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上海市杨浦区控江社区2015届高考数学模拟试卷(5月份)


上海市杨浦区控江社区 2015 届高考数学模拟试卷(5 月份)
一.填空题(每小题 4 分.共 56 分) 1. (4 分)函数 的定义域为.

2. (4 分)若

,则 x+y=.

3. (4 分)不等式

的解集为.

4. (4 分)若 sinx= ,

>
,则 x=. (结果用反三角函数表示)

5. (4 分)方程|lgx|+x﹣3=0 实数解的个数是. 6. (4 分)在极坐标系中,直线 ρ(2cosθ+sinθ)=2 与直线 ρcosθ=1 的夹角大小为. (结果用反 三角函数值表示) 7. (4 分)若多面体的各个顶点都在同一球面上,则称这个多面体内接于球.如图,设长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 内接于球 O,且 AB=BC=2, ,则 A、B 两点之间的球面距离为.

8. (4 分)已知 x 是 1、2、x、4、5 这五个数据的中位数,又知﹣1、5、 的平均数为 3,则 x+y 最小值为.

、y 这四个数据

9. (4 分)设 x =a1(x﹣4) +a2(x﹣2) +a3(x﹣4) +a4(x﹣2) +a5(x﹣4)+a6,其中 a1, a2,…,a6 均为实数,则 a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6=.

5

5

4

3

2

10. (4 分)在三行三列的方阵

中有 9 个数 aij(i=1,2,3;j=1,2,3) ,从中

任取三个数,则三个数中任两个不同行不同列的概率是. (结果用分数表示) 11. (4 分)在空间四边形 ABCD 中,点 E,F 分别是 AC,BD 的中点 AB=CD=6,AB 与 CD 所成的角为 60 度,则 EF 的长为.

12. (4 分) 定义点 P 对应到点 Q 的对应法则:

, (m≥0,

n≥0) ,则按定义的对应法则 f,当点 P 在线段 AB 上从点 A(4,0)开始运动到点 B(0,4) 时,可得到 P 的对应点 Q 的相应轨迹,记为曲线 E,则曲线 E 上的点与线段 AB 上的点之间 的最小距离为.

13. (4 分)已知函数

,图象的最高点从左到右依次记为 P1,

P3,P5,…,函数 y=f(x)图象与 x 轴的交点从左到右依次记为 P2,P4,P6,…,设 Sn= + + + …+

,则

=.

14. (4 分) 把 an=4n﹣1 中所有能被 3 或 5 整除的数删去, 剩下的数自小到大排成一个数列{bn}, 则 b2013=.

二.选择题(每小题 5 分,共 20 分) 15. (5 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,当 a1,d 变化时,若 a2+a8+a11 是一个定值,那么 下列各数中也为定值的是() A.S13 B.S15 C. S7 D.S8 , B={z||z|=1, z∈C}, 若 A∩B=?, C.(﹣1,0)∪(0,1) D. [﹣1, 0) ∪ (0,

16. (5 分) 已知集合 A= 则 b 的取值范围是() A.(﹣1,1) B.[﹣1,1] 1]

17. (5 分)已知 θ 为三角形的一个内角,且 sinθ+cosθ= ,则方程 x sinθ﹣y cosθ=1 表示() A.焦点在 x 轴上的椭圆 C. 焦点在 x 轴上的双曲线 B. 焦在点 y 轴上的椭圆 D.焦点在 y 轴上的双曲线

2

2

18. (5 分)已知 y=f(x)是定义域为 R 的单调函数,且 x1≠x2,λ≠﹣1, α= A.λ<0 ,若|f(x1)﹣f(x2)|<|f(α)﹣f(β)|,则() B.λ=0 C.0<λ<1 D.λ>1

三.解答题. 19. (12 分)已知函数 f(x)=sin .

(1)将 f(x)写成 Asin(ωx+φ)+h(A>0)的形式,并求其图象对称中心的横坐标;

(2)若函数 f(x)的定义域为

,求函数 f(x)的值域.

20. (14 分)如图,已知 PA⊥平面 ABC,AC⊥AB,AP=BC=2,∠CBA=30°,D,E 分别是 BC,AP 的中点. (1)求异面直线 AC 与 ED 所成的角的大小; (2)求△ PDE 绕直线 PA 旋转一周所构成的旋转体的体积.

21. (14 分)已知函数 f(x)=3 +k(k 为常数) ,A(﹣2k,2)是函数 y=f (x)图象上的点. ﹣1 (1)求实数 k 的值及函数 f (x)的解析式; ﹣1 ﹣1 (2)将 y=f (x)的图象按向量 a=(3,0)平移,得到函数 y=g(x)的图象,若 2 f (x+ ﹣3)﹣g(x)≥1 恒成立,试求实数 m 的取值范围. 22. (16 分)已知两点 A(﹣1,0) 、B(1,0) ,点 P(x,y)是直角坐标平面上的动点,若 将点 P 的横坐标保持不变、纵坐标扩大到 (1)求动点 P 所在曲线 C 的轨迹方程; (2)过点 B 作斜率为 的直线 l 交曲线 C 于 M、N 两点,且满足 ,又点 倍后得到点 满足 .

x

﹣1

H 关于原点 O 的对称点为点 G, ①求点 H,G 的坐标; ②试问四点 M、G、N、H 是否共圆,若共圆,求出圆心坐标和半径;若不共圆,请说明理由. 23. (18 分)我们规定:对于任意实数 A,若存在数列{an}和实数 x(x≠0) ,使得 2 n﹣1 A=a1+a2x+a3x +…+anx ,则称数 A 可以表示成 x 进制形式,简记为: A= A=
2 3

.如: ,则表示 A 是一个 2 进制形式的数,且 A=﹣1+3×2+(﹣

2)×2 +1×2 =5. 2 (1)已知 m=(1﹣2x) (1+3x ) (其中 x≠0) ,试将 m 表示成 x 进制的简记形式.

(2)若数列{an}满足 a1=2,ak+1=


*

bn=
n

(n∈N ) ,是否存在实常

数 p 和 q,对于任意的 n∈N*,bn=p?8 +q 总成立?若存在,求出 p 和 q;若不存在,说明理由. (3)若常数 t 满足 t≠0 且 t>﹣1,dn= ,求



上海市杨浦区控江社区 2015 届高考数学模拟试卷 (5 月份)
参考答案与试题解析

一.填空题(每小题 4 分.共 56 分) 1. (4 分)函数 的定义域为(﹣∞,0)∪(0,2].

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 根据函数解析式的特征可得 解答: 解:∵ ∴ ∴x≤2 且 x≠0 ∴定义域为(﹣∞,0)∪(0,2] 故答案为(﹣∞,0)∪(0,2] 点评: 本题主要考查了函数定义域及其求法.解题的关键是要根据函数的特征得出关于 x 所需满足的关系式 . 然后求出 x 的范围即可得解.

2. (4 分)若

,则 x+y=1.

考点: 几种特殊的矩阵变换. 专题: 计算题. 分析: 先根据矩阵的乘法化简成二元一次方程组,然后解方程组即可求出 x 和 y 的值,从 而求出 x+y 的值.

解答: 解:∵





解得

即 x+y=1 故答案为:1 点评: 本题主要考查了矩阵的乘法,以及二元一次方程组的解法,属于基础题.

3. (4 分)不等式

的解集为(1,2) .

考点: 其他不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据行列式的运算法则, 原不等式即 域和单调性求得 x 的范围. 解答: 解:不等式 ,即 <0, <0, 再利用对数函数的定义

即 0<x﹣1<1,即 1<x<2, 故答案为: (1,2) . 点评: 本题主要考查对行列式的运算,对数函数的定义域和单调性的应用,属于基础题.

4. (4 分)若 sinx= ,

,则 x=

. (结果用反三角函数表示)

考点: 三角方程. 专题: 三角函数的求值. 分析: 直接利用三角方程求解即可. 解答: 解:sinx= , 故答案为: . ,则 x= .

点评: 本题考查三角方程的求法,考查计算能力,注意角的范围. 5. (4 分)方程|lgx|+x﹣3=0 实数解的个数是 2. 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题. 分析: 方程|lgx|+x﹣3=0 的实数解的个数,即函数 y=|lgx|与函数 y=3﹣x 的交点的个数,结 合图象得出结论. 解答: 解:方程|lgx|+x﹣3=0 的实数解的个数,即函数 y=|lgx|与函数 y=3﹣x 的交点的个数, 如图所示: 函数 y=|lgx|与函数 y=3﹣x 的交点的个数为 2,

故答案为 2.

点评: 本题考查了根的存在性及根的个数判断,以及函数与方程的思想,解答关键是运用 数形结合的思想,属于中档题.

6. (4 分)在极坐标系中,直线 ρ(2cosθ+sinθ)=2 与直线 ρcosθ=1 的夹角大小为 arctan . (结 果用反三角函数值表示) 考点: 简单曲线的极坐标方程;两直线的夹角与到角问题. 专题: 计算题. 2 2 2 分析: 利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用 ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ =x +y ,进行代换即 得直角坐标系,再利用直线的直角坐标方程求出它们的夹角即可. 解答: 解:∵ρ(2cosθ+sinθ)=2,ρcosθ=1 ∴2x+y﹣2=0 与 x=1 ∴2x+y﹣2=0 与 x=1 夹角的正切值为 直线 ρ(2cosθ+sinθ)=2 与直线 ρcosθ=1 的夹角大小为 arctan 故答案为:arctan 点评: 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,能进行极坐标和直角坐标的互,属于基础 题. 7. (4 分)若多面体的各个顶点都在同一球面上,则称这个多面体内接于球.如图,设长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 内接于球 O,且 AB=BC=2, . ,则 A、B 两点之间的球面距离为

考点: 球面距离及相关计算. 专题: 计算题. 分析: 已知正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 边长为 2,高 AA1=2 ,它的八个 顶点都在同一球面上,那么,正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的对角线长为球的直径,中点 O 为 球心,根据球面距离的定义,应先算出球面两点对球心的张角,再乘以球的半径即可. 解答: 解:由题意可得:长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 为正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1,

所以正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 边长为 2,高 AA1=2 同一球面上,

,它的八个顶点都在

则正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的对角线长为球的直径,中点 O 为球心. 所以正四棱柱对角线 AC1=4, 则球的半径为 2. 在△ AOB 中根据余弦定理可得∠AOB= 则 A,B 两点的球面距离为 故答案为: . ;

点评: 解决多面体与球相关的“切”“接”问题时,关键是抓住球心的位置,球心是球的灵魂, 再根据球面距离的定义,应先算出球面两点对球心的张角,再乘以球的半径.这是通性通法.

8. (4 分)已知 x 是 1、2、x、4、5 这五个数据的中位数,又知﹣1、5、 的平均数为 3,则 x+y 最小值为 .

、y 这四个数据

考点: 基本不等式在最值问题中的应用;基本不等式;众数、中位数、平均数. 专题: 计算题. 分析: 根据 x 是 1、 2、 x、 4、 5 这五个数据的中位数, 得到 x 的取值范围, 根据﹣1、 5、 、

y 这四个数据的平均数为 3,得到 x,y 之间的关系,把要求的代数式换元变化为一个自变量的 形式,得到一个递增的代数式,把 x 的最小值代入得到结果. 解答: 解:∵x 是 1、2、x、4、5 这五个数据的中位数, ∴x∈[2,4], ∵﹣1、5、 ∴﹣1+5 ∴y= +8 ∵x+y=x+ +8 在 x∈[2,4]是一个增函数, x+y 最小值为 2+ +8= 故答案为: 点评: 本题考查中位数,平均数,考查基本不等式在最值问题中的应用,考查函数的单调 性,本题是一个综合题目,作为选择或填空做起来有点困难. 9. (4 分)设 x =a1(x﹣4) +a2(x﹣2) +a3(x﹣4) +a4(x﹣2) +a5(x﹣4)+a6,其中 a1, 5 a2,…,a6 均为实数,则 a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6=﹣3 .
5 5 4 3 2

、y 这四个数据的平均数为 3, +y=12,

考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题;二项式定理. 分析: 利用赋值法,即可得出结论. 5 解答: 解:由题意,令 x=3,可得﹣(a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6)=3 , 5 所以 a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6=﹣3 . 5 故答案为:﹣3 点评: 本题主要考查二项式定理的运用,利用赋值法是解决本题的关键.

10. (4 分)在三行三列的方阵

中有 9 个数 aij(i=1,2,3;j=1,2,3) ,从中

任取三个数,则三个数中任两个不同行不同列的概率是

. (结果用分数表示)

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 可得总的选法为 84 种,列举可得符合题意的共 6 个,由概率公式可得. 解答: 解:从 9 个数中任选 3 个共 =84 种选法,

其中三个数中任两个不同行不同列的为: (a11,a22,a33) , (a11,a23,a32) , (a12,a21,a33) , (a12,a23,a31) , (a13,a22,a31) , (a11,a21,a32)共 6 个, ∴所求概率 P= 故答案为: 点评: 本题考查古典概型及其概率公式,涉及列举法的应用,属基础题. 11. (4 分)在空间四边形 ABCD 中,点 E,F 分别是 AC,BD 的中点 AB=CD=6,AB 与 CD 所成的角为 60 度,则 EF 的长为 . =

考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 如图所示.连接 EC,ED.利用△ ABC 是等边三角形可得 CE,同理可得 ED,再利 用等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系即可得出. 解答: 解:取 BC 是中点 G,连结 GE,GF,∠EGF 就是 AB 与 CD 所成的角或补角; ∵AB=CD=6,∴EG=GF=3, 当∠EGF=60°时,EF=3, 当∠EGF=120°时,EF= 故答案为: . =3 .

点评: 本题考查空间两点间的距离公式的应用,距离的求法,考查异面直线所成角的求法, 考查计算能力.

12. (4 分) 定义点 P 对应到点 Q 的对应法则:

, (m≥0,

n≥0) ,则按定义的对应法则 f,当点 P 在线段 AB 上从点 A(4,0)开始运动到点 B(0,4) 时,可得到 P 的对应点 Q 的相应轨迹,记为曲线 E,则曲线 E 上的点与线段 AB 上的点之间 的最小距离为 .

考点: 两点间的距离公式. 专题: 直线与圆. 分析: 由题意可得线段 AB 的方程,进而可得曲线 E 为椭圆 由点到直线的距离公式可得. 解答: 解:由题意可得点 P 在线段 AB 上, ∴m+n=4,m≥0,n≥0, 设 x=﹣
2

+y =1 在第三象限的部分,

2

,y=﹣
2

,则 x≤0,y≤0, +y =1,
2

∴n=x ,m=4y ,代入 m+n=4 变形可得 ∴曲线 E 为椭圆
2

+y =1 在第三象限的部分,

∴下顶点(0,﹣1)到直线 m+n=4 的距离即为所求, 由距离公式可得距离 d= =

故答案为: 点评: 本题考查距离公式,考查新定义和椭圆的知识,属中档题.

13. (4 分)已知函数

,图象的最高点从左到右依次记为 P1,

P3,P5,…,函数 y=f(x)图象与 x 轴的交点从左到右依次记为 P2,P4,P6,…,设

Sn=

+

+

+ …+

,则

= .

考点: 极限及其运算. 专题: 计算题. 分析: 求出函数 P1,P2,P3,P4,P5,…,的坐标,求出向量 ,求出 , 推出 ,

,然后求出 Sn,即可求解

的值.

解答: 解:函数

,图象的最高点从左到右依次记为 P1,

P3,P5,…, 函数 y=f(x)图象与 x 轴的交点从左到右依次记为 P2,P4,P6,…, 所以 0)… ∴ , , , , ∴ , , P2(1,0) ,P4(3,0) ,P6(5,

Sn=﹣2+(﹣2) +(﹣2) +…+(﹣2) =

2

3

n



=

=

= .

故答案为: . 点评: 本题是中档题,考查函数的图象,数列的前 n 项和的求法,数列的极限的求解方法, 考查计算能力.

14. (4 分) 把 an=4n﹣1 中所有能被 3 或 5 整除的数删去, 剩下的数自小到大排成一个数列{bn}, 则 b2013=15091. 考点: 排列、组合的实际应用. 专题: 等差数列与等比数列;排列组合. 分析: 首先求出等差数列前 15 项中所含数列{bn}的项,由 3 和 5 的最小公倍数为 15,得到 若以 60 为区间长度,每一个区间长度内有数列{bn}的 8 项,求得 b2013 是第 252 个区间内的第 5 项,再由 b2013=251×60+b5 得答案. 解答: 解:∵an=4n﹣1=3n+(n﹣1)=5n﹣(n+1) , ∴当 n﹣1 能被 3 整除时,an 能被 3 整除,n=1,4,7,13,16,19,… 当 n+1 能被 5 整除时,an 能被 5 整除,n=4,9,14,19,… 又∵3 和 5 的最小公倍数是 15, ∴an 的每 15 项中有 7 项中要舍去, 即每 15 个 an 中有 8 个 bn, 即第一个区间段中的 15 个 an:3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55, 59 中有 b1=7,b2=11,b3=19,b4=23,b5=31,b6=43,b7=47,b8=59. 又 2013÷8=251 余 5, ∴b2013=251×60+b5=15060+31=15091. 故答案为:15091. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式,考查了排列在解决实际问题中的应用,关键是对 问题规律性的发现,是中档题. 二.选择题(每小题 5 分,共 20 分) 15. (5 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,当 a1,d 变化时,若 a2+a8+a11 是一个定值,那么 下列各数中也为定值的是() A.S13 B.S15 C. S7 D.S8

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 利用等差数列的通项公式化简 a2+a8+a11,整理后再利用等差数列的通项公式化简, 由 a2+a8+a11 是一个定值,得到 a7 为定值,然后利用等差数列的求和公式表示出 S13,利用等 差数列的性质化简后,得到关于 a7 的关系式,由 a7 为定值,可得出 S13 为定值. 解答: 解:由 a2+a8+a11=(a1+d)+(a1+7d)+(a1+10d)=3(a1+6d)=3a7, ∵a2+a8+a11 是一个定值, ∴a7 为定值, 又 a1+a13=2a7, ∴S13= 则 S13 为定值. 故选 A =13a7,

点评: 此题考查了等差数列的通项公式、求和公式,以及等差数列的性质,熟练掌握公式 及性质是解本题的关键. 16. (5 分) 已知集合 A= 则 b 的取值范围是() A.(﹣1,1) B.[﹣1,1] 1] , B={z||z|=1, z∈C}, 若 A∩B=?, C.(﹣1,0)∪(0,1) D. [﹣1, 0) ∪ (0,

考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、几何意义分别化简集合 A,B,再利用集合的运算性质即可得 出. 解答: 解: 对于集合 A: 设 z=x+yi(x, y∈R) , 由 bi +2=0,化为 by=﹣1.即 b=﹣ . 对于集合 B:∵|z|=1,设 z=x+yi, (x,y∈R) ,则 x +y =1. ∵A∩B=?, ∴b∈[﹣1,1], 故选:A. 点评: 本题考查了复数的运算法则、几何意义、集合的运算性质,属于基础题.
2 2 2 2

﹣bi?z+2=0, ∴bi (x﹣yi) ﹣bi (x+yi)

17. (5 分)已知 θ 为三角形的一个内角,且 sinθ+cosθ= ,则方程 x sinθ﹣y cosθ=1 表示() A.焦点在 x 轴上的椭圆 C. 焦点在 x 轴上的双曲线 B. 焦在点 y 轴上的椭圆 D.焦点在 y 轴上的双曲线

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 通过条件,判断 sinθ 与﹣cosθ 的大小,结合椭圆的性质判断选项即可. 解答: 解:θ 为三角形的一个内角,且 sinθ+cosθ= , 当 θ∈(0°,90°) ,sinθ+cosθ>1, 可得 θ∈(90°,135°) , sinθ>﹣cosθ>0, 2 2 则方程 x sinθ﹣y cosθ=1 表示:焦在点 y 轴上的椭圆. 故选:B. 点评: 本题考查椭圆的简单性质,三角函数值的大小的判断,基本知识的考查. 18. (5 分)已知 y=f(x)是定义域为 R 的单调函数,且 x1≠x2,λ≠﹣1, α= A.λ<0 ,若|f(x1)﹣f(x2)|<|f(α)﹣f(β)|,则() B.λ=0 C.0<λ<1 D.λ>1

考点: 函数单调性的性质.

专题: 函数的性质及应用. 分析: 此题主要根据函数的单调函数,分类讨论,将比较函数值的大小转化为比较自变量 的大小,然后建立不等关系,解之即可. 解答: 解:不妨设 y=f(x)是定义在 R 上的单调减函数,由|f(x1)﹣f(x2)|<|f(α)﹣f (β)|, 求得|α﹣β|>|x1﹣x2|①. 将 α= , 代入①得| |?|x1﹣x2|>|x1﹣x2|, 而 x1≠x2, 可得| |

>1, 即:|1﹣λ|>|1+λ|,两边平方,求得 λ<0. 当 y=f(x)是定义在 R 上的单调增函数时,由|f(x1)﹣f(x2)|<|f(α)﹣f(β)|, 求得|α﹣β|>|x1﹣x2|②. 将 α= , 代入②得| |?|x1﹣x2|>|x1﹣x2|, 而 x1≠x2, 可得| |

>1, 即:|1﹣λ|>|1+λ|,两边平方求得,求得 λ<0. 综上可得,λ<0. 故选:A.

点评: 本题主要考查了函数的单调性的知识,以及函数与方程的综合运用,体现了转化、 数形结合、分类讨论的数学思想,属于中档题. 三.解答题. 19. (12 分)已知函数 f(x)=sin .

(1)将 f(x)写成 Asin(ωx+φ)+h(A>0)的形式,并求其图象对称中心的横坐标; (2)若函数 f(x)的定义域为 ,求函数 f(x)的值域.

考点: 两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性;正弦函数的对称性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用倍角公式对解析式化简; (2)由自变量的范围确定( 解答: 解: (1) )的范围,结合正弦函数的单调性求值域. …(3 分)



=0 即 …(6 分) ,…(9 分) ,∴ , , ,f(x)的值域为 …(14 分) ,

即对称中心的横坐标为 (2)∴ ∵ ∴ 即 f(x)的值域为 综上所述,

点评: 本题考查了三角函数的倍角公式的运用以及 Asin(ωx+φ)+h 的形式的值域求法,经 常考查,注意掌握. 20. (14 分)如图,已知 PA⊥平面 ABC,AC⊥AB,AP=BC=2,∠CBA=30°,D,E 分别是 BC,AP 的中点. (1)求异面直线 AC 与 ED 所成的角的大小; (2)求△ PDE 绕直线 PA 旋转一周所构成的旋转体的体积.

考点: 异面直线及其所成的角;旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 计算题. 分析: (1)解法一:欲求异面直线所成角,只需平移异面直线中的一条,是它们成为相交 直线,则相交直线所成角就是异面直线所成角,再放入三角形中,通过解三角形求出该角.本 题中取 AB 中点 F,连接 DF,EF,则 AC∥DF,∠EDF 就是异面直线 AC 与 PB 所成的角.再 放入 Rt△ EFD 中来求. 解法二:利用空间向量来解,先建立空间直角坐标系,把异面直线 AC 与 ED 所成的角转化为 向量 , 的夹角,再利用向量的夹角公式计算即可.

(2)△ PDE 绕直线 PA 旋转一周所构成的旋转体,是以 AD 为底面半径、AP 为高的圆锥中挖 去一个以 AD 为底面半径、AE 为高的小圆锥,所以只需求出两个圆锥的体积,再相减即可. 解答: 解(1)解法一:取 AB 中点 F,连接 DF,EF,则 AC∥DF, 所以∠EDF 就是异面直线 AC 与 PB 所成的角. 由已知, ,∵AC⊥EF,∴DF⊥EF.

在 Rt△ EFD 中,

, (

. . ,E(0,

所以异面直线 AC 与 ED 所成的角为 解法二:建立空间直角坐标系, 0,1) ,

PCDE

, .

所以异面直线 AC 与 ED 所成的角为

(2)△ PDE 绕直线 PA 旋转一周所构成的旋转体,是以 AD 为底面半径、AP 为高的圆锥中挖去一个以 AD 为底面 半径、AE 为高的小圆锥,体积 .

点评: 本题主要考查了异面直线所成角的求法,以及组合体体积的求法. 21. (14 分)已知函数 f(x)=3 +k(k 为常数) ,A(﹣2k,2)是函数 y=f (x)图象上的点. ﹣1 (1)求实数 k 的值及函数 f (x)的解析式; ﹣1 ﹣1 (2)将 y=f (x)的图象按向量 a=(3,0)平移,得到函数 y=g(x)的图象,若 2 f (x+ ﹣3)﹣g(x)≥1 恒成立,试求实数 m 的取值范围. 考点: 反函数;函数恒成立问题. 专题: 计算题. 分析: (1)先根据 A(﹣2k,2)是函数 y=f (x)图象上的点,求得实数 k 的值,再求 原函数的反函数即可.解答本题首先熟悉反函数的概念,然后根据反函数求解三步骤:1、换: x、y 换位,2、解:解出 y,3、标:标出定义域,据此即可求得反函数. (2)要使 2f (x+
﹣1 ﹣1

x

﹣1

﹣3)﹣g(x)≥1 恒成立,分离出参数 m 后得:x+ +2 )min≥3.即可,从而求实数 m 的取值范围.
﹣1

≥3 在 x>0

时恒成立,利用只要(x+ +2

解答: 解: (1)∵A(﹣2k,2)是函数 y=f (x)图象上的点, ∴B(2,﹣2k)是函数 y=f(x)上的点. ∴﹣2k=3 +k.∴k=﹣3. x ∴f(x)=3 ﹣3. ﹣1 ∴y=f (x)=log3(x+3) (x>﹣3) . (2)将 y=f (x)的图象按向量 a=(3,0)平移, 得到函数 y=g(x)=log3x(x>0) , ﹣1 要使 2f (x+ ﹣3)﹣g(x)≥1 恒成立, 即使 2log3(x+ )﹣log3x≥1 恒成立,
﹣1

2

所以有 x+ +2 又 x+ ≥2 ∴(x+ +2

≥3 在 x>0 时恒成立,只要(x+ +2 时等号成立) , .

)min≥3.

(当且仅当 x= ,即 x= )min=4 ,即 4

≥3.∴m≥

点评: 本题主要考查反函数、函数恒成立问题.求反函数,一般应分以下步骤: (1)由已 知解析式 y=f(x)反求出 x=Ф(y) ; (2)交换 x=Ф(y)中 x、y 的位置; (3)求出反函数的 定义域(一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域) . 22. (16 分)已知两点 A(﹣1,0) 、B(1,0) ,点 P(x,y)是直角坐标平面上的动点,若 将点 P 的横坐标保持不变、纵坐标扩大到 (1)求动点 P 所在曲线 C 的轨迹方程; (2)过点 B 作斜率为 的直线 l 交曲线 C 于 M、N 两点,且满足 ,又点 倍后得到点 满足 .

H 关于原点 O 的对称点为点 G, ①求点 H,G 的坐标; ②试问四点 M、G、N、H 是否共圆,若共圆,求出圆心坐标和半径;若不共圆,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)通过已知条件可得 ,计算即可; (2)①联立直线 l 与曲线 C 的方程,利用韦达定理及 计算即可;②联立线段 ,利用

MN、GH 的中垂线可得交点坐标,通过计算交点到 M、H 的距离即可得出结论. 解答: 解: (1)依据题意,有 ∵ ,∴x ﹣1+2y =1. ; ,
2 2



∴动点 P 所在曲线 C 的轨迹方程是 (2)①∵直线 l 过点 B,且斜率为 ∴ ,

联立方程组

,得 2x ﹣2x﹣1=0.

2

设两曲线的交点为 M(x1,y1) 、N(x2,y2) , 由韦达定理,可得: .

又∵ ∴

, ,∴xG=﹣1,yG=﹣ ,

又点 G 与点 H 关于原点对称, 于是可得点 、 . ,半径为 .

②结论:四点 M、G、N、H 共圆,圆心坐标为 理由如下: 若线段 MN、 GH 的中垂线分别为 l1 和 l2, 则有





联立方程组

,解得 l1 和 l2 的交点为



因此,可算得





所以,四点 M、G、N、H 共圆,圆心坐标为

,半径为



点评: 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查运算求解能力,涉及到韦达定理、向量 的坐标运算、两点间距离公式等基础知识,注意解题方法的积累,属于中档题. 23. (18 分)我们规定:对于任意实数 A,若存在数列{an}和实数 x(x≠0) ,使得 2 n﹣1 A=a1+a2x+a3x +…+anx ,则称数 A 可以表示成 x 进制形式,简记为: A= A=
2 3

.如: ,则表示 A 是一个 2 进制形式的数,且 A=﹣1+3×2+(﹣

2)×2 +1×2 =5. 2 (1)已知 m=(1﹣2x) (1+3x ) (其中 x≠0) ,试将 m 表示成 x 进制的简记形式.

(2)若数列{an}满足 a1=2,ak+1=


*

bn=
n

(n∈N ) ,是否存在实常

数 p 和 q,对于任意的 n∈N*,bn=p?8 +q 总成立?若存在,求出 p 和 q;若不存在,说明理由. (3)若常数 t 满足 t≠0 且 t>﹣1,dn= ,求



考点: 数列与函数的综合;数列的极限. 专题: 新定义;等差数列与等比数列;二项式定理. 分析: (1)化简 m,由新定义即可得到所求; (2)分别求得数列的前几项,可得数列是周期为 3 的数列,假设存在实常数 p 和 q,对于任 意的 n∈N*, 总成立,化简整理,运用等比数列的求和公式,计算即可得到;

(3)由新定义化简整理,运用二项式定理,结合数列极限的求法,即可得到,注意讨论. 2 2 3 解答: 解: (1)m=(1﹣2x) (1+3x )=1﹣2x+3x ﹣6x 则 m= (2) ; ,







=an(n∈N*) ,

则{an}是周期为 3 的数列, 假设存在实常数 p 和 q,对于任意的 n∈N*, 则 bn= = 总成立,

=

=



∴ 即存在实常数

. ,对于任意的 n∈N*, 总成立;

(3)

=











点评: 本题考查新定义的理解和运用,同时考查数列的周期性和二项式定理的运用,以及 数列极限的求法,考查运算能力,具有一定的综合性.


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