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能量法


材 料 力 学

第十三章 能 量 方 法
2015年6月9日
1

第十三章

能量方法

本章内容: 1 概述 2 杆件变形能的计算 3 变形能的普遍表达式 4 互等定理 5 卡氏定理 6 虚功原理 7 单位载荷法 莫尔积分 8 计算莫尔积分的图乘法

2



§13. 1 概述
?

能量原理 与功和能有关的定理,统称为能量原理。 运用能量原理求解问题的方法称为能量法。
功能原理 外力的功等于变形能:

?

U ?W
§13. 2 杆件变形能的计算
1 轴向拉伸或压缩

Pl 1 U ? W ? P?l ? 2 EA 2

2

?l
3

P

l

§13. 2 杆件变形能的计算
1 轴向拉伸或压缩

Pl 1 U ? W ? P?l ? 2 EA 2 2 N ( x ) d x ? 轴力N是x的函数时 dU ? P 2 EA 2 N ( x) d x U ?? l 2 EA 2 ? 1 ? 应变能密度 u ? ?? ? 2E 2

?l
4

l

2

2 纯剪切

N ( x) d x U ?? l 2 EA 2 ? 1 ? 应变能密度 u ? ?? ? 2E 2

2

? 1 ? 应变能密度 u ? ?? ? 2G 2
2
2

3 扭转

1 ml U ? W ? m? ? 2 2GI p
5

3 扭转

1 ml U ? W ? m? ? 2 2GI p
?

2

扭矩T是x的函数时

4 弯曲 ? 纯弯曲时
转角

T ( x) d x U ?? l 2GI p
d? m ? d x EI

2

6

4 弯曲 ? 纯弯曲时 转角

纯弯曲时各截面的弯矩相等,m为常数。

d? m ? d x EI m d? ? dx EI
l

m ? ?? dx 0 EI
变形能

ml ?? EI 2 1 ml U ? W ? m? ? 2 2 EI

7

m ? ?? dx 0 EI
l

变形能
?

横力弯曲时 对细长梁,剪力引起的变形能与弯矩引起的变 形能相比很小,通常可忽略不计。 横力弯曲时,弯矩是x的函数。

ml ?? EI 2 1 ml U ? W ? m? ? 2 2 EI

M ( x) d x dU ? 2 EI M 2 ( x) d x U ?? l 2 EI

2

8

M ( x) d x dU ? 2 EI
可将

2

M ( x) d x U ?? l 2 EI

2

5 用广义力和广义位移表示变形能

1 1 U ? P?l , U ? m? , 2 2
1 U ? W ? P? 2
?1

1 U ? m? 2

统一写为

6 非线性弹性材料的变形能

U ? W ? ?0 P d? , u ? ?0 ? d?
9

?1

例 1 (书例10.1) 已知: 圆截面半圆 曲杆,P , R, EI, GIp 。 求:A点的垂直位 移。 解:1 求内力 ? 截面mn, 取左段

M

T

M ? PR sin ? ,
2 变形能

T ? PR(1 ? cos ? ) 2 2 M (? ) R d ? T (? ) R d ? ? dU ? 2GI p 2 EI

10

1 求内力 ? 截面mn, 取左段

M ? PR sin ? , T ? PR(1 ? cos ? )
2 变形能
M
2
2

T

M (? ) R d ? T (? ) R d ? ? dU ? 2GI p 2 EI 2 3 2 2 3 2 P R sin ? d ? P R (1 ? cos ? ) d ? ? ? 2GI p 2 EI U ??
?
0

P R (1 ? cos ? ) d ? P R sin ? d ? ?? 0 2GI p 2 EI
2 3 2

?

2

3

2

11

P R (1 ? cos ? ) d ? P R sin ? d ? ?? U ?? 0 0 2GI p 2 EI 2 3 2 3 P R ? 3P R ? ? ? 4GI p 4 EI 1 3 外力的功 W ? P? A 2 由U=W,得:
?
2 3 2

?

2

3

2

P R ? 3P R ? 1 ? P? A ? 4GI p 4 EI 2 3 3 PR ? 3PR ? ? ?A ? 2GI p 2 EI
2 3
2 3

12

例 2 (书例10.2) 已知: 应变能密度公式。 求:横力弯曲时的 弯曲变形能和剪切 变形能公式。 解: 应变能密度为

u1 ?

?

2

2E

,

? u2 ? 2G
2

M ( x) y y处应力 ? ? , I

Q( x) S ?? Ib

* z
13

? 解: 应变能密度为 u1 ? , u2 ? 2G 2E * M ( x ) y Q( x) S z y处应力 ? ? , ?? I Ib 2 2 2 * 2 M ( x) y Q ( x)( S z ) u1 ? , u2 ? 2 2 2 2 EI 2GI b

?

2

2

?

弯曲变形能

U1 ? ? u1 dV
V

? M 2 ( x) y 2 ? ? ? ?? d A? d x 2 l A 2 EI ? ?

14

?

弯曲变形能

? M 2 ( x) y 2 ? ? ? ?? d A? d x 2 l A 2 EI ? ? ? M 2 ( x) ? 2 ? ?? y d A? d x 2 ? I l A 2 EI ? ? 2 与前面导出的弯曲 M ( x) U1 ? ? dx 变形能公式相同。 l 2 EI 2 * 2 Q ( x )( S ) z ? 剪切应变能密度 u2 ? 2 2 2GI b
15

U1 ? ? u1 dV
V

?

剪切应变能密度

?

剪切变形能
2

Q ( x)( S ) u2 ? 2GI b
* 2 z 2 2

2

* 2 z 2 2

Q ( x)( S ) U2 ? ? dV V 2GI b * 2 ? Q 2 ( x) ( S z ? ) ? ?? d A? d x 2 2 ? l 2GI A b ? ? 2 * 2 ? Q ( x) A ( S z ) ? ? ?? ? 2? d A? d x 2 l A b 2 GA I ? ?

记为 k
16

* 2 ? Q 2 ( x) ( S z ? ) ? ?? d A? d x 2 2 ? l 2GI A b ? ? 2 * 2 ? Q ( x) A ( S z ) ? ? ?? ? 2? d A? d x 2 l A b 2 GA I ? ?

记为 k

Q ( x) U2 ? ? k dx l 2GA
其中的系数

2

薄壁 对矩形截面 k ? 6 / 5, 圆截面 k ? 10 / 9, k ? 2 17 圆环

A k? 2 I

(S ) d A ?A b

* 2 z 2

例 3 (书例10.3) 已知: 矩形截面简支 梁。 求:比较弯曲和剪切 变形能的大小。

解: 由于对称性,只需计算一半梁中的变形能。
?

剪力方程 Q( x) ? P / 2, (0 ? x ? l / 2) ? 弯矩方程 M ( x) ? ( P / 2) x, (0 ? x ? l / 2)
弯曲变形能 U1 ? 2

?

?

l/2

0

1 P 2 Pl ( x) d x ? 2 EI 2 96 EI
18

2 3

1 P P l 2 ? 弯曲变形能 U ? 2 1 ?0 2EI ( 2 x) d x ? 96EI 2 l/2 k P kP l 2 ? 剪切变形能 U ? 2 2 ?0 2GA ( 2 ) d x ? 8GA U 2 12 EIk ? 两种变形能之比 ? 2 U1 GAl 2 ? 对矩形截面 k ? 6 / 5, I / A ? h / 12 E 又: G? 2(1 ? ? ) U 2 12 h 2 ? (1 ? ? )( ) U1 5 l
l/2
19

2 3

U 2 12 EIk ? 两种变形能之比 ? 2 U1 GAl 2 ? 对矩形截面 k ? 6 / 5, I / A ? h / 12 E 又: G? 2(1 ? ? ) U 2 12 h 2 ? (1 ? ? )( ) U1 5 l ? 取 ? =0.3
当 h/l = 1/5 时:

U 2 / U1 ? 0.125 U 2 / U1 ? 0.0312
20

当 h/l = 1/10 时:
?

所以,对长梁,剪切变形能可忽略不计。

§13. 3 变形能的普遍表达式
1 变形能的普遍表达式

线弹性体 ? 无刚体位移 ? 广义力 P1 , ? , Pn ? 力作用点沿力的方向的 广义位移 ?1 , ? , ? n
?
?

比例加载 比例系数?

? 时广义力的大小为: ?P , ?, ?P 1 n

0 ? ? ?1

21

? 时广义力的大小为:
当? 有d? 时, 位移的增量为:

?P 1 , ?, ?P n

? 1 d ? , ?, ? n d ?
则功的增量为: 力的总功为:

d W ? ?P 1 ? ? 1 d ? ? ? ? ?P n ?? n d ?
W ? (P 1 ? ?1 ? ? ? P n ? ? n )? ? d ? 0 1 1 ? P Pn ? ? n 1 ? ?1 ? ? ? 2 2
1

22

力的总功为:

由功能原理,变形能为:

W ? (P 1 ? ?1 ? ? ? P n ? ? n )? ? d ? 0 1 1 ? P Pn ? ? n 1 ? ?1 ? ? ? 2 2
1 1 U ?W ? P Pn ? ? n 1 ? ?1 ? ? ? 2 2

1

?? 变形能的普遍表达式 注意: ? i 是 P1 , P2 , ? , Pn 共同作用下的位移。 2 组合变形时的变形能 取一微段为研究对象
23

2 组合变形时的变形能 取一微段为研究对象 由变形能的普遍表达 式,有:

积分可得杆的总变形能
2

1 1 1 d U ? N ( x) d(?l ) ? M ( x) d ? ? T ( x) d ? 2 2 2 2 2 2 N ( x) d x M ( x) d x T ( x) d x ? ? ? 2GI p 2 EA 2 EI
2

T ( x) d x N ( x) d x M ( x) d x ?? ?? U ?? l l l 2 EI 2GI p 2 EA

2

24

积分可得杆的总变形能

T ( x) d x N ( x) d x M ( x) d x ?? ?? U ?? l l l 2 EI 2GI p 2 EA
2

2

2

注:1) 上式中忽略了剪切变形能; 2) 若为非圆截面杆,则扭转变形能中的Ip 应改为It ; 3) 不同内力分量引起的变形能可以叠加, 同一内力分量的变形能不能叠加。

25

§13. 4 互等定理
1 功的互等定理 线弹性体上作用有 两组力。 第一组为 P1 , ? , Pm ; 第二组为 Q1 , ? , Qn。
?

两种加载方式下的 变形能 1) 先加第一组,再加 第二组。
?
26

1) 先加第一组,再加第二组
?

加完第一组力时的功为:

1 1 P Pm? Pm 1? P1 ? ? ? 2 2
?

加完第二组力时,第二 组力的功为:

1 1 Q1? Q1 ? ? ? Qn? Qn 2 2
?

加第二组力时,第一组 力的功为: P? ? ? ? ? P ? ?
1 P1

m Pm
27

?

总的功为三项之和:

?

加第二组力时,第一组 力的功为:

? ? P 1? P1 ? ? ? P m? Pm
?

总的功为三项之和:

1 1 U1 ? P Pm? Pm 1? P1 ? ? ? 2 2 1 1 ? Q1? Q1 ? ? ? Qn? Qn 2 2 ? ? ?P 1? P1 ? ? ? P m? Pm
2) 先加第二组,再加第一组
28

2) 先加第二组,再加第一组
?

加完第二组力时的功为:

?

加完第一组力时,第一 组力的功为:

1 1 Q1? Q1 ? ? ? Qn? Qn 2 2 1 1 P Pm? Pm 1? P1 ? ? ? 2 2

?

加第一组力时,第二组 力的功为: Q1? Q ? 1 ? ? ? Qn? Qn ? 总的功为三项之和:
29

?

?

加第一组力时,第二组 力的功为:

? 1 ? ? ? Qn? Qn ? Q1? Q
?

总的功为三项之和:

1 1 U 2 ? Q1? Q1 ? ? ? Qn? Qn 2 2 1 1 ? P Pm? Pm 1? P1 ? ? ? 2 2 ? 1 ? ? ? Qn? Qn ? ? Q1? Q
?

变形能与加载次序无关,所以: U1 ? U 2

30

?

变形能与加载次序无关,所以: U ? U 1 2

1 1 1 1 U1 ? P Pm? Pm? Q1? Q1 ? ? ? Qn? Qn 1? P1 ? ? ? 2 2 2 2

? ? ?P 1? P1 ? ? ? P m? Pm

1 1 1 1 Pm? Pm U 2 ? Q1? Q1 ? ? ? Qn? Qn? P 1? P1 ? ? ? 2 2 2 2 ? 1 ? ? ? Qn? Qn ? ? Q1? Q

? ? ? ? P 1? P1 ? ? ? P m? Pm ? Q1? Q1 ? ? ? Qn? Qn
这就是功的互等定理,即:
31

? ? ? ? P 1? P1 ? ? ? P m? Pm ? Q1? Q1 ? ? ? Qn? Qn
这就是功的互等定理,即: 第一组力在第二组力引起的位移上所作的功,等 于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。
2 位移互等定理
P2

当仅有两个力P1和P2作用时, 记 P1作用时,在P2作用点产 生的沿P2作用线方向的位移 为? 21,
P1

? 21
32

2 位移互等定理

P2

当仅有两个力P1和P2作用时, 记 P1作用时,在P2作用点产 P 1 生的沿P2作用线方向的 位移为? 21,
而P2作用时,在P1作用点产生的 沿P1作用线方向的位移为? 12 , 则由功的互等定理,有:

? 12

? 21

P 1 ? 12 ? P 2 ? 21
33

当P1 = P2 时,则有

?12 ? ? 21

则由功的互等定理,有:

P2

P 1 ? 12 ? P 2 ? 21
当P1 = P2 时,则有
P1

? 12

?12 ? ? 21

? 21

即: 当P1 = P2 时,P1作用点沿P1方向由于P2的作 用而引起的位移,等于P2作用点沿P2方向由于P1 的作用而引起的位移。 ?? 位移互等定理

说明:1) 位移应理解为广义位移; 2) 功的互等定理和位移互等定理只对线弹 34 性材料和结构成立。

例 4 (书例10.4) 已知: 静不定梁,P, a, l 。 求:用功的互等定理 求 B处反力。 解:? 取静定基 ? 相当系统如图 ? 取第一组力: P, RB
?

?B

RB

假想作用第二组力 为: X=1。 35 ? 设第一组力在 X作用点B引起的位移为? B 。

? ?

取第一组力: P, RB 假想作用第二组力 为: X=1。

?B

RB

设第一组力在 X作 用点B引起的位移 为? B 。 ? 由变形协调条件: ? ? 0 B ? 第二组力X在P, RB作用点引起的位移为?1 , ?2。
?

由上册书p.224 表6.1中的2,可得:

a ?1 ? (3l ? a), 6 EI

2

l ?2 ? 3EI

3

36

由上册书p.224 表6.1 中的2,可得:

?B

RB

a ?1 ? (3l ? a), 6 EI 3 l ?2 ? 3EI

2

?

第一组力在第二组力引起的位移上的功为:

Pa RB l (3l ? a) ? P?1 ? RB? 2 ? 6 EI 3EI
?

2

3

第二组力在第一组力引起的位移上的功为:

X? B ? 0

37

?

第一组力在第二组力引起的位移上的功为:

Pa RB l (3l ? a) ? P?1 ? RB? 2 ? 6 EI 3EI
?

2

3

第二组力在第一组力引起的位移上的功为:

X? B ? 0
?

由功的互等定理,二者应相等:

Pa RB l (3l ? a) ? ?0 6 EI 3EI 2 Pa RB ? (3l ? a) 3 2 l

2

3

38

§13. 5 卡氏定理
1 卡氏第一定理
设?i有一增量??i , 其它各?j不变, 则 Pi作的功为Pi ??i ,其它各Pj不作功,则:

?U ? Pi ?? i
两边取极限,得:

?U ? Pi ?? i ?U ? Pi ? 卡氏第一定理 ?? i

注:卡氏第一定理适用于非线性材料及结构, 39 是一个普遍定理,有较重要的理论价值。

两边取极限,得:

?U ? Pi ?? i

? 卡氏第一定理

注:卡氏第一定理适用于非线性材料及结构, 是一个普遍定理,有较重要的理论价值。 但由于?i 一般是未知的,使用不方便。

2 卡氏第二定理
设Pi有一增量?Pi, 其它各Pj不变, 则Pi的增量?Pi所 作的功为?Pi ??i /2,其它各Pi所作的功为Pi ??i 。
40

2 卡氏第二定理 设Pi有一增量?Pi, 其它各Pj不变, 则Pi的增量?Pi所 作的功为?Pi ??i /2,其它各Pi所作的功为Pi ??i 。

1 ? ? ? Pi ?? i ? ? ?U ? ?Pi ?? i ? P 1 ?? 1? P 2 ?? 2 2
忽略高阶微量?Pi ??i /2,有:

? ? ? Pi ?? i ? ? ?U ? P 1 ?? 1? P 2 ?? 2
?

为应用功的互等定理,取两组力
41

忽略高阶微量?Pi ??i /2,有:

? ? ? Pi ?? i ? ? ?U ? P 1 ?? 1? P 2 ?? 2
为应用功的互等定理,取两组力 将P1, P2, ……, Pn 看作第一组力, ?Pi 看作第二组力。 第一组力在第二组 力?Pi 作用点引起的位移为?i , 第二组力在第一组力作用点引起的位移为 ??1,??2 , …… , ??n。
?

由功的互等定理, 有

42

将P1, P2, ……, Pn 看作第一组力, ?Pi 看作第二组力, 第一组力在第二组 力?Pi 作用点引起的位移为?i , 第二组力在第一组力作用点引起的位移为 ??1,??2 , …… , ??n。 由功的互等定理, 有

?U

? ? ? Pi ?? i ? ? ? ?Pi ? i P 1 ?? 1 ? P 2 ?? 2 ?U ? ?i ?U ? ?Pi ? i ?Pi

43

由功的互等定理, 有

?U

? ? ? Pi ?? i ? ? ? ?Pi ? i P 1 ?? 1 ? P 2 ?? 2 ?U ? ?i ?U ? ?Pi ? i ?Pi ? U ? 卡氏第二定理 两边取极限,得: ? ?i ?Pi
注:推导卡氏第二定理时,用了功的互等定理, 所以它只适用于线弹性材料及结构。 3 几种常见情况
?

横力弯曲

44

3 几种常见情况 ? 横力弯曲 横力弯曲的变形能 代入卡氏第二定理

M 2 ( x) d x U ?? l 2 EI
2

? ? M ( x) d x ? ?U ? ? ? ?i ? ? ? ? l 2 EI ? ?Pi ?Pi ?
交换求导和积分的次序,有

?

桁架、拉、压杆 设有n根杆,则变形能为:

M ( x) ?M ( x) ?i ? ? ? dx l EI ?Pi
45

?

桁架、拉、压杆 设有n根杆,则变形能为: U ? 代入卡氏第二定理
n

? 2EA
j ?1

n

N l

2 j j j

N j l j ?N j ?U ?? ? ?i ? ?Pi j ?1 EAj ?Pi
?

扭转 扭转变形能为:

代入卡氏第二定理

T ( x) d x U ?? l 2GI p

2

?U T ( x) ?T ( x) ?i ? ?? dx l GI ?Pi ?Pi p

46

扭转变形能为:

T ( x) d x U ?? l 2 GI p 代入卡氏第二定理
?U T ( x) ?T ( x) ?i ? ?? dx l GI ?Pi ?Pi p
n

2

?

组合变形 若Pi力同时引起轴力、扭矩和弯矩,则

N j l j ?N j ?U T ( x) ?T ( x) ?i ? ?? ? ?? dx l GI ?Pi j ?1 EAj ?Pi ?Pi p M ( x) ?M ( x) ?? ? dx l EI ?Pi
47

?

用卡氏定理解题的一般步骤 1) 求约束反力; 2) 分段列出内力方程(轴力、扭矩、弯矩方程 ); 3) 对广义力求偏导数; 4) 将内力方程和偏导数代入卡氏定理,积分。
48

N j l j ?N j ?U T ( x) ?T ( x) ?i ? ?? ? ?? dx l GI ?Pi j ?1 EAj ?Pi ?Pi p M ( x) ?M ( x) ?? ? dx l EI ?Pi
n

例 1 (书例10.5) 已知: EI, m, P, a, l 。 求:fC , ?A。 解:? 求反力

RA

RB

m a R A ? ? P, l l
?

P(l ? a) ? m RB ? l

分段列弯矩方程 AB段 BC段

m a M1 ( x1 ) ? RA x1 ? m ? ( ? P) x1 ? m l l M 2 ( x2 ) ? ?Px2

49

?

分段列弯矩方程 AB段 BC段

RA

RB

m a M1 ( x1 ) ? RA x1 ? m ? ( ? P) x1 ? m l l M 2 ( x2 ) ? ?Px2 ?M 1 ( x1 ) x1 ? ?1 ?m l ?M 2 ( x2 ) ?0 ?m

?

求偏导数

a ?M 1 ( x1 ) ? ? x1 l ?P ?M 2 ( x2 ) ? ? x2 ?P

50

?

?M 1 ( x1 ) a ?M 1 ( x1 ) x1 ? ? x1 , ? ?1 ?P l ?m l ?M 2 ( x2 ) ?M 2 ( x2 ) ? ? x2 , ?0 ?P ?m ? 由卡氏定理 ?U fC ? ?P M ( x) ?M ( x) RA RB ?? ? dx L EI ?P
求偏导数
?

将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理
l
51

a M ( x ) ?M ( x ) M 1 ( x1 ) ?M 1 ( x1 ) 2 2 2 2 fC ? ? ? d x1 ? ? ? d x2 0 0 EI ?P EI ?P

?

由卡氏定理

?U M ( x) ?M ( x) fC ? ?? ? dx ?P L EI ?P
?

将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理
l

a M ( x ) ?M ( x ) M 1 ( x1 ) ?M 1 ( x1 ) fC ? ? ? d x1 ? ? 2 2 ? 2 2 d x2 0 0 EI ?P EI ?P l 1 ?? m ? ?a ? Pa ? ?? ? ? x1 ? m? ? ? x1 ? d x1 ? ? 0 EI l ? ?? l ? ?l ? 2 3 a ? Px ? 1 Pa l mal Pa ? 2 ?? ? ( ? x2 ) d x2 ? ? ? ? ? ? 0 EI EI ? 3 6 3 ? ?
52

?

将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理
l

a M ( x ) ?M ( x ) M 1 ( x1 ) ?M 1 ( x1 ) fC ? ? ? d x1 ? ? 2 2 ? 2 2 d x2 0 0 EI ?P EI ?P l 1 ?? m ? ?a ? Pa ? ?? ? ? x1 ? m? ? ? x1 ? d x1 ? ? 0 EI l ? ?? l ? ?l ? 2 3 a ? Px ? 1 Pa l mal Pa ? 2 ?? ? ( ? x2 ) d x2 ? ? ? ? ? ? ? 0 EI EI ? 3 6 3 ? ? 求 ?C ?U M ( x) ?M ( x) ?? ? dx ?A ? L EI ?m ?m
53

?

求 ?C

?U M ( x) ?M ( x) RB ?? ? d x RA ?A ? L EI ?m ?m l M ( x ) ?M ( x ) a M ( x ) ?M ( x ) 1 1 1 1 2 2 2 2 ?? ? d x1 ? ? ? d x2 0 0 EI ?m EI ?m ? ? x1 ? 1 l ?? m Pa ? ? ? ?? ? ? x1 ? m? ? ? ? 1? d x1 EI 0 ?? l l ? ? ? ?l 1 a 1 ? ml Pal ? ? ? (? Px2 ) ? (0) d x2 ? ? ? ? EI 0 EI ? 3 6 ?
54

? ? x1 ? 1 l ?? m Pa ? ? A ? ? ?? ? ? x1 ? m? ? ? ? 1? d x1 EI 0 ?? l l ? ? ? ?l 1 ? ml Pal ? 1 a ? ? (? Px2 ) ? (0) d x2 ? ? ? ? EI ? 3 6 ? EI 0
?

问题 本例中求 fC , ?A。 题中正好C点作用 RA RB 有P,A点作用有m。 若没有P力作用或没 有力偶m作用,则怎样求出 fC 或?A ?

55

例 2 (书例10.6) 已知: EI为常数, m 。 求: ?C 及D点的水平位 移?x,轴力及剪力不计。 解:1 为求 ?C ,加 m2 ? 求反力

2a
C
D

a

m2
B

m

RD

a
A

m ? m2 m ? m2 RAy ? , RD ? 2a 2a
? ?

RAy

分段列弯矩方程并求对m2的偏导数 将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理

积分求出

2a ?C ? (m ? m2 ) 3EI

56

将弯矩方程和偏导数 代入卡氏定理 积分求出
?

2a
C
D

a

m2
B

2a ?C ? (m ? m2 ) 3EI
实际上并无m2 ,所以 令m2 =0,得:

m

RD

a
A

RAy

2am ?C ? 3EI
通常在积分前即令m2 =0,可使积分简单。
57

2 为求 ?x ,加 Pa ? 求反力

2a
C

D Pa

RAx ? Pa ,

m RAy ? RD ? ? Pa 2a

B

m

RD

a
A
2
58

?

分段列弯矩方程并求 RAx RAy 对Pa的偏导数 ? 在弯矩方程和偏导数中,令 Pa = 0
?

将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理 积分求出

17ma ?x ? 6 EI

a

§13. 6 虚功原理
1 虚位移 弹性体的虚位移:满足约束条件和连续条件的 微小位移。 微小位移 小变形 2 虚功 力在虚位移上所作的功。 分为: 外力的虚功; 内力的虚功 ?? 虚变形能 3 虚功原理 外力的虚功等于内力的虚功。即: ? W ? ? W e i
59

3 虚功原理 外力的虚功等于内力的虚功。 即: ? We ? ? Wi
4 外力虚功表达式

广义力 P1 , ? , Pn; q(x) ? 力作用点沿力的 方向的广义虚位移
?
?

v , v , ?, v ; v ( x )
* n n *

* 1

* 2

* n

*

外力的虚功
* 1 1 * 2 2 l
60

? We ? P v ? P v ? ? ? P v ? ? q?x ?v ?x ?d x

?

外力的虚功
* 1 1 * 2 2 * n n * l

5 内力虚功表达式
?

? We ? P v ? P v ? ? ? P v ? ? q?x ?v ?x ?d x

取微段考虑 ? 内力在刚体虚位移 上的虚功为零 ? 内力在虚变形上作 虚功 ? 不同内力的虚功可 以叠加 微段上内力的虚功为

61

不同内力的虚功可 以叠加 微段上内力的虚功为 (忽略高阶微量后)
?

N d(?l ) ? M d? * * ? Q d ? ? T d?
* *

积分可得物体上内力 的总虚功为
*

? Wi ? ? ?N d(?l ) ? M d ? ? Q d ? ? T d ?
* *
62

*

?

积分可得物体上内力的总虚功为

? Wi ? ? ?N d(?l ) ? M d ? ? Q d ? ? T d ?
* * *

*

?

6 虚功方程 将外力的虚功和内力的虚功代入虚功原理,得:

P v ? P v ? ? ? P v ? ? q?x ?v ?x ?d x
* 1 1 * 2 2

? ? N d(?l ) ? M d ? ? Q d ? ? T d ?
* * *

?

* n n

*

l

*

?

?

虚功原理可用于线弹性材料,也可用于非线 性弹性材料。
63

§13. 7 单位载荷法 莫尔积分
1 单位载荷法 为求出结构上某 一点沿某方向的 位移 △ , 加一单位载荷。 取结构在外载 荷作用下产生 的真实位移作为虚位移, 由虚位移原理

1? ? ? ? N ( x) d(?l ) ? ? M ( x) d ? ? ? Q ( x) d ?
68

取结构在外载荷作用下产生的真实位移作为虚 位移, 由虚位移原理

1? ? ? ? N ( x) d(?l ) ? ? M ( x) d ? ? ? Q ( x) d ?
其中,N ( x), M ( x), Q ( x) 为单位载荷引起的内力;

d(?l ), d ? , d ? 为外载荷引起的真实位移.
几种简化形式 ? 以弯曲为主的杆
? ?

? ? ? M ( x) d ?
l l

拉压杆

? ? ? N ( x) d(?l )
l

?

轴力为常量时

? ? N ? d(?l ) ? N ?l

69

? ?

几种简化形式 以弯曲为主的杆 拉压杆 轴力为常量时 n根杆(桁架)

? ? ? M ( x) d ?
l

?

? ? ? N ( x) d(?l )
l

?

? ? N ? d(?l ) ? N ?l
n

l

?

? ? ? N i ?li
i ?1

? ?

扭转

? ? ? T ( x) d ?
l

注:1) 单位载荷法可用于非线性弹性材料; 70

? ?

扭转

? ? ? T ( x) d ?
l

注:1) 单位载荷法可用于非线性弹性材料; 2) 若求出的△为正,则表示△与单位力的 方向相同。 3) 单位力和位移均为广义的。 对于线弹性材料,单位载荷法中的位移为

2 莫尔积分

d ? M ( x) ? dx EI

M ( x) d? ? dx EI
71

2 莫尔积分 对于线弹性材料,单位载荷法中的位移为

则:

d ? M ( x) ? dx EI N ( x) d(?l ) ? d x, EA
l

M ( x) d? ? dx EI T ( x) d? ? dx GI p

? ? ? M ( x) d ? ? ? ? N ( x) d(?l )
l

M ( x) M ( x) ??? dx l EI N ( x) N ( x) ??? dx l EA
72

则:

? ? ? M ( x) d ?
l

? ? ? N ( x) d(?l )
l

? ? ? N i ?li
i ?1

n

? ? ? T ( x) d ?
l

M ( x) M ( x) ??? dx l EI N ( x) N ( x) ??? dx l EA n N i N i li ??? EAi i ?1 T ( x)T ( x) ??? dx l GI p
73

这些公式统称为莫尔定理,积分称为莫尔积分。

M ( x) M ( x) ??? dx l EI n N i N i li N ( x) N ( x) ??? d x 或: ? ? ? l EAi EA i ?1 T ( x)T ( x) ??? dx l GI p
这些公式统称为莫尔定理,积分称为莫尔积分。 式中:加一杠的内力是单位力引起的内力; 未加杠的内力是原外力引起的内力。 显然,莫尔积分仅适用于线弹性结构。 74

?

求相对位移

加一对方向相反的单位力。

? ? 1? ? A ? 1? ? B

75

例 3 (书例10.11) 已知: P, l , ? , 截面积A, 应力应变关系为? ? C ? , 其中,C为常数,?, ? 皆 取绝对值 。 求:B点垂直位移。 单位载荷法可求解 解: 材料非线性问题。
n
?

N1
N2

对杆系

? v ? ? N i ?li ? N1?l1 ? N 2 ?l2
i ?1
?

?

求杆的伸长

取B点,受力如图

76

?

对杆系

? ? ? N i ?li ? N1?l1 ? N 2 ?l2
i ?1

n

求杆的伸长 ? 取B点,受力如图
?

N2

P ? 由平衡方程 N1 ? , sin ? N 2 ? P cot ? (压力) N1 P N 2 P cot ? ? 应力 ? ? ? , ?2 ? ? 1 A A sin ? A A
(压应力)
77

N1 P N2 P cot ? ? 应力 ? ? ? , ?2 ? ? 1 A A sin ? A A 2 2 ?1 P ? 应变 ?1 ? 2 ? 2 2 2 , C C A sin ? 2 2 2 ? 2 P cot ? ?2 ? 2 ? 2 2 C A C 2 P l ? 杆的伸长 ?l ? l ? ? 1 BD 1 2 2 2 C A sin ? cos ?

P l cot ? ?l2 ? l? 2 ? 2 2 C A
2 2

78

P l ? 杆的伸长 ?l ? l ? ? 1 BD 1 2 2 2 C A sin ? cos ? 2 2 P l cot ? ?l2 ? l? 2 ? 2 2 C A
?

2

单位载荷引起的轴力 ? 取B点,受力如图
?

由平衡方程

1 N1 ? , sin ? N 2 ? cot ?
2

N1 N2
4

P l 1 ? cos ? ? v ? N1?l1 ? N 2 ?l2 ? 2 2 3 C A sin ? cos ?

79

x2

例 4 (书例10.12) 已知: P, l , a , E, I1, I2, 不计轴力和剪力的影响。 求:A点垂直位移 ?y及 B截面的转角 ? B 。 解:1 实际载荷的弯矩
l

a
B
EI1 EI2

x

1

A

P

C B

x

1

A

2求?y

M ( x1 ) ? ? Px1 , ? BC段 M ( x2 ) ? ? Pa
?

AB段

在A点加 y方向单位力
80

x2

1

C

BC段 M ( x2 ) ? ? Pa 2求?y 在A点加 y方向单位力 ? 单位载荷的弯矩 AB段 M ( x ) ? ? x ,
?

1 实际载荷的弯矩 ? AB段 M ( x1 ) ? ? Px1 ,
x2

B

x

1

A

1

C

BC段 M ( x ) ? ?a 2 ? 代入莫尔积分公式

1

1

?y ? ?

a

0

l M ( x )M ( x ) M ( x1 ) M ( x1 ) 2 2 d x1 ? ? d x2 0 EI1 EI 2
81

M ( x1 ) ? ? Px1 , ? BC段 M ( x2 ) ? ? Pa
?

AB段

M ( x1 ) ? ? x1 , M ( x2 ) ? ?a

?

代入莫尔积分公式
a

l M ( x )M ( x ) M ( x1 ) M ( x1 ) 2 2 ?y ? ? d x1 ? ? d x2 0 0 EI1 EI 2 1 a 1 l ? ( ? x )( ? Px ) d x (?a)( ? Pa) d x2 1 1 1? ? ? EI1 0 EI 2 0 2 3 Pa Pa l ? ? 3EI1 EI 2
82

在B点加单位力偶矩 ? 单位载荷的弯矩 AB段 M ( x ) ? 0,
BC段
?

M ( x2 ) ? 1
a l M ( x )M ( x ) M ( x1 ) M ( x1 ) 2 2 d x1 ? ? d x2 0 EI1 EI 2
83

1

代入莫尔积分公式

?B ? ?

0

x2

2求?B

Pa l Pa ? ?y ? 3EI1 EI 2

3

2

1

B

x

1

A

C

M ( x1 ) ? ? Px1 , ? BC段 M ( x2 ) ? ? Pa
?

AB段

M ( x1 ) ? 0, M ( x2 ) ? 1

?

代入莫尔积分公式
a

l M ( x )M ( x ) M ( x1 ) M ( x1 ) 2 2 ?B ? ? d x1 ? ? d x2 0 0 EI1 EI 2 1 l x 1? (? Pa) d x2 ?0? 1 ? B A EI 2 0 Pal ?? ? 这里的负号表示 EI 2 C
1

转向为顺时针的

x2

84

例 5 (书例10.13)

P
1

A

a
2
3 5 7

B a

已知: 平面桁架如图, P, a , 各杆EA相等。
求:AC两点间的相对 位移 ? AC 。 解:1 实际载荷的轴力
?

4

F

C a
8

用节点法可求出各杆的 6 轴力。 E 2 加单位力 在A、C两点沿AC方向加 一对方向相反的单位力。

9

D

85

2 加单位力 在A、C两点沿AC方向加 一对方向相反的单位力。
?

A
1

a
2
3

B a

1

用节点法可求出在这一 对单位力作用下,各杆 的轴力。

1

4

F

5 7

C a
8

3 代入莫尔积分公式

? AC

N i N i li ?? EAi i ?1 3 Pa ? (2 ? ) 2 EA

9

6

E

9

D

86

例 6 (书例10.14)

已知: 活塞环如图,P, R , EI。 求:切口处的张开量。

P

?

A B P

解:? 对曲杆,可近似用 对直杆的公式。 ? 只考虑弯矩的影响 1 实际载荷的弯矩 由于对称性,只需列出半圆部分的弯矩。

? 处截面:

M (? ) ? ? PR(1 ? cos ? )
87

1 实际载荷的弯矩 由于对称性,只需列出 半圆部分的弯矩。 ? 处截面:

P

?

A B P

M (? ) ? ? PR(1 ? cos ? )
2 加单位力 在A、B两点沿AB方向加 一对方向相反的单位力。
?

?

1 A B
88

单位载荷的弯矩 ? 处截面:

1

M (? ) ? ? R(1 ? cos ? )

1 实际载荷的弯矩

M (? ) ? ? PR(1 ? cos ? )
2 加单位力
?

P

?

单位载荷的弯矩

A B P

M (? ) ? ? R(1 ? cos ? )
3 代入莫尔积分公式

? AB ? 2?

?

0

3 2 ? 3? PR ? ? ? R(1 ? cos ? ) ? [? PR(1 ? cos ? )]R d ? ? EI 0 EI
89

M (? ) M (? ) R d? EI

§13. 8 计算莫尔积分的图乘法
?

图乘法的条件

杆件为等截面直杆。

对等截面直杆,EI, GIp 或 EA 为常量。
莫尔积分

成为

M ( x) M ( x) Δ?? dx l EI 1 Δ? M ( x ) M ( x ) d x ? EI l

所以需要计算积分
?

M ( x ) M ( x ) d x ?
l
90

用图乘法计算莫尔积分

所以需要计算积分
?
?
?

? M ( x) M ( x) d x
l

用图乘法计算莫尔积分 通常 M ( x)是x的线性函数
设直线与x轴的夹角为?

则有:

M ( x) ? x ? tan ?

上述积分可表示为:

M ( x ) M ( x ) d x ?
l l

? ? x tan ? ? M ( x) d x ? tan ? ? ? xM ( x) d x
l

M(x)弯矩图的面积对y轴的静矩。

91

? M ( x) M ( x) d x ? ? x tan ? ? M ( x) d x ? tan ? ? ? xM ( x) d x
l l l

M(x)弯矩图的面积对y轴 的静矩。 记M(x)弯矩图的面积为?。
根据静矩的计算公式,有:
l

? xM ( x) d x ? ? ? x
l
92

C

M ( x ) M ( x ) d x ? ? ? xC tan ? ? ? ? M C ?

? xM ( x) d x ? ? ? x
l

C

? M ( x) M ( x) d x
l

? ? ? xC tan ? ? ? ? MC

式中,M C 为 M ( x) 图中与 M ( x)图的形心位置C 所对应处的纵坐标。
?

莫尔积分的图乘公式为

M ( x) M ( x) ? ? MC Δ?? dx ? l EI EI

93

?

莫尔积分的图乘公式为

M ( x) M ( x) Δ?? dx l EI ? ? MC ? EI
即:莫尔积分的计算,可用载荷的弯矩图的面 积与该图形形心位置所对应之处的单位载荷(直 线)的弯矩图的幅度之积代替。
?

此式对轴力和扭矩也适用
几种常用图形的面积和形心位置
94

?

?

几种常用图形的面积和形心位置(书p.57)
顶点

顶点

顶点

95

例 5 (书例13.15) F B 已知: F, q, a, l , A EI。 a 求:A截面转角。 解:用图乘法。
?

q
C

l
?3

M ?1
1
A

1 2 ql 8

外载荷的弯矩 图(叠加法) ? 单位载荷的弯 矩图 ? 面积

B Fa 1

?2
C

M

96

?

面积
A

1 ?1 ? ? a ? Fa 2 1 ?2 ? ? l ? Fa 2 2 1 2 ? 3 ? l ? ql 3 8
?

F
a

q
B

C

l
?3
C1 B Fa C2

M ?1
1
A

C3

1 2 ql 8

?2
C

高度

2 M 1 ? 1, M 2 ? 3 M 1 M3 ? 2

1 M1

M2

M3
97

M ? 1
?

?3
C1
B Fa 1 M1 C2

高度

C3

1 2 ql 8

2 M 1 ? 1, M 2 ? A 3 1 M3 ? M 2
?

1

?2
C

M2

图乘

M3

1 ?A ? (?1M 1 ? ? 2 M 2 ? ? 3 M 3 ) EI 2 3 Fa 1 l ql ?? ( ? )? EI 2 3a 24 EI

98

例 6 (书例13.16) 已知: q, l , EI。 求:中点的挠度。 解:用图乘法。
?

q
A
l 2

C

B
l 2

外载荷的弯 矩图 ? 单位载荷的弯 矩图
?

M

?1

C1

1 2 ql 8 C C2

?2

1
A
C B
l 4

M ( x)图有折点
应分段图乘。

M

MC

MC

99

?

M ( x)图有折点
应分段图乘。 面积
2

M

?1

C1

1 2 ql 8 C C2 l 4

?2

?

2 l ql ?1 ? ? ? 3 2 8 3 ql ? ?2 ? 24
高度 图乘

M

MC

MC

?

?

5 l 5l MC ? ? ? 8 4 32 4 1 5ql wC ? (?1M C ? ?2 M C ) ? EI 384 EI

100

例7 已知: q, a, l , EI为常数。 求: ?Cx 及 ?C ,轴力及剪 力不计。 解:用图乘法。 ? 外载荷的弯矩图 ? 面积

a
B

q
C

l
A M B C1

?1 ?2
C

1 qa qa ?1 ? ? a ? ? 3 2 6 2 qa 1 2 ?2 ? l ? ? qa l 2 2

2

3

qa 2

2

C2 A

qa 2 2
101

?

外载荷的弯矩图
3

M B

1 2 qa ? 面积 ? ? , ? 2 ? qa l 1 2 6
?

C1

?1 ?2
C

求 ?Cx ? 单位载荷的弯矩图

qa 2 2
A

C2

qa 2 2

1 M 12 ? l 2 1 ? Cx ? (?2 ? M 12 ) EI 2 2 1 1 2 l qa l ? ( qa l ? ) ? EI 2 2 4 EI

M1
B

1 C

M 12
A

l
102

1 ? Cx ? (?2 ? M 12 ) EI 2 2 1 1 2 l qa l ? ( qa l ? ) ? EI 2 2 4 EI
?

M B

C1

?1 ?2
C

qa 2 2
A

求 ?C ? 单位载荷的弯矩图

C2

qa 2 2

M 21 ? 1 M 22 ? 1

M2
B

1 C

M1
B

1 C

M 21 1 M 22
A

M 12
A

1

l

103

1 2 qa ? 面积 ? ? , ? 2 ? qa l 1 2 6
?

3

M B

C1

?1 ?2
C

求 ?C ? 单位载荷的弯矩图

qa 2 2
A

C2

M 21 ? 1, M 22 ? 1 1 ?C ? (?1 ? M 21 ? ? 2 ? M 22 ) EI 1 1 3 1 2 ? ( qa ?1? qa l ?1) EI 6 2 2 qa a ? ( ? l) 2 EI 3

qa 2 2

M2
B

1 C

M 21 1 M 22
A

1
104

1 ?C ? (?1 ? M 21 ? ? 2 ? M 22 ) EI 1 1 3 1 2 ? ( qa ?1? qa l ?1) EI 6 2 2 qa a ? ( ? l) 2 EI 3
?

M B

C1

?1 ?2
C

qa 2 2
A

C2

qa 2 2

正负号问题 对刚架,外载荷的弯矩图与 单位载荷的弯矩图在同侧的, 乘积取正号; 分别在两侧的,乘积取负号。

M2
B

1 C

M 21 1 M 22
A

1
105

谢谢大家!
106


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