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两角和与差正弦余弦正切公式及二倍角公式简单复习应用


两角和与差的正弦、余弦和正切公式 及二倍角公式

1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.

2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公 考纲 式.

要求 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、
正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它 们的内在联系.

>1.以考查对公式的牢固记忆和深刻理解公式的变换功能为 主.

热点 2.高考对本节的考查,主要集中在对公式的变换能力上 提示 ,以选择题、填空题、解答题的形式出现,重点考查对公
式进行逆用、变形用和配凑用的能力.

基础梳理
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 cosacosb+sinasinb C(a-b):cos(a-b)=_________________________ ; cosacos b-sin asin b C(a+b):cos(a+b)=_________________________ ; sinacosb+cosasinb S(a+b):sin(a+b)=_________________________ ; sinacosb-cosasinb S(a-b):sin(a-b)=_________________________ ; tana ? tanb T(a+b):tan(a+b)=_________________________ ; 1 ? tana tan b tana ? tanb T(a-b):tan(a-b)=_________________________ . 1 ? tana tanb 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 2sin acos a ; S2a:sin 2a=________________ cos2a-sin2a =______________ 2cos2a-1 C2a:cos 2a=______________ 2a 1-2sin =__________________; 2tana T2a:tan 2a=____________ .
1 ? tan 2a

3.常用变形公式 ( 1) ( 2)

1 - cos 2a sin a ? 2
2

1 ? cos 2a cos a ? 2
2

tana ? tan b ? tan?a ? b ??1 ? tana tan b ?
tana - tanb ? tan?a - b ??1 ? tana tan b ?

(3)形如

a sin a ? b cos a

的化简

a sin a ? b cosa ? a 2 ? b 2 ?a ? ? ? a b b ( cos? ? , sin? ? , tan? ? ) 2 2 2 2 a a ?b a ?b

基础达标
A ( ) 1.计算sin 43°cos 13°-cos 43°sin 13°等于
1 A.2

B.
2 2

3 3 3 2

C.

D.

分析:sin43°cos13°-cos43°sin13° =sin(43°-13°)=sin 30° 1 =
2

练习.sin15°cos75°+cos15°sin105°等于 D ( A. 0 B.
1 2

)

C.

解析:sin 15°cos 75°+cos 15°sin 105° =sin 15°cos 75°+cos 15°sin( 180°-75°) =sin15°cos 75°+cos 15°sin75° =sin 90° =1.

3 2

D. 1

2.已知角 α,β 均为锐角,且sinα= cosβ=
4?6 2 A. 15

1 , 则sin(α+β)的值是( 3
3?8 2 B. 15

3, 5
B)

C.

12 ? 2 2 15

D.以上均不对

解析:由题意,得

cosα= 1- sin 2a = sinβ = 1 - cos 2 b = 2 2
3

4 5

所以 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

3 1 4 2 2 3?8 2 = × + × = 3 5 3 5 15

故选B

3.设tan α,tan β是方程 则tan (α+β)的值为( A.-3 B.-1

2 X -3X+2=0的两根,

A)

C.1

D.3

解析:选A 由题意可知tan α+tan β=3, tan α·tan β=2, tan(α+β)=
tana ? tanb = 1 - tanatanb

3 = -3 1- 2

4.若tan α=3,则 A.2 B.3 C.4

sin2a ? 2 cos a
D.6
( )

( D)

解析:因为tanα=3 所以
sin 2a cos 2a

=
= =6

2sinacos a cos 2a
2sina cos a ) (

=2tanα

例题讲解
? ? ,sin a= 3 ,则tan ? ? ?等于( ) 例1. 已知a∈ ? , ? a ? A ? ? ? ?
?2 ?

5

B. 7 C. 3 ?? ? , ? 解析:∵a∈ ? ? ,sin a= 5 ?2 ? 4 3 ∴cos a= - ,∴tan a= 5 4 ?? tan a ? 1 ? 而tan ?a ? ? = 4? 1 ? tan a ? 3 ? ?1 1 4 = 3 = 7 1? 4

A.

1 7

1 ? 7

?

4?

D. -7

练习:

? 1 已知α? (0, ),tanα= , 2 2

? 求tan2α和sin(2α+ )的值. 3

解析:因为α

? ),tanα= 1 ( 0 , ?
2

1 2 tan a 2 = 所以2α (0, ), tan2α= = ? ? 2 1 ? tan 2 a ?1? 1? ? ? 4 ?2? sin a 因为tan2α= = >0 ? cos a 2?

2

4 3

3

? 所以2α ?(0,) 2

又因为 sin 2 2a + cos

2

2a =1

?

3 4 联立??得 sin2α= ,cos2α= 5 5 ? ? ? 所以sin(2α+ )=sin2αcos +cos2αsin
3 3
4 1 3 3 ? ? = 5 2+ 5 2 =

4?3 3 10

3

例2. (1)下列各式的值为 A. 2cos
2

1 的是( D ) 4
B. 1 ? 2sin 2 75? D. sin15? cos 15?

?
12

-1

2 tan22.5? C. 1 ? tan2 22.5?

解析:选D A B C D

2cos 2

?
12

- 1 = COS? 2 ?

? ?

? 3 ? ? COS ? 12 ? 6 2
? ?

??

1 ? 2sin 2 75? = COS ?2 ? 75 ? ? COS150

? COS 180? ? 30? ? ?COS 30? ? ?

?

?

3 2

2 tan22.5? = tan 2 ? 22.5? ? tan45? ? 1 2 ? 1 ? tan 22.5

?

?

sin15 cos15

?

?

1 1 1 1 1 ? ? ? 2 sin 15 cos 15 ? sin 30 ? ? ? =2 2 2 2 4

?

?

(2).求值
? ? ? ? tan 20? + tan40 + 3 tan20 tan 40

?tan70 ?- tan10 -

?

3 tan70? tan10?

解析:?原式 tan( 20? ? 40? )(1 ? tan 20? tan 40? ) ? 3 tan 20? tan 40? = ? tan60? 1 ? tan 20? tan 40? ? 3 tan 20? tan 40?

? 3 1 ? tan 20? tan 40? ? 3 tan 20? tan 40? ? 3

?

?

?

?

练习

已知函数f(x)= 2cos 2 x ? 3 sin x

2

1 ? (2)若α为第二象限角,且f( a - )= , 3 3 cos 2a

1 ? cos 2a ? sin 2a

(1)求函数f(x)的最小正周期和值域

(1)2

? ,【-1,3】

(2)

1- 2 2 2


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