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直线的倾斜角与斜率ppt


3.1直线的倾斜角与斜率
主讲人:***

直线的位置
我们知道,两点确定一条直线。
y

过一点O的直线可以作无数条, 可以用直线与X轴的夹角描述它 们的倾斜程度

x

o

一点能确定一条 直线的位置吗?

练习:
下列四图中,表示直线的倾斜角的是( A )
y y

A
y

a
C D
x x o

x

o

o

a

B
y

a

o

x

a

一、直线的倾斜角 1、直线倾斜角的定义:
当直线L与X轴相交时,我们取X轴作为基 准,X轴正向与直线L向上方向之间所成的角 叫做直线的倾斜角。
y

l

x

o

a

注意: (1)直线向上方向; (2)x轴的正方向。

反思: 1、倾斜角的范围如何? 2、只知道倾斜角能确定一条 直线吗?还需要什么条件?

直线倾斜角的意义
体现了直线对轴正方向的倾斜程度 在平面直角坐标系中,每一条直线都 有一个确定的倾斜角。
倾斜程度 ? 倾斜角

倾斜角相同能确 定一条直线吗? 相同倾斜角可作无 数互相平行的直线
l3

y

l 2 l1

o

x

二、直线的的斜率
如图3.1-3,日常生活中,我们经常用“升 高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度” (倾斜程度),即

升高量 坡度 ? 前进量

D C 升

设直线的倾斜程度为K
k AC ? BC AB BD

? tan ?

k AD ?

AB

? tan ?

A

? ?
前进量

高 量

B

1、直线斜率的定义:
我们把一条直线的倾斜角 用小写字母 k 表示,即:

a 的正切值叫做这

条直线的斜率(slope)。

k ? tan a
?

例如: 3 ? ? a ? 30 ? k ? tan30 ? 3
?

a ? 45 ? k ? tan45 ? 1 ? ? a ? 60 ? k ? tan60 ? 3

当a ? 90?时 k ??

y

o

x

思考:当直线与 x 轴垂直时, 直线的斜率是多少?

a ? 90 ? tana(不存在)
?

即k不存在

2、探究:由两点确定的直线的斜率

锐角
y
y2
y1

k ? tan ?

能不能构造 一个直角三 如图,当 α为锐角时, 角形去求? P2 ( x2 , y2 )

?
P 1 ( x1 , y1 )

? ? ?P2 P 1Q,

Q( x2 , y1 )

且x1 ? x2 , y1 ? y2

QP2 y2 ? y1 k ? tan? ? tan?P2 P ? 1Q ? P x2 ? x1 1Q

o

?

x1

x2

x

在Rt?P2 P 1Q中

?0

钝角
y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )

如图,当α为钝角时, ? ? ? 180 ? ? , 且x1 ? x2 , y1 ? y2 tan? ? tan( 180? ? ? )
P 1 ( x1 , y1 )

?
Q( x2 , y1 )

o

x1

x2

?

x

y2 ? y1 y2 ? y1 ? k ? tan? ? ? ? x1 ? x2 x2 ? x1

? ? tan? 在Rt?P2QP 中 1 P2Q y2 ? y1 ? tan? ? x1 ? x2 P 1Q

?0

3、直线的斜率公式:
综上所述,我们得到经过两点 P 1 ( x1, y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )的直线斜率公式:

y2 ? y1 y1 ? y2 k? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2
P2 P1 P1 P2

思考?
1、已知直线上两点A,B,运用上述 公式计算直线AB的斜率,与A,B两 点坐标的顺序有关吗? 2、当直线平行于x轴,或与x轴重合 时,上述公式还适用吗?为什么? 3、当直线平行于y轴,或于y轴重合 时,上述公式还适用吗?为什么?

例1

、如图,已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2),求 直线AB、BC、CA的斜率,并判断这 些直线 的倾斜角是什么角? y. 解: B . A 2?2 . . . . . . . k ? ?0 直线AB的斜率 AB o x ?8? 4 . ?2?2 ?4 1
直线BC的斜率 kBC ? 直线CA的斜率 kCA
0 ? (?8) ? 8 ?? 2

C

∵ k AB ? 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。 ∵ k BC ? 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。 ∵ kCA ? 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角

2 ? (?2) 4 ? ? ?1 4?0 4

例3 ,已知三点A(a,2),B(5, 1),C(-4,2a)在同一直线 上,求a的值

例4,直线的斜率为 K,倾斜角为?, ( 1 )若 ? 1 ? K ? 1,求?的范围 ? 3? (2)若 ? ? ? ,求K的范围 4 4

三、小结:
1、直线的倾斜角定义及其范围: 0? ? ? ? 180? ? 2、直线的斜率定义: k ? tan a (a ? 90 ) 3、斜率k与倾斜角 ? 之间的关系:

y2 ? y1 y1 ? y2 4、斜率公式:k ? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2

?a ? 0? ? k ? tan0? ? 0 ? ? ? 0 ? a ? 90 ? k ? tan a ? 0 ? ? ? ?a ? 90 ? tan a(不存在) ? k不存在 ?90? ? a ? 180? ? k ? tana ? 0 ?

作业:

P98 A组1, 2, 3, 4, 5

B组5, 6

直线倾斜角的范围:
y y

零度角

锐角

直角

钝角

当直线 l 与 x 轴平行或重合时,我 ? 们规定它的倾斜角为 0 ,因此,直线 ? ? 0 ? a ? 180 的倾斜角的取值范围为:

x

x

x

x

o

o

a

y

y

a

o

o


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