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千题百炼——高考数学100个热点问题(一):第23炼 恒成立问题——数形结合法 Word版含解析


第 23 炼 恒成立问题——数形结合法
一、基础知识: 1、函数的不等关系与图像特征: (1)若 ?x ? D ,均有 f ? x ? ? g ? x ? ? f ? x ? 的图像始终在 g ? x ? 的下方 (2)若 ?x ? D ,均有 f ? x ? ? g ? x ? ? f ? x ? 的图像始终在 g ? x ? 的上方 2、在作图前,可利用不等式的性质

对恒成立不等式进行变形,转化为两个可作图的函数 3、要了解所求参数在图像中扮演的角色,如斜率,截距等 4、作图时可“先静再动” ,先作常系数的函数的图像,再做含参数函数的图象(往往随参数 的不同取值而发生变化) 5、在作图时,要注意草图的信息点尽量完备 6、什么情况下会考虑到数形结合?利用数形结合解决恒成立问题,往往具备以下几个特点: (1)所给的不等式运用代数手段变形比较复杂,比如分段函数,或者定义域含参等,而涉及 的函数便于直接作图或是利用图像变换作图 (2)所求的参数在图像中具备一定的几何含义 (3)题目中所给的条件大都能翻译成图像上的特征 二、典型例题: 例 1:已知不等式 ? x ? 1? ? log a x 在 x ? ?1, 2? 上恒成立,则实数 a 的取值范围是_________
2

思路:本题难于进行参变分离,考虑数形结合解决,先作出 y ? ? x ? 1? 的图像,观察图像可
2

得 : 若 要 使 不 等 式 成 立 , 则 y ? loga x 的 图 像 应 在

y ? ? x ? 1? 的上方,所以应为单增的对数函数,即 a ? 1 ,
2

另一方面,观察图像可得:若要保证在 x ? ?1, 2? 时不等式 成立,只需保证在 x ? 2 时, ? x ? 1? ? log a x 即可,代入
2

x ? 2 可得: 1 ? loga 2 ? a ? 2 ,综上可得: 1 ? a ? 2
答案: 1 ? a ? 2 小炼有话说: (1)通过常系数函数图像和恒成立不等式判断出对数函数的单调性,进而缩小 了参数讨论的取值范围。

-1-

(2)学会观察图像时要抓住图像特征并抓住符合条件的关键点(例如本题中的 x ? 2 ) (3)处理好边界值是否能够取到的问题 例 2:若不等式 loga x ? sin 2 x(a ? 0, a ? 1) 对于任意的 x ? ? 0, 范围是___________ 思路:本题选择数形结合,可先作出 y ? sin 2 x 在 x ? ? 0,

? ?? ? 都成立,则实数 a 的取值 ? 4?

? ?? ? 的图像, a 扮演的角色为对数的 ? 4?

底数,决定函数的增减,根据不等关系可得 0 ? a ? 1 ,观察图像进一步可得只需 x ?

?
4

时,

loga x ? sin 2 x , 即 l o g a
?? ? a ? ? ,1? ?4 ?
答案: a ? ?

?

? sin ?2 ? 4 4

?

? 1 a

? ,所以 4

?

?? ? ,1? ?4 ?

例 3:若不等式 x ? x ? 2c ? 1对任意 x ? R 恒成立,求 c 的取值范围 思路:恒成立不等式变形为 x ? 2c ? 1 ? x ,即 y ? x ? 2c 的图像在 y ? 1 ? x 图像的上方即 可, 先作出 y ? 1 ? x 的图像, 对于 y ? x ? 2c , 可看作 y ? x 经过平移得到, 而平移的距离与 c 的取值有关。 通过观察图像, 可得只需 2c ? 1 ,解得: c ? 答案: c ?

1 2

1 2

小炼有话说: 在本题中参数 c 的作用是决定图像平移变换的程度, 要抓住参数在图像中的作用, 从而在数形结合中找到关于参数的范围要求
2 例 4:若 | p |? 2 ,不等式 x ? px ? 1 ? 2 p ? x 恒成立,则 x 的取值范围是______

思路:本题中已知 p 的范围求 x 的范围,故构造函数时可看作关于 p 的函数,恒成立不等式 变形为

? x ? 2? p ? x2 ? x ? 1 ? 0 ,设 f ? x? ? ? x ? 2? p ? x2 ? x ? 1? ?2 ? p ? 2? ,即关于 p

的一次函数,由图像可得:无论直线方向如何,若要 f ? x ? ? 0 ,只需在端点处函数值均大于

-2-

0 即可,即 ?

? 1? 1 3 ? f ? 2? ? 0 ,解得: x?? 或 2 f ? 2 ? 0 ? ? ? ?

x?

?1 ? 13 2 1 ? 13 ?1 ? 13 或x? 2 2

答案: x ? ?

小炼有话说: (1)对于不等式,每个字母的地位平等,在构造函数时哪个字母的范围已知, 则以该字母作为自变量构造函数。 (2)线段的图像特征:若两个端点均在坐标轴的一侧,则线段上的点与端点同侧。 (3)对点评(2)的推广:已知一个函数连续且单调,若两个端点在坐标轴的一侧,则曲线 上所有点均与端点同侧 例 5:已知函数 f ? x ? ? x ? mx ? 1 ,若对任意的 x ? ?m, m ? 1? ,都有 f ? x ? ? 0 成立,则实
2

数 m 的取值范围是_____________ 思路:恒成立的不等式为 x ? mx ? 1 ? 0 ,如果进行参变分离,虽可解决问题,但是因为 x 所
2

在区间含参, m 的取值将决定分离时不等号方 向是否改变,需要进行分类讨论,较为麻烦。 换一个角度观察到 f ? x ? 是开口向上的抛物线, 若要 f ? x ? ? 0 ,只需端点处函数值小于零即可 m m+1

? 2 2 2 ? ?m? ? ? ? f ? m ? ? 2m ? 1 ? 0 ? 2 2 , (无论对称轴是否在区间内) ,所以只需 ? ?? 2 ? ? f ? m ? 1? ? 2m ? 3m ? 0 ? ? 3 ? m ? 0 ? ? 2
解得 m ? ? ?

? ?

2 ? ,0 ? 2 ?

答案: ? ?

? ?

2 ? ,0 ? 2 ?

小炼有话说:本题也可以用最值法求解:若 f ? x ? ? 0 ,则 f ? x ?max ? 0 ,而 f ? x ? 是开口向

-3-

上的抛物线,最大值只能在边界处产生,所以 ?

? ? f ?m? ? 0 ,再解出 m 的范围即可 f m ? 1 ? 0 ? ? ? ?

例 6 :已知函数 f ? x ? ? x 1 ? a x ,设关于 x 的不等式 f ? x ? a? ? f ? x? 的解集为 A ,若

?

?

? 1 1? ? , ? A ,则实数 a 的取值范围是_____________ ? ? 2 2? ?
思路:首先理解条件 ? ? , ? ? A ,即 ?x ? ? , ? 2 2 ? 时,不等式 f ? x ? a ? ? f ? x ? 恒成立, 2 2 可判断出函数 f ? x ? 为奇函数,故先作出 x ? 0 的图像, 即 y ? ax 2 ? x ,参数 a 的符号决定开口方向与对称轴。 故分类讨论:当 a ? 0 时, y ? ax2 ? x 单调递增,且 观察图像可得不 f ? x ? a ? 为 f ? x ? 向左平移 a 个单位, 存在满足条件的 a , 当 a ? 0 时,y ? ax 2 ? x 开口向下, 且 f ? x ? a ? 为 f ? x ? 向右平移 a 个单位,观察可得只需 x ?

? 1 1? ? ?

? 1 1? ? ?

1 1 , x ? ? , f ? x ? a? ? f ? x? , 2 2

? ?f ? ? 1 1? 即可保证 x ? ? , , f ? x ? a ? 的图像始终在 f ? x ? 的下方。? ? ? ? ? 2 2? ?f ? ?
1? 5 ? a ? 0 ;当 a ? 0 时,代入验证不符题意。 2
答案:

1? ? ? a ? ? ? f ? x? 2? ? 解得: 1? ? ? a ? ? ? f ? x? 2? ?

1? 5 ?a?0 2

小炼有话说: (1)注意本题中“恒成立问题”的隐含标志:子集关系 (2)注意函数奇偶性对作图的影响 (3)本题中参数 a 扮演两个角色:① f ? x ? 二次项系数——决定抛物线开口,② 决定二次 函数对称轴的位置; ③ 图像变换中决定平移的方向与幅度,所以要进行符号的分类讨论。 例 7:已知函数 f ? x ? ? ? a ?

? ?

1? 2 ? x ? 2ax ? ln x .当 x ? ?1,+?? 时,不等式 f ? x ? ? 0 恒成立, 2?

则实数 a 的取值范围是________
-4-

思路:所证不等式可转化为 ? a ?

? ?

1 1? 2 ? x ? 2ax ? ? ln x ,作出 y ? ? ln x 的图像,当 a ? 2 时 a 2?

的取值决定 y ? ? a ?

? ?

1? 2 ? x ? 2 ax 的开口,观察可得 2?

a?

1 1? ? ? 0 ,且 x ? 1 时, ? a ? ? x 2 ? 2ax ? ? ln x 即 2 2? ?

1 ? a ? ?0 ? 1 1 ? 2 ?? ?a? 可,? ? 2 2 ? a ? 1 ? 2a ? 0 ? ? 2
当a ?

1 时,不等式为 ln x ? x ? 0 ,可证明其成立 2

答案: a ? ?

? 1 1? , ? ? 2 2? ?

小炼有话说:原不等式无法直接作出图像,则考虑先变形再数形结合,其原则为两个函数均 可进行作图。
2 例 8:设 a ? R ,若 x ? 0 时均有 ? ?? a ? 1? x ? 1? ?? ? x ? ax ? 1? ? ? 0 ,则 a ? _________

思路:本题如果考虑常规思路,让两个因式同号去解 a 的值(或 范围) ,则不可避免较复杂的分类讨论,所以可以考虑利用图像 辅 助 解 决 。 将 两 个 因 式 设 为 函 数 : f ? x ? ? ? a ?1? x ?1 ,

g ? x ? ? x2 ? ax ?1 ,则在图像上要求这两个函数同时在 x 轴的
上方与下方。这两个函数在图像上有公共定点 ? 0, ?1? ,且 g ? x ? 为开口向上的抛物线。所以

f ? x ? 的斜率必大于 0,即 a ? 1 ,通过观察图像可得: f ? x ? 与 g ? x ? 与 x 轴的交点必须重合。
1 1 ? 1 ? ? 1 ? f ? x? ? 0 ? x ? ,所以 g ? ?0?? ?a? ? 1 ? 0 ,解得: a ? 0 (舍) ? ? a ?1 a ?1 ? a ?1 ? ? a ?1 ?
或a ?
2

3 2 3 2

答案: a ?

小炼有话说: (1)在处理不等式的问题时要有两手准备,一是传统的代数方法,二是通过数 形结合的方式。要根据题目选择出合适的方法。对于数形结合而言,要求已知条件与所求问
-5-

题都具备一定的图像特征。所以在本题中一旦确定了使用图像,则把条件都翻译为图像上的 特点。 (2) 本题中隐藏的公共定点是本题的一个突破口, 这要求我们对于含参的函数 (尤其是直线) , 要看是否具备过定点的特征。 例 9 : (2015 山 东 烟 台 高 三 一 模 ) 已 知 f ? x ? ? ?
2 ? ? x ? 4 x ? 3, x ? 0 ,不等式 2 ? x ? 2 x ? 3, x ? 0 ? ?

f ? x? ? a ? ?f 2
A.

a ??在 x?a, a ? 1? 上恒成立,则实数 a 的取值范围是(
B.

)

? ??, ?2?

? ??,0?

C.

? 0,2 ?

D.

? ?2,0?

思路:本题有两个难点,一是所给区间含参,一个是 ? x ? a ? 与 ? 2a ? x ? 很难确定其范围,从 而 f ? x ? a ? 与 f ? 2a ? x ? 无法化成解析式。但由于所给不 等式可视为两个函数值的大小,且分段函数图像易于作出, 所以考虑作出 f ? x ? 图像,看是否存在解题的突破口。通过 图像可以看出虽然 f ? x ? 是分段函数, 但是图像连续且单调 递减。所以 f ? x ? 是 R 上的减函数。那么无论 ? x ? a ? 与

? 2a ? x ?

位 于 哪 个 区 间 , 由 f ? x ? a ? ? f ? 2a ? x ? 及 单 调 性 均 可 得 到 : 只 需

x ? a ? 2a ? x ? a ? 2 x ,所以 a ? ? 2x ?max ? 2 ? a ? 1? ,解得 a ? ?2
答案:A 例 10 : 已 知 函 数

f ? x? 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 当 x ? 0 时 ,

f ? x? ?

1 x ? a 2 ? x ? 2a 2 ? 3a 2 2

?

?

,若 ?x ? R, f ? x ? 1? ? f ? x ? ,则实数 a 的取值范围

是_____________ 思路:f ? x ? 是奇函数且在 x ? 0 时是分段 函数(以 a ,2a 为界) ,且形式比较复杂, 恒成立的不等式 f ? x ? 1? ? f ? x? 较难转 化为具体的不等式,所以不优先考虑参变 分离或是最值法。 从数形结合的角度来看,
2 2

-6-

一方面 f ? x ? 的图像比较容易作出, 另一方面 f ? x ? 1? 可看作是 f ? x ? 的图像向右平移一个单 位所得,相当于也有具体的图像。所以考虑利用图像寻找 a 满足的条件。先将 f ? x ? 写为分段

? x ? 3a 2 , x ? 2a 2 ? 函数形式: f ? x ? ? ? ?a 2 , a 2 ? x ? 2a 2 ,作出正半轴图像后再根据奇函数特点,关于原点对 ? ? x,0 ? x ? a 2 ?
称作出 x 负半轴图像。 f ? x ? 1? ? f ? x ? 恒成立,意味着 f ? x ? 的图像向右平移一个单位后, 其图像恒在 f ? x ? 的下方。通过观察可得在平移一个单位至少要平移 6a 个长度,所以可得:
2

6a 2 ? 1 ? ?
? ?

6 6 ?a? 6 6

答案: ? ?

6 6? , ? 6 6 ?

-7-


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