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25-5《直线与圆的位置关系》第二课时


25.5直线和圆的位置关系(2)

1、直线和圆的位置关系。
r o d l r o d l r o d l

(1)直线l 和⊙O相离 (2)直线l 和⊙O相切 (3)直线l 和⊙O相交

d>r d=r d<r

2.什么叫做切线? 3.你已经学会了哪些判断一条直线是圆的

切 线的方法?

问题
1.当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向 是什么方向? 2.砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向?

观察、提出问题、分析发现

图(2)中直线l是⊙O的切线,怎样判定?
O O O

图(1)

图(2)

图(3)

根据切线的定义可以判定一条直线是不是 圆的切线,但有时使用定义判定很不方便.我 们从另一个侧面去观察,那就是直线和圆的位 置怎样时,直线也是圆的切线呢?

请在⊙O上任意取一点A,连接OA。过点A 作直线 l⊥OA。思考一下问题: 1. 圆心O到直线 l 的距离和圆的半径有什么 数量关系? 2. 二者位置有什么关系?为什么? 3. 由此你发现了什么?

O
l

A

发现:(1)直线 l 经过半径OA的外端点A;
(2)直线l垂直于半径0A. 则:直线l与⊙O相切
O l A

这样我们就得到了从位置上来判定直线是 圆的切线的方法——切线的判定定理.

直线与圆相切的判定定理:
经过半径的外端并且垂直这条半径的 直线是圆的切线。 对定理的理解:
切线需满足两条: ①经过半径外端; ②垂直于这条半径.

定理的几何符号表达:
如图所示 ∵ OA是半径, l ⊥ OA于A ∴ l是⊙O的切线。 l

O
r

A

问题:定理中的两个条件缺少一个行不行?

判 断
1. 过半径的外端的直线是圆的切线(× ) 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线( × ) 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线( × )
O l r A O r l A O l r A

两个条件,缺一不可

已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线?
〖例1〗已知:直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB, CA=CB。 求证:直线AB是⊙O的切线。

分析:由于AB过⊙O上的点C,所以连 接OC,只要证明AB⊥OC即可。 证明:连结OC(如图)。 ∵ ⊿OAB中, OA=OB , CA=CB, ∴ AB⊥OC。 ∵ OC是⊙O的半径 ∴ AB是⊙O的切线。

O

A

C

B

辅助线:有点连圆心,证垂直

〖例2〗已知:O为∠BAC平分线上一点,

OD⊥AB于D,以O为圆心,OD为半径作 ⊙O。 A 求证:⊙O与AC相切。 证明:过O作OE⊥AC于E。 ∵ AO平分∠BAC,OD⊥AB ∴ OE=OD 即圆心O到AC的距离 d = r ∴ AC是⊙O切线。

D O E

B

C

辅助线:无交点,作垂直,证等于半径.

归纳分析
例1与例2的证法有何不同?
D O A
A B E C O B

C

(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和 圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。 简记为:连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点, 则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长 等于半径长。简记为:作垂直,证半径。

练习:
1.如图,AB是⊙O的直径,∠ABT=45°,AT=AB,求

证:AT是⊙O的切线.
B

证明:∵∠ABT=45°,AT=AB,

∴∠T=45°, ∴∠BAT=90°,
T A

O

∴AT ⊙O的切线。

练习:
2.求证:经过直径两端点的切线互相平行
已知:如图,AB 是⊙O的直径, AC、BD是⊙O的切线. 求证: AC∥BD

A

C

证明:如图, ∵AC、BD是⊙O的切线
AB 是⊙O的直径 ∴ AB⊥AC AB⊥BD
∴ AC∥BD

O D

B

1、定义法:和圆有且只有一个公共点的直线是圆的 切线。 2、数量法(d=r):和圆心距离等于半径的直线是圆 的切线。 3、判定定理:经过半径外端且垂直于这条半径的直 线是圆的切线。 即:(1)若直线与圆的一个公共点已指明,则连接 这点和圆心,说明直线垂直于经过这点的半径;

(2)若直线与圆的公共点未指明,则过圆心作直 线的垂线段,然后说明这条线段的长等于圆的半径.

将上页思考中的问题 反过来,如果L是⊙O 的切线,切点为A,那么 半径OA与直线L是不 是一定垂直呢?
一定垂直

.

O

切线的性质定理: A 圆的切线垂直于过切点的半径

L

1、切线和圆只有一个公共点。 2、切线和圆心的距离等于半径。

3、切线垂直于过切点的半径。
4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点。 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。

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练习:如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一 点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D. 求证:AC平分∠DAB
证明: 连结OC ∵CD是⊙O的切线 ∴OC⊥CD 又∵CD⊥AD∴OC∥AD ∴∠1=∠3 又∵OA=OC ∴∠2=∠3 ∴ ∠1=∠2 即AC平分∠DAB
D

C A
1 2
3 O

B

课堂小结
? ? ? ? 1、切线的判定方法; 2、切线的作法; 3、常见辅助线; 4、切线的性质。


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