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高中数学必修4三角函数知识点与题型总结


三角函数典型考题归类

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
性 函 质 数 y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图 象

定 义 域 值 域

R

R

? ? ?

? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

??1,1?
当 x ? 2 k? ?

??1,1?
? k ? ??
当 x ? 2k? ? k ??? 时,

R

?
2

最 值

时 , ymax ? 1 ; 当
x ? 2 k? ?

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

?
2

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.
2?

既无最大值也无最小 值

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.
周 期 性 奇 偶 性
2?

?

奇函数

偶函数

奇函数

? ?? ? 在 ? 2k? ? , 2k? ? ? 2 2? ?
单 调 性



? k ? ? ? 上是增函数;在
? 3? ? ? 2 k? ? , 2 k? ? ? ? 2 2 ? ?

? ?? ? 上 是 增 函 数 ; 在 在 ? k? ? , k? ? ? 2 2? ? ?2k? ,2k? ? ? ? ? k ? ? ? 上是增函数. ? k ? ? ? 上是减函数.

?2k? ? ? ,2k? ?? k ???

? k ? ? ? 上是减函数.
对 称 中 心 对 称 中 心 对 ? k? ,0?? k ??? 称 对 称 性 ? x ? k? ? ? k ? ? ? 2
? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?

?











? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?

对称轴 x ? k? ? k ???

无对称轴

4、已知 ? 是第几象限角,确定

?
n

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再从 x 轴的正半
*

轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来是第几象限对应的标号即为 的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. 口诀:奇变偶不变,符号看象限. 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα 公式二: 设α为任意角,π α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三: 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六: π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα

? 终边所落在 n

sin(π/2-α)=cosα tan(π/2-α)=cotα sin(3π/2+α)=-cosα tan(3π/2+α)=-cotα sin(3π/2-α)=-cosα tan(3π/2-α)=cotα

cos(π/2-α)=sinα cot(π/2-α)=tanα cos(3π/2+α)=sinα cot(3π/2+α)=-tanα cos(3π/2-α)=-sinα cot(3π/2-α)=tanα

倒数关系 tanα ? cotα=1 sinα ? cscα=1 cosα ? secα=1 商的关系:
sin ? cos ?
=tan ?

平方关系 sin2 ? + cos2 ? =1, 1+tan2 ? =

1 cos 2 ?

, 1+cot2 ? =

1 sin 2 ?

两角和差公式
sin( ? cos( ? cos ? ? cos ? · sin ? ? ? )=sin ? · cos ? ? sin ? · sin ? ? ? )=cos ? ·

tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ?

倍角公式
sin2 ? =2sin ? · cos ? 2 cos2 ? =cos ? -sin2 ? =2cos2 ? -1=1-2sin2 ?

半角公式

sin

?
2

??

1 ? cos? 2

, cos

?
2

??

1 ? cos? 2

tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

tan

?
2

??

sin ? 1 ? cos? 1 ? cos ? ? = sin ? 1 ? cos ? 1 ? cos?

和差化积公式 sin ? +sin ? =

2 2 ??? ??? cos cos ? +cos ? = 2 cos 2 2 1 2 ? tan ? + cot ? = sin ? ? cos ? sin 2?
1+cos ? = 2 cos
2

2 sin

???

cos

???

sin ? -sin ? = 2 cos

???
2

sin

???

cos ? -cos ? = - 2 sin

???
2

sin

???
2

2

tan ? - cot ? = -2cot2 ?
2

?

2

1-cos ? = 2 sin

?
2

1±sin ? =( sin

?
2

? cos

?
2

)

2

积化和差公式

1 [sin( ? + ? )+sin( ? - ? )] 2 1 cos ? · sin ? = [sin( ? + ? )-sin( ? - ? )] 2 1 cos ? · cos ? = [cos( ? + ? )+cos( ? - ? )] 2 1 sin ? · sin ? = - [cos( ? + ? )-cos( ? - ? )] 2
sin ? · cos ? =

升幂公式 1+cos ? = 2 cos
2

?
2

1-cos ? = 2 sin sin ? = 2 sin

2

?
2 cos

1±sin ? =( sin

?
2

? cos

?
2

)

2

1=sin2 ? + cos2 ? 降幂公式 sin2 ?

?
2

?
2

?

1 ? cos 2? 2

sin2 ? + cos2 ? =1

1 ? cos 2? 2 1 sin ? · cos ? = sin 2? 2
cos2 ?

?

1.根据解析式研究函数性质 例 1(天津理)已知函数

f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 ,x ? R .

(Ⅰ)求函数

? π 3π ? f ( x) 的最小正周期;(Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 ? , ? 上的最小值和最大值. ?8 4 ?

【相关高考 1】(湖南文)已知函数

π? π? π? ? ? ? f ( x) ? 1 ? 2sin 2 ? x ? ? ? 2sin ? x ? ? cos ? x ? ? . 8? 8? 8? ? ? ?

求:(I)函数

f ( x) 的最小正周期;(II)函数 f ( x) 的单调增区间.

【相关高考 2】(湖南理)已知函数

1 π? ? f ( x) ? cos 2 ? x ? ? , g ( x) ? 1 ? sin 2 x . 2 12 ? ?

(I)设 x ?

x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值.(II)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间.
π y ? 2 cos(? x ? ? )( x ? R,? > 0,≤ 0 ? ≤ ) 的图象与 y 轴相交于点 (0,3) ,且该函数的最小正周 2

2.根据函数性质确定函数解析式 例 2(江西)如图,函数 期为 ? . (1)求 ? 和 ? 的值; ( 2 )已知点

y
3
O

?π ? A? , 0 ? ,点 P 是该函数图象上一点,点 Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点,当 ?2 ?

P

A

x

y0 ?

3 ?π ? , x0 ? ,π ? 时,求 x0 的值. ? 2 ?2 ?

【相关高考 1】 (辽宁) 已知函数

π? π? ?x ? ? , (I) 求函数 f ( x ) f ( x) ? sin ? ? x ? ? ? sin ? ? x ? ? ? 2cos 2 ,x ? R(其中 ? ? 0 ) 6? 6? 2 ? ?
π 2
,求函数

的值域; (II)(文)若函数

y ? f ( x) 的图象与直线 y ? ?1 的两个相邻交点间的距离为

y ? f ( x) 的单调增区间.

【相关高考 2】(全国Ⅱ)在 △ ABC 中,已知内角 (1)求函数

A?

? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ?

y ? f ( x) 的解析式和定义域;(2)求函数 y ? f ( x) 的最大值.

3.三角函数求值

例 3(四川)已知 cosα=

1 13 π ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< ,(Ⅰ)求 tan2α 的值;(Ⅱ)求 β. 7 2 14

【相关高考 1】 (重庆文)已知函数 f(x)=

?? ? 2 cos? 2 x ? ? 4? ?
sin(x ?

?

.(Ⅰ)求 f(x)的定义域; (Ⅱ)若角 a 在第一象限,且 cos a ?

2

)

3 , 求f(a)。 5

【相关高考 2】 (重庆理)设 f ( x ) = 求 tan

求 f( x )的最大值及最小正周期; (2 ) 若锐角 ? 满足 f (? ) ? 3 ? 2 3 , 6 cos2 x ? 3 sin 2 x(1)

4 ? 的值. 5

4.三角形中的函数求值 例 4(全国Ⅰ)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a (Ⅰ)求 B 的大小;(文)(Ⅱ)若 a ? 3 【相关高考 1】(天津文)在 △ ABC 中,已知

? 2b sin A .

3 , c ? 5 ,求 b.(理)(Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围.
AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ?
4 . 5

(Ⅰ)求 sin

?? ? B 的值;(Ⅱ)求 sin ? 2 B ? ? 的值. 6? ?
A? 1 4
, tan B

【相关高考 2】(福建)在 △ ABC 中, tan

?

3 .(Ⅰ)求角 C 的大小;文(Ⅱ)若 AB 边的长为 17 ,求 BC 5

边的长.理(Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 5.三角与平面向量

17 ,求最小边的边长.
??? ? ???? AC ≤ 6 ,设 AB 和 AC 的夹角为 ? .(I)求 ? 的取值范围;

例 5(湖北理)已知 △ ABC 的面积为 3 ,且满足 0≤ AB ?

(II)求函数

?π ? f (? ) ? 2sin 2 ? ? ? ? ? 3 cos 2? 的最大值与最小值. ?4 ?

【相关高考 1】(陕西)设函数 其中向量 a

f ?x ? ? a ? b ,
?
?4 ?

? ? (m, cos2x),b ? (1 ? sin 2x,1), x ? R ,且函数 y=f(x)的图象经过点 ? ? ,2 ? ,

(Ⅰ)求实数 m 的值;(Ⅱ)求函数 f(x)的最小值及此时 x 的值的集合. 【相关高考2】(广东)已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C( c ,0). (文)(1)若 AB ? AC ? 0 ,求 c 的值;(理)若∠A 为钝角,求 c 的取值范围;(2)若 c 7.三角函数与不等式 例 7(湖北文)已知函数

? 5 ,求 sin∠A 的值.

?π ? ?π π? f ( x) ? 2sin 2 ? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? .(I)求 f ( x) 的最大值和最小值; ?4 2? ?4 ?

(II)若不等式

?π π? f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. ?4 2?
x x f ?x ? ? ? cos 2 x ? 4t sin cos ? 4t 3 ? t 2 ? 3t ? 4, x ? R 2 2

8.三角函数与极值 例 8(安徽文)设函数

其中 t ≤1,将

f ?x ? 的最小值记为 g(t).
三角函数易错题解析

(Ⅰ)求 g(t)的表达式;(Ⅱ)讨论 g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.

例题 1

已知角 ? 的终边上一点的坐标为( sin A、

5? 6

B、

2? 3

C、

5? 3

2? 2? , cos 3 3 11? D、 6

),则角 ? 的最小值为(

)。

例题 2

A,B,C 是 ? ABC 的三个内角,且 tan A, tan B 是方程 3x A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形

2

? 5x ? 1 ? 0 的两个实数根,则 ? ABC 是(



D、等边三角形

例题 3

已知方程 x 且? 、 ?

2

? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 (a 为大于 1 的常数)的两根为 tan ? , tan ? ,
的值是_________________.

? ?? ? ? ?? ? ? ? , ? ,则 tan 2 ? 2 2?

例题 4 例题 5 例题 6 例题 7 例题 8 例题 9 例题 10

函数

的最大值为 3,最小值为 2,则 a ______, b ? _______。 ? f( x ) ? a s i n x ? b

函数 f(x)= 若 2sin2α

sin x cos x 的值域为______________。 1 ? sin x ? cos x

? sin 2 ? ? 3sin ? , 则sin 2 ? ? sin 2 ?

的取值范围是

已知 ? ?????,求 求函数 求函数

的最小值及最大值。 y ? c o s ? ? 6 s i n ?

f ( x) ?

2 tan x 的最小正周期。 1 ? tan 2 x

f ( x) ? sin 2 x ? 2 2 cos(

?

3 ? f ( x) ? sin(?x ? ?)(? ? 0,0 ≤ ? ≤ ? ) 是 R 上的偶函数,其图像关于点 M ( ? ,0) 对称,且在区间[0, 4 2 上是单调函数,求 ? 和 ? 的值。
已知函数

4

? x) ? 3 的值域
]

解答题
1.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且 sin A ? (I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?

5 10 ,sin B ? 5 10

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。

2.(每小题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin ? ,cos? ? 2sin ? ), b ? (1, 2). (Ⅰ)若 a / / b ,求 tan ? 的值; (Ⅱ)若 | a |?| b |,0 ? ? ? ? , 求 ? 的值。 3.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?

?

?

?

?

?

?

?
2

)的周期为 ? ,且图

象上一个最低点为 M (

2? , ?2) . 3

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式;(Ⅱ)当 x ? [0,

?
12

] ,求 f ( x) 的最值.

4.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

)的图象与 x 轴的交

? 2? , ?2) . ,且图象上一个最低点为 M ( 2 3 ? ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式;(Ⅱ)当 x ? [ , ] ,求 f ( x ) 的值域. 12 2
点中,相邻两个交点之间的距离为

、 c, 且 5. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , A、B 为 锐 角 , 角 A、B、C 所 对 的 边 分 别 为 a、 b

s i nA ?

5 10 , sB in ? 5 10

(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。

21 世纪教育网

6.(本小题满分 12 分) 在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 3a ? 2c sin A (Ⅰ)确定角 C 的大小: (Ⅱ)若 c= 7 ,且△ABC 的面积为 7.(本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 7 分,(Ⅱ)小问 6 分.) 设函数 f ( x) ? sin(

3 3 2

,求 a+b 的值。

?x ?

?x ? ) ? 2 cos 2 ?1 . 4 6 8

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期. (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,求当 x ? [0, ] 时 y ? g ( x) 的最大值. 8.(本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 7 分,(Ⅱ)小问 6 分.) 设函数 f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x) ? 2cos
2 2

4 3

? x(? ? 0) 的最小正周期为

2? . 3

(Ⅰ)求 ? 的最小正周期. (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 的图像是由 y ? f ( x) 的图像向右平移

? 个单位长度得到,求 y ? g ( x) 的单调增区间. 2


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