浙江省杭州市2016届高三上学期七校联考期中试题

2015 学年第一学期期中杭州地区七校联考 高三年级数学（理） 试 题
考生须知： 1．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟； 2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。 一. 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1、已知全集 U ? R ， M ? x ? 2 ? x ? 2} ， N ? x x ? 1 } ，那么 M ? N ? （ ▲ ） A． x ? 2 ? x ? 1 } 2、函数 f ? x ? ? x ? cos ?
3

?

?

?

B． x ? 2 ? x ? 1 }

?

C． x x ? ?2}

?

D ． x x ? 2}

?

?? ? ? x ? ? 1 ，若 f ? a ? ? 2 , 则 f ? ?a ? 的值为（ ▲ ） ?2 ?
C. ?1 ”是“ sin A ? D. ?2

A. 3

B. 0

3、在 ?ABC 中， “A? A.充分不必要条件
x

?
3

3 ”的（ ▲ ） 2
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

B.必要不充分条件
?x

4、若函数 f ? x ? ? ka ? a (a ? 0且a ? 1) 在 R 上既是奇函数又是增函数， 则函数 g ? x ? ? loga ? x ? k ? 的图像是（ ▲ ）

5 、已知函数 y ? 4 sin(2x ?

?

? 7? ? )， x ? ?0, ? 的图像与直线 y ? m 有三个交点，其横坐标分别为 6 ? 6 ?

x1 , x2 , x3 ? x1 ? x2 ? x3 ? ，那么 x1 ? 2 x2 ? x3 的值是（ ▲ ）
A.

3? 4

B.

4? 3

C.

5? 3
·1·

D.

3? 2

6、在 ?ABC 中， a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边，且 cos 2B ? cos B ? cos ?C ? A? ? 1 , 则（ ▲ ） A. a, b, c 成等比数列 C. a, c, b 成等比数列 B. a, b, c 成等差数列 D. a, c, b 成等差数列
2

7、已知点 A、B、C 为直线 l 上不同的三点，点 O ? l ，实数 x 满足关系式 x OA ? 2 xOB ? OC ? 0 ， 则下列结论中正确的个数有（ ▲ ） ①. OB ? OA ? OC ? 0 ④. x 的值有两个 A. 1 个 B. 2 个

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?2 ??? ? ??? ?

②. OB ? OA ? OC ? 0 ⑤.点 B 是线段 AC 的中点 C. 3 个
2

??? ?2 ??? ? ??? ?

③. x 的值有且只有一个

D. 4 个
2 Sn ? ma12 对任意等差数列 ?an ? 及任意正整数 n 都 2 n

8、记数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ，若不等式 an ? 成立，则实数 m 的最大值为（ A. ▲ ） C.

1 2

B.

1 3

1 4

D.

1 5

二. 填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 5 分，共 38 分。 9、计算： log 2

2 ? 2

▲

，2

log 2 3? log 4 3

?

▲

．

10、记公差 d 不为 0 的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , S3 ? 9, a3 , a5 , a8 成等比数列， 则公差 d = ▲ ；数列 {an } 的前 n 项和为 Sn = ▲ ；

? 3x ? y ? 0 ? ? 11、已知点 A(3, 3) ， O 为坐标原点，点 P ( x, y ) 满足 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 , ? y?0 ? ?
则满足条件点 P 所形成的平面区域的面积为 ▲ ▲ 。 ,

??? ? ??? ? 则 OP 在 OA 方向上的投影的最大值是

12 、 已 知 函 数 f ( x ? 1) 是 偶 函 数 , 且 满 足 f ? x ? 1? ?

1 ， 当 2 ? x2 ? x1 ? 1 时 ， f ? x?

[ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ]x( 2 ? x1 ) ? 0 恒成立，设 a ? f (?2016) ， b ? f (2015) ， c ? f (? ) ，则 a ，b ，
·2·

c 的大小关系为

▲

。

13、设 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c ，三角形的面积为 S ， 若 S ? a 2 ? (b ? c) 2 ，则

sin A = 1 ? cos A

▲

。

14、在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB 平行 CD ， AB ? 2, BC ? 1, ?ABC ? 60? , 动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且 BE ? ? BC , DF ? 则 AE ? AF 的最小值为

??? ?

??? ? ????

1 ???? DC , 9?

??? ? ??? ?

▲

。

15、已知函数 f ? x ? 定义域为 R ，若存在常数 M ，使 | f ? x ? |? M | x | 对一切实数均成立， 则称 f ? x ? 为 F 函数，给出下列函数：
0

① f ? x ? ? 0 ；② f ? x ? ? x2 ；③ f ? x ? ? sin x ? cos x ；④ f ? x ? ?

x ； x ? x ?1
2

⑤ f ? x ? 是定义域在 R 上的奇函数，且满足对一切实数均有 | f ? x1 ? ? f ? x2 ? |?| x1 ? x2 | 。 其中是 F 函数的序号为
0

▲

。 （少选或多选一律不给分）

三. 解答题：本大题共 5 题，共 73 分。解答应写出相应文字说明，证明过程或演算步骤。 16、 （本题满分 14 分） 在 ?ABC 中，角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c ，且 (I)、求角 A 的值； (II)、若 a ? 10, b ? c ? 5 时，求 ?ABC 的面积。 17、 （本题满分 14 分）

sin B sin C cos B , , 成等差数列 sin A sin A cos A

n x? 已 知 向 量 a ? ?s i ?

?

c?o xs

? s i? n b ?, x

?

?

? , ?x s i?n x

c o， ? s设 x函 , 2数 3 c o s

?

f

? x ??

? ? ?1 ? a ? ? b ?的图像关于直线 x ? ? 对称，其中 ? , ? 为常数，且 ? ? ? ,1? 。 ?2 ?

(I)、求函数 f ? x ? 的最小正周期及单调减区间； (II)、若 y ? f ?x ? 的图像经过点 ? 求实数 t 的取值范围。
·3·

? ?? ? ? 3? ? ? , 0 ? ，若集合 A ? ? x f ? x ? ? t , x ? ?0, ? ? 仅有一个元素， ?5 ? ? 5 ?? ?

18、 （本题满分 14 分） 在平行四边形 ABCD 中， M , N 分别是线段 AB, BC 的中点，且 DM ? 1, DN ? 2,

?MDN ?

?
3

;

(I)、试用向量 AB, AD 表示向量 DM , DN ; (II)、求 AB , AD ； (III)、设 O 为 ?ADM 的重心（三角形三条中线的交点） ，若 AO ? xAD ? yAM ， 求 x, y 的值。

??? ? ????

???? ? ????

??? ? ????

????

????

???? ?

19、 （本题满分 15 分） 已知等比数列 ?an ? 的公比为 q ? 0 ? q ? 1? ，且 a2 ? a5 ? （I） 、求数列 ?an ? 的通项公式； （II） 、若 bn ? an ? ? log2 an ? ，求 bn 的前 n 项和 Tn ； （III） 、设该等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ，正整数 m, n 满足 求出所有符合条件的 m, n 的值． 20、 （本题满分 15 分）
2 ? ? x ? ax ? 1, x ? a 已知函数 f ? x ? ? ? x x ?a ? ?4 ? 4 ? 2 , x ? a

9 1 , a3a4 ? ． 8 8

Sn ? m 1 ? ， S n ?1 ? m 2

（I） 、若 x ? a 时， f ? x ? ? 1 恒成立，求实数 a 的取值范围； （II） 、若 a ? ?4 时，函数 f ? x ? 在实数集 R 上有最小值，求实数 a 的取值范围。

2015 学年第一学期期中杭州地区七校联考 高三年级数学（理科）参考答案

一. 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 题号 1 2 3 4
·4·

5

6

7

8

答案

A

B

B

C

C

A

B

D

二. 填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 5 分，共 38 分。 9、 第一问

2 ，第二问 3 3 ，每空 3 分 2
n2 ? 3n ，每空 3 分 2

10、 11、 12、 13、 14、 15、

第一问 1 ，第二问

第一问 3 ，第二问 3 ，每空 3 分

b ? a ? c （或者 a ? c ? b ）
4

29 18
①④⑤（多选或少选都不给分）

三. 解答题：本大题共 5 题，共 73 分。解答应写出相应文字说明，证明过程或演算步骤。 16、 （本题满分 14 分） （I） 、由

sin B sin C cos B sin B cos B sin C , , ? ?2 成等差数列知 sin A sin A cos A sin A cos A sin A

法 1 ? sin B cos A ? cos B sin A ? 2sin C cos A ? sin( B ? A) ? sin C ? 2sin C cos A 所以 cos A ?

1 ? ? A ? ------------------------------------------------------------------------------6 分 2 3

a 2 ? c 2 ? b2 ? a 2 ? c 2 ? b2 ? b c 法 2 ? ? 2 2ac ? 2 ? b ? 2c ? b2 ? c 2 ? a 2 ? bc ?1 ? 2 2 2 2 2 ? a b ?c ?a a ? b ?c ?a ? 2bc
所以 cos A ?

1 ? ? A ? ------------------------------------------------------------------------------6 分 2 3
2

2 2 2 (II)、由余弦定理知 a ? b ? c ? bc ? ? b ? c ? ? 3bc ------------------------------------------8 分

代入 a ? 10, b ? c ? 5 得 bc ? 5 -------------------------------------------------------------------11 分 所以 S ?

1 5 3 bc sin A ? -----------------------------------------------------------------------14 分 2 4

·5·

17、 （本题满分 14 分）

? ? f ? x ? ? a ? b ? ? ? ? sin ? x ? cos ? x ?? sin ? x ? cos ? x ? ? 2 3 sin ? x cos ? x ? ?

?? ? ? 3 sin 2? x ? cos 2? x ? ? ? 2sin ? 2? x ? ? ? ? ------------------------------------------2 分 6? ?
由 f ? x ? 的图像关于直线 x ? ? 对称知

2?? ?

?
6

?

?

5 ?1 1 ? ?1 ? ? k? ? ? ? ? ? k ? ? ? ,1? , k ? Z ,所以 ? ? ----------------------------4 分 6 2 ?3 2 ? ?2 ?

（I） 、所以 f ? x ? ? 2sin ?

?? 2? 6? ?5 ---------------------6 分 x ? ? ? ? ，其最小正周期 T ? ? 5 6? 5 ?3 3

单调减区间为 ?

6k? ? ? 2? 6k? ? ,? ? , k ? Z (不用区间或集合表示扣 1 分) --------------8 分 5 5 ? ? 5 ?

（I I） 、 y ?f x?

? 的图像经过点 ? ?

? ,0?得 ?5 ?

?

? ?? ? f ? ? ? 2sin ? ? ? 0 ? ? ? ?1--------10 分 6 ?5?

数形结合知实数 t 的取值范围为 t ? 1 或 ?2 ? t ? 0 ---------------------------------------------14 分

18、 （本题满分 14 分） （I）、 DM ?

???? ?

? ???? ???? ??? ? 1 ???? 1 ??? AB ? AD, DN ? AB ? AD ---------------------------------------------------4 分 2 2 ???? ? ??? ? 2 ???? 4 ???? DN ? DM , AB ? 3 3 ? 4 ???? 2 ???? DN ? DM -----------------------------6 分 3 3

(II)、由（I）知 AD ?

???? ? ?2 4 ??? ? ? ?2 2 ? 2 ???? 4 ???? ? 4 ???? 2 ???? 13 -----------10 分 所以 AD ? ? DN ? DM ? ? , AB ? ? DN ? DM ? ? 3 3 3 3 ?3 ? ?3 ? ???? ???? ???? ? ? (III)、由重心性质知： AO ? DO ? MO ? 0 所以 ? ???? ???? ? ??? ? ???? ???? ???? ???? ? ???? 0 ? xAD ? y AM ? OA ? x AO ? DO ? y AO ? MO ? AO ???? ???? ???? ? ? ? x ? y ? 1? AO ? ? ? x ? DO ? ? ? y ? MO

?

? ?

?

所以 ? x ? y ? 1? : ? ? x ? : ? ? y ? ? 1:1:1 ? x ? y ?

1 --------------------------------------------14 分 3

19、 （本题满分 15 分）

?1? （I）、数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? ? ?2?

n?2

------------------------------------------------------4 分
·6·

（II）、 bn ? an ? ? log 2 an ? ? （III）、 Sn ? 4 ?1 ?

? 2 ? n ? 错位相减法得 T
2
n?2

n

?

n 2
n?2

---------------------------9 分

? ?

S ?m 1 1? ，由 n ? ? 2 ? 2n ? 4 ? m ? ? 6 -------------------11 分 n ? Sn?1 ? m 2 2 ?

2n ? 4 ? m? 为偶数，因此只能取 2n ? 4 ? m? ? 4 ,
? 2n ? 2 ?2 n ? 4 ?n ? 1 ?n ? 2 所以有 ? ---------------------------------------15 分 ?? ?? ?? ?4 ? m ? 2 ?4 ? m ? 1 ?m ? 2 ?m ? 3
（采用特殊值求出答案最多给 2 分，即每组答案 1 分）

20.（本小题满分 15 分） 解: （1）因为 x ? a 时, f ( x) ? 4 x ? 4 ? 2 x?a ，所以令 2 ? t ,则有 0 ? t ? 2 ,
x a

所以 f ( x) ? 1 当 x ? a 时恒成立，可转化为 t ? 4 ?
2

t ? 1， 2a

即

4 1 ? t ? 在 t ? (0,2 a ) 上恒成立, -------------------------------------------------------------2 分. a t 2 1 t
a

a 令 g (t ) ? t ? , t ? (0,2 ) ,所以 g (t ) ? t ? 在 (0,2 ) 上单调递增, ------------------------3 分.

1 t

所以 g (t ) ? g (2 ) ? 2 ?
a a

1 4 1 a ,所以有: a ? 2 ? a . a 2 2 2

?

5 ? 2 a ? (2 a ) 2 ? 5 ? 2 a ? 5 ----------------------------------------------------------4 分. 2a

? a ? log2 5 .--------------------------------------------------------------------------------------5 分.
2 （2）当 x ? a 时， f ( x) ? x ? ax ? 1 ，即 f ( x) ? ( x ?

a 2 a2 ) ?1? 2 4

①当

a ? a ? a ? 0 时，此时对称轴在区间左侧,开口向上,所以 f ( x) 在 [a,??) 单调递增, 2

所以 f ( x) min ? f (a) ? 1 ；-------------------------------------------------------------------------6 分. ②当

a a ? a ? ?4 ? a ? 0 时, 此时对称轴在区间内,开口向上,所以 f ( x) 在 [a, ) 递减, 2 2

在 ( ,?? ) 单调递增,所以 f ( x) min ? f ( ) ? 1 ?

a 2

a 2

a2 .---------------------------------------7 分. 4

·7·

所以由①②可得: 当 x ? a 时有: f ( x) min
x

? a2 ? 1? ,?4 ? a ? 0 .-------------------------8 分. ?? 4 ? a?0 ?1,

当 x ? a 时， f ( x) ? 4 x ? 4 ? 2 x?a ,令 2 ? t , t ? (0,2 a ) ， 则 h(t ) ? t ?
2

4 2 4 t ? (t ? a ) 2 ? a , a 2 2 4

③当 0 ?

2 1 2 2 ? 2 a ? 2 2 a ? 2 ? a ? 时， h(t ) 在 (0, a ) 递减，在 ( a ,2 a ) 上递增 a 2 2 2 2 2 4 ) ? ? a ；-----------------------------------------------------------------------9 分. a 2 4

h(t ) min ? h(
④当

2 1 ? 2 a ? 2 2 a ? 2 ? a ? 时， h(t ) 在 (0,2 a ) 递减, a 2 2

h(t ) ? (h(2 a ), h(0)) ? (4 a ? 4,0)
所以,此时, h(t ) 在 (0,2 a ) 上无最小值; -----------------------------------------------------------10 分. 所以由③④可得当 x ? a 时有:当 a ? 当a ? 所以,由①②③④可得: 当a ?

1 4 时, f ( x ) min ? h(t ) min ? ? a ; 2 4 1 时,无最小值.----------------- ------------------------11 分. 2

1 4 4 时，因为 ? a ? 1 ,所以函数 f ( x ) min ? ? a ;-------------------------------------12 分. 2 4 4 1 a 时， 因为 4 ? 4 ? 0 ? 1 ，函数 f ( x) 无最小值; -----------------------------13 分. 2
a

当0 ? a ?

当 ? 4 ? a ? 0 时， 4 ? 4 ? ?3 ? 1 ? 综上，当 a ?

a2 ，函数 f ( x) 无最小值.--------- ----------------14 分. 4

1 4 1 时，函数 f ( x) 有最小值为 ? a ；当 ? 4 ? a ? 时，函数 f ( x) 无最小值． 2 2 4 1 2

所以函数 f ( x) 在实数集 R 上有最小值时，实数 a 的取值范围为 ( ,?? ) .--------------15 分.

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·8·