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高二空间几何练习题


练习 1
一、选择题: 1.a、b 是两条异面直线,下列结论正确的是 A.过不在 a、b 上的任一点,可作一个平面与 a、b 都平行 B.过不在 a、b 上的任一点,可作一条直线与 a、b 都相交 C.过不在 a、b 上的任一点,可作一条直线与 a、b 都平行 D.过 a 可以且只可以作一个平面与 b 平行 2.空间不共线的四点,可以确定平面的个数为 A. 0 B. 1 C. 1 或 4 D.无法确定 ( ) ( )

M 、 N 分别为棱 AA1 、 BB1 的中点,则异面直线 CM 和 3.在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,

D1 N 所成角的正弦值为
A. 1

( C. 4

) D. 2

9

B. 2

3

5

9

5

9

4.已知平面 ? ? 平面 ? , m 是 ? 内的一直线, n 是 ? 内的一直线,且 m ? n ,则:① m ? ② n ? ? ;③ m ?

?;
)

? 或 n ? ? ;④ m ? ? 且 n ? ? 。这四个结论中,不正确 的三个是( ...
(

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④ 5.一个简单多面体的各个面都是三角形,它有 6 个顶点,则这个简单多面体的面数是 A. 4 球半径为 R) A. B.5 C. 6 ( ) D. 8 )

6. 在北纬 45°的纬度圈上有甲、乙两地,两地经度差为 90°,则甲、乙两地最短距离为(设地

? ? R 2 B. R C. R D. ?R 2 3 3 4 7. 直线 l⊥平面α, 直线 m ? 平面β, 有下列四个命题: (1) ? // ? ? l ? m (2) ? ? ? ? l // m (3)
l // m ? ? ? ? (4) l ? m ? ? // ? 其中正确的命题是

( D. (3)与(4)

) ( )

A. (1)与(2)
?
6

B. (2)与(4)

C. (1)与(3)

8. 正三棱锥的侧面均为直角三角形,侧面与底面所成角为α,则下列不等式成立的是 A. 0 ? ? ? B.

?
6

?? ?

?
4

C.

?
4

?? ?

?
3

D.

?
3

?? ?

?
2

9. ?ABC 中, AB ? 9 , AC ? 15 , ?BAC ? 120? , ?ABC 所在平面 ? 外一点 P 到点 A 、

B 、 C 的距离都是 14 ,则 P 到平面 ? 的距离为 ( ) A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 10. 在一个 45 ? 的二面角的一个平面内有一条直线与二面角的棱成角 45 ? , 则此直线与二面角的
另一个平面所成角的大小为 A. 30 ? B. 45 ? ( ) D. 90 ? C. 60 ?

11. 如图,E, F 分别是正方形 SD1DD2 的边 D1D,DD2 的中点,沿 SE,SF,EF 将其折成一个几何体,使 D1,D,D2 重合,记作 D.给出下列位置关系: ①SD⊥面 DEF; ②SE⊥面 DEF; ③DF⊥SE; ④EF⊥面 SED, 其中成立的有: ( A. ①与② ) B. ①与③ C. ②与③ D. ③与④

12. 某地球仪的北纬 60 度圈的周长为 6 ? cm,则地球仪的表面积为( A. 24 ? cm
2

)
2

B. 48 ? cm

2

C. 144 ? cm

2

D. 288 ? cm

二、填空题 13. 直二面角α—MN—β中, 等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC ? α, 一直角边 AC ? β, BC 与β所成角的正弦值是

6 ,则 AB 与β所成角大小为__________。 4

14. 在底面边长为 2 的正三棱锥 V—ABC 中,E 是 BC 中点,若△VAE 的面积是 所成角的大小为 15.如图,已知矩形 ABCD 中, AB ? 1 , BC ? a , PA ? 面 ABCD。若 在 BC 上只有一个点 Q 满足 PQ ? QD ,则 a 的值等于______. 16. 六棱锥 P—ABCDEF 中,底面 ABCDEF 是正六边形,PA⊥底面 ABCDEF, 给出下列四个命题: ①线段 PC 的长是点 P 到线段 CD 的距离;②异面直线 PB 与 EF 所成角是∠ 有真命题的序号是_______________。 三.解答题:

1 ,则侧棱 VA 与底面 4
P

A B

D

Q C

PBC;③线段 AD 的长是直线 CD 与平面 PAF 的距离;④∠PEA 是二面角 P—DE—A 平面角。其中所

17.如图,已知直棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, ?ACB ? 90? , ?BAC ? 30? ,

C
B M A

M 是 CC1 的中点。求证: AB1 ? A1M BC ? 1 , AA 1 ? 6,

C1 B1 A1

18.如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 3

3 , BC ? 3 ,沿对角线 BD 将 ?BCD 折起,使点
P (C )
A D B A D

C 移到 P 点,且 P 在平面 ABD 上的射影 O 恰好在 AB 上。 (1)求证: PB ? 面 PAD ; B (2)求点 A 到平面 PBD 的距离; (3)求直线 AB 与平面 PBD 的成角的大小 C

O

19.如图,已知 PA ? 面 ABC , AD ? BC ,垂足 D 在 BC 的延长线上,且 BC ? CD ? DA ? 1 (1) 记 PD ? x , ?BPC ? ? ,试把 tan ? 表示成 x 的函数,并求其最大值. (2) 在直线 PA 上是否存在点 Q ,使得 ?BQC P

? ?BAC

B

A C D

20.正三棱锥 V-ABC 的底面边长是 a, 侧面与底面成 60°的二面角。 求(1)棱锥的侧棱长; (2)侧棱与底面所成的角的正切值。

21.已知正三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 的底面边长为 8, 面的对角线 B1C=10, D 为 AC 的中点, (1)求证: AB 1 //平面 C1BD; (2) 求异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值; ( 3) 求直线 AB1 到平面 C1BD 的距离。

22.已知 A1B1C1-ABC 为直三棱柱, D 为 AC 中点, O 为 BC 中点, E 在 CC1 上, ∠ACB=90°, AC=BC=CE=2, AA1=6. (1)证明平面 BDE∥AO;(2)求二面角 A-EB-D 的大小;(3)求三棱锥 O-AA1D 体积.

练习 1 答案
一.选择题: 题号 答案 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 B 7 C 8 C 9 A 10 A 11 B 12 C

二.填空题: 13. 60? 14. arctan

1 15.2 4

16.①④

三.解答题: 17.解:【法一】 ?ACB ? 90? 所以 B1C1

? B1C1 ? AC 1 1 ,又三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 是直三棱柱,

? 面 AC 1 ,连结 AC 1 ,则 AC1 是 AB1 在面 AC 1 上的射影

在四边形 AAC 1 1C 中,

? AA1 A1C1 ? ? 2 ,且 ?AA1C1 ? ?A1C1 M ? , 2 A1C1 C1M

??AAC 1 1 ? ?AC 1 1M , ? AC1 ? A 1M ? AB 1 ? A 1M
y 轴, C1C 为 z 轴建立空间直角坐标系 【法二】以 C1B1 为 x 轴, C1 A 1为
由 BC ? 1 , AA 1

? 6 , ?ACB ? 90? , ?BAC ? 30? ,
6 ) , B1 (1,0,0) 2

易得 A 1 (0,

3,0) , A(0, 3, 6) , M (0, 0,

????? ???? 6 ? AB1 ? (1, ? 3, ? 6) , A1M ? (0, ? 3, ) 2 ???? ????? ???? ????? 6 ? AB1 ?A1M ? 0 ? 3 ? (? 6) ? ? 0 ? AB1 ? A1M 2
故斜线 BP 在平面 ABD 上的射影为 AB 。 又? DA ? AB ,? DA ? BP ,又 BC ? CD ,? BP ? PD 所以 AB1

? A1M

18.解:(1)? P 在平面 ABD 上的射影 O 在 AB 上,? PO ? 面 ABD 。

? AD ? PD ? D ? BP ? 面 PAD (2)过 A 作 AE ? PD ,交 PD 于 E 。 ? BP ? 面 PAD ,? BP ? AE ,? AE ? 面 BPD 故 AE 的长就是点 A 到平面 BPD 的距


? AD ? AB , DA ? BC ? AD ? 面 ABP ? AD ? AP
在 Rt ?ABP 中, AP ?

AB2 ? BP2 ? 3 2 ;
3

在 Rt ?BPD 中, PD ? CD ? 3

在 Rt ?PAD 中,由面积关系,得 AE

?

AP?AD 3 2 ? 3 ? ? 6 PD 3 3

(3)连结 BE ,? AE ? 面 BPD ,? BE 是 AB 在平面 BPD 的射影

? ?ABE 为直线 AB 与平面 BPD 所成的角
在 Rt ?AEB 中, sin ?ABE 19.(1)? PA ? 面 ABC , BD ?

?

AE 2 ? , AB 3

??ABE ? arcsin

2 3

AD,? BC ? PD ,即 ?PDB ? 90?.

2 1 , tan ?CPD ? , x x 2 1 ? x x ? x ( x ?1) ? tan ? ? tan ?BPC ? tan(?BPD ? ?CPD) ? 2 1 x2 ? 2 1? ? x x
在 Rt ?PDB 和 Rt ?PDC 中, tan ?BPD ?

1 x? 2 x

?

1 2 2

?

2 2 ,当且仅当 x ? 2 时, tan ? 取到最大值 . 4 4

(2)在 Rt ?ADB 和 Rt ?DC 中, tan ?BAD =2, tan ?CAD ? 1

? tan ?BAC ? tan(?BAD ? ?CAD) ?

2 ?1 1 2 ? ? 1 ? 2 ?1 3 4

故在 PA 存在点 Q (如 AQ

1 2 ? 1 )满足 ? tan ?BQC ? ,使 ?BQC ? ?BAC 3 4

20. (12 分)解:(1)过 V 点作 V0⊥面 ABC 于点 0,VE⊥AB 于点 E ∵三棱锥 V—ABC 是正三棱锥 则 OA= ∴O 为△ABC 的中心

2 3 3 1 3 3 ? a? a ,OE= ? a? a 3 2 3 3 2 6
∴∠VEO=60°

又∵侧面与底面成 60°角

则在 Rt△VEO 中;V0=OE·tan60° =

3 a a? 3 ? 6 2

在 Rt△VAO 中,VA=

VO 2 ? AO2 ?

a a 7a 2 21a ? ? ? 4 3 12 6

2

2

即侧棱长为

21 a 6

a VO 3 (2)由(1)知∠VAO 即为侧棱与底面所成角,则 tan∠VAO= ? 2 ? AO 2 3 a 3
21 解:(1)连结 BC1 交 B1C 于点 E,则 E 为 B1C 的中点,并连结 DE ∵D 为 AC 中点 ∴DE∥AB1 而 DE ? 面 BC1D, AB1 ? 面 BC1D∴AB1∥面 C1BD (2)由(1)知 AB1∥DE,则∠DEB 或其补角为异面直线 AB1 与 BC1 所成的角 由条件知 B1C=10, BC=8 又∵BD= 则 BB1=6∵E 三棱柱中 AB1=BC1 ∴在△BED 中 ∴DE=5

3 ?8 ? 4 3 2

cos?BED ?

BE 2 ? DE 2 ? BD 2 25 ? 25 ? 48 1 ? ? 2 BD ? DE 2?5?5 25
1 25

故异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为

(3)由(1)知 A 到平面 BC1D 的距离即为直线 AB1 到平面 BC1D 的距离 设 A 到平面 BC1D 的距离为 h,则由 VA?BC1D

? VC1 ? ABD 得

S ? CC1 1 1 ? S ?BC1D ? h ? ? S ?ABD ? C1C 即 h= ?ABD 3 3 S ?BC1D
由正三棱柱性质得 BD⊥C1D 则 S ?BC1D ?

1 BD : C1 D 2

1 BD ? AD ? CC1 AD ? CC1 4?6 24 12 13 2 ∴h ? ? ? ? ? 2 2 1 C1 D 13 52 6 ? 4 BD ? C1 D 2
即直线 AB1 到平面的距离为

12 13 13
∵AO∥DF ∴AO∥平面 BDE

22. 证明: ①设 F 为 BE 与 B1C 的交点,G 为 GE 中点 ②α=arctan

2 -arctan

2 或 arcsin1/3 2

③用体积法 V=

1 1 × ×6×h=1 3 2

练习 2
一、选择题 1.已知直线 a、b 和平面 M,则 a//b 的一个必要不充分条件是() A.a//M, b//M B.a⊥M,b⊥MC.a//M, b ? MD.a、b 与平面 M 成等角 2.正四面体 P—ABC 中,M 为棱 AB 的中点,则 PA 与 CM 所成角的余弦值为()

3 3 3 3 B. C. D. 2 6 4 3 3.a, b 是异面直线,A、B∈a, C、D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且 AB=2,CD=1,则 a 与 b 所成的角为(
A. A.30° 4.给出下面四个命题: ①“直线 a、b 为异面直线”的充分非必要条件是:直线 a、b 不相交; ②“直线 l 垂直于平面 ? 内所有直线”的充要条件是:l⊥平面 ? ; B.60° C.90° D.45°

)

③“直线 a⊥b”的充分非必要条件是“a 垂直于 b 在平面 ? 内的射影”; ④“直线 a ∥平面 ? ”的必要非充分条件是“直线 a 至少平行于平面 ? 内的一条直线”. 其中正确命题的个数是( A.1 个 (1)若 l1 ? ? , l2 ? ) C.3 个
,l1∥a 则 a∥β .

B.2 个

D.4 个 (2)若 l1⊥a,l2⊥a,则 l1∥l2

5.设 l1、l2 为两条直线,a、β 为两个平面,给出下列四个命题:

? ,l1∥β

(3)若 l1∥a,l1∥l2,则 l2∥a (4)若 a⊥β ,l1 ? ? ,则 l1⊥β 其中,正确命题的个数是() A.0 个 B .1 个 C.2 个 D .3 个 6.三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 AA1 B1 B ? 底面 ABC, ? 直线 A1C 与底面成 60 角, AB ? BC ? CA ? 2 , A1 C1 A C (4) l?m ? ? B1

AA 1 ? A 1 B ,则该棱柱的体积为() A. 4 3 B. 3 3 C. 4 D. 3
7.已知直线 l ⊥面α ,直线 m ? 面β ,给出下列命题: (1) ? / / ? ? l?m (2) ??? 其中正确的命题个数是() A. 1 B. 2

B

? l / / m (3) l / / m ? ???
C. 3 D. 4

/ /?
S H B E C D1C1 A1PB1 M DC O AB F G A

8.正三棱锥 S ? ABC 的底面边长为 a,侧棱长为 b,那么经过底边 AC 和 BC 的中点且平行于侧棱 SC 的截面 EFGH 的面积为() A. ab

ab B. 2

ab C. 4

D.

2 ab 2

9.已知平面α 、β 、γ ,直线 l、m,且 l

? m,? ? ? , ? ? ? ? m, ? ? ? ? l ,给 出下列四个结论:① ? ? ? ;② l ? ? ;③ m ? ? ;④ ? ? ? .则其中正确的

个数是() A.0 B.1 C .2 D .3 10.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是棱 DD1 的中点,O 是底面 ABCD 的中心, P 是棱 A1B1 上任意一点,则直线 OP 与支线 AM 所成角的大小为() A.45? B.90? C.60? D.不能确定 11. 将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起, 使得点 A 到点 A’的位置, 且 A’C

=1,则折起后二面角 A’-DC-B 的大小为()

4 3 12. 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,E、F 分别是 AA1 、CC1 的中点,P 是 CC1 上的动点(包括端
点),过 E、D、P 作正方体的截面,若截面为四边形,则 P 的轨迹是() A. 线段 C1 F 二、填空题 B. 线段 CF C. 线段 CF 和一点 C1 D. 线段 C1 F 和一点 C

A. arctan

2 2

B.

?

C. arctan 2

D.

?

13.矩形 ABCD 的对角线 AC,BD 成 60°角,把矩形所在的平面以 AC 为折痕,折成一个直二 面角 D—AC—B,连结 BD,则 BD 与平面 ABC 所成角的正切值为. 14. 将棱长为 1 的正方体木块加工成一个体积最大的球, 则这个球的体积为, 球的表面积为 ?(不 计损耗). 15. 四面体 ABCD 中,有如下命题:①若 AC⊥BD,AB⊥CD,则 AD⊥BC; ②若 E、F、G 分别是 BC、AB、CD 的中点,则∠FEG 的大小等于异面直线 AC 与 BD 所成 角的大小; ③若点 O 是四面体 ABCD 外接球的球心, 则 O 在面 ABD 上的射影是△ABD 的外 心④若四个面是全等的三角形,则 ABCD 为正四面体。其中正确的序号是:______。 16.直三棱柱 ABC—A1B1C1 的每一个顶点都在同一个球面上,若 AC ?

2, BC ? CC1 ? 1 ,
A1 D1 C1

?ACB ?
三、解答题

?
2

,则 A、C 两点之间的球面距离为. B1

17.已知长方体 AC1 中,棱 AB=BC=1,棱 BB1=2,连结 B1C, 过 B 点作 B1C 的垂线交 CC1 于 E,交 B1C 于 F. (1)求证 A1C⊥平面 EBD; (2)求点 A 到平面 A1B1C 的距离; (3)求平面 A1B1CD 与直线 DE 所成角的正弦值. B A F C E D

18.在平行四边形 ABCD 中, AB ? 3 2 , AD ? 2 角 A-BD-C,若折后 AB ? CD 。

3 , ?ADB ? 90? ,沿 BD 将其折成二面
A D E B C B

(1)求二面角 A ? BD ? C 的大小;(2)求折后点 C 到面 ABD 的距离。

19.在棱长 AB=AD=2,AA’=3 的长方体 AC1 中,点 E 是平面 BCC1B1 上动点,点 F 是 CD 的中 点。 (1)试确定 E 的位置,使 D1E⊥平面 AB1F。(2)求二面角 B1-AF-B 的大小。 B1 A1 C1 D1

A B F C

D

20.(本小题满分 14 分)如图,在正三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, D 、 E 分别是棱 BC 、 CC1 的 中点, AB ? AA1 ? 2 。 (Ⅰ)证明: BE ? AB1 ;(Ⅱ)求二面角 B ? AB1 ? D 的大小。
A1 B1 E C1

C A D B

ABC ? A1 B1C1 中, BC ? AA1 ? 4,AC ? 3 ,∠ ACB=90°,D 是 A1 B1 的中点。 (1)在棱 BB1 上求一点 P,使 CP⊥BD; (2)在(1)的条件下,求 DP 与面 BB1C1C 所成的角的大小。
21.如图,在直三棱柱

22.如图,三棱锥 P—ABC 中,PB⊥底面 ABC 于 B,∠BCA=90°,PB=BC=CA= 4 2 ,点 E, 点 F 分别是 PC,AP 的中点.(1)求证:侧面 PAC⊥侧面 PBC; (2)求异面直线 AE 与 BF 所成的角;(3)求二面角 A—BE—F 的平面角. E F C A B P

练习 2 答案
一、 选择题 1 D 二、填空题 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 8 C 9 C 10 B 11 C 12 C

? ? 21 .14. 、 ? 15. ___①③____16. . 6 2 7 三、解答题
13. 17.解:(1)连结 AC,则 AC⊥BD ∵AC 是 A1C 在平面 ABCD 内的射影∴A1C⊥BD; 又∵A1B1⊥面 B1C1CB,且 A1C 在平面 B1C1CB 内的射影 B1C⊥BE, B1

A1 C1

D1

? A1C ? BE又 ? BD ? BE ? B

? A1C ? 面EBD
E A B F C D

(2)易证:AB//平面 A1B1C,所以点 B 到平面 A1B1C 的距离 等于点 A 到平面 A1B1C 的距离,又 BF⊥平面 A1B1C, ∴所求距离即为 BF ?

2 5 ? . 2 2 5 2 ?1

2 ?1

(3)连结 DF,A1D, ? EF ? B1C, EF ? A1C
EF ? 面A1 B1C ,∴∠EDF 即为 ED 与平面 A1B1C 所成的角.

由条件 AB=BC=1,BB1=2,可知 B1C ? 5 ,

BF ?

FC ? BB1 1 FC ? BF 5 2 5 4 5 5 ? , EC ? ? . , B1 F ? , CF ? , EF ? B1 F 10 B1 F 2 5 5 5

5 EF 1 . ? sin?EDF ? ? . 2 ED 5 18.解法一:设 A 点在面 BCD 内的射影为 H, ? ED ? EC 2 ? CD 2 ?
连结 BH 交 CD 于 E,连 DH,在Δ ADB 中, AB2=AD2+BD2,∴AD⊥DB。又 AH⊥面 DBC,∴BH⊥DH。 ∴∠ADH 为二面角 A—BD—C 的平面角。

A D E B C B

由 AB⊥CD,AH⊥面 DBC,∴BH⊥CD。易求得 CE= 2 2 ,DE= 2 。 又∵Rt△DEH∽Rt△CEB ∴DH=

3。

在 RtΔ ADH 中, cos ?ADH ?

1 ? ? , ? ?ADH ? ,∴二面角 A—BD—C 的大小为 。 2 3 3

法二:在△BCD 中,由余弦定理得 cos?BDC ? 3 , ?ADB ? ?DBC ? 90? 。 3 ∵ DA ? BD , BC ? DB , ?二面角的大小就是? DA , BC ? 。 ∵ AB ? DC , ? AB? DC ? 0 , 即( DB ? DA) ? CD ? 0 , 即 DB? CD ? DA? CD ? 0 , 故DB? CD ? DA? CD 。

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? DA ? BC = DA( DC ? DB) = (DA? DC) ? (DA? DB) = DB ? DC ? ??? ? cos DA, BC ? ???? 12 12 2 3 ?2 3 | DA || BC |

=

DB DC cos(DB, DC) 12

6 ?3 2 ?

=

12

3 3 ?1 2

? ( DA, BC) ? 60?
(2)由对称性成等积性知:C 到面 ABD 的距离等于 A 到面 BCD 的距离

3 ?3 2 19.解:(1)建立空间直角坐标系,如图 A(0,0,0),F(1,2,0),B1(2,0,3),D1(0,2,3), AH ? AD ? sin ?ADH ? 2 3 ?
设 E(2,y,z) ? D1 E ? (2, y ? 2, z ? 3) , AF ? (1,2,0) , AB1 ? (2,0,3) A1 B1 C1 D1

?y ?1 ? ? 2 ? 2( y ? 2) ? 0 ? ?D1 E ? AF ? 0 ?? 由 D1E⊥平面 AB1F ? ? ,即 ? 5 4 ? 3( z ? 3) ? 0 z? ? ? D E ? AB ? 0 ? 1 1 ? 3 ?
∴E(2,1,

5 )为所求。 3
B

4 (2)当 D1E⊥平面 AB1F 时, D1 E ? (2,?1,? ) , B1 B ? (0,0,?3) 3 又 B1 B 与 D1 E 分别是平面 BEF 与平面 B1EF 的法向量,则
二面角 B1-AF-B 的平面角等于< B1 B , D1 E >。 ∵cos< B1 B , D1 E >=

A F C

D

4 ? 3(? ) 3 4 3 2 2 ? 1 ? (? ) 2 3

?

4 61 61

∴B1-AF-B 的平面角为 arccos

3 5 4 61 或用传统法做(略) ( arctan ) 61 4

C1 A1 B1 E

20. (Ⅰ)证明:因为 B ( ?1 , 0 , 0) , E (1 , 0 , 1) , A(0 , 3 , 0) , B1 (?1, 0 , 2) ,

??? ? ???? ? 所以 BE ? (2 , 0 ,1) , AB1 ? (?1, ? 3 , 2) ,故 ??? ? ??? ? BE ? AB1 ? 2 ? (?1) ? 0 ? (? 3) ? 1? 2 ? 0 ,因此,有 BE ? AB1 ; ? ? ? (Ⅱ)设 n1 ? ( x , y , z ) 是平面 ABB1 的法向量, ???? ? ???? 因为 AB1 ? (?1, ? 3 , 2) , BB1 ? (0 , 0 , 2) ,所以由 ?? ? ???? ? ?? ? ???? ? ?n1 ? AB1 ? ? x ? 3 y ? 2 z ? 0 ? ? ? ? ?n1 ? AB1 ? ? 可取 n1 ? ( 3 , ? 1, 0) ; ? ???? ? ? ?? ? ???? ? ?? ?n1 ? BB1 ?n1 ? BB1 ? 2 z ? 0 ? ? ?? ? 同理, n2 ? (2 , 0 ,1) 是平面 AB1 D 的法向量。
设二面角 B ? AB1 ? D 的平面角为 ? ,则

C A D B z

C1 A1 B1 E x

y A D B

C

? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? | n1 ? n2 | 15 15 ? ? ?? ? ? 。 cos? ?| cos ? n1 , n2 ?|? ? ? ? ? arccos 5 5 | n1 | ? | n2 |
21.解法一:(1)如图建立空间直角坐标系设 P ? ? ? 3 ? 3 ? 0, 0 ?,D? 2, , 4 ? 得: BD ? ? ? 2, , 由 B?4, 4? 2 2 ? ? ? ? ? ? 由 CP⊥BD,得: CP · BD ? 0

?4,0,z? ,则 CP ? ?4,0,z?

?

?z ? 2 所以点 P 为 BB1 的中点时,有 CP⊥BD
(2)过 D 作 DE⊥B1C1,垂足为 E,易知 E 为 D 在平面 BC1 上的射影,∴∠ DPE 为 DP 与平面 BC1 所成的角

? ? ? 3 ? 3 ? 4 ? 得: PD ? ? ? 2, , 由(1),P(4,0,z), D? 2, , 2? 2 ? ? 2 ? ?
∵ E (2 , 0 , 4) ,∴ PE ? (?2 , 0 , 2) 。 PD? PE ?| PD | ? | PE cos ?DPE ,∴

cos ?DPE ?

4 82 , 41

4 82 4 82 即 DP 与面 BB1C1C 所成的角的大小为 arccos 。 41 41 解法二:取 BC1 的中点 E,连接 BE、DE。显然 DE⊥平面 BC1
∴ ?DPE ? arccos ∴BE 为 BD 在面 BC1 内的射影,若 P 是 BB1 上一点且 CP⊥BD,则必有 CP⊥BE ∵四边形 BCC1B1 为正方形,E 是 BC1 的中点∴点 P 是 BB1 的中点,∴BB1 的中点即为所求的点 P (2) 连接 DE, 则 DE⊥ B1C1 , 垂足为 E, 连接 PE、 DP? ?DPE 为 DP 与平面 BC1 所成的角由(1)和题意知: DE ?
tan ?DPE ?

3 , PE ? 2 2 2

DE 3 2 3 2 ? , ? ?DPE ? arctan PE 8 8

3 2 8 22.解:(1)∵PB⊥平面 ABC,∴平面 PBC⊥平面 ABC,又∵AC⊥BC,∴AC⊥
即 DP 与面 BB1C1C 所成的角的大小为 arctan 平面 PBC ∴侧面 PAC⊥侧面 PBC. (2)以 BP 所在直线为 z 轴,CB 所在直线 y 轴,建立空间直角坐标系,由条件可设

P(0,0,4 2 ), B(0,0,0), C (0,?4 2 ,0), A(4 2 ,?4 2 ,0) 则E (0,?2 2 ,2 2 ), F (2 2 ,?2 2 ,2 2 ) AE ? (?4 2 ,2 2 ,2 2 ), BF ? (2 2 ,?2 2 ,2 2 ), ? AE ? BF ? ?16, | AE | ? | BF |? 24 2 ,
? cos ? AE, BF ?? ? 2 2 , ? AE与BF所成的角是 arccos 3 3

(3)平面 EFB 的法向量 a =(0,1,1),平面 ABE 的法向量为 b =(1,1,1) cos ? a, b ??

6 , 3

?二面角A ? BE ? F的平面角为arccos

6 . 3



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