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棱柱与棱锥的内切与外接练习题


1. (2013·陕西卷)某几何体的三视图如图所示,则其表 面积为 . ________. 分析: 由三视图得该几何体为半径为 1 的半个球,则表面 1 2 2 积为半球面+底面圆,代入数据计算为 S= ×4π ×1 +π ×1 2 =3π . 答案:3π .反思:由三视图求简单组合体的表面积,关 键是还原几何体. 2. (2013·福建理科) 已知某一多面体内接于球构成一个简单

组合体, 如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形 是边长为 2 的正方形,则该球的表面积是__________. 分析:该多面体是一个球,中间内接一个棱长为 2 的正方体,设球 的半径为 R,则 2R=2 3,R= 3,所以 S 球=4π R =12π .答案:12π 3.[2013 年高考新课标 1(理)]如图,有一个水平放置的透明无盖的正 方体容器,容器高 8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当 球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果不计容器的厚度,则球 的体积为 ( )
2

500? 866? cm3 cm3 B. 3 3 1372? 2048 ? 3 cm 3 D. cm B.C. 3 3
A. 分析:设正方体上底面所在平面截球得小圆 M, 则圆心 M 为正方体上底面正方形的中心.如图. 设球的半径为 R,根据题意得球心到上底面的距离等于(R﹣2)cm,而圆 M 的半径为 4,由

球的截面圆性质,得 R =(R﹣2) +4 , 解出 R=5, 所以根据球的体积公式,该球的体积 V= = = .

2

2

2

故选 A.答案:A 4.(2013·辽宁卷) 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上.若 AB=3, AC=4,AB⊥AC,AA1=12.则球 O 的半径为( ) 3 17 13 B.2 10 C. D.3 10 2 2 分析: 由题意将直三棱柱 ABC-A1B1C1 还原为长方体 ABDC-A1B1D1C1,则球的直径即为长 A. 方 体 ABDC - A1B1D1C1 的 体 对 角 线 AD1 , 所 以 球 的 直 径 AD1 = AB2+AC2+AA2 1= 13 32+42+122=13,则球的半径为 ,故选 C. 2
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5.有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体的各条棱相切,第三个球过 这个正方体的各个顶点.求这三个球的半径之比. 解:设正方体的棱长为 a,球的半径分别为 R1,R2,R3.球内切于正方体时,球的直径和 a 正方体的棱长相等,如图 1 所示,AB=2R1=a,所以 R1= ; 2

球与这个正方体的各条棱相切时,球的直径与正方体的面对角线长相等,如图 2 所示, CD=2R2= 2a,所以 R2= 2a ; 2

当球过这个正方体的各个顶点时, 也即正方体内接于球, 此时正方体的八个顶点均在球 面上,则正方体的体对角线长等于球的直径,如图 3 所示,EF=2R3= 3a,

所以 R3=

3a . 2

故三个球的半径之比为 1: 2: 3. 答案:1: 2: 3 6. (山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)已知一圆柱内接于球 O,且圆柱 的底面直径与母线长均为 2,则球为 O 的表面积为_____. 分析:圆柱的底面直径与母线长均为 2,所以球的直径 2 ? 2 ? 8 ? 2 2 ,即球半
2 2

径为 2 ,所以球的表面积为 4? ? ( 2) 2 ? 8? . 【答案】 8? . 7.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为 1,2,3, 则此球的表面积为________.

第 2 页 共 2 页

解析 因为(2R) =1 +2 +3 =14,所以 S 球=4π R =14π . 答案 14π 8.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆,则这个几何体一定是( A.圆柱 B.圆锥 C.球体 D.圆柱,圆锥,球体的组合体 )

2

2

2

2

2

解析:由球的性质可知用平面截球所得的截面都是圆面. 答案:C 9. (2011·辽宁高考文科)已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB=2,∠ASC= ∠BSC=45°,则棱锥 S-ABC 的体积为 (A)

3 3

(B)

2 3 3

(C)

4 3 3

(D)

5 3 3

【思路点拨】找到直径 SC 的垂截面是解决本题的关键. 【精讲精析】选 C,设球心为 O ,则 AO, BO 是两个全等的等腰直角三角形斜边上的高,斜 边 SO ? 4, 故 AO ? BO ? 2 ,且有 AO ? SC , BO ? SC . ∴ VS ? ABC ? VS ? AOB ? VC ? AOB ?

1 1 3 4 3 S ?AOB ( SO ? OC ) = ? . ? 22 ? 4 ? 3 3 4 3

10.(2011·新课标全国高考理科)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB ? 6, BC ? 2 3 ,则棱锥 O ? ABCD 的体积
D O





O' A B

C

【思路点拨】画出图形,找出球心位置,然后数形结合求出棱锥 O-ABCD 的体积. 【精讲精析】8 3 如图所示,OO? 垂直于矩形 ABCD 所在的平面, 垂足为 O? , 连接 O? B ,

OB ,则在 Rt ? OO?B 中,由 OB=4, O?B ? 2 3 ,可得 OO? =2,

11.(2011·新课标全国高考文科)已知

1 1 ?VO ? ABCD ? S ? OO? ? ? 6 ? 2 3 ? 2 ? 8 3. 两个圆锥有公共底面,且两个圆锥的顶 3 3
点和底面的圆周都在同一个球面上,若 圆锥底面面积是这个球面面积的 的比值为________ 。 【思路点拨】画出图形,利用数形结合然后利用球及圆的性质求解
第 3 页 共 3 页

3 , 则这两个圆锥中, 体积较小者的高与体积较大者的高 16

【精讲精析】

1 如图设球的半径为 R ,圆锥的底面 圆半径为 r ,则依题意得 3

? r2 ?

3 r 3 ? 4? R 2 ,即 ? cos ?O?CO ? , 16 R 2

??O?CO ? 30?,? OO? ?

1 1 1 R ,? AO? ? R ? R, BO? ? R ? R , 2 2 2

1 R AO? 2 1 ? ? ? . BO? 3 R 3 2
12.[2013 辽宁数学(理)试题]已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上, 若 AB ? 3,AC ? 4 , AB ? AC , AA1 ? 12 ,则球 O 的半径为( ) A.

3 17 2

B. 2 10

C.

13 2

D. 3 10

解:由球心作面 ABC 的垂线,则垂足为 BC 中点 M。计 算 AM=

5 ,由垂径定理,OM=6,所以半径 2
2 2

R= ( ) ? 6 ?

5 2

13 ,选 C. 2
) [答案] C

12.(2011·辽宁文,10)已知球的直径 SC=4,A、B 是该球球面上的两点,AB=2,∠

ASC=∠BSC=45°,则棱锥 S-ABC 的体积为(
A. 3 3 2 3 B. 3 4 3 C. 3 5 3 D. 3

解析:如右图所示,连接 OA、OB(O 为球心). ∵AB=2,∴△OAB 为正三角形. 又∵∠BSC=∠ASC=45°, 且 SC 为直径,∴△ASC 与△BSC 均为等腰直角三角形. ∴BO⊥SC,AO⊥SC. 又 AO∩BO=O,∴SC⊥平面 ABO. 1 ∴VS-ABC=VC-OAB+VS-OAB= ·S△OAB·(SO+OC) 3 1 3 4 3 = × ×4×4= ,故选 C. 3 4 3 13.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 a,顶点都在一个球面上,则该球的 表面积为( ).
第 4 页 共 4 页

A.π a

7 11 2 2 2 B. π a C. π a D.5π a 3 3 解析:如图,O1,O 分别为上、下底面的中心,
2

D 为 O1O 的中点,则 DB 为球的半径, 2 a2 a2 7a 2 2 有 r=DB= OD +OB = + = ,
4 3 7a 7 2 2 ∴S 表=4π r =4π × = π a . 12 3
2

12

14.(2015 上饶校级模拟)A,B,C,D 四点都在半径为 2 的 AB=CD=2。求四面体 A~BCD 体积的最大值。 解:过 CD 作平面 PCD,使 AB⊥平面 PCD,交 AB 于 P,设点 P 到 CD 的距离为 h。

球面上,且

2 2 hmax=2 2 -1 = 2 3

,故 Vmax= ? 2 ? ? 2 ? 2 3=

1 3

1 2

4 3 3

一、棱锥的内切、外接球问题 例 1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少? 分析:运用正四面体的二心合一性质,作出截面图,通过点、线、面关系 解之。 解:如图 1 所示,设点 O 是内切球的球心,正四面体棱长为 a .由图形的 对称性知,点 O 也是外接球的球心.设内切球半径为 r ,外接球半径为 R . 正四面体的表面积 S 表 ? 4 ?

3 2 a ? 3a 2 . 4

正四面体的体积 V A? BCD ?

1 3 2 3 2 ? a ? AE ? a AB 2 ? BE 2 3 4 12

?

3 2 2 ? 3 2? 2 3 ?? a a ?? a ? 3 ? 12 a 12 ? ?

3V 1 ? S 表 ? r ? V A? BCD ,? r ? A? BCD ? 3 S表

3?

2 3 a 6 12 ? a 2 12 3a

图1

第 5 页 共 5 页

? 3 ? 6 ? ? r 2 ,得 R ? 在 Rt ?BEO 中, BO ? BE ? EO ,即 R ? ? a a ,得 R ? 3r ? 3 ? 4 ? ?
2 2 2

2

2

【点评】由于正四面体本身的对称性可知,内切球和外接球的两个球心是重合的,为 正四面体高的四等分点, 即内切球的半径为

h 3h ( h 为正四面体的高), 且外接球的半径 , 4 4

从而可以通过截面图中 Rt ?OBE 建立棱长与半径之间的关系。 例 2.设棱锥 M ? ABCD 的底面是正方形,且 MA ? MD , MA ? AB ,如果 ? AMD 的面积为 1,试求能够放入这个棱锥的最大球的半径. 解: ? AB ? AD, AB ? MA,? AB ? 平面 MAD , 由此,面 MAD ? 面 AC .记 E 是 AD 的中点, 从而 ME ? AD .? ME ? 平面 AC , ME ? EF 设球 O 是与平面 MAD 、平面 AC 、平面 MBC 都相切的球.如图 2, 得截面图 ? MEF 及内切圆 O 不妨设 O ? 平面 MEF ,于是 O 是 ? MEF 的内心. 设球 O 的半径为 r ,则 r ? 图2

2S ?MEF ,设 AD ? EF ? a ,? S ?AMD ? 1 . EF ? EM ? MF
2

2 ?2? ? EM ? , MF ? a 2 ? ? ? , r ? a ?a?

2 2 ?2? a ? ? a2 ? ? ? a ?a?
2

?

2 2?2 2

? 2 ?1

当且仅当 a ?

2 ,即 a ? 2 时,等号成立. a

∴当 AD ? ME ?

2 时,满足条件的球最大半径为 2 ? 1 .

练习:一个正四面体内切球的表面积为 3? ,求正四面体的棱长。 (答案为: 2 ) 【点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点位置,作出截面图是解题的关键。 二、 球与棱柱的组合体问题 1. 正方体的内切球: 球与正方体的每个面都相 切,切点为每个面的中心,显然 球心为正方体的中心。 设正方体 的棱长为 a ,球半径为 R 。 如图 3,截面图为正方形 图3 图4 图5

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EFGH 的内切圆,得 R ?

a ; 2

2. 与正方体各棱相切的球:球与正方体的各棱相切,切点为各棱的中点,如图 4 作 截面图,圆 O 为正方形 EFGH 的外接圆,易得 R ?

2 a。 2

3. 正方体的外接球:正方体的八个顶点都在球面上,如图 5,以对角面 AA1 作截面图 得,圆 O 为矩形 AA1C1C 的外接圆,易得 R ? A1O ?

3 a。 2

例 3.在球面上有四个点 P 、 A 、 B 、 C .如果 PA 、 PB 、 PC 两两互相垂直,且

PA ? PB ? PC ? a ,那么这个球的表面积是______.
解:由已知可得 PA 、 PB 、 PC 实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱,正方 体的对角线长就是球的直径,连结过点 C 的一条对角线 CD ,则 CD 过球心 O ,对角线

CD ? 3a
? S 球表面积 ? 3 ? 2 ? ? 4? ? ? ? 2 a ? ? 3? ? a ? ?
2

练习:一棱长为 2 a 的框架型正方体,内放一能充气吹胀的气球,求当球与正方体棱适 好接触但又不至于变形时的球的体积。(答案为 V ?

3 4

? 2a ?

3

?

6 3 a ) 2

4.构造直三角形,巧解正棱柱与球的组合问题 正棱柱的外接球,其球心定在上下底面中心连线的中点处,由球心、底面中心及底面一 顶点构成的直角三角形便可得球半径。 例 4.已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的六个顶点在球 O1 上,又知球 O2 与此正三棱柱的 5 个面都相切,求球 O1 与球 O2 的体积之比与表面积之比。 分析:先画出过球心的截面图,再来探求半径之间的关系。 解:如图 6,由题意得两球心 O1 、 O2 是重合的, 过正三棱柱的一条侧棱 AA1 和它们的球心作截面, 设正 三棱柱底面边长为 a , 则 R2 ?

3 a, 正三棱柱的高为 6
图6

h ? 2 R2 ?

3 a ,由 Rt?A1 D1O 中,得 3
第 7 页 共 7 页

? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? 5 5 ? ? R2 2 ? ? ? ?? ? ? a 2 ,? R1 ? R1 ? ? a a a a ? 3 ? ? 3 ? ? 6 ? 12 12 ? ? ? ? ? ?
2

2

2

2

? S1 : S 2 ? R1 : R2 ? 5 : 1 , V1 : V2 ? 5 5 : 1
练习: 正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的各顶点都在半径为 R 的球面上, 求正四棱柱的侧 面积的最大值。 (答案为: 4 2 R ) 【点评】“内切”和“外接”等有关问题,首先要弄清几何体之间的相互关系,主要是 指特殊的点、线、面之间关系,然后把相关的元素放到这些关系中解决问题,作出合适的截 面图来确定有关元素间的数量关系,是解决这类问题的最佳途径。
2

2

2

典型例题 1——球的截面
例 1 球面上有三点 A 、 B 、 C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点,其中 AB ? 18 , BC ? 24 、 AC ? 30 ,球心到这个截面的距离为球半径的一半,求球的表面积. 分析:求球的表面积的关键是求球的半径,本题的条件涉及球的截面, ?ABC 是截面 的内接三角形,由此可利用三角形求截面圆的半径,球心到截面的距离为球半径的一半,从 而可由关系式 r ? R ? d 求出球半径 R .
2 2 2

解:∵ AB ? 18 , BC ? 24 , AC ? 30 , ∴ AB ? BC ? AC , ?ABC 是以 AC 为斜边的直角三角形.
2 2 2

∴ ?ABC 的外接圆的半径为 15 ,即截面圆的半径 r ? 15 , 又球心到截面的距离为 d ?

1 1 R ,∴ R 2 ? ( R ) 2 ? 15 2 ,得 R ? 10 3 . 2 2

∴球的表面积为 S ? 4?R2 ? 4? (10 3)2 ? 1200 ?. 说明:涉及到球的截面的问题,总是使用关系式 r ?

R2 ? d 2 解题,我们可以通过两

个量求第三个量,也可能是抓三个量之间的其它关系,求三个量. 【练习】过球 O 表面上一点 A 引三条长度相等的弦 AB 、 AC 、 AD ,且两两夹角都 为 60 ? ,若球半径为 R ,求弦 AB 的长度. 由条件可抓住 A ? BCD 是正四面体, A 、 B 、 C 、 D 为球上四点,则球心在正四面 体中心,设 AB ? a ,则截面 BCD 与球心的距离 d ?

6 a ? R ,过点 B 、 C 、 D 的截面 3

圆半径 r ?

3 3 2 6 2 6 a ,所以 ( a) ? R 2 ? ( a ? R) 2 得 a ? R. 3 3 3 3

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典型例题 2——球面距离
例 2 过球面上两点作球的大圆,可能的个数是( ) . A.有且只有一个 B.一个或无穷多个 C.无数个 D.以上均不正确 分析:对球面上两点及球心这三点的位置关系进行讨论.当三点不共线时,可以作一个 大圆;当三点共线时,可作无数个大圆,故选 B. 例 3 球面上有 3 个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 小圆的周长为 4? ,求这个球的半径. 分析:利用球的概念性质和球面距离的知识求解. 设球的半径为 R ,小圆的半径为 r ,则 2?r ? 4? ,∴ r ? 2 . 如图所示,设三点 A 、 B 、 C , O 为球心,

1 ,经过 3 个点的 6

2? ? O B 是等边三角形, ? . 又∵ OA ? OB , ∴ ?A 6 3 同样, ?BOC 、 ?COA 都是等边三角形,得 ?ABC 为等边三角形,边长等于球 ?AOB ? ?BOC ? ?COA ?
半径 R . r 为 ?ABC 的外接圆半径, r ?

3 3 3 r ?2 3. AB ? R,R ? 3 3 3

说明: 本题是近年来球这部分所出的最为综合全面的一道题, 除了考查常规的与多面体 综合外,还考查了球面距离,几乎涵盖了球这部分所有的主要知识点,是一道不可多得的好 题. 例4

A 、 B 是半径为 R 的球 O 的球面上两点,它们的球面距离为
?
2

?
2

R ,求过 A 、 B

的平面中,与球心的最大距离是多少? 分析: A 、 B 是球面上两点,球面距离为

R ,转化为球心角 ?AOB ?

?
2

,从而

AB ? 2 R ,由关系式 r 2 ? R 2 ? d 2 , r 越小, d 越大, r 是过 A 、 B 的球的截面圆的半
径,所以 AB 为圆的直径, r 最小. 解:∵球面上 A 、 B 两点的球面的距离为

?
2

R.

∴ ?AOB ?

?
2

,∴ AB ?

2R .

当 AB 成为圆的直径时, r 取最小值,此时 r ?

1 2 AB ? R , d 取最大值, 2 2
2 R. 2

d ? R2 ? r 2 ?

2 R, 2
2 2

即球心与过 A 、 B 的截面圆距离最大值为
2

说明:利用关系式 r ? R ? d 不仅可以知二求一,而且可以借此分析截面的半径 r 与 球心到截面的距离 d 之间的变化规律. 此外本题还涉及到球面距离的使用, 球面距离直接与 两点的球心角 ?AOB 有关,而球心角 ?AOB 又直接与 AB 长度发生联系,这是使用或者求 球面距离的一条基本线索.

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典型例题 3——其它问题
例 5 .自半径为 R 的球面上一点 M ,引球的三条两两垂直的弦 MA, MB, MC ,求

MA2 ? MB 2 ? MC 2 的值.
分析:此题欲计算所求值,应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算,所以应引导 学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系,便于将球的条件与之相联. 解:以 MA, MB , MC 为从一个顶点出发的三条棱,将三棱锥 M ? ABC 补成一个长方 体,则另外四个顶点必在球面上,故长方体是球的内接长方体,则长方体的对角线长是球的 直径.

? MA2 ? MB 2 ? MC 2 = (2R) 2 ? 4R 2 .
说明: 此题突出构造法的使用, 以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算. 例 6.试比较等体积的球与正方体的表面积的大小. 分析:首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长,找出等量关系,再转化为其面积的大 小关系. 解:设球的半径为 r ,正方体的棱长为 a ,它们的体积均为 V ,

则由

4? 3 3V 3V r ? V,r3 ? ,r ? 3 ,由 a 3 ? V , 得 a ? 3 V . 3 4? 4?

S 球 ? 4?r 2 ? 4? (3

3V 2 3 V2 . ) ? 4?V 2 . S 正方体 ? 6a 2 ? 6(3 V ) 2 ? 63 V 2 ? 3 2 1 6 4?

? 4? ? 216 ? 3 4?V 2 ? 3 216 V 2 ,即 S 球 ? S 正方体 .

典型例题 4——球与几何体的切、接问题
例 7 一个倒圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在容器内注入水,并放 入一个半径为 r 的铁球,这时水面恰好和球面相切.问将球从圆锥内取出后,圆 锥内水平面的高是多少? 分析: 先作出轴截面, 弄清楚圆锥和球相切时的位置特征, 利用铁球取出后, 锥内下降部分(圆台)的体积等于球的体积,列式求解. 解: 如图作轴截面, 设球未取出时水面高 PC ? h , 球取出后, 水面高 PH ? x ∵ AC ? 3r , PC ? 3r , 则以 AB 为底面直径的圆锥容积为 V圆锥 ? 球取出后水面下降到 EF ,水体积为

1 1 ? ? AC 2 ? PC ? ? ( 3r ) 2 ? 3r ? 3?r 3 , 3 3

第 10 页 共 10 页

1 1 1 V水 ? ? ? EH 2 ? PH ? ? ( PH tan 30?) 2 PH ? ?x 3 . 3 3 9 1 3 4 3 3 又 V水 ? V圆锥 ? V球 ,则 ?x ? 3?r ? ?r , 9 3

解得 x ? 3 15r .

例 8.设正四面体中,第一个球是它的内切球,第二个球是它的外接球,求这两个球的 表面积之比及体积之比. 分析: 此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系, 第二个关键是两 个球的半径之间的关系,依靠体积分割的方法来解决的. 解:如图,正四面体 ABCD 的中心为 O , ?BCD 的中心为 O1 ,则第一个球半径为正 四面体的中心到各面的距离,第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离. 设 OO1 ? r, OA ? R ,正四面体的一个面的面积为 S .

1 S (R ? r) , 3 ? R ? r ? 4 r 即 R ? 3r .
依题意得 V A? BCD ?

又 V A? BCD ? 4VO ? BCD ? 4 ?

1 r?S 3

4 3 ?r 内切球的表面积 4?r 2 1 内切球的体积 1 3 ? ? 所以 . . ? ? 2 4 3 27 外接球的表面积 4?R 9 外接球的体积 ?R 3
说明:正四面体与球的接切问题,可通过线面关系证出,内切球和外接球的两个球心是 重合的,为正四面体高的四等分点,即定有内切球的半径 r ? 外接球的半径 R ? 3r . 例 9.把四个半径都是 1 的球中的三个放在桌面上,使它两两外切,然后在它们上面放 上第四个球,使它与前三个都相切,求第四个球的最高点与桌面的距离. 分析:关键在于能根据要求构造出相应的几何体,由于四个球半径相等,故四个球一定 组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和 2. 解:四球心组成棱长为 2 的正四面体的四个顶点,则正四面体的高

1 h ( h 为正四面体的高),且 4

h ? 2 2 ? (2 ?

3 2 2 6 . ) ? 3 3

而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径 1, 且三个球心到桌面的距离都 为 1,故第四个球的最高点与桌面的距离为 2 ?

2 6 . 3

例 10. 如图 1 所示, 在棱长为 1 的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切. (1) 求两球半径之和; (2)球的半径为多少时,两球体积之和最小. 分析:此题的关键在于作截面,一个球在正方体内,学生一般知道作对角面,而两个球 的球心连线也应在正方体的体对角线上,故仍需作正方体的对角面 ,得如图 2 的截面图, 在图 2 中,观察 R 与 r 和棱长间的关系即可. 解:如图 2,球心 O1 和 O2 在 AC 上,过 O1 , O2 分别作 AD, BC 的垂线交于 E , F .
第 11 页 共 11 页

则由 AB ? 1, AC ? 3 得 AO1 ? 3r, CO2 ? 3R .

? r ? R ? 3(r ? R) ? 3 ,
(1)设两球体积之和为 V , 则V ?

?R ? r ?

3 3 ?1

?

3? 3 . 2
图2

4 4 ? ( R 3 ? r 3 ) ? ? (r ? R)( R 2 ? Rr ? r 2 ) 3 3

=

? 4 3 3? 3 3 2 3 3 4 3 3 ) ? 3R ( ? R)? ? ( R ? r ) 2 ? 3rR ? ? ?( 3 2 ? 2 2 3 2 ?

?

?

= ?

4 3

3 3 ? 2 3(3 ? 3 ) 3? 3 2? R?( ) ? ?3R ? 2 ? 2 2 ?

当R ?

3? 3 3? 3 时, V 有最小值.? 当 R ? r ? 时,体积之和有最小值. 4 4

作业
1. 正三棱锥的高为 1,底面边长为 2 6 ,正三棱锥内有一个球与其四个面

相切.求球的表面积与体积. 解:如图,球 O 是正三棱锥 P ? ABC 的内切球,O 到正三棱锥四个面的距离 都是球的半径 R .

PH 是正三棱锥的高,即 PH ? 1 . E 是 BC 边中点, H 在 AE 上,
?ABC 的边长为 2 6 ,∴ HE ?

3 ?2 6 ? 2 . 6

∴ PE ? 3

可以得到 S ?PAB ? S ?PAC ? S ?PBC ?

1 BC ? PE ? 3 2 . 2

S ?ABC ?

3 (2 6 ) 2 ? 6 3 4

由等体积法, VP? ABC ? VO?PAB ? VO?PAC ? VO?PBC ? VO? ABC ∴ ? 6 3 ?1 ?

1 3

1 1 ?3 2 ? R?3? ?6 3 ? R 3 3

得: R ? ∴ V球 ?

2 3 ? 6 ?2, 2 3 ?3
4 3 4 ?R ? ? ( 6 ? 2) 3 . 3 3

∴ S球 ? 4?R 2 ? 4? ( 6 ? 2) 2 ? 8(5 ? 2 6 )? .

说明: 球心是决定球的位置关键点, 本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球 半径 R 来求出 R ,以球心的位置特点来抓球的基本量,这是解决球有关问题常 用的方法. 2. 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.

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分析:首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥,它们公共的轴截面,然后寻找几何体与 几何体之间元素的关系. 解:如图,等边 ?SAB 为圆锥的轴截面,此截面截圆柱得正方形 C1CDD1 ,截球面得球的 大圆圆 O1 . 设球的半径 OO1 ? R ,则它的外切圆柱的高为 2 R ,底面半径为 R ;

OB ? O1O ? cot30? ? 3R ,
∴ V球 ?

SO ? OB ? tan60? ? 3R ? 3 ? 3R ,
1 V锥 ? ? ? ( 3R) 2 ? 3R ? 3?R 3 , 3

4 3 ?R , V柱 ? ?R2 ? 2R ? 2?R3 , 3

∴ V球∶ V柱∶ V锥 ? 4 ∶ 6 ∶ 9.

3 在球心同侧有相距 9cm 的两个平行截面,它们的面积分别为 49?cm

2

?cm .求球的表面积. 和 400
2

分析:可画出球的轴截面,利用球的截面性质,求球的半径.

解:如图为球的轴截面,由球的截面性质知, AO1 // BO2 ,且若 O1 、 O2 分别为两截面 圆的圆心,则 OO1 ? AO 1 , OO2 ? BO2 .设球的半径为 R . ∵ ? ? O2 B ? 49? ,∴ O2 B ? 7(cm)
2

同理 ? ? O1 A ? 400 ? ,∴ O1 A ? 20(cm)
2

设 OO1 ? xcm ,则 OO2 ? ( x ? 9)cm .
2 2 2 在 Rt?OO1 A 中, R ? x ? 20 ;在 Rt?OO2 B 中, R ? ( x ? 9) ? 7 ,
2 2 2

∴ x ? 20 ? 7 ? ( x ? 9) ,解得 x ? 15 ,
2 2 2
2 2 2 2 ∴ R ? x ? 20 ? 25 ,∴ R ? 25

∴ S球 ? 4?R ? 2500 ? (cm ) .
2 2

∴球的表面积为 2500 ? cm .
2

1. 已 知 三 棱 柱 ABC ? A 1B 1C1 的

6

个 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上 , 若 ( )

AB ? 3,AC ? 4 , AB ? AC , AA1 ? 12 ,则球 O 的半径为
第 13 页 共 13 页

A. 3 17
2

B. 2 10

C. 13
2

D. 3 10

2. 已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为,底面边长为,则以 O 为球心,OA 为半径的球的表面积为 ________. 3. 已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点, AH : HB ? 1: 2 , AB ? 平面 ? , H 为垂足, ? 截球 O 所得截面的面积为 ? ,则球 O 的表面积为_______. 4. 已 知 圆 O 和 圆 K 是 球 O 的 大 圆 和 小 圆 , 其 公 共 弦 长 等 于 球 O 的 半 径, OK ? ,且圆O与圆K 所在的平面所成角为60?, 则球 O 的表面积等于______. 5. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上 . 若球的体积为 ______.

3 2

9? , 则正方体的棱长为 2

SC ?ABC 是边长为1 的正三角形, 6. 已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上, 为球 O 的直径,且 SC ? 2 ;则此棱锥的体积为( )
( A)

2 6

( B)

3 6

(C )

2 3

(D)

2 2

7. 已知正三棱锥 P ? ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3 的求面上,若 PA,PB,PC 两两互 相垂直,则球心到截面 ABC 的距离为________.

8.

已 知 S , A, B, C 是 球 O 表 面 上 的 点 , SA ? 平面ABC , AB ? BC ,

SA ? AB ? 1 BC ? 2 ,则球 O 的表面积等于
(A)4 ? (B)3 ? (C)2 ? (D) ?

9. 圆柱形容器内部盛有高度为 8cm 的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半 径相同) 后, 水恰好淹没最上面的球 (如图所示) , 则球的半径是 cm_________. 10. 设 OA 是球 O 的半径,M 是 OA 的中点,过 M 且与 OA 成 45° 角的平面截球 O 的表面 得到圆 C。若圆 C 的面积等于

7? ,则球 O 的表面积等于 4

.

11.

直 三 棱 柱

A B ?C 1

1

各 A 的 B C 顶 点 都 在 同 一 球 面 上 , 若 1

AB ? AC ? AA1 ? 2 , ?BAC ? 120? ,则此球的表面积等于

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12. 已知 OA 为球 O 的半径,过 OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截球面得到 M ,若圆 M 的面积为 3? ,则球 O 的表面积等于__________________.

13. 在半径为 13 的球面上有 A , B, C 三点,AB=6,BC=8,CA=10,则 (1)球心到平面 ABC 的距离为 ; .

(2)过A,B 两点的大圆面为平面 ABC 所成二面角为(锐角)的正切值为

14. 已知球的半径为 2, 相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆. 若两圆的公共弦长为 2, 则两圆的圆心距等于( A.1 B. 2 ) C. 3 D.2

15. 设 M , N 是球心 O 的半径 OP 上的两点,且 NP ? MN ? OM ,分别过 N , M , O 作垂线 于 OP 的面截球得三个圆,则这三个圆的面积之比为:( (A) 3,5,6 (B) 3, 6,8 (C) 5, 7, 9 )

(D) 5,8, 9

16. 连结球面上两点的线段称为球的弦。半径为 4 的球的两条弦 AB 、 CD 的长度分别等于

2 7 、 4 3 , M 、 N 分别为 AB 、 CD 的中点,每条弦的两端都在球面上运动,有下列
四个命题: ①弦 AB 、 CD 可能相交于点 M ③ MN 的最大值为 5 其中真命题的个数为( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 ②弦 AB 、 CD 可能相交于点 N ④ MN 的最小值为 1 D.4 个

17. 用与球心距离为 1 的平面去截球,所得的截面面积为 ? ,则球的体积为( A.

)

8? 3

B.

8 2? 3

C. 8 2?

D.

32? 3

18. 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面 上,且该六棱柱的体积为

9 ,底面周长为 3,那么这个球的体积为 ______. 8

19. 棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的 8 个顶点都在球 O 的表面上, E,F 分别是棱

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AA1 , DD1 的中点,则直线 EF 被球 O 截得的线段长为(
A.



2 2

B. 1

C. 1 ?

2 2

D. 2

20. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为 1,2,3, 则此球的表面积为

21.已知球的表面积为 20π ,球面上有 A、B、C 三点.如果 AB=AC=BC=2 3,则球心到平面 ABC 的距离为( )

A.1

B. 2

C. 3

D.2

22. 球面上有三点 A、B、C 组成这个球的一个截面的内接三角形,AB=18,BC=24,AC=30, 且球心到该截面的距离为球半径的一半,那么这个球的体积是______. 23. 将半径都为 1 的 4 个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小 值为( )

A.

3+2 6 3

B.2+

2 6 3

C.4+

2 6 3

D.

4 3+2 6 3

答案:1.C;2. 24? ;3. 9? ;4. 16? ;5.
2

3 ;6.A;7.

3 3

;8.A;9.4;

10. 8π ;11.20; 12.16 13.(1)12 (2)3; 14.C;15.D; 16.C; 17.B;18. 19.D;20. 14 π ;21.A; 22. 10 3;23.C

4 ?; 3

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