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指数、对数、幂函数高考题(1)老师专用


指数函数、对数函数、幂函数高考专题(1)
1. (2007 北京文、理,5 分)函数 f ( x) ? 3x (0 ? x ≤ 2) 的反函数的定义域为( ) A. (0, ? ?)

, 9] B. (1

1) C. (0,

D. [9, ? ?)

B;[解析] 函数 f ( x)

? 3x (0 ? x ≤ 2) 的反函数的定义域为原函数的值域,原函数的值域为 (1 , 9] 。 2. ( 2007 山 东 文 、 理 , 5 分 ) 给 出 下 列 三 个 等 式 : f ( xy) ? f ( x) ? f ( y),f ( x ? y ) ? f ( x) f ( y ) ,

f ( x ? y) ?

f ( x) ? f ( y ) .下列函数中不满足其中任何一个等式的是( ) 1 ? f ( x) f ( y )
B. f ( x) ? sin x C. f ( x) ? log2 x D. f ( x) ? tan x

A. f ( x) ? 3x

B;[解析] 依据指、对数函数的性质可以发现 A 满足 f ( x ? y ) ? f ( x) f ( y ) ,C 满足 f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y ) ,而 D 满足 f ( x ? y ) ?

f ( x) ? f ( y ) ,B 不满足其中任何一个等式。 1 ? f ( x) f ( y )

3. (2007 全国 2 理,5 分)以下四个数中的最大者是( ) A. (ln2)2 B.ln(ln2) C.ln 2 D.ln2

D;[解析] ∵ 0 ? ln 2 ? 1 ,∴ln(ln2)<0, (ln2)2<ln2,而 ln 2 =

1 ln2<ln2,∴最大的数是 ln2。 2

[考点透析]根据对数函数的基本性质判断对应函数值的大小关系,一般是通过介值(0,1 等一些特殊值)结合对 数函数的特殊值来加以判断。 4. (2007 安徽理,5 分)若 A= {x ? Z | 2 ? 2 A.0 个 B.1 个
2? x 2? x

? 8} ,B= {x ? R || log2 x |? 1} ,则 A ? (CR B) 的元素个数为( )
D.3 个

C.2 个

C ; [ 解 析 ] 由 于 A= {x ? Z | 2 ? 2 B= {x ? R || log2 x |? 1} = {x ? R | 0 ? x ?

,而 ? 8} = {x ? Z | 1 ? 2 ? x ? 3} = {x ? Z | ?1 ? x ? 1} = { 0 , 1 }

1 或x ? 2} ,那么 A ? (CR B) ={0,1} ,则 A ? (CR B) 的元素个数为 2 个。 2

[考点透析] 从指数函数与对数函数的单调性入手,解答相关的不等式,再根据集合的运算加以分析和判断,得出 对应集合的元素个数问题。 5. (2007 江苏,5 分)设 f ( x ) ? lg( A. (?1, 0) B. (0,1)

2 ? a ) 是奇函数,则使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是( ) 1? x
C. ( ??, 0) D. (??,0)

(1, ??)

?1 ? x ?0 ? 1? x ?1 ? x f ( x ) ? lg ? 0 A;[解析] 由 f (0) ? 0得a ? ?1 , ,得 ? ,? ?1 ? x ? 0 。 1 ? x 1? x ? ?1 ? ?1 ? x
[考点透析]根据对数函数中的奇偶性问题,结合对数函数的性质,求解相关的不等式问题,要注意首要条件是对数 函数的真数必须大于零的前提条件。

6. (2007 北京理,5 分)对于函数① f ( x) ? lg( x ? 2 ? 1) ,② f ( x) ? ( x ? 2)2 ,③ f ( x) ? cos( x ? 2) ,判断如下 三个命题的真假: 命题甲: f ( x ? 2) 是偶函数; 命题乙: f ( x ) 在 ( ??, ?) 上是减函数,在 (2, ? ?) 上是增函数; 命题丙: f ( x ? 2) ? f ( x) 在 (??, ? ?) 上是增函数. 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是( ) A.①③ B.①② C.③

D.②

D;[解析] 函数① f ( x) ? lg( x ? 2 ? 1) ,函数 f ( x ? 2) = lg(| x | ?1) 是偶函数;且 f ( x) 在 ( ??, ?) 上是减函数,在

(2, ? ?) 上是增函数;但对命题丙: f ( x ? 2) ? f ( x) = lg(| x | ?1) ? lg(| x ? 2 | ?1) ? lg

| x | ?1 在 x∈(-∞,0)时, | x ? 2 | ?1
函 2 )数

lg

(| x | ? 1) ?x ? 1 2 ? lg ? lg(1? ) 为 减 函 数 , 排 除 函 数 ① , 对 于 函 数 ③ , f ( x)? c o sx ? ( (| x ? 2 | ? 1) 2? x ? 1 x? 3

f ( x? 2 )? c o s x(? 不是偶函数,排除函数③,只有函数② 2) f ( x) ? ( x ? 2)2 符合要求。
[考点透析]根据对数函数、 幂函数、 三角函数的相关性质来分析判断相关的命题, 也是高考中比较常见的问题之一, 正确处理对应函数的单调性与奇偶性问题。 7. (2007 天津理,5 分)函数 y ? log 2 A. y ? 4x ? 2x ?1 ( x ? 2) C. y ? 4x ? 2x ? 2 ( x ? 2)

?

x ? 4 ? 2 ( x ? 0) 的反函数是( )

?

B. y ? 4x ? 2x ?1 ( x ? 1) D. y ? 4x ? 2x ? 2 ( x ? 1)

C;[解析] 原函数过 (?4,1) 故反函数过 (1, ?4) 从而排除 A、B、D。 [考点透析]根据对应对数函数型的函数的反函数的求解步骤加以分析求解对应的反函数, 但通过原函数与反函数之 间的特殊关系,利用排除法加以分析显得更加简单快捷。

?1? ?1? 8. (2007 天津理,5 分)设 a , b, c 均为正数,且 2a ? log 1 a, ? ? ? log 1 b, ? ? ? log 2 c, 则( ) ? 2? ? 2? 2 2
A. a ? b ? c B. c ? b ? a
a

b

c

C. c ? a ? b
a

D. b ? a ? c
b

1 ?1? a ? ?1 ? a0 ? A ; [ 解 析 ] 由 2 ? log 1 a 可 知 a ? 0 ? 2 ? 1 ? l o 1 g , 由 ? ? ? l o1g b 可 知 2 ? 2? 2 2 2
b ? 0? 0? l o g? ? 1 ? ,由 ? ? ? log 2 c 可知 c ? 0 ? 0 ? log 2 c ? 1 ? 1 ? c ? 2 ,从而 a ? b ? c 。 b 1 ? 1 b
2

1 2

?1? ?2?

c

[考点透析] 根据指、对数函数的性质及其相关的知识来处理一些数或式的大小关系是全面考察多个基本初等函数 比较常用的方法之一。关键是掌握对应函数的基本性质及其应用。 9. (2007 广东理,5 分)已知函数 f ( x) ? A. x x ? 1

1 1 ? x) 的定义域为 N,则 M ? N( ) 的定义域为 M, g ( x) ? ln( 1? x
C. x ? 1 ? x ? 1

?

?

B. x x ? 1

?

?

?

?

D. ?

C;[解析] 依题意可得函数 f ( x) ?

1 的定义域 M= {x | 1 ? x ? 0} = {x | x ? 1} , 1? x

g ( x) ? ln(1 ? x) 的定义域 N= {x | 1 ? x ? 0} = {x | x ? ?1},
所以 M ? N= {x | x ? 1} ? {x | x ? ?1}= x ? 1 ? x ? 1 。 [考点透析] 本题以函数为载体,重点考查幂函数与对数函数的定义域,集合的交集的概念及其运算等基础知识, 灵活而不难. 10. (2007 山东理,5 分)设 a ? {-1,1,

?

?

1 ,3},则使函数 y=xa 的定义域为 R 且为奇函数的所有 a 值为( ) 2

A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 A;[解析] 观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项。 [考点透析] 根据幂函数的性质加以比较,从而得以判断.熟练掌握一些常用函数的图象与性质,可以比较快速地 判断奇偶性问题.特别是指数函数、对数函数、幂函数及其一些简单函数的基本性质. 11. (2007 江苏,5 分)设函数 f ( x) 定义在实数集上,它的图象关于直线 x =1 对称,且当 x ? 1 时, f ( x) = 3 ? 1 ,
x

则有(



1 3 2 3 2 3 2 1 3 C. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 3 3 2

A. f ( ) ? f ( ) ? f ( )

2 3 1 3 2 3 3 2 1 D. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 2 3 3
B. f ( ) ? f ( ) ? f ( )
x

x B;[解析] 当 x ? 1 时, f ( x) = 3 ? 1 ,其图象是函数 y ? 3 向下平移一个单位而得到的 x ? 1 时图象部分,如图所

示, 又函数 f ( x) 的图象关于直线 x =1 对称,那么函数 f ( x) 的图象如下图中的实线部分, 即函数 f ( x) 在区间 (??,1) 上是单调减少函数, 又 f ( ) = f ( ) ,而

3 2

1 2

1 1 2 1 1 2 2 3 1 ? ? ,则有 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ,即 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) . 3 2 3 3 2 3 3 2 3

[考点透析] 利用指数函数的图象结合题目中相应的条件加以分析, 通过图象可以非常直观地判断对应的性质关系. 12. (2007 湖南文、 理, 5 分) 函数 f ?x ? ? ? A.4 B.3

? 4x ? 4, x ? 1 的图象和函数 g ?x ? ? log2 x 的图象的交点个数是 ( 2 x ? 4 x ? 3 , x ? 1 ?
C.2 D.1



B;[解析] 函数 f ?x ? ? ?

? 4x ? 4, x ? 1 的图象和函数 g ?x ? ? log2 x 的图象如下: 2 ? x ? 4 x ? 3, x ? 1

根据以上图形,可以判断两函数的图象之间有三个交点。 [考点透析] 作出分段函数与对数函数的相应图象,根据对应的交点情况加以判断。指数函数与对数函数的图象既 是函数性质的一个重要方面,又能直观地反映函数的性质,在解题过程中,充分发挥图象的工具作用。特别注意指数 函数与对数函数的图象关于直线 y ? x 对称。在求解过程中注意数形结合可以使解题过程更加简捷易懂。 13. (2007 四川文、理,5 分)函数 f ( x) = 1 ? log2 x 与 g ( x) = 2
? x ?1

在同一直角坐标系下的图象大致是( )

C ; [ 解析 ] 函数 f ( x) = 1 ? log2 x 的图象是由函数 y ? log2 x 的图象向上平移 1 个单位而得来的;又由于

g ( x) = 2 ? x ?1 = 2? ( x ?1) ,则函数 g ( x) = 2 ? x ?1 的图象是由函数 y ? 2? x 的图象向右平移 1 个单位而得来的;故两函数在同
一直角坐标系下的图象大致是:C。 [考点透析] 根据函数表达式与基本初等函数之间的关系,结合函数图象的平移法则,得出相应的正确判断。 14. (2007 全国Ⅰ文理 5 分)设 a ? 1 ,函数 f ( x) = loga x 在区间 [a,2a] 上的最大值与最小值之差为 A. 2 B.2 C .2 2 D.4

1 ,则 a =() 2

D;[解析] 由于 a ? 1 ,函数 f ( x) = loga x 在区间 [a,2a] 上的最大值与最小值之差为 那么 loga 2a ? loga a =

1 , 2

1 1 ,即 loga 2 = ,解得 a 2 ? 2 ,即 a =4。 2 2

1

[考点透析] 根据对数函数的单调性,函数 f ( x) = loga x 在区间 [a,2a] 的端点上取得最值,由 a ? 1 知函数在对应 的区间上为增函数。 15. (2008 山东临沂模拟理,5 分)若 a ? 1 ,且 a ? x ? loga x ? a ? y ? loga y ,则 x 与 y 之间的大小关系是( ) A. x ? y ? 0 B. x ? y ? 0 C. y ? x ? 0 D.无法确定

?x A;[解析] 通过整体性思想,设 f ( x) ? a ? x ? loga x ,我们知道当 a ? 1 时,函数 y1 ? a 与函数 y2 ? ? loga x 在

区 间 (0,??) 上 都 是 减 函 数 , 那 么 函 数 f ( x) ? a ? x ? loga x 在 区 间 (0,??) 上 也 是 减 函 数 , 那 么 问 题 就 转 化 为

f ( x) ? f ( y ) ,由于函数 f ( x) ? a ? x ? loga x 在区间 (0,??) 上也是减函数,那么就有 x ? y ? 0 。
[考点透析] 这个不等式两边都由底数为 a 的指数函数与对数函数组成,且变量又不相同,一直很难下手。通过整 体思维,结合指数函数与对数函数的性质加以分析,可以巧妙地转化角度,达到判断的目的。 16. (2008 海南三亚模拟理,5 分)函数 y ? e
|ln x|

? | x ? 1 | 的图象大致是( )

D;[解析] 函数 y ? e|ln x| ? | x ? 1 | 可转化为 y ? ?

1 ? ? x ? ? 1, 0 ? x ? 1 ,根据解析式可先排除(A) , ( C) ,又当 x ? x ?1 ? 1,

0 ? x ? 1 时, y ? 0 ,可排除(B) ,故选(D) 。
[考点透析] 把相应的含有指数函数和对数函数的关系式,加以巧妙转化,转化成相应的分段函数,结合分段函数 的定义域和基本函数的图象加以分析求解和判断。 17. (2007 全国 1 文、理,5 分)函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? log3 x

( x ? 0) 的图象关于直线 y ? x 对称,则

f ( x) ? ____________。 f ( x) ? 3x ( x ? R) ; [解析] 函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? log3 x ( x ? 0) 的图象关于直线 y ? x 对称, 则 f ( x)
与函数 y ? log3 x

( x ? 0) 互为反函数, f ( x) ? 3x ( x ? R) 。

[考点透析]对数函数与指数函数互为反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称,在实际应用中经常会碰到,要加以重 视。 18. (2007 上海理,5 分)函数 f ? x ? ?

lg ? 4 ? x ? x?3

的定义域为_________。

?x x ? 4 且 x ? 3?;[解析]

?4 ? x ? 0 ? ? x x ? 4 且 x ? 3 ?。 ? ?x ? 3 ? 0

[考点透析] 考察对数函数中的定义域问题,关键是结合对数函数中的真数大于零的条件,结合其他相关条件来分 析判断相关的定义域问题。 19. (2007 江西理,5 分)设函数 y ? 4 ? log 2 ( x ? 1)( x ≥ 3) ,则其反函数的定义域为_________。 [5,+∞) ;[解析] 反函数的定义即为原函数的值域,由 x≥3 得 x-1≥2,所以 log2 ( x ? 1) ? 1,所以 y≥5,反函数 的定义域为[5,+∞) ,填[5,+∞) 。 [考点透析]根据互为反函数的两个函数之间的性质:反函数的定义即为原函数的值域,结合对应的对数函数的值域 问题分析相应反函数的定义域问题。 20. (2007 上海理,5 分)方程 9 ? 6 ? 3 ? 7 ? 0 的解是_________。
x x

,? x ? log3 7 。 x ? log3 7 ;[解析] (3x )2 ? 6 ? 3x ? 7 ? 0 ? 3x ? 7或3x ? ?1 (舍去) [考点透析]求解对应的指数方程,要根据相应的题目条件,转化为对应的方程加以分析求解,同时要注意题目中对 应的指数式的值大于零的条件。 21. (2007 四川理,5 分)若函数 f ( x) ? e?( x?? ) ( e 是自然对数的底数)的最大值是 m ,且 f ( x ) 是偶函数,则
2

m ? ? ? ________.

1 ; [ 解 析 ] f ( x) ? e
0

? ( x ? ? )2

?1? ?? ? ?e?

( x ? ? )2

,设 t ? ? x ?? ?

2

1? ? t ? 0 ? , 此 时 f ( x) ? ? ? ? 是减函数,则最大值是 ?e?

t

?1? m ? ? ? ? 1 ,又 f ( x) 是偶函数,则 ? ? 0 ,∴ m ? ? ? 1 . ?e?
[考点透析] 根据函数的特征,结合指数函数的最值问题,函数的奇偶性问题来解决有关的参数,进而解得对应的 值。研究指数函数性质的方法,强调数形结合,强调函数图象研究性质中的作用,注意从特殊到一般的思想方法的应用, 渗透概括能力的培养。

?1? 22. (2008 江苏苏州模拟,5 分)已知函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )的图象如图,则函数 y ? ? ? 的图象可能 ?a?
x

x

是________。

?1? D;[解析] 根据函数 y ? a 的图象可知 a ? 1 ,那么对应函数 y ? ? ? 的图象是 D。 ?a?
x

x

[考点透析]根据对应指数函数的图象特征,分析对应的底数 a ? 1 ,再根据指数函数的特征分析相应的图象问题。 23. (2008 江苏南通模拟, 5 分) 设 f ( x) ? loga x( a ? 0 且 a ? 1 ) , 若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn ) ? 1 ( xi ? R ? ,

i ? 1,2,?, n ) ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn ) 的值等于________。
3 ; [ 解 析 ] 由 于 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn ) = loga x1 ? loga x2 ? ? ? loga xn = loga ( x1x2 ?xn ) =1 , 而
3 3 3 3 3 3 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn ) = loga x1 ? loga x2 ? ? ? loga xn = loga ( x1x2 ?xn )3 =3 loga ( x1x2 ?xn ) =3

3

3

3

[考点透析]根据对数函数的关系式, 以及对数函数的特征加以分析求解对应的对数式问题, 关键是加以合理地转化。 24. (2008 江苏常州模拟,5 分)将函数 y ? log 2 x 的图象向左平移一个单位,得到图象 C1,再将 C1 向上平移一 个单位得到图象 C2,则 C2 的解析式为________。

y ? log2 ( x ? 1) ? 1 ; [ 解析 ] 将函数 y ? log2 x 的图象向左平移一个单位,得到图象 C1 所对应的解析式为 y ? log2 ( x ? 1) ;要此基础上,再将 C1 向上平移一个单位得到图象 C2,则 C2 的解析式为 y ? 1 ? log2 ( x ? 1) 。
[考点透析]根据函数图象平移变换的规律加以分析判断平移问题,一般可以结合“左加右减,上减下加”的规律加 以应用。 25. (2008 广东汕头模拟理,5 分)若函数 y=lg(ax2+2x+1)的值域为 R,则实数 a 的取值范围为________。 [0,1];[解析] 由于函数 y=lg(ax2+2x+1)的值域为 R ? (0,+ ? ) ? {u(x)|u(x)=ax2+2x+1},当 a=0 时, u(x)=2x+1 的值域为 R,符合题意;当 ?

a?0 ? 时,即 0 ? a ? 1 时也符合题意。 ?? ? 4 ? 4a ? 0

[考点透析]通过引入变元,结合原函数的值域为 R,转化为 u(x)的问题来分析,要根据二次项系数的取值情况 加以分类解析。 26. (2008 海南海口模拟文、 理, 5 分) 若函数 y=log2 (kx2+4kx+3) 的定义域为 R, 则实数 k 的取值范围是________。

? 3? 0, ? ;[解析] 函数 y=log2(kx2+4kx+3)的定义域为 R ? kx2+4kx+3>0 恒成立,当 k=0 时,3>0 恒成立;当 ? ? 4?

k ?0 ? 3 时,即 0 ? k ? 时也符合题意。 ? 2 4 ?? ? 16k ? 12k ? 0
[考点透析]把函数的定义域问题转化为有关不等式的恒成立问题,再结合参数的取值情况加以分类解析。
x x

?1? ?1? 27. (2008 江苏连云港模拟,5 分)直线 x ? a ( a ? 0 )与函数 y ? ? ? 、 y ? ? ? 、 y ? 2 x 、 y ? 10x 的图 ? 2? ? 3?
像依次交于 A、B、C、D 四点,则这四点从上到下的排列次序是________。 D、C、B、A;[解析] 结合四个指数函数各自的图象特征可知这四点从上到下的排列次序是 D、C、B、A。 [考点透析]结合指数函数的图象规律,充分考察不同的底数情况下的指数函数的图象特征问题,加以判断对应的交 点的上下顺序问题。 28. (2008 宁夏银行模拟理, 5 分) 若关于 x 的方程 25
?| x ?1|

? 4 ? 5?| x?1| ? m 有实根, 则实数 m 的取值范围是________。

?| x ?1| ?| x ?1| ? 4 ? 5?| x?1| ? m 得 y 2 ? 4 y ? m ? 0 ,根据 {m| m ? ?4 };[解析] 令 y ? 5 ,则有 0 ? y ? 1,则可转化 25

2 2 题意,由于 y ? 4 y ? m ? 0 有实根,则 ? ? (?4) ? 4(?m) ? 0 ,解得 m ? ?4 。

[考点透析]通过换元,把指数方程转化为一元二次方程来分析求解,关键要注意换元中对应的参数 y 的取值范围, 为求解其他参数问题作好铺垫。 29. (2008 海南大联考模拟文、理)已知 lgx+lgy=2lg(x-2y) ,求 log

2

x 的值。 y

[分析] 考虑到对数式去掉对数符号后, 要保证 x ? 0, y ? 0, x-2y ? 0 这些条件成立。 假如 x=y, 则有 x-2y=-x ? 0, 这与对数的定义不符,从而导致多解。 [解析] 因为 lgx+lgy=2lg(x-2y) ,所以 xy=(x-2y)2, 2 2 即 x -5xy+4y =0,所以(x-y) (x-4y)=0,解得 x=y 或 x=4y, 又因为 x ? 0,y ? 0,x-2y ? 0,所以 x=y 不符合条件,应舍去, 所以

x =4,即 log y

2

x = log 2 4 =4。 y

[考点透析] 在对数式 logaN 中,必须满足 a ? 0,a ? 1 且 N ? 0 这几个条件。在解决对数问题时,要重视这几个隐 含条件,以免造成遗漏或多解。 30. (2008 宁夏大联考模拟理)根据函数 y ?| 2 ? 1 | 的图象判断:当实数 m 为何值时,方程 | 2 ? 1 |? m 无解?有
x x

一解?有两解? [分析] 可以充分结合指数函数的图象加以判断.可以把这个问题加以转换,将求方程 | 2 ? 1 |? m 的解的个数转化
x x 为两个函数 y ?| 2 ? 1 | 与 y ? m 的图象交点个数去理解。

[解析] 函数 y ?| 2 ? 1 | 的图象可由指数函数 y ? 2 的图象先向下平移一个单位,然后再作 x 轴下方的部分关于 x
x
x

轴对称图形,如下图所示,

y

y ? 2x y ?| 2 x ? 1 |

1

--1

O

1

x

函数 y ? m 的图象是与 x 轴平行的直线, 观察两图象的关系可知: 当 m ? 0 时,两函数图象没有公共点,所以方程 | 2 x ? 1 |? m 无解; 当 m ? 0 或 m ? 1 时,两函数图象只有一个公共点,所以方程 | 2 ? 1 |? m 有一解;
x

当 0 ? m ? 1时,两函数图象有两个公共点,所以方程 | 2 ? 1 |? m 有两解.
x

[考点透析]由于方程解的个数与它们对应的函数图象交点个数是相等的,所以对于含字母方程解的个数讨论,往往 用数形结合方法加以求解,准确作出相应函数的图象是正确解题的前提和关键. 31. (2008 山东淄博模拟理)已知 x1 是方程 xlgx=2008 的根, x2 是方程 x·10x=2008 的根,求 x1 x2 的值. [ 分析 ] 观察此题,易看到题中存在 lg x 和 10 ,从而联想到函数 y ? 1gx 与 y ? 10 x .而 x1 可以看成 y ? 1gx 和
x

y?

2008 2008 x x 交点的横坐标, 同样 x2 可看成 y ? 10 和 y ? 交点的横坐标, 若利用函数 y ? 1gx 与 y ? 10 的对称性, x x 2008 ,设其交点坐标为 ( x1 , y1 ) , x 2008 同样令 yc ? 10x ,它与 yb ? 的交点的横坐标为 ( x2 , y2 ) , x
[解析] 令 ya ? 1gx , yb ? 由于反比例函数关于直线 y ? x 对称,则有 ( x1 , y1 ) 和 ( x2 , y2 ) 关于直线 y ? x 对称, 点 ( x1 , y1 ) 即点 ( x1 , x2 ) 应该在函数 yb ?

此题便迎刃而解了.

2008 上,所以有 x1 x2 =2008. x

[考点透析] 中学数学未要求掌握超越方程的求解,故解题中方程是不可能的.而有效的利用指数函数和对数函数 的性质进行解题此题就不难了,否则此题是一个典型的难题.以上求解过程不能算此题超纲. 32. (2008 山东泰安模拟文、理)已知实数 a、b、c 满足 2b=a+c,且满足 2lg(b-1)=lg(a+1)+lg(c-1) ,同 时 a+b+c=15,求实数 a、b、c 的值。 [分析] 在解题过程中,遇到求某数的平方根时,一般应求出两个值来,再根据题设条件来决定取舍,如果仅仅取 算术平方根,那么往往会出现漏解。 [解析] 因为 2b=a+c,a+b+c=15,所以 3b=15,即 b=5, 由于 2b=a+c=10,则可设 a=5-d,c=5+d, 因为 2lg(b-1)=lg(a+1)+lg(c-1) , 所以 2lg4=lg(6-d)+lg(4+d) ,即 16=25-(d-1)2,则有(d-1)2=9, 所以 d-1= ? 3,则 d=4 或 d=-2, 所以实数 a、b、c 的值分别为 1,5,9 或 7,5,3。

33. (2008 江苏苏州模拟)已知 f ( x ) ? log a

1? x (a ? 0, a ? 1) 。 1? x

(1)求 f ( x) 的定义域; (2)判断 f ( x) 的奇偶性; (3)求使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围。 [解析] (1)

1? x x ?1 ? 0 ,即 ? 0 ,等价于 ( x ? 1)(x ? 1) ? 0 ,得 ? 1 ? x ? 1 , 1? x x ?1

所以 f ( x) 的定义域是 (?1,1) ; (2) f ( x) ? f (? x) ? log a

1? x 1? x ? log a = loga 1 = 0 , 1? x 1? x

所以 f (? x) ? ? f ( x) ,即 f ( x) 为奇函数; (3)由 f ( x) ? 0 ,得 log a 当 a ? 1 时,有

1? x ? 0, 1? x

1? x ? 1 ,解得 0 ? x ? 1 ; 1? x 1? x ? 1 ,解得 ? 1 ? x ? 0 ; 当 0 ? a ? 1 时,有 0 ? 1? x
故当 a ? 1 时, x ? (0,1) ;当 0 ? a ? 1 时, x ? (?1,0) 。 34. (2008 江苏盐城模拟,12 分)已知函数 f ( x) ? 1 ? f ( ) ? log 2 x 。 (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求 f ( 2) 的值; (3)解方程 f ( x) ? f (2) 。 [解析] (1)由于 f ( x) ? 1 ? f ( ) ? log 2 x ,

1 x

1 x

1 1 1 1 代 x 可得: f ( ) ? 1 ? f ( x) ? log 2 ,则有 f ( ) ? 1 ? f ( x) ? log 2 x , x x x x 1 1 把 f ( ) ? 1 ? f ( x) ? log 2 x 代入 f ( x) ? 1 ? f ( ) ? log 2 x 可得: x x
上式中,以

f ( x) ? 1 ? [1 ? f ( x) ? log2 x] ? log2 x ,解得 f ( x) ?

1 ? log2 x 1 ? log2 x
2 2



(2)由(1)得 f ( x) ?

1 ? log2 x 1 ? log2 x 1 ? log2 x 1 ? log2 x
2 2

,则 f (2) ?

1 ? log2 2 1 ? log2 2

?1;

(3)由(1)得 f ( x) ?

,则(2)得 f (2) ? 1 ,

则有 f ( x) ?

1 ? log2 x 1 ? log2 x
2

? f (2) ? 1 ,即 1 ? log2 x ? 1 ? log2 x ,

2

解得 log2 x ? 0 或 log2 x ? 1 ,所以原方程的解为: x ? 1 或 x ? 2 。 [考点透析]对于给定抽象函数关系式求解对应的函数解析式,要合理选取比较适合的方法加以分析处理,关键是要 结合抽象函数关系式的特征,这里用到的是以

1 代 x 的方式来达到求解函数解析式的目的。 x

35. (2008 广东广州模拟理,12 分)已知函数 f ( x) ? loga (a ? a x ) ( a ? 1 ) 。

(1)求 f ( x) 的定义域、值域; (2)判断 f ( x) 的单调性; (3)解不等式 f
?1

( x 2 ? 2) ? f ( x) 。

[分析]根据对数函数的特征,分析相应的定义域问题,同时结合指数函数的特征,综合分析值域与单调性问题,综 合反函数、不等式等相关内容,考察相关的不等式问题。
x [解析] (1)要使函数 f ( x) ? loga (a ? a x ) ( a ? 1 )有意义,则需要满足 a ? a ? 0 ,

x 即 a ? a ,又 a ? 1 ,解得 x ? 1 ,所以所求函数 f ( x) 的定义域为 (??,1) ;

又 loga (a ? a x ) ? loga a ? 1 ,即 f ( x) ? 1 ,所以所求函数 f ( x) 的值域为 (??,1) ; (2)令 ? ? a ? a x ,由于 a ? 1 ,则 ? ? a ? a x 在 (??,1) 上是减函数, 又 y ? loga

? 是增函数,所以函数 f ( x) ? loga (a ? a x ) 在 (??,1) 上是减函数;
y x x y

(3)设 y ? loga (a ? a x ) ,则 a ? a ? a ,所以 a ? a ? a ,即 x ? loga (a ? a y ) , 所以函数 f ( x) 的反函数为 f 由于 f
?1

?1

( x) ? loga (a ? a x ) ,
2

( x 2 ? 2) ? f ( x) ,得 loga (a ? a x
2

?2

) ? loga (a ? a x ) ,
? ax ,

x 由于 a ? 1 ,则 a ? a

?2

? a ? a x ,即 a x

2

?2

2 所以 x ? 2 ? x ,解得 ? 1 ? x ? 2 ,

而函数 f ( x) 的定义域为 (??,1) ,故原不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 1} 。 [考点透析] 主要考查指数函数与对数函数相关的定义域、值域、图象以及主要性质,应用指数函数与对数函数的 性质比较两个数的大小,以及解指数不等式与对数不等式等。


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