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湖北武汉六中2015届高三临门一脚考试数学(理)试题(word含答案)


武汉六中 2015 届高三临门一脚考试 数学(理)试题
命题教师:张绪明 审题教师:刘大岱
考试时间:2015 年 5 月 26 日下午 15:00—17:00,试卷满分:150 分

★ 祝考试顺利★

第Ⅰ卷(选择题共 50 分)
一、选择题(本题包括 10 小题;每题 5 分,共 50 分。在每小题只有一

个选项正确。 ) 1 ? 2i 1.设复数 z 满足 ? i ,则 z = z A. ? 2 ? i B. ? 2 ? i C. 2 ? i D. 2 ? i

2.设 a, b 是两个非零向量,则“ a ? b ? 0 ”是“ a, b 夹角为钝角”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.某商场在今年元霄节的促销活动中,对 3 月 5 日 9 时至 14 时的销售额进行统计,其频率分布直方图如图所示.已知 9 时至 10 时的销售额为 5 万元,则 11 时至 12 时的销售额为 A.10 万元 C.20 万元 B.15 万元 D.25 万元

4.执行如右图所示的程序框图,若输出 s 的值为 22,那么输入 的 n 值等于 A.6 B.7 C.8 D.9
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

5.如图,矩形 ABCD 的四个顶点 A(0, ?1), B(? , ?1), C(? ,1), D ? 0,1?, 正弦曲线 f ? x ? ? sinx 和余弦曲线 g ? x ? ? cosx 在矩形 ABCD 内 交于点 F,向矩形 ABCD 区域内随机投掷一点,则该点落在阴 影区域内的概率是 A. 1 ? 2

?

B. 1 ? 2 2?

C. 1 ?

D. 1 2?

[来源

6. 设函数 f(x)=sin(2 x ? ? )+ 3 cos(2 x ? ? )

? ?? ? | ? |? ? ,且其图象关于直线 x=0 对称,则 y =f(x) ? ? 2 ? ?

A.周期为 ? ,在(0, ? )上为增函数 2 C.周期为 ? ,在(0, ? )上为减函数 2
[来源:学科网 ZXXK]

B.周期为 ? ,在(0, ? )上为增函数 2 4 D.周期为 ? ,在(0, ? )上为减函数 2 4

2 2 7. 已知 F1 (?c,0), F2 (c,0) 为椭圆 x ? y ? 1 的两个焦点, P 在椭圆上且满足 PF1 ? PF2 ? c 2 ,则此椭圆 2 2 a b

离心率的取值范围是 A. [ 3 ,1) 3 B. [ 1 , 1 ] 3 2 C. [ 3 , 2 ] 3 2 D. (0,

2 ] 2

? lg x , 0 ? x ≤3 8. 已知函数 f ? x ? ? ? ,设方程 f ? x ? ? 2? x ? b ?b ? R? 的四个实根从小到 ? f 6 ? x , 3 ? x ≤ 6 ? ? ? ?

大依次为 x1,x2,x3,x4 ,对于满足条件的任意一组实根,下列判断中一定正确的为 A. x1 ? x2 ? 2 B. 1 ? x1 x2 ? 9
? x ? y ? 2 ? 0, ? ? 2 x ? y ? 2 ? 0. ?

C. 0 ? ? 6 ? x3 ?? 6 ? x4 ? ? 1

D. 9 ? x3 x4 ? 25

9. 已知 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一 ,则实数 a 的 ...

值为( 1 A. 或-1 2

) 1 B.2 或 2 C.2 或 1 D.2 或-1

10. 已知数列 {an } 中, a1 ? 3, an?1 ? an ? 3bn (b>0)n ? N * , Sn 为 {an } 的前 n 项和。 ① b=1 时, S7 =12; ②存在 ? ? R ,数列 {an ? ?bn } 成等比数列;

② b ? (1, ??) 时,数列 {a2 n } 是递增数列;④当 b ? (0,1) 时数列 {an } 是递增数列 以上命题为真命题的是( A.①②③ ) 。 C. ②③④ D.①③

B.①③④

第Ⅱ卷(非选择题共 100 分)
二、填空题:考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11. 不等式 x ?

1 ?| a ? 2 | ? siny 对一切非零 x
. .

实数 x,y 均成立,则实数 a 的取值范围为

12. 三棱柱的三视图如图所示, 则该棱柱的体积等于

13. 二项式 ( x ?

3

1 5 ) 的展开式中常数项为 x

(用数字作答) 。

14. 若函数 y =f (x) 在定义域内给定区间[a, b]上存在 xo (a<xo<b) , 满足 f (xo) =

f (b) ? f ( a ) , b?a

则称函数 y=f(x)是[a,b]上的“平均值函数” ,xo 是它的一个均值点.例如 y=|x|是[-2, 2]上的“平均值函数” ,O 就是它的均值点. (1) 若函数, f(x)= x -mx-1 是[-1,1]上的 “平均值函数” , 则实数 m 的取值范围是
2



(2)若 f(x)=㏑ x 是区间[a,b](b>a≥1)上的“平均值函数”,xo 是它的一个均值点, 则㏑ xo 与 1 的大小关系是 ab 选做题(15、16 题二选一) 15. 过圆外一点 P 作圆的切线 PA(A 为切点),再作割线 PBC 依次交 圆于 B,C 两点.若 PA=6,AC=8,BC=9,则 AB=________. 16. 在极坐标系内,已知曲线 C1 的方程为 ? ? 2cos ? ,以极点为 原点,极轴方向为 x 正半轴方向,利用相同单位长度建立平面
x ? 4t ? 1 直角坐标系,曲线 C2 的参数方程为 ? ( t 为参数).设点 P 为曲线 C2 上的动点,过点 P ? ? y ? 3t ? 1



作曲线 C1 的两条切线,则这两条切线所成角的最大值是_______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (12 分)设△ABC 三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 C= (1)求角 A 的大小; (2)如图,在△ABC 的外角∠ACD 内取一点 P,使得 PC=2.过点 P 分别作直线 CA、CD 的 垂线 PM、PN,垂足分别是 M、N.设∠PCA= ? , 求 PM+PN 的最大值及此时 ? 的取值.
B M α C N D A P

? ,acosA=bcosB. 3

18. ( 12 分)某高中数学竞赛培训在某学段共开设有初等代数、平面几何、 初等数论和微积分初步共四门课程,要求初等数论、平面几何都要合格,

(第 17 题)

且初等代数和微积分初步至少有一门合格,则能取得参加数学竞赛复赛的资格 .现有甲、乙、丙 三位同学报名参加数学竞赛培训,每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立,其合格的概 率均相同(见下表) ,且每一门课程是否合格相互独立. 课 程 初等代数 平面几何 初等数论
2 3

微积分初步
1 2

合格的概率

2 3

3 4

(Ⅰ)求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率; (Ⅱ)记 ? 表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数,求 ? 的分布列及期望 E? . 19. ( 12 分)如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,
SA ? 底面 ABCD , SA ? AB , 点 M 是 SD 的中点, AN ? SC ,且交 SC 于点 N .

(Ⅰ)求证: SB // 平面 ACM ; (Ⅱ)求证:平面 SAC ⊥平面 AMN ; (Ⅲ)求二面角 D ? AC ? M 的余弦值.
第 19 题图

20. (本小题满分 12 分)已知无穷数列{an } 的各项均为正整数, Sn 为数列{an } 的前 n 项和. (Ⅰ)若数列 {an } 是等差数列,且对任意正整数 n 都有 S 式; (Ⅱ)对任意正整数 n ,从集合 {a1 , a2 ,
n2 2 ? ?S n ? 成立,求数列 {an } 的通项公

, an } 中不重复地任取若干个数,这些数之间经过 , an 一起恰好是 1 至

加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数,且这些正整数与 a1 , a2 ,

Sn 全体正整数组成的集合.
(ⅰ)求 a1 , a2 的值; (ⅱ)求数列 {an } 的通项公式.

21. (本小题满分 13 分) 已知双曲线 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率 e ? 5 , 虚轴 2 长为 2.(Ⅰ)求双曲线 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与双曲线 C 相交于 A , B 两 点( A,B 均异于左、右顶点) ,且以 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D ,求证:直线 l 过定 点,并求出该定点的坐标. 22 . (本小题满分 14 分)已知 f ? x ? ?

m ? n ln x(m, n 为常数 ) ,在 x ? 1 处的切线方程为 x ?1

x? y?2 ? 0.
(Ⅰ)求 y ? f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)若任意实数 x ? [ ,1] ,使得对任意的 t ? [ , 2] 上恒有 f ? x ? ? t ? t ? 2at ? 2 成立,
3 2

1 e

1 2

求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)求证:对任意正整数 n ,有 4( ?

1 2

2 ? 3

?

n ) ? (ln1 ? ln 2 ? n ?1

? ln n) ? 2n .

参考答案 一、 C B C C 二、11. ?1,3?

B C C D D 12. 3

A 14.(1) (0,2) (2)

13.-10
2

ln x0 ?

1 ab

【解析】(1)∵函数 f(x)=x -mx-1 是区间[-1,1]上的平均值函数, ∴关于 x 的方程 x -mx-1= 由 x -mx-1=
2 2 2

在(-1,1)内有实数根.

?x -mx+m-1=0,解得 x=m-1,x=1.

又 1?(-1,1) ∴x=m-1 必为均值点,即-1<m-1<1?0<m<2. ∴所求实数 m 的取值范围是 0<m<2. 1 ln b ? ln a (2)解:由题知 lnx 0= .猜想:ln x 0 < , b?a ab

1 2 证明如下: ln b ? ln a < 1 ,令 t= b >1,原式等价于 lnt < t - . t b?a a ab
令 h(t)=2lnt-t+ ,则 h′(t)= ? 得证 ln x 0 <

1 t

1 (t ? 1) 2 ? 0 ,∴h(t)=2lnt-t+ <h(1)=0, 2 t t

15. 4 16. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (1)由 acosA=bcosB 及正弦定理可得 sinAcosA=sinBcosB, 即 sin2A=sin2B,又 A∈(0,π),B∈(0,π), π π 2π 所以有 A=B 或 A+B= . 又因为 C= ,得 A+B= ,与 2 3 3 π π A+B= 矛盾,所以 A=B,因此 A= . 2 3 ……… 4 分
B M 60° α C N D A P

1 ab 60 0

(2)由题设,得 在 Rt△PMC 中,PM=PC·sin∠PCM=2sinα; 在 Rt△PNC 中,PN=PC·sin∠PCN= PC·sin(π-∠PCB) π π 2π =2sin[π-(α+ )]=2sin (α+ ),α∈(0, ). 3 3 3 π π 所以,PM+PN=2sinα+2sin (α+ )=3sinα+ 3cosα=2 3sin(α+ ). 3 6 2π π π 5π π 1 因为 α∈(0, ),所以 α+ ∈( , ),从而有 sin(α+ )∈( ,1], 3 6 6 6 6 2 π π π 于是,当 α+ = ,即 α= 时,PM+PN 取得最大值 2 3. 6 2 3

(第 17 题)

…6分 …… 10 分

18. (1)分别记甲对这四门课程考试合格为事件 A,B,C,D,且事件 A,B,C,D 相互独立, “甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为: 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 1 1 5 . P (ABCD) ?P (ABCD ) ?P (ABCD) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 3 2 4 3 3 2 4 3 3 2 12

B 3, ) (2)由题设知 ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3, ? ~( ,

5 12

7 343 7 735 1 5 P (? ? 0) ? C30 ( )3 ? P (? ? 1) ? C3 ( )( ) 2 ? , , 12 1728 12 12 1728 5 7 525 125 3 5 3 P (? ? 2) ? C32 ( ) 2 ( ) ? (? ? 3) ? C3 ( ) ? ,P ,? ? 的分布列为: 12 12 1728 12 1728

5 5 ? . 12 4 19. (Ⅰ)证明:连结 BD 交 AC 于 E ,连结 ME . Q ABCD 是正方形,∴ E 是 BD 的中点. Q M 是 SD 的中点,∴ ME 是△ DSB 的中位线. ∴ ME // SB . ?????????2 分 又 ME ? 平面 ACM , SB ? 平面 ACM , ∴ SB // 平面 ACM . ?????????4 分 (Ⅱ)证明:由条件有 DC ? SA, DC ? DA, ∴ DC ? 平面 SAD ,且 AM ? 平面 SAD , ∴ AM ? DC. 又∵ SA ? AD, M 是 SD 的中点,∴ AM ? SD. 第 18 题图 ∴ AM ? 平面 SDC . SC ? 平面 SDC, ∴ SC ? AM . ?????6 分 由已知 SC ? AN ∴ SC ? 平面 AMN . 又 SC ? 平面 SAC , ∴平面 SAC ? 平面 AMN . ????????8 分 (Ⅲ)取 AD 中点 F ,则 MF // SA .作 FQ ? AC 于 Q ,连结 MQ . ∵ SA ? 底面 ABCD ,∴ MF ? 底面 ABCD . ∴ FQ 为 MQ 在平面 ABCD 内的射影. ∵ FQ ? AC ,∴ MQ ? AC . ∴ ?FQM 为二面角 D ? AC ? M 的平 面角. ?????????10 分

? ~( B 3, ) ,? E? ? 3 ?

5 12

设 SA ? AB ? a ,在 Rt ?MFQ 中, MF ?
a 2 2 4

1 a 1 2 SA ? , FQ ? DE ? a, 2 2 2 4
??12 分

∴ tan ?FQM ?

a

3 . ? 2 . ∴ 二面角 D ? AC ? M 的余弦的大小为 3

d ?? 20.(Ⅰ)设无穷等差数列{an } 的公差为 d ,则 Sn ? na1 ? n(n ? 1) d ? n ? d n ? ? ? a1 ? ?? ? 2 ?2 ? 2 ??

d d d d 所以 S n 2 ? n 2 [ n 2 ? (a1 ? )] 又 ( S n ) 2 ? n 2 [ n ? (a1 ? )] 2 ?????.2’ 2 2 2 2 d d d d 则 [ n 2 ? (a1 ? )] = [ n ? (a1 ? )] 2 ??????????????.3’ 2 2 2 2 ?d d 2 ? ? 4 ?2 所以 ? ???????.5’ d d 2 则 an ? 1 或 an ? 2n ? 1 ?a1 ? ? (a1 ? ) 2 2 ? d ? ?d (a1 ? 2 ) ? 0 ?

(Ⅱ)(i)记 An ? {1,2,

, Sn } ,显然 a1 ? S1 ? 1 ?????????.6’ 对于 S2 ? a1 ? a2 ? 1 ? a2 ,有 A2 ? {1,2, , S2 } ? {1, a2 ,1 ? a2 ,|1 ? a2 |} ? {1,2,3,4} 故 1 ? a2 ? 4 ,所以 a2 ? 3 ??????????..7’ ( ii ) 由 题 意 可 知 , 集 合 {a1 , a2 , , an } 按 上 述 规 则 , 共 产 生 Sn 个 正 整 数 . 而 集 合 {a1 , a2 , , an , an?1} 按上述规则产生的 S n ?1 个正整数中,除 1,2, , Sn 这 Sn 个正整数外,还 有 an?1 , an?1 ? i,| an?1 ? i | (i ? 1,2, , Sn ) ,共 2Sn ? 1 个数. 所以, Sn?1 ? Sn ? (2Sn ? 1) ? 3Sn ? 1
??????????.9’
1 1 又 S n ?1 ? ? 3( S n ? ) 2 2

所以 S n ? ( S1 ? 1 ) ? 3n ?1 ? 1 ? 1 ? 3n ? 1
2 2 2

当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 而 a1 ? 1 也满足 an ? 3n?1

???.12’ 21. (Ⅰ)由题设双曲线的标准方程为 x 2 ? y2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,由已知得: c ? 5 , 2b ? 2 , a b a 2 2 2 2 2 x 又 a ? b ? c ,解得 a ? 2, b ? 1 ,? 双曲线的标准方程为 ? y 2 ? 1. --------5 分 4 ? y ? kx ? m (Ⅱ)设 A(x1, y1), B(x 2, y 2) ,联立 ? ,得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8mkx ? 4(m 2 ?1) ? 0 , ? x2 2 ? ? y ?1 ?4
2 2

?????????.10’ 1 n 1 1 n ?1 1 ? ? 3 ? ? ( ? 3 ? ) ? 3n ?1 2 2 2 2 所以,数列 {an } 的通项公式是 an ? 3n?1

2

?1 ? 4k 2 ? 0 ? 2 2 2 2 ?? ? 64m k ? 16(1 ? 4 k )(m ? 1) ? 0 8mk 故? , ? x1 ? x2 ? 2 1? 4 k ? ? ?4(m 2 ? 1) ? x1 x2 ? ? 1? 4 k2

------------7 分

m 2 ? 4k 2 , 1 ? 4k 2 y1 y 以 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D(?2, 0) ,? k AD kBD ? ?1 ,即 ? 2 ? ?1 , x1 ? 2 x2 ? 2 y1 y2 ? (k x1 ? m)(k x2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m 2 ?

m 2 ? 4k 2 ?4(m 2 ? 1) 16mk ? ? ? ?4?0 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 10k . ------------10 分 ? 3m 2 ? 16mk ? 20k 2 ? 0 .解得: m1 ? 2k , m2 ? 3 当 m1 ? 2k 时, l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (?2, 0) ,与已知矛盾; ----11 分
10k 10 ? ? 时, l 的方程为 y ? k ? x ? ?, 3 3? ? ? 10 ? 直线过定点 ? ? , 0 ? ,经检验符合已知条件. ---------12 分 ? 3 ? ? 10 ? 所以,直线 l 过定点,定点坐标为 ? ? , -------13 分 0? . ? 3 ?
当 m2 ?



22. 【解析】 : (1)由 f(x)= ∴f′(x)=﹣

+nlnx(m,n 为常数)的定义域为(0,+∞) , + ,∴f′(1)= ?

m ? n ? ?1 4

把 x=1 代入 x+y﹣2=0 得 y=1,∴f(1)= =1,∴m=2,n=﹣ ,????????.2’ ∴f(x)= ﹣ lnx,f′(x)=﹣ ﹣ ,∵x>0,∴f′(x)<0,

∴f(x)的单调递减区间为(0,+∞) ,没有递增区间.??????????..4’ (2)由(1)可得,f(x)在[ ,1]上单调递减,∴f(x)在[ ,1]上的最小值为 f(1)=1, ∴只需 t ﹣t ﹣2at+2≤1,即 2a≥
3 2

对任意的 t∈[ ,2]上恒成立,???????5’

令 g(t)=

,则 g′(t)=2t﹣1﹣
2

=

=



令 g′(t)=0 可得 t=1,而 2t +t+1>0 恒成立, ∴当 t<1 时,g′(t)<0,g(t)单调递减,
[来源:学科网]

当 1<t≤2 时,g′(t)>0,g(t)单调递增.????????????????7’ ∴g(t)的最小值为 g(1)=1,而 g( )= +2= ,g(2)=4﹣2+ = ,

显然 g( )<g(2) ,∴g(t)在[ ,2]上的最大值为 g( 2)= , ∴只需 2a≥ ,即 a≥ ,∴实数 a 的取值范围是[ ,+∞) .???????..9’ (3)由(1)可知 f(x)在区间(0,1]上单调递减, ∴对于任意的正整数 n,都有 f( )≥f(1)=1,即 ﹣ ln ≥1,????????.11’

整理可得

+lnn≥2, 则有: +ln1≥2, +ln2≥2,

+ln3≥2, ?,

+lnn≥2. ???.13’

把以上各式两边相加可得:4( + +?+

)+(ln1+ln2+?+lnn)≥2n.??????..14’


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