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【南方凤凰台】2017版高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第1课 集合的概念与运算 文


第1课

集合的概念与运算
页)

(本课时对应学生用书第

自主学习 回归教材

1.(必修1P10第5题改编)已知集合A={m+2,2m +m},若3∈A,则实数m=

2

.

3 【答案】- 2
【解析】因为3∈

A,所以m+2=3或2m +m=3.当m+2=3,即m=1时,2m +m=3,此时集合A中有重复元
2 2

3 3 素3,所以m=1不合题意,舍去;当2m +m=3时,解得m=- 2 或m=1(舍去),此时当m=- 2 时,
2

1 3 m+2= 2 ≠3,满足题意,所以m=- 2 .
2.(必修1P17第6题改编)已知集合A=[1,4),B=(-∞,a),A ? B,则实数a的取值范围 为

.

【答案】[4,+∞) 【解析】在数轴上画出集合A,B,根据图象可知a∈[4,+∞).

3.(必修1P13习题5改编)设集合A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2k,k∈Z},则A∩B=



A∪B=
【答案】 ?

.
Z

4.(必修1P14第8题改编)设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2,3},B={2,3,4},则 ? U(A∩B)= 【答案】{1,4,5} 【解析】A∩B={2,3},所以? U(A∩B)={1,4,5}.

.

5.(必修1P17习题8改编)满足{1,3}∪A={1,3,5}的集合A共有

个.

1

【答案】4 【解析】集合A必须含有元素5,元素1和3不确定,所以集合A的本质是{1,3}的所有子集与元 素5组成的集合,共4个.

1.集合的概念 (1)一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合,集合中的每一个对象称为该集 合的元素. (2)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性. (3)集合的表示方法:列举法、描述法、韦恩图等. (4)集合按含有元素的个数可分为有限集、无限集、空集. (5)特别地,自然数集记作N,正整数集记作N 或N+,整数集记作Z,有理数集记作Q,实数集记 作R,复数集记作C.
*

2.两类关系 (1)元素与集合的关系,用∈或 ? 表示. (2)集合与集合的关系,用 ? 、 或=表示.

3.集合的运算 (1)全集:如果集合S含有我们所研究的各个集合的全部元素,那么这个集合就可以看作一个全 集,通常用U表示.一切所研究的集合都是这个集合的子集. (2)交集:由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B,即

A∩B={x|x∈A且x∈B}.
(3)并集:由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的并集,记作A∪B, 即A∪B={x|x∈A或x∈B}. (4)补集:设A ? S,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集,记作? SA,即 ? SA={x|x∈S且x ? A}.

2

4.常见结论 (1) ? ? A,A∪B=B∪A,A ? A∪B,A∩B ? A. (2)A∩B=A ? A ? B;A∪B=A ? B ? A. (3)? U(A∩B)=(? UA)∪(? UB);? U(A∪B)=(? UA)∩(? UB).

【要点导学】 要点导学 各个击破

集合间的基本关系 例1 已知集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}. (1)若 B ? A,求实数 m 的取值范围; (2)当 x∈R 时,没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B同时成立,求实数m的取值范围. 【思维引导】(1)对于B ? A,一定要分B= ? 和B≠ ? 两类讨论.(2)“没有元素x使x∈A与

x∈B同时成立”表示A∩B= ? .
【解答】(1)①当m+1>2m-1, 即m<2时,B= ? ,满足B ? A. ②当m+1≤2m-1, 即m≥2 时,要使B ? A成立,

?m ? 1 ? -2, ? 2m-1 ? 5, 则? 得2≤m≤3.
综上,实数m的取值范围为{m|m≤3}. (2)因为x∈R,且A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},没有元素x使x∈A与x∈B同时 成立,即A∩B= ? . ①若B= ? ,即m+1>2m-1,得m<2 时满足条件.

3

?m ? 1 ? 2m-1, ?m ? 1 ? 2m-1, ? ? m ? 1 ? 5 2m-1 ? -2, 解得m>4. ? ? ②若B≠ ,则需满足的条件有 或?
综上,m<2 或m>4. 故实数m的取值范围为{m|m<2或m>4}. 【精要点评】(1)空集是任何集合的子集,因此,当 B ? A 时需考虑 B= ? 的情形;(2) 当A∩B= ? 时也需考虑B= ? 的情形,当集合B不是空集时,要保证B ? A,可以利用数轴,这样 既直观又简洁;(3)虽然本题的难度不大,但都需要分两种情况讨论,在(1)中解不等式组时需 求交集,而最终结果又都要求两种讨论结果的并集,因此本题综合性还是很强的.

? 1? ?-1,? 变式1 已知集合A= ? 2 ? ,B={x|mx-1=0},若A∩B=B,则所有实数m组成的集合


.
【答案】{-1,0,2} 【解析】由A∩B=B,知B ? A.若B= ? ,则m=0;若B={-1},则-m-1=0,解得m=-1;若

?1 ? 1 ? ? B= ? 2 ? ,则 2 m-1=0,解得m=2.综上,m的取值集合是{-1,0,2}.

变式2 已知集合A={x|x -ax+a -19=0},B={x|x -5x+6=0},C={x|x +2x-8=0}. (1)若A∩B=A∪B,求实数a的值; (2)若 ?

2

2

2

2

A∩B,A∩C= ? ,求实数a的值.

【解答】由已知得B={2,3},C={2,-4}. (1)因为A∩B=A∪B,所以A=B, 所以2,3是一元二次方程x -ax+a -19=0的两个根,
2 2

?2 ? 3 ? a, ? 2 ? 3 ? a 2 -19, 则有 ? 解得a=5.
(2)由 ?

A∩B ? A∩B≠ ? ,

又因为A∩C= ? ,所以3∈A,2 ? A,-4? A, 由3∈A,得3 -3a+a -19=0,解得a=5或a=-2. 当a=5时,A={x|x -5x+6=0}={2,3},与2? A矛盾,不符合题意;
2 2 2

4

当a=-2时,A={x|x +2x-15=0}={3,-5},符合题意. 所以实数a的值为-2.

2

集合间的运算 例2 设全集 U={x|x≤20的质数},M∩? UN={3,5},N∩? UM={7,19}, (? UM)∩(? UN)={2,17},求集合M与N. 【思维引导】对于离散型数集的交、并、补运算,常利用Venn图,化抽象为具体,其解 题关键是认清M,N,将全集U分成的四个区域的集合形式. 【解答】由(? UM)∩(? UN)={2,17}, 可知M,N中都没有元素2,17. 由N∩? UM={7,19}, 可知N中有元素7,19,M中没有元素7,19. 由M∩? UN={3,5}, 可知M中有元素3,5,N中没有元素3,5.

(例2) 如图所示,由图象知剩下的元素11,13 不在M∩? UN,N∩? UM,(? UM)∩(? UN)三部分 中,只能11∈(M∩N),13∈(M∩N),所以M={3,5,11,13},N={7,11,13,19}. 【精要点评】集合问题大都比较抽象,对连续数集间的运算,要借助数轴的直观性,进 行合理转化;对离散数集间的运算,要借助Venn图,这是数形结合思想的具体体现.运算结果 要注意端点能否取得.当然本题还要注意的就是1既不是质数也不是合数.

【高频考点·题组强化】

1.(2016·苏州期中)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B= 【答案】{x|0≤x≤2} 【解析】由题意知,A∩B={x|0≤x≤2}.

.

5

2.(2014·淮安、宿迁摸底)已知全集U={1,2,3,4},集合A={2,3},B={3,4},则 ? U(A∪B)= 【答案】{1} 【解析】由题意可得A∪B={2,3,4},故? U(A∪B)={1}.

.

1? ? ? y|y ? 2 ? x ? ,P={y|y= x-1 },那么M∩P= 3.(2015·黄山模拟)若集合M= ?
【答案】(0,+∞)

.

1? ? ? y|y ? 2 ? x ? ={y|y>0},P={y|y= x-1 }={y|y≥0},所以M∩P=(0,+∞). 【解析】因为集合M= ?
4.已知集合A={-4,2a-1,a },B={a-5,1-a,9},分别求适合下列条件的a的值. (1)9∈(A∩B); (2){9}=A∩B. 【解答】(1)因为9∈(A∩B),所以9∈B且9∈A. 所以2a-1=9或a =9,所以a=5或a=±3. 根据集合中元素的互异性检验知a=5或a=-3. (2)因为{9}=A∩B,所以9∈(A∩B), 所以a=5或a=-3. 当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9}, 此时A∩B={-4,9},与A∩B={9}矛盾,故舍去. 当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9}, 此时A∩B={9},满足题意. 综上,a的值为-3.
2 2

5.已知集合A={x|x -2x-3≤0},B={x|x -2mx+m -4≤0,x∈R,m∈R}. (1)若A∩B=[0,3],求实数m的值; (2)若A ? ? RB,求实数m的取值范围. 【解答】由已知得A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2}. (1)因为A∩B=[0,3],

2

2

2

6

?m-2 ? 0, ? m ? 2 ? 3, 所以 ? 所以m=2.
(2)? RB={x|x<m-2或x>m+2}, 因为A ? ? RB,所以m-2>3或m+2<-1, 即m>5或m<-3. 故实数m的取值范围是(-∞,-3)∪(5,+∞).

集合中元素的性质 例3 已知不等式(kx-k -4)(x-4)>0,其中k∈R. (1)当k变化时,试求不等式的解集A. (2)对于不等式的解集A,若满足A∩Z=B.试探究集合B能否为有限集,若能,求出使得集 合B中元素个数最少的k的所有取值,并用列举法表示集合B;若不能,请说明理由. 【思维引导】(1)由二次项的系数k的符号对解集的影响→对应方程的根的大小→确定讨 论标准→求得解集.
2

4 (2)由不等式的解集→当k<0时,集合B中的元素的个数有限→由k+ k ≤-4,知当k=-2时,
集合B的元素个数最少→用列举法表示集合. 【解答】(1)当k=0时,A=(-∞,4);

4 ? ? ? ?? ?k ? , k ?; 当k>0且k≠2时,A=(-∞,4)∪ ?
当k=2时,A=(-∞,4)∪(4,+∞);

4 ? ? 4? ?k ? , k ? ?. 当k<0时,A=
(2)由(1)知,当k≥0时,集合B中的元素的个数无限; 当k<0时,集合B中的元素的个数有限,此时集合B为有限集.

4 因为k+ k ≤-4,当且仅当k=-2时取等号,所以当k=-2时,集合B中的元素个数最少,此时
A=(-4,4),
故集合B={-3,-2,-1,0,1,2,3}.

7

【精要点评】(1)描述法表示集合时要注意集合中的代表元素是什么,代表元素满足的条 件是什么.(2)分类讨论是一种重要的数学思想,它是思维是否严谨的重要体现.在分类讨论的 过程中,要从简单的讨论着手,并注意讨论的完整性,最后更不要忘记总结结论.

变式 已知集合M中的元素为自然数,且满足:如果x∈M,则8-x∈M,试回答下列问 题: (1)写出只有一个元素的集合M; (2)写出元素个数为2的所有集合M; (3)满足题设条件的集合M共有多少个? 【解答】(1)M中只有一个元素, 根据题意知必须满足x=8-x,所以x=4. 故含有一个元素的集合M={4}. (2)当M中只含两个元素时,其元素只能是x和8-x, 从而含两个元素的集合M应为{0,8},{1,7},{2,6},{3,5}. (3)满足条件的M是由集合{4},{0,8},{1,7},{2,6},{3,5}中的元素组成,它包括 以下五种情况: ①由以上1个集合组成的有{4},{0,8},{1,7},{2,6},{3,5},共5个. ②由2个集合组成的有{4,0,8},{4,1,7},{4,2,6},{4,3,5},{0,8,1,7}, {0,8,2,6},{0,8,3,5},{1,7,2,6},{1,7,3,5},{2,6,3,5},共10个. ③由3个集合组成的有{4,0,8,1,7},{4,0,8,2,6},{4,0,8,3,5},{4,1, 7,2,6},{4,1,7,3,5},{4,2,6,3,5},{0,8,1,7,2,6},{0,8,1,7,3, 5},{1,7,2,6,3,5},{0,8,2,6,3,5},共10个. ④由4个集合组成的有{4,0,8,1,7,2,6},{4,0,8,1,7,3,5},{4,0,8, 2,6,3,5},{4,1,7,2,6,3,5},{0,8,1,7,2,6,3,5}, 共5个. ⑤由5个集合组成的有{4,0,8,1,7,2,6,3,5},共1个. 综上可知,满足题设条件的集合M共有31个.

8

1.(2015·郑州质量预测)已知集合M={x|-1<x<2},N={x|x<a},若M ? N,则实数a的取值范围 是

.

【答案】[2,+∞) 【解析】因为M ? N,所以a≥2.

2.(2015·南通期末)若全集U={1,2,3,4,5,6},集合M={1,2,4},N={2,3,6},则 ? U(M∪N)= 【答案】{5} 【解析】由并集定义可得M∪N={1,2,3,4,6},由补集定义可得? U(M∪N)={5}.

.

3.已知全集U=R,集合A={x|0<x<9,x∈R}和B={x|-4<x<4,x∈Z}关系的韦恩图如图所示,则图 中阴影部分所示集合包含的元素共有 个.

(第3题) 【答案】4 【解析】? RA={x|x≥9或x≤0},所以阴影部分表示的集合为B∩? RA={x|-4<x≤0,x∈Z}={3,-2,-1,0},所以共有4个元素.

4.(2015·启东中学)设数集M同时满足条件:(1)M中不含元素-1,0,1,(2)若a∈M,则

1? a 1-a ∈M.有下列结论:①集合M中至多有2个元素;②集合M中至多有3个元素;③集合M中有且
仅有4个元素;④集合M中元素的个数是4的倍数.则其中正确的结论是 【答案】④

.(填序号)

9

1? a 1 11-a a 1? a 1 1? a 1 a-1 11? 1-a =- a ∈M, a = a ? 1 ∈M,则 【解析】由题意,若a∈M,则 1-a ∈M,则 1?

1?

a -1 a ?1 1? a a -1 2a 1a ? 1 = 2 =a∈M,若a= 1-a ,则a2=-1,无解,同理可证明这四个元素中,任意两个元素

不相等,故集合M中每四个元素一组成队出现,故正确的选项是④.

5.(2015·文登一模)对于任意两个正整数m,n,定义某种运算“※”如下:当m,n都为正偶数 或正奇数时,m※n=m+n;当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m※n=mn,则在此定义 下,集合M={(a,b)|a※b=16}中的元素个数是 【答案】17 【解析】因为1+15=16,2+14=16,3+13=16,4+12=16,5+11=16,6+10=16,7+9=16,8+8=16, 1×16=16,集合M中的元素是有序数对(a,b),所以集合M中的元素共有8×2+1=17个.

.

趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第1~2页.

【检测与评估】 第一章 集合与常用逻辑用语 第1课 集合的概念与运算 一、 填空题 1.(2014·深圳一调)已知全集U={2,0,1,5},集合A={0,2},则? UA= .

2.(2015·福州联考)若集合A={2a,3,a -6},且a∈A,则实数a的值为

2

.

3.(2015·陕西卷)设集合M={x|x =x},N={x|lg x≤0},则M∪N=

2

.

10

4.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,那么P的子集共有

个.

5.对于集合M,N,定义M-N={x|x∈M且x ? N},M ? N=(M-N)∪(N-M).若A={y|y=3 ,x∈R},
x

B={y|y=-(x-1) +2,x∈R},则A ? B=
2

.

6.已知集合A={1,2,3,4},集合B={x|x(4-x)<0},则A∩(? RB)=

.

7.设A,B是两个非空集合,定义运算A×B={x|x∈A∪B,且x ? A∩B}.已知A={x|y= 2 x -x },
2

B={y|y=2 ,x>0},那么A×B=

x

.

1 8.(2015·盐城月考)若对任意的x∈A,且 x ∈A,就称集合A是“和谐”集合,则在集合
1 1 ? ? , ,,, 1, 2, 3, 4? ?-10 3 2 ? 的所有非空子集中,“和谐”集合的个数是 M= ?

.

二、 解答题 9.已知集合M={0,1},A={(x,y)|x∈M,y∈M},B={(x,y)|y=-x+1}. (1)请用列举法表示集合A; (2)求A∩B,并写出集合A∩B的所有子集.

10.已知集合A={x|x -4x+3<0},B={x|x -6x+8<0},C={x|2x -9x+m<0}.若对任意的x∈A∩B都有

2

2

2

x∈C,求实数m的取值范围.

11.已知U为全集,集合A={x|x +px+q=0},B={x|qx +px+1=0},同时满足:①A∩B≠ ? ,
2 2

②A∩(? UB)={-2},其中p,q均为不等于零的实数,求p,q的值.

11

三、 选做题(不要求解题过程,直接给出最终结果) 12.(2015·三轮专题体系通关训练)若自然数n使得作加法n+(n+1)+(n+2)运算均不产生进位现 象,则称n为“给力数”,例如:32是“给力数”,因为32+33+34不产生进位现象;23不是 “给力数”,因为23+24+25产生进位现象.设小于1 000的所有“给力数”的各个数位上的数字 组成集合A,则集合A中的数字和为 .

【检测与评估答案】 第一章 集合与常用逻辑用语 第1课 集合的概念与运算

1.{1,5} 【解析】由U={2,0,1,5},A={0,2},得? UA={1,5}.

2.0或-2 【解析】当a=2a时,a=0,经检验符合条件;当a=3时,a -6=3,不符合元素的互异 性;当a=a -6时,得出a=3或-2,经检验,a=-2时,符合元素的互异性,综上,a的值为0或-2.
2

2

3.[0,1] 【解析】由题设知M={0,1},N=(0,1],所以M∪N=[0,1].

4.4 【解析】P=M∩N={1,3},子集有2 =4个.

2

5.(-∞,0]∪(2,+∞) 【解析】由题可知集合A={y|y>0},B={y|y≤2},所以A-B={y|y>2},

B-A={y|y≤0},所以A⊕B=(-∞,0]∪(2,+∞).

6.{1,2,3,4} 【解析】因为B={x|x(4-x)<0}={x|x<0或x>4},所以? RB={x|0≤x≤4},所 以A∩(? RB)={1,2,3,4}.

7. [0,1]∪(2,+∞) 【解析】A=[0,2],B=(1,+∞),A∪B=[0,+∞),A∩B=(1,2],所 以A×B=[0,1]∪(2,+∞).

12

8. 15 【解析】根据题意,知M中共有8个元素,则M的非空子集个数为2 -1=255,又“和谐”

8

1 1 集合中的元素两两成对,互为倒数,观察集合M,互为倒数的数有两对,即2与 2 ,3与 3 ,包
括两个倒数是自身的数1与-1,可将这些数看作是四个元素,由于包括四个元素的集合的非空 子集数是2 -1=15,则M的子集中,“和谐”集合的个数为15.
4

9.(1)A={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}. (2)集合A中元素(0,0),(1,1) ? B,且(0,1),(1,0)∈B, 所以A∩B={(1,0),(0,1)}. 集合A∩B的所有子集为 ? ,{(1,0)},{(0,1)},{(1,0),(0,1)}.

10. 因为A={x|x -4x+3<0}=(1,3),B={x|x -6x+8<0}=(2,4), 所以A∩B=(2,3). 令f(x)=2x -9x+m, 则对任意的x∈A∩B都有x∈C,即f(x)<0在(2,3)上恒成立,
2

2

2

? f (2) ? 8-18 ? m ? 0, ? f (3) ? 18-27 ? m ? 0, 则? 解得m≤9.
综上,实数m的取值范围是(-∞,9].

11.设x0∈A,则x0≠0,否则q=0,与题设矛盾.

?1? 1 1 ? ? 2 2 x x x x x 由 0 +px0+q=0,两边同除以 0 ,得q ? 0 ? +p 0 +1=0,知 0 ∈B,
故集合A,B中的元素互为倒数.

2

1 1 x x 由①知存在x0∈A,使得 0 ∈B,且x0= 0 ,得x0=1或x0=-1.
由②知A={1,-2}或A={-1,-2}.

? 1? - ? ?1, 2 ? ,得p=1,q=-2. ? 若A={1,-2},则B= ? 1? ,? ?-12 ? ,得p=3,q=2. ? 同理,若A={-1,-2},则B=

13

综上,p=1,q=-2或p=3,q=2.

12. 6 【解析】给力数的个位数取值:0,1,2,给力数的其它数位取值:0,1,2,3,所以

A={0,1,2,3},所以集合A中的数字和为6.

14


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