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山东省枣庄市滕州二中2015-2016学年高一上学期12月月考数学试卷 Word版含解析


2015-2016 学年山东省枣庄市滕州二中高一(上)12 月月考数学 试卷
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1.已知集合 A{x|x ﹣3x+2=0,x∈R },B={x|0<x<5,x∈N },则满足条件 A?C?B 的集合 C 的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4
2

2.已知 f(x

)= A.﹣1 B.0 C.1 D.2

,则 f[f(1)]的值为(



3.在如图的正方体中,M、N 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点,则异面直线 AC 和 MN 所成 的角为( )

A.30° B.45° C.60° D.90° 4.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A.y=x+1 B.y=﹣x
2



C.y=

D.y=x|x|

5.已知一个四棱锥的高为 3,其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长 为 1 的正方形,则此四棱锥的体积为( ) A. B.
x

C.

D. )

6.函数 y=a 与 y=﹣logax(a>0,且 a≠1)在同一坐标系中的图象只可能是(

A.

B.

C.

D. 7.长方体的一个顶点上三条棱长为 3、4、5,且它的八个顶点都在一个球面上,这个球的 表面积是( ) A.20 π B.25
2 0.4

π

C.50π D.200π )

8.三个数 0.4 ,2 ,log0.42 的大小关系为( 2 0.4 2 0.4 A.0.4 <2 <log0.42 B.log0.42<0.4 <2 2 0.4 0.4 2 C.0.4 <log0.42<2 D.log0.42<2 <0.4

9. 设 a, b 为两条不重合的直线, α, β 为两个不重合的平面, 下列命题中为真命题的是 ( A.若 a,b 与 α 所成的角相等,则 a∥b B.若 a∥α,b∥β,α∥β,则 a∥b C.若 a?α,b?β,a∥b,则 α∥β D.若 a⊥α,b⊥β,α⊥β,则 a⊥b 10.函数 f(x)=ax +2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,4]上为减函数,则 a 的取值范围为( A.0<a≤ B.0≤a≤ C.0<a< D.a>
2





11.如果函数 f(x)的图象关于原点对称,在区间[1,5]上是减函数,且最小值为 3,那么 f(x)在区间[﹣5,﹣1]上是( ) A.增函数且最小值为 3 B.增函数且最大值为 3 C.减函数且最小值为﹣3 D.减函数且最大值为﹣3 12.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 A1B1C1,底面三角形 A1B1C1 是正三 角形,E 是 BC 中点,则下列叙述正确的是( )

A.CC1 与 B1E 是异面直线 B.AC⊥平面 ABB1A1 C.AE,B1C1 为异面直线,且 AE⊥B1C1 D.A1C1∥平面 AB1E

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.如图是一个空间几何体的三视图,则这个几何体的体积是

cm .

3

14.已知 f(x)是定义域为 R 的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x(x﹣2) ,当 x<0 时,f(x) = . 15. 如图, 一个简单组合体的正视图和侧视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同 的图形,俯视图是一个半径为 和)等于 . 的圆(包括圆心) .则该组合体的表面积(各个面的面积的

16.有以下的五种说法: ①函数 f(x)= 的单调减区间是(﹣∞,0)∪(0,+∞) ②若 A∪B=A∩B,则 A=B=?

③已知 f(x)是定义在 R 上的减函数,若两实数 a、b 满足 a+b>0,则必有 f(a)+f(b) <f(﹣a)+f(﹣b) ④已知 f(x)= 以上说法中正确的有 的定义域为 R,则 a 的取值范围是[0,8) (写出所有正确说法选项的序号)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. (10 分) (2015?枣庄校级模拟)函数 B=[﹣1,6) ,C={x|x<a}. (Ⅰ)求集合 A 及 A∩B; (Ⅱ)若 C?A,求 a 的取值范围. 18. (12 分) (2014 秋?嘉峪关校级期末)如图是一个几何体的三视图(单位:cm) . (1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法) ; (2)求这个几何体的表面积及体积. 的定义域为集合 A,

19. (12 分) (2015 秋?兴宁市校级期中)定义在非零实数集上的函数 f(x)满足:f(xy) =f(x)+f(y) ,且 f(x)在区间(0,+∞)上为递增函数. (1)求 f(1) 、f(﹣1)的值; (2)求证:f(x)是偶函数; (3)解不等式 .

20. (12 分) (2014?浙江模拟)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5, 点 D 是 AB 的中点. (1)求证:AC⊥BC1; (2)求证:AC1∥平面 CDB1.

21. (12 分) (2014?芜湖模拟) 如图, E 是以 AB 为直径的半圆上异于 A、 B 的点, 矩形 ABCD 所在的平面垂直于该半圆所在的平面,且 AB=2AD=2. (1)求证:EA⊥EC; (2)设平面 ECD 与半圆弧的另一个交点为 F. ①试证:EF∥AB; ②若 EF=1,求三棱锥 E﹣ADF 的体积.

22. (12 分) (2015 秋?滕州市校级月考)已知二次函数 f(x)的最小值为 1,且 f(0)=f (2)=3. (1)求 f(x)的解析式; (2)求 x∈[﹣1,m]的值域; (3)若 f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求 a 的取值范围.

2015-2016 学年山东省枣庄市滕州二中高一 (上) 12 月月 考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.) 2 1.已知集合 A{x|x ﹣3x+2=0,x∈R },B={x|0<x<5,x∈N },则满足条件 A?C?B 的集合 C 的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【专题】集合. 【分析】先求出集合 A,B 由 A?C?B 可得满足条件的集合 C 有{1,2,},{1,2,3},{1, 2,4},{1,2,3,4},可求 【解答】解:由题意可得,A={1,2},B={1,2,3,4}, ∵A?C?B, ∴满足条件的集合 C 有{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}共 4 个, 故选 D. 【点评】本题主要考查了集合的包含关系的应用,解题的关键是由 A?C?B 找出符合条件 的集合.

2.已知 f(x)=

,则 f[f(1)]的值为(



A.﹣1 B.0 C.1 D.2 【考点】函数迭代;函数的值. 【专题】计算题. 【分析】由题意先求 f(1)的值,然后再求 f[f(1)]的值即可(注意看清要代入哪一段的 解析式,避免出错) .

【解答】解:∵f(x)=
2



∴f(1)=f(1﹣2)=f(﹣1)=(﹣1) ﹣1=0; ∴f[f(1)]=f(0)=﹣1. 故选:A. 【点评】本题考查函数值的求法,注意要由里致外逐次求解.解决分段函数的求值问题时, 一定要先看自变量在哪个范围内,再代入对应的解析式,避免出错. 3.在如图的正方体中,M、N 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点,则异面直线 AC 和 MN 所成 的角为( )

A.30° B.45° C.60° D.90° 【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】常规题型. 【分析】连接 C1B,D1A,AC,D1C,将 MN 平移到 D1A,根据异面直线所成角的定义可 知∠D1AC 为异面直线 AC 和 MN 所成的角, 而三角形 D1AC 为等边三角形, 即可求出此角. 【解答】解:连接 C1B,D1A,AC,D1C,MN∥C1B∥D1A ∴∠D1AC 为异面直线 AC 和 MN 所成的角 而三角形 D1AC 为等边三角形 ∴∠D1AC=60° 故选 C.

【点评】 本小题主要考查异面直线所成的角、 异面直线所成的角的求法, 考查空间想象能力、 运算能力和推理论证能力,考查转化思想,属于基础题. 4.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为(
2



A.y=x+1 B.y=﹣x C.y= D.y=x|x| 【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可. 【解答】解:A.y=x+1 为非奇非偶函数,不满足条件. 2 B.y=﹣x 是偶函数,不满足条件. C.y= 是奇函数,但在定义域上不是增函数,不满足条件. D.设 f(x)=x|x|,则 f(﹣x)=﹣x|x|=﹣f(x) ,则函数为奇函数, 2 当 x>0 时,y=x|x|=x ,此时为增函数,

当 x≤0 时,y=x|x|=﹣x ,此时为增函数,综上在 R 上函数为增函数. 故选:D 【点评】 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断, 要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调 性,比较基础. 5.已知一个四棱锥的高为 3,其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长 为 1 的正方形,则此四棱锥的体积为( ) A. B. C. D. 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】计算题. 【分析】 由题意通过其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为 1 的正方 形,求出四棱锥的底面面积,然后求出四棱锥的体积. 【解答】解:一个四棱锥的高为 3,其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个 边长为 1 的正方形, 则四棱锥的底面面积为:2 ,所以四棱锥的体积为: = ; 故选 D. 【点评】本题是基础题,在斜二测画法中,平面图形的面积与斜二侧水平放置的图形的面积 之比为 2 ,是需要牢记的结论,也是解题的根据.
x

2

6.函数 y=a 与 y=﹣logax(a>0,且 a≠1)在同一坐标系中的图象只可能是(



A.

B.

C.

D. 【考点】指数函数的图像与性质;对数函数的图像与性质. 【专题】数形结合. 【分析】 本题是选择题, 采用逐一排除法进行判定, 再根据指对数函数图象的特征进行判定. 【解答】解:根据 y=﹣logax 的定义域为(0,+∞)可排除选项 B, x 选项 C,根据 y=a 的图象可知 0<a<1,y=﹣logax 的图象应该为单调增函数,故不正确 x 选项 D,根据 y=a 的图象可知 a>1,y=﹣logax 的图象应该为单调减函数,故不正确 故选 A 【点评】本题主要考查了指数函数的图象,以及对数函数的图象,属于基础题.

7.长方体的一个顶点上三条棱长为 3、4、5,且它的八个顶点都在一个球面上,这个球的 表面积是( ) A.20 π B.25 π C.50π D.200π

【考点】球的体积和表面积. 【专题】计算题. 【分析】设出球的半径,由于直径即是长方体的体对角线,由此关系求出球的半径,即可求 出球的表面积. 【解答】解:设球的半径为 R,由题意,球的直径即为长方体的体对角线,则(2R) 2 2 2 2 =3 +4 +5 =50,

∴R=


2

∴S 球=4π×R =50π. 故选 C 【点评】本题考查球的表面积,球的内接体,考查计算能力,是基础题. 8.三个数 0.4 ,2 ,log0.42 的大小关系为( ) 2 0.4 2 0.4 A.0.4 <2 <log0.42 B.log0.42<0.4 <2 2 0.4 0.4 2 C.0.4 <log0.42<2 D.log0.42<2 <0.4 【考点】对数值大小的比较. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 2 0.4 【解答】解:∵0<0.4 <1,2 >1,log0.42<0, 2 0.4 ∴log0.42<0.4 <2 , 故选:B. 【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档 题. 9. 设 a, b 为两条不重合的直线, α, β 为两个不重合的平面, 下列命题中为真命题的是 ( ) A.若 a,b 与 α 所成的角相等,则 a∥b B.若 a∥α,b∥β,α∥β,则 a∥b C.若 a?α,b?β,a∥b,则 α∥β D.若 a⊥α,b⊥β,α⊥β,则 a⊥b 【考点】命题的真假判断与应用;空间中直线与直线之间的位置关系;空间中直线与平面之 间的位置关系;平面与平面之间的位置关系. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】A.根据直线 a,b 的位置关系和直线所成角的定义进行判断.B.根据线面平行和 面面平行的定义和性质进行判断.C.根据面面平行的判定定理进行判断.D.根据线面垂 直和面面垂直的定义和性质进行判断. 【解答】解:A.等腰三角形所在的平面垂直平面时,等腰三角形的两个直角边和 α 所成的 角相等,但 a∥b 不成立,∴A 错误. B.平行于平面的两条直线不一定平行,∴B 错误.
2 0.4

C.根据直线和平面的位置关系和直线平行的性质可知,当 a?α,b?β,a∥b,则 α∥β 不成 立,∴C 错误. D.根据线面垂直的性质和面面垂直的性质可知,若 a⊥α,α⊥β,则 a∥β 或 a?β, 又∵b⊥β,∴a⊥b 成立,∴D 成立. 故选:D. 【点评】 本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判断, 要求熟练掌握线面平行和垂直的 定义和性质. 10.函数 f(x)=ax +2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,4]上为减函数,则 a 的取值范围为(
2



A.0<a≤ B.0≤a≤ C.0<a< D.a> 【考点】函数单调性的性质. 【专题】计算题. 【分析】根据 a 取值讨论是否为二次函数,然后根据二次函数的性质建立不等关系,最后将 符合条件的求并集. 【解答】解:当 a=0 时,f(x)=﹣2x+2,符合题意 当 a≠0 时,要使函数 f(x)=ax +2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,4]上为减函数
2



?0<a≤

综上所述 0≤a≤ 故选 B 【点评】 本题主要考查了已知函数再某区间上的单调性求参数 a 的范围的问题, 以及分类讨 论的数学思想,属于基础题. 11.如果函数 f(x)的图象关于原点对称,在区间[1,5]上是减函数,且最小值为 3,那么 f(x)在区间[﹣5,﹣1]上是( ) A.增函数且最小值为 3 B.增函数且最大值为 3 C.减函数且最小值为﹣3 D.减函数且最大值为﹣3 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】计算题;函数思想;定义法;函数的性质及应用. 【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论. 【解答】解:由奇函数的性质可知,若奇函数 f(x)在区间[1,5]上是减函数,且最小值 3, 则那么 f(x)在区间[﹣5,﹣1]上为减函数,且有最大值为﹣3, 故选:D 【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用,比较基础. 12.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 A1B1C1,底面三角形 A1B1C1 是正三 角形,E 是 BC 中点,则下列叙述正确的是( )

A.CC1 与 B1E 是异面直线 B.AC⊥平面 ABB1A1 C.AE,B1C1 为异面直线,且 AE⊥B1C1 D.A1C1∥平面 AB1E 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【专题】证明题;综合法. 【分析】由题意,此几何体是一个直三棱柱,且其底面是正三角形,E 是中点,由这些条件 对四个选项逐一判断得出正确选项 【解答】解:A 不正确,因为 CC1 与 B1E 在同一个侧面中,故不是异面直线; B 不正确,由题意知,上底面 ABC 是一个正三角形,故不可能存在 AC⊥平面 ABB1A1; C 正确,因为 AE,B1C1 为在两个平行平面中且不平行的两条直线,故它们是异面直线; D 不正确,因为 A1C1 所在的平面与平面 AB1E 相交,且 A1C1 与交线有公共点,故 A1C1∥ 平面 AB1E 不正确; 故选 C. 【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系,解题的关键是理解清楚题设条件,根 据所学的定理, 定义对所面对的问题进行证明得出结论, 本题考查空间想象能力以及推理谁 的能力,综合性较强. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 3 13.如图是一个空间几何体的三视图,则这个几何体的体积是 10 cm .

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】由三视图知几何体为三棱锥,根据三视图的数据,利用棱锥的体积公式计算可得答 案. 【解答】解:由三视图知几何体为三棱锥,且三棱锥的高为 5, 底面为直角三角形,底面面积 S= ×3×4=6, ∴三棱锥的体积 V= ×6×5=10.

故答案是 10. 【点评】 本题考查了由三视图求几何体的体积, 解题的关键是判断几何体的形状及相关数据 所对应的几何量. 14.已知 f(x)是定义域为 R 的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x(x﹣2) ,当 x<0 时,f(x) = ﹣x(x+2) . 【考点】函数奇偶性的性质;函数解析式的求解及常用方法. 【专题】计算题;方程思想;转化法;函数的性质及应用. 【分析】利用函数的奇偶性以及已知条件的函数的解析式求法即可. 【解答】解:f(x)是定义域为 R 的奇函数,可得 f(﹣x)=﹣f(x) , 当 x>0 时,f(x)=x(x﹣2) , x<0 时,f(x)=﹣f(﹣x)=﹣[﹣x(﹣x﹣2)]=﹣x(x+2) . 故答案为:﹣x(x+2) . 【点评】本题考查函数的解析式的求法,考查计算能力. 15. 如图, 一个简单组合体的正视图和侧视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同 的图形,俯视图是一个半径为 和)等于 21π . 的圆(包括圆心) .则该组合体的表面积(各个面的面积的

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】转化思想;数形结合法;空间位置关系与距离. 【分析】 根据三视图复原的几何体是圆柱与圆锥的组合体, 结合图中数据, 求出它的表面积. 【解答】解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是下部为圆柱,上部为圆锥的组合体, 且圆柱与圆锥的底面圆半径都是 ,

它们的高分别是 2

和2

×

=3;

所以该几何体的表面积为: S=π?2? ?2 +π? +π? ?2 =12π+3π+6π=21π.

故答案为:21π. 【点评】 本题考查了利用三视图求几何体表面积的应用问题, 准确判断几何体的形状是解题 的关键.

16.有以下的五种说法: ①函数 f(x)= 的单调减区间是(﹣∞,0)∪(0,+∞) ②若 A∪B=A∩B,则 A=B=? ③已知 f(x)是定义在 R 上的减函数,若两实数 a、b 满足 a+b>0,则必有 f(a)+f(b) <f(﹣a)+f(﹣b) ④已知 f(x)= 的定义域为 R,则 a 的取值范围是[0,8)

以上说法中正确的有 ③ (写出所有正确说法选项的序号) 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】函数的性质及应用;简易逻辑. 【分析】由函数单调区间的写法判断①;利用交集和并集的运算判断②;由函数单调性的 运算判断③; 把 f(x)= 的范围判断④. 【解答】解:①函数 f(x)= 的单调减区间是(﹣∞,0) , (0,+∞)中间不能去并,命题 ①错误; ②当 A=B 时,A∪B=A∩B,A,B 不一定是 ?,命题②错误; ③已知 f(x)是定义在 R 上的减函数,若两实数 a、b 满足 a+b>0,则 a>﹣b,b>﹣a, ∴f(a)<f(﹣b) ,f(b)<f(﹣a) , ∴f(a)+f(b)<f(﹣a)+f(﹣b) ,命题③正确; ④∵f(x)= 的定义域为 R,则 ax ﹣ax+2≥0 对任意实数 x 都成立,
2

的定义域为 R 转化为则 ax ﹣ax+2≥0 对任意实数 x 都成立,求解 a

2

当 a=0 时显然满足,当 a≠0 时,有

,解得 0<a≤8.

综上,a 的取值范围是[0,8) . ∴正确的说法是③. 故答案为:③. 【点评】本题考查了命题的真假判断与应用,考查了函数定义域的求法,考查了数学转化思 想方法,是中档题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. (10 分) (2015?枣庄校级模拟)函数 的定义域为集合 A,

B=[﹣1,6) ,C={x|x<a}. (Ⅰ)求集合 A 及 A∩B; (Ⅱ)若 C?A,求 a 的取值范围. 【考点】一元二次不等式的解法;对数函数的定义域. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】 (I)利用对数函数的单调性、一元二次不等式的解法、集合的运算即可得出; (II)利用集合间的关系即可得出.

【解答】解: (Ⅰ)由题意得, ∴x ﹣3x﹣3≥1,即 x ﹣3x﹣4≥0, 解得 x≥4 或 x≤﹣1. ∴A={x|x≥4 或 x≤﹣1}, ∵B=[﹣1,6) , ∴A∩B={x|4≤x<6 或 x=﹣1}.
2 2



(Ⅱ)∵A={x|x≥4 或 x≤﹣1},C={x|x<a}, 又∵C?A ∴a 的取值范围为 a≤﹣1. 【点评】 熟练掌握对数函数的单调性、 一元二次不等式的解法、 集合的运算等是解题的关键. 18. (12 分) (2014 秋?嘉峪关校级期末)如图是一个几何体的三视图(单位:cm) . (1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法) ; (2)求这个几何体的表面积及体积.

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题. 【分析】 由三视图可以得到该几何体的直观图, 根据空间几何体的表面积和体积公式即可求 解. 【解答】解: (1)由三视图可知该几何体为平放的三棱柱,直观图为: (2)由三视图可知,该棱柱的高 BB'=3,底面等腰三角形 ABC 的底 BC=2,三角形 ABC 的高为 1, 则腰 AB=AC= ,
3

∴三棱柱的体积为 表面积为

(cm ) , =2+6+6 .

【点评】本题主要考查三视图的应用,以及三棱柱的体积和表面积公式,要求熟练掌握柱体 的体积公式和表面积公式. 19. (12 分) (2015 秋?兴宁市校级期中)定义在非零实数集上的函数 f(x)满足:f(xy) =f(x)+f(y) ,且 f(x)在区间(0,+∞)上为递增函数. (1)求 f(1) 、f(﹣1)的值; (2)求证:f(x)是偶函数; (3)解不等式 . 【考点】抽象函数及其应用. 【专题】函数思想;定义法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)利用赋值法即可求 f(1) 、f(﹣1)的值; (2)根据函数奇偶性的定义即可证明 f(x)是偶函数; (3)根据函数奇偶性,利用数形结合即可解不等式 【解答】解: (1)令 x=y=1,则 f(1)=f(1)+f(1) , ∴f(1)=0…(2 分) 令 x=y=﹣1,则 f(1)=f(﹣1)+f(﹣1) , ∴f(﹣1)=0…(4 分) (2)令 y=﹣1,则 f(﹣x)=f(x)+f(﹣1)=f(x) ,…(6 分) ∴f(﹣x)=f(x)…(7 分) ∴f(x)是偶函数 …(8 分) (3)根据题意可知,函数 y=f(x)的图象大致如右图: ∵ ,…(9 分) ∴﹣1≤2x﹣1<0 或 0<2x﹣1≤1,…(11 分) ∴ 或 …(12 分) .

【点评】 本题主要考查抽象函数的应用以及函数奇偶性的判断, 利用赋值法是解决本题的关 键. 20. (12 分) (2014?浙江模拟)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5, 点 D 是 AB 的中点. (1)求证:AC⊥BC1; (2)求证:AC1∥平面 CDB1.

【考点】直线与平面垂直的性质;直线与平面平行的判定. 【专题】综合题;空间位置关系与距离. 【分析】 (1) 利用勾股定理的逆定理可得 AC⊥BC. 利用线面垂直的性质定理可得 CC1⊥AC, 再利用线面垂直的判定定理即可证明结论; (2)利用直三棱柱的性质、正方形的性质、三角形的中位线定理即可得出 ED∥AC1,再利 用线面平行的判定定理即可证明结论 【解答】证明: (1)因为三棱柱 ABC﹣A1B1C1 为直三棱柱, 所以 C1C⊥平面 ABC,所以 C1C⊥AC. 又因为 AC=3,BC=4,AB=5, 所以 AC +BC =AB , 所以 AC⊥BC. 又 C1C∩BC=C, 所以 AC⊥平面 CC1B1B, 所以 AC⊥BC1. (2)连结 C1B 交 CB1 于 E,再连结 DE, 由已知可得 E 为 C1B 的中点, 又∵D 为 AB 的中点,∴DE 为△ BAC1 的中位线. ∴AC1∥DE 又∵DE?平面 CDB1,AC1?平面 CDB1 ∴AC1∥平面 CDB1.
2 2 2

【点评】熟练掌握勾股定理的逆定理、线面垂直的判定和性质定理、直三棱柱的性质、正方 形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理是解题的关键. 21. (12 分) (2014?芜湖模拟) 如图, E 是以 AB 为直径的半圆上异于 A、 B 的点, 矩形 ABCD 所在的平面垂直于该半圆所在的平面,且 AB=2AD=2. (1)求证:EA⊥EC; (2)设平面 ECD 与半圆弧的另一个交点为 F. ①试证:EF∥AB; ②若 EF=1,求三棱锥 E﹣ADF 的体积.

【考点】直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的性质. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】 (1) 利用面面垂直的性质, 可得 BC⊥平面 ABE, 再利用线面垂直的判定证明 AE⊥ 面 BCE,即可证得结论; (2)①先证明 AB∥面 CED,再利用线面平行的性质,即可证得结论; ②取 AB 中点 O,EF 的中点 O′,证明 AD⊥平面 ABE,利用等体积,即可得到结论. 【解答】 (1)证明:∵平面 ABCD⊥平面 ABE,平面 ABCD∩平面 ABE=AB,BC⊥AB, BC?平面 ABCD ∴BC⊥平面 ABE ∵AE?平面 ABE,∴BC⊥AE ∵E 在以 AB 为直径的半圆上,∴AE⊥BE ∵BE∩BC=B,BC,BE?面 BCE ∴AE⊥面 BCE ∵CE?面 BCE,∴EA⊥EC; (2)①证明:设面 ABE∩面 CED=EF ∵AB∥CD,AB?面 CED,CD?面 CED, ∴AB∥面 CED, ∵AB?面 ABE,面 ABE∩面 CED=EF ∴AB∥EF; ②取 AB 中点 O,EF 的中点 O′,

在 Rt△ OO′F 中,OF=1,O′F= ,∴OO′= ∵BC⊥面 ABE,AD∥BC ∴AD⊥平面 ABE

∴VE﹣ADF=VD﹣AEF=

=

=

【点评】本题考查面面垂直的性质,线面垂直的判定与性质,考查线面垂直,考查三棱锥体 积的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 22. (12 分) (2015 秋?滕州市校级月考)已知二次函数 f(x)的最小值为 1,且 f(0)=f (2)=3. (1)求 f(x)的解析式;

(2)求 x∈[﹣1,m]的值域; (3)若 f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求 a 的取值范围. 【考点】二次函数的性质. 【专题】分类讨论;分析法;函数的性质及应用. 2 【分析】 (1)由题意可得 f(x)在 x=1 时,取得最小值 1,设二次函数 f(x)=a(x﹣1) +1, 代入 x=0,y=3,解得 a 的值,即可得到 f(x)的解析式; (2)求出对称轴 x=1,讨论对称轴和区间的关系,结合单调性求得最值,即可得到所求值 域; (3)求得对称轴 x=1,可得 2a<1<a+1,解不等式即可得到所求范围. 【解答】解: (1)由题意可得 f(x)在 x=1 时,取得最小值 1, 2 设二次函数 f(x)=a(x﹣1) +1, 由 f(0)=3,可得 a+1=3,解得 a=2, 则 f(x)=2(x﹣1) +1,即为 f(x)=2x ﹣4x+3: 2 (2)由 f(x)=2(x﹣1) +1 可得对称轴为 x=1, 当﹣1≤m≤1 时,区间[﹣1,m]为减区间,f(﹣1)取得最大值,且为 9, 2 f(m)取得最小值,且为 2m ﹣4m+3; 当 1<m≤3 时,f(1)取得最小值,且为 1,f(﹣1)取得最大值,且为 9; 当 m>3 时,f(x)在(﹣1,1)递减,在(1,m)递增, 2 即有 f(1)取得最小值 1,f(m)取得最大值,且为 2m ﹣4m+3. 2 综上可得,当﹣1≤m≤1 时,f(x)的值域为[2m ﹣4m+3,9]; 当 1<m≤3 时,f(x)的值域为[1,9]; 2 当 m>3 时,f(x)的值域为[1,2m ﹣4m+3]; 2 (3)由 f(x)=2(x﹣1) +1 可得对称轴为 x=1. f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,可得 2a<1<a+1, 解得 0<a< . 则 a 的取值范围是(0, ) . 【点评】本题考查二次函数的解析式的求法和值域问题,以及单调性的判断,考查分类讨论 的思想方法,考查运算能力,属于中档题.
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2016 年 1 月 15 日


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