PF2 | = 2 k , 2c = | F1F2 | = 3k ,则离心 率e=
2 c 3k 3 = = ,故选 A. 2a 2k 2

【答案】A

8 / 22

?x ? y ? 2 ? 8.已知 O 是坐标原点,点 A (-1,1) ,若点 M ( x, y) 为平面区域 ? x ? 1 上的一个动 ?y ? 2 ?

??? ? ???? ? 点,则 OA ? OM 的取值范围是(
A.[-1.0] B.[0.1]

) C.[0.2] D.[-1.2]

【命题意图】本题考查简单线性规划、平面向量的数量积等知识,考查数形 结合思想及化归与转化数学的应用,是中档题. ??? ? ???? ? 【解析】作出可行域,如图所示,设 z = OA ? OM ,则
z = ? x ? y ,作出 l0 : ? x ? y ? 0 ,平移 l0 ,知 l 过点(1,1)

时, zmin =0,过(0,2)时, zmax =2, ??? ? ???? ? ∴ OA ? OM 的取值范围为[0,2],故选 C. 【答案】C 9.对于函数 f ( x) = a sin x ? bx ? c (其中 a , b ? R , c ? Z ), 选取 a , b , c 的一组值计算 是( f (1) 和 f (?1) ,所得出的正确结果一定不可能 ..... A.4 和 6 B.3 和 1 C.2 和 4 ) D.1 和 2

【命题意图】本题考查函数的奇偶性和逻辑推理能力,是难题. 【解析】∵ f (1) = a ? b ? c , f (?1) = ?a ? b ? c , ∴ f (1) , f (?1) 不可能是一奇一偶,故选 D. 【答案】D 10. 已 知 函 数 f ( x) = e x ? x , 对 于 曲 线 y ? f ( x) 上 横 坐 标 成 等 差 数 列 的 三 个 点
A , B , C ,给出以下判断: (

∴ f (1) + f (?1) = 2c 是偶数,



① ?ABC 一定是钝角三角形 ② ?ABC 可能是直角三角形 ③ ?ABC 可能是等腰三角形 ④ ?ABC 不可能是等腰三角形 其中,正确的判断是 A.①③ B.①④ C. ②③ D.②④

【命题意图】本题考查等差中项、向量的数量积等知识,考查学生数据处理能力. 【解析】∵ f ?( x ) = e x +1 >0,∴ f ( x) 在(-∞,+∞)上单调递增,
9 / 22

设 A , B , C 三点的横坐标分别为 x ? d , x , x ? d ( d >0) , 则 A ( x ? d , e x?d ? x ? d ), B ( x , e x ? x ) , C ( x ? d , e x ? d ? x ? d ),

??? ? ??? ? BA =( ? d , e x ?d ? e x ? d ), BC =( d , e x ? d ? e x ? d ),
??? ? ??? ? ∴ BA ? BC = ?d 2 ? (ex?d ? ex ? d )(ex?d ? ex ? d )

= ?d 2 ? e2 x ? e2 x?d ? de x?d ? e2 x?d ? e2 x ? de x ? de x?d ? de x ? d 2 = ?2d 2 ? e2 x [2 ? (e?d ? ed )] ? d (e x?d ? e x?d ) ∵ e ? d ? 0 , ed >0, ∴ e? d ? ed ≥2,当且仅当 e? d ? ed ,即 d =0 时取等号, 又∵ d >0,∴ e? d ? ed >2, ∴ e2 x [2 ? (e?d ? ed )] <0,

∵ y ? ex 在(-∞,+∞)上是增函数, x ? d ? x ? d , d >0,
??? ? ??? ? ∴ e x ?d ? e x +d ,∴ d (e x?d ? e x?d) <0,又 2 d 2 <0,∴ BA ? BC <0,即 ?ABC 为钝角,

∴ ?ABC 是钝角三角形,显然①正确,排除②, ??? ? ??? ? 2 2 ∵ | BA | = d 2 ? (e x ? d ? e x ? d) ,| BC |= d 2 ? (e x ? d ? e x ? d) ,
??? ? ??? ? e x ?d ? e x ? d < e x ? d ? e x ? d ,∴ |BA| ? |BC| ,∴ ?ABC 不可能是等腰三角形,故④

正确,排除③,综上①④正确,故选 B. 【答案】B 注意事项: 用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写答案,在试题卷上作答,答案无效。 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案 填在答题卡的相应位置。 11.运行如图所示的程序,输出的结果是_______。 【命题意图】本题考查程序框图中的赋值语句、输出语句,是容 易题. 【解析】∵ a ? 1 , b ? 2 ,∴ a ? a ? b =3,∴输出的结果为 3. 【答案】3 12.三棱锥 P-ABC 中, PA⊥底面 ABC, PA=3, 底面 ABC 是边长为 2 的正三角形, 则三棱锥 P-ABC 的体积等于______。
10 / 22

【命题意图】本题考查棱锥的体积公式、等边三角形的面积公式、线面垂直等知 识及计算能力,是简单题. 【解析】∵PA⊥底面 ABC,∴PA 是三棱锥 P—ABC 的高,且 PA=3, ∵ ?ABC 是边长为 2 的正三角形,
1 ∴ VP-ABC = ? 3 ? 3 = 3 . 3

∴ S?ABC =

3 2 ?2 = 3 , 4

【答案】 3 13.何种装有形状、大小完全相同的 5 个球,其中红色球 3 个,黄色球 2 个。若从 中随机取出 2 个球,则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于_______。 【命题意图】本题考查组合知识和等可能事件概率的计算,是中档题. 【解析】 5 个球任取两个共有 C52 不同的取法,其中所取出的 2 个球颜色不同的取法
1 1 有 C3 C2 ,∴所取出的 2 个球颜色不同的概率为
1 1 C3 C2 3 = . 5 C52

3 5 14.如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC= 2 3 ,点 D 在 BC 边

【答案】

上,∠ADC=45° ,则 AD 的长度等于______。 【命题意图】本题考查运用正余弦定理解三角形,是中档题. 【解析】 (法 1)过 A 作 AE⊥BC,垂足为 E,∵AB=AC=2, BC= 2 3 , ∴ E 是 BC 的中点,且 EC= 3 ,在 Rt? AEC 中, AE= AC 2 ? EC 2 =1,又∵∠ADE=45° ,∴DE=1,∴AD= 2 ; (法 2) ∵AB=AC=2,BC= 2 3 ,由余弦定理知,
cos C =

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 22 ? (2 3)2 ? 22 3 = = , 2 AC ? BC 2 2? 2? 2 3

∴C=30° ,

在△ADC 中,∠ADE=45° ,由正弦定理得,

AD AC ? , sin C sin ?ADC

1 AD sin C 2 ? 2 ∴AD= = = 2. sin ?ADC 2 2
11 / 22

【答案】 2

? 15.设 V 是全体平面向量构成的集合, 若映射 f : V ? R 满足: 对任意向量 a = ( x1 , ? y1 )∈ V , b =( x2 , y2 )∈ V 以及任意 ? ∈ R ,均有

? ? ? ? f (? a+(1 ? ? )b) = ? f (a)+(1 ? ? ) f (b)
则称映射 f 具有性质 P .

?? ?? 先给出如下映射:① f1 : V ? R , f1 (m) ? x ? y , m = ( x, y) ?V ; ?? ?? ② f 2 : V ? R , f2 (m) ? x2 ? y , m = ( x, y) ?V ; ?? ?? ③ f3 : V ? R , f3 (m) ? x ? y ?1 , m = ( x, y) ?V
其中,具有性质 P 的映射的序号为________。 (写出所有具有性质 P 的映射的序 号) 【命题意图】本题考查向量的运算及运用新概念解决问题的能力和字母运算能 力,是难题.

? ? 【解析】 ? 任意向量 a =( x1 , y1 )∈ V , b =( x2 , y2 )∈ V 以及任意 ? ∈ R ,则

? a+(1 ? ? )b = (? x1 ? (1 ? ? ) x2 , ? y1 ? (1 ? ? ) y2 ) ,
对 ① ,

?

?

? ? f1 (? a+(1 ? ? )b) = [? x1 ? (1 ? ? ) x2 ] ? [? y1 ? (1 ? ? ) y2 ] = ? ( x1 ? y1 ) ? (1 ? ? )( x2 ? y2 )
? ? = ? f1 (a)+(1 ? ? ) f1 (b) ,具有性质 P ;

? ? 对②, f2 (? a+(1 ? ? )b) = [? x1 ? (1 ? ?) x2 ]2 ? ? y1 ? (1 ? ?) y2 )
2 = ? 2 x12 ? 2?(1? ?) x1x2 ? (1? ?)2 x2 ? ? y1 ? (1? ?) y2 ) ,

2 (x12 ? y1 ) ? (1 ? ?)( x2 ? y2 ) ,显然, ? f2 (a)+(1? ?) f2 (b) = ?

?

?

? ? ? ? f2 (? a+(1 ? ? )b) ≠ ? f2 (a)+(1? ?) f2 (b) ,故不具有性质 P ,
? ? 对③, f3 (? a+(1 ? ? )b) = [? x1 ? (1 ? ? ) x2 ] ? [? y1 ? (1 ? ? ) y2 ] ? 1 ? ? = ? ( x1 ? y1 ? 1) ? (1 ? ?)( x2 ? y2 ? 1) = ? f3 (a)+(1? ?) f3 (b) ,具有性质 P ,
∴具有性质 P 得映射序号为①③. 【答案】①③
12 / 22

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤。 16.(本小题满分 13 分) 已知等比数列{ an }的公比 q =3,前 3 项和 S3 = (I)求数列{ an }的通项公式; (II)若函数 f ( x) = A sin(2 x ? ? ) ( A >0,0< ? < ? )在 x ? 最大值为 a3 ,求函数 f ( x) 的解析式. 【命题意图】本题考查等比数列的通项公式、前 n 项和公式以及三角函数的最值 问题,考查函数与方程思想和运算求解能力,是简单题. 【解析】 (I)由 q =3, S3 =
13 1 a (1 ? 33 ) 13 得, 1 = ,解得 a1 = , 3 3 3 1? 3 13 . 3

?
6

处取得最大值,且

∴数列{ an }的通项公式 an = 3n ? 2 . (II)由(I)可知 an = 3n ? 2 ,∴ a3 =3, ∵ f ( x) 在 x ? ∴函数 f ( x) 的最大值为 3, ∴ A =3,

?
6

处取得最大值, ∴ sin(2 ?

?
6

? ? ) =1, 又∵0< ? < ? , ∴? =

? ∴ f ( x) = 3sin(2 x ? ) . 6

? , 6

【点评】本题题目简单,但将等比数列与三角函数结合给人以耳目一新的感觉. 17.(本小题满分 13 分)已知直线 l : y ? x ? m , m ∈ R . (I)若以点 M (2,0)为圆心的圆与直线 l 相切与点 P ,且点 P 在 y 轴上,求该圆 的方程; (II) 若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l ? , 问直线 l ? 与抛物线 C:x2 ? 4 y 是否相切? 说明理由. 【命题意图】本题考查圆的方程、直线与圆相切知识、两直线的位置关系、直线 与抛物线位置关系等基础知识,考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整 合思想,是中档题. 【解析】 (I)由题意知 P (0, m ),∵以点 M (2,0)为圆心的圆与直线 l 相切与点 P ,

13 / 22

∴ k PM =

m?0 = ?1 ,解得 m =2,∴圆 M 的半径 r ? (2 ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 = 2 2 , 0?2

∴所求圆 M 的方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 8 ; (II)∵直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l ? , l : y ? x ? m , m ∈ R , ∴ l ? : y ? ? x ? m ,代入 x2 ? 4 y 得 x2 ? 4 x ? 4m ? 0 ,
? = 42 ? 4 ? 4 ? m = 16 ? 16m ,

当 m <1 时, ? >0,直线 l ? 与抛物线 C 相交; 当 m =1 时, ? =0,直线 l ? 与抛物线 C 相切; 当 m >1 时, ? <0,直线 l ? 与抛物线 C 相离. 综上所述,当 m =1 时,直线 l ? 与抛物线 C 相切,当 m ≠1 时,直线 l ? 与抛物线 C 不相切. 【点评】本题考查内容和方法很基础,考查面较宽,是很好的一个题. 18. (本小题满分 13 分) 某商场销售某种商品的经验表明, 该商品每日的销售量 y (单位:千克)与销售价格 x (单位:元/千克)满足关系式 y =
a 2 ? 10( x ? 6) , x?3

其中 3< x <6, a 为常数,已知销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克。 (I)求 a 的值 (II)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该 商品所获得的利润最大。 【命题意图】本题考查运用函数、导数等基础知识解函数最优化应用题,考查应 用意识、运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想,是中档题.
a 2 ? 10(5 ? 6) =11,解得 a =2; 5?3 2 2 ? 10( x ? 6) (II)由(I)知该商品每日的销售量 y = (3< x <6) , x?3

【解析】 (I)∵当 x =5 时, y =11,∴

∴该商城每日的销售该商品的利润
f ( x) = [

2 2 ? 10( x ? 6) ]( x ? 3) = 2 ? 10( x ? 3)( x ? 6)2 (3< x <6) , x ?3

∴ f ?( x ) = 10[( x ? 6)2 ? 2( x ? 3)( x ? 6)] = 30( x ? 4)( x ? 6)
14 / 22

当 x 变化时, f ( x) , f ?( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )

(3,4) + 单调递增

4 0 极大值 42

(4,6) - 单调递减

f ( x)

由上表可得, x =4 是函数 f ( x) 在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点, ∴当 x =4 时, f ( x)max =42. 答:当销售价格定为 4 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【点评】本题的第 1 小题很简单,是送分题,第 2 小题也是简单的三次函数在某 个区间上的最值问题,也比较容易. 19.(本小题满分 13 分) 某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 X 依次为 1,2,……,8,其 中 X ≥5 为标准 A , X ≥3 为标准 B,已知甲厂执行标准 A 生产该产品,产品 的零售价为 6 元/件;乙厂执行标准 B 生产该产品,产品的零售价为 4 元/件, 假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准 (I)已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下所示:
X1
P

5 0.4

6

7
b

8 0.1

a

且 X 1 的数字期望 ?X1 =6,求 a , b 的值; (II)为分析乙厂产品的等级系数 X 2 ,从该厂生产的产品中随机抽取 30 件, 相应的等级系数组成一个样本,数据如下: 3 6 8 5 3 3 3 4 4 3 7 3 8 5 4 5 3 4 5 4 7 6 8 5 3 5 6 4 3 7

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数 X 2 的数 学期望. (Ⅲ)在(I) 、 (II)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产 品更具可购买性?说明理由.
15 / 22

注: (1)产品的“性价比”=

产品的等级系数的数学 期望 ; 产品的零售价

(2)“性价比”大的产品更具可购买性. 【命题意图】本题考查概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能 力、应用意识,考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类整合思想,是中档 题.

?0.4 ? a ? b ? 0.1 ? 1 ?a ? 0.3 【解析】 (I)由题意知, ? ,解得 ? ; ?5 ? 0.4 ? 6a ? 7b ? 8 ? 0.1 ? 6 ?b ? 0.2
(II)由已知得,样本的频率分布表如下:

X2
f

3 0.3

4 0.2

5 0.2

6 0.1

7 0.1

8 0.1

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数 X2 的概率分布列如下:

X2
P 所以

3 0.3

4 0.2

5 0.2

6 0.1

7 0.1

8 0.1

EX 2 ? 3P( X 2 ? 3) ? 4P( X 2 ? 4) ? 5P( X 2 ? 5) ? 6P( X 2 ? 6) ? 7 P( X 2 ? 7) ? 8P( X 2 ? 8)
? 3 ? 0.3 ? 4 ? 0.2 ? 5 ? 0.2 ? 6 ? 0.1 ? 7 ? 0.1 ? 8 ? 0.1
? 4.8.

即乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8. (III)乙厂的产品更具可购买性,理由如下: 因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于 6,价格为 6 元/件,所以其性价比
6 为 ? 1. 6

因为乙厂产吕的等级系数的期望等于 4.8,价格为 4 元/件,所以其性价比为
4.8 ? 1.2. 4

据此,乙厂的产品更具可购买性。 20.(本小题满分 14 分)

16 / 22

如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,四边形 ABCD 中,AB⊥AD, AB+AD=4,CD= 2 , ?CDA ? 45? . (I)求证:平面 PAB⊥平面 PAD; (II)设 AB=AP. (i)若直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30 ? ,求线 段 AB 的长; (ii)在线段 AD 上是否存在一个点 G,使得点 G 到 点 P,B,C,D 的距离都相等?说明理由。 【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系 等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、抽象根据能力、运算求解能力, 考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想. 【解析】解法一: (I)∵ PA ? 平面 ABCD, AC ? 平面 ABCD, 又∵ AB ? AD, PA ? AD ? A, ∴ PA ? AB ,

∴ AB ? 平面 PAD。

又∵ AB ? 平面 PAB,∴平面 PAB ? 平面 PAD。 (II)以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系 A ? xyz (如图) 在平面 ABCD 内,作 CE//AB 交 AD 于点 E,则 CE ? AD. 在 Rt ?CDE 中,DE= CD ? cos 45? ? 1 ,
CE ? CD ? sin 45? ? 1,

设 AB=AP=t,则 B(t,0,0) ,P(0,0,t) 由 AB+AD=4,得 AD=4-t, 所以 E(0,3 ? t ,0), C(1,3 ? t,0), D(0, 4 ? t,0) ,

??? ? ??? ? CD ? (?1,1,0), PD ? (0, 4 ? t, ?t ).
? ? ?? ??? ? ( i ) 设 平 面 PCD 的 法 向 量 为 n ? ( x, y, z ), 由 n ? C D, n ? PD , 得

?? x ? y ? 0, ? ?(4 ? t ) y ? tx ? 0.
取 x ? t ,得平面 PCD 的一个法向量 n ? {t , t , 4 ? t} ,

17 / 22

??? ? 又 PB ? (t,0, ?t ) ,故由直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30 ? ,得
??? ? n ? PB | 2t 2 ? 4t | 1 ??? ? cos 60? ?| |, 即 ? , 2 2 2 2 2 | n | ? | PB | t ? t ? (4 ? t ) ? 2 x
4 4 解得 t ? 或t ? 4 (舍去,因为 AD ? 4 ? t ? 0 ) ,所以 AB ? . 5 5

(ii)假设在线段 AD 上存在一个点 G,使得点 G 到点 P,B,C,D 的距离 都相等, 设 G(0,m,0) (其中 0 ? m ? 4 ? t ) ??? ? ??? ? ??? ? 则 GC ? (1,3 ? t ? m,0), GD ? (0, 4 ? t ? m,0), GP ? (0, ?m, t ) ,

??? ? ???? 由 | GC |?| GD | 得 (4 ? t ? m)2 ? m2 ? t 2 , (2)
由(1) 、 (2)消去 t,化简得 m2 ? 3m ? 4 ? 0(3) 由于方程(3)没有实数根,所以在线段 AD 上 不存在一个点 G, 使得点 G 到点 P,C,D 的距离都相等。 从而,在线段 AD 上不存在一个点 G, 使得点 G 到点 P,B,C,D 的距离都相等。 解法二: (I)同解法一。 (II) (i)以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系 A—xyz(如图) 在平面 ABCD 内,作 CE//AB 交 AD 于 E ,则
CE ? AD 。

在平面 ABCD 内,作 CE//AB 交 AD 于点 E,则
CE ? AD.

在 Rt ?CDE 中,DE= CD ? cos 45? ? 1 ,
CE ? CD ? sin 45? ? 1,

设 AB=AP=t,则 B(t,0,0) ,P(0,0,t) 由 AB+AD=4,得 AD=4-t,
E(0,3 ? t ,0), C(1,3 ? t,0), D(0, 4 ? t,0) ,

18 / 22

??? ? ??? ? CD ? (?1,1,0), PD ? (0, 4 ? t, ?t ).
设平面 PCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

??? ? ??? ? ?? x ? y ? 0, 由 n ? CD , n ? PD ,得 ? ?(4 ? t ) y ? tx ? 0.
取 x ? t ,得平面 PCD 的一个法向量 n ? {t , t , 4 ? t} ,

??? ? 又 PB ? (t,0, ?t ) ,故由直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30 ? ,得
??? ? n ? PB | 2t 2 ? 4t | 1 ??? ? |, 即 cos 60? ?| ? , 2 2 2 2 2 | n | ? | PB | t ? t ? (4 ? t ) ? 2 x
4 4 解得 t ? 或t ? 4 (舍去,因为 AD ? 4 ? t ? 0 ) ,∴ AB ? . 5 5

(ii)假设在线段 AD 上存在一个点 G,使得点 G 到点 P,B,C,D 的距离 都相等, 由 GC=CD,得 ?GCD ? ?GDC ? 45? , 从而 ?CGD ? 90? ,即 CG ? AD, ∴ GD ? CD ? sin 45? ? 1, 设 AB ? ? , 则AD=4-?, AG ? AD ? GD ? 3 ? ? , 在 Rt ?ABG 中, GB ? AB 2 ? AG 2 ? ? 2 ? (3 ? ? ) 2

3 9 ? 2(? ? )2 ? ? 1, 2 2

这与 GB=GD 矛盾。

所以在线段 AD 上不存在一个点 G,使得点 G 到点 B,C,D 的距离都相等, 从而,在线段 AD 上不存在一个点 G,使得点 G 到点 P,B,C,D 的距离都 相等。 21. 本题设有(1) 、 (2) 、 (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题做答,满 分 14 分,如果多做,则按所做的前两题计分,做答时,先用 2B 铅笔在答题卡上 把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中。 (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换

? a 0? 设矩阵 M ? ? ? (其中 a >0, b >0). 0 b ? ?
19 / 22

(I)若 a =2, b =3,求矩阵 M 的逆矩阵 M ?1 ; ( II)若曲线 C : x2 ? y 2 ? 1 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到曲线 C ? :
x2 ? y 2 ? 1,求 a , b 的值. 4

【命题意图】本小题主要考查矩阵与交换等基础知识,考查运算求解能力,考查 化归与转化思想

?x 【解析】 (I)设矩阵 M 的逆矩阵 M ?1 ? ? 1 ? x2
? 2 0? ? 2 0 ? ? x1 又M ?? ? ,所以 ? ?? ?0 3? ? 0 3 ? ? x2

y1 ? ?1 0 ? ?1 ? ,则 MM ? ? ?. y2 ? ? 0 1?

y1 ? ?1 0 ? ??? ?, y2 ? ? 0 1 ?

1 1 ∴ 2 x1 ? 1, 2 y1 ? 0,3 x2 ? 0,3 y2 ? 1, 即x1 ? , y1 ? 0, x2 ? 0, y2 ? , 2 3

?1 ? 0? ? 2 故所求的逆矩阵 M ?1 ? ? ?. ?0 1 ? ? ? 3? ?

(II)设曲线 C 上任意一点 P ( x, y ) , 它在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到点 P '( x ', y ') ,

? a 0 ? ? x ? ? x ' ? ?ax ? x ' 则? ? ? ? ? ? ? ,即 ? ? 0 b ? ? y ? ? y ' ? ?by ? y '
又点 P '( x ', y ') 在曲线 C ' 上, ∴
x '2 ? y '2 ? 1 . 4

a2 x2 ? b 2 y 2 ? 1 为曲线 C 的方程, 则 4
?a 2 ? 4, ? 又已知曲线 C 的方程为 x ? y ? 1, 故 ? 2 ? ?b ? 1.
2 2

?a ? 2, 又 a ? 0, b ? 0, 所以 ? ?b ? 1.
【点评】 (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

20 / 22

在 直 接 坐 标 系 x Oy 中 , 直 线 l 的 方 程 为 x ? y ? 4 ? 0 , 曲 线 C 的 参 数 方 程 为
? ? ? x ? 3c o s ( ? 为参数). ? y ? s i n ? ? ?

(I)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4, 关系; (II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 【命题意图】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知 识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.

? ) ,判断点 P 与直线 l 的位置 2

? 【解析】 (I)把极坐标系下的点 P(4, ) 化为直角坐标,得 P(0,4) 。 2
因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x ? y ? 4 ? 0 , 所以点 P 在直线 l 上, (II)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 ( 3 cos ? ,sin ? ) , 从而点 Q 到直线 l 的距离为
2 cos(? ? ) ? 4 | 3 cos ? ? sin ? ? 4 | ? 6 d? ? ? 2 cos(? ? ) ? 2 2 , 6 2 2

?

? 由此得,当 cos(? ? ) ? ?1 时,d 取得最小值,且最小值为 2. 6
【点评】 (3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 设不等式 | 2 x ? 1|? 1 的解集为 M . (I)求集合 M ; (II)若 a , b ∈ M ,试比较 ab ? 1 与 a ? b 的大小. 【命题意图】本小题主要考查绝对值不等式等基础知识,考查运算求解能力,考 查化归与转化思想. 【解析】 (I)由 | 2 x ?1|? 1得 ?1 ? 2 x ?1 ? 1, 解得0 ? x ? 1. 所以 M ? {x | 0 ? x ? 1}.
21 / 22

(II)由(I)和 a, b ? M 可知0<a<1,0<b<1 , 所以 (ab ? 1) ? (a ? b) ? (a ? 1)(b ? 1) ? 0. 故 ab ? 1 ? a ? b.

22 / 22



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