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【全程复习方略】高中数学北师大版必修3配套课件:1-8 《 最小二乘估计》


§8 最小二乘估计 1、经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程; 2、知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程 系数公式建立线性回归方程. 上节课我们讨论了人的身高与右手一柞长之间的线性 关系,用了很多种方法来刻画这种线性关系,但是这些方 法都缺少数学思想依据. 问题1、用什么样的线性关系刻画会更好一些? 想法:保证这条直线与所有点都近(也就是距离最小)

. 最小二乘法就是基于这种想法. 问题2、用什么样的方法刻画点与直线的距离会更方便有效? 方法一:点到直线的距离公式 y ?x , y ? i i y ? a ? bx 方法二: ?x ,a ? bx ? i i 0 x 问题3、怎样刻画多个点与直线的接近程度? 先来讨论3个样本点的情况 …………………① 2 2 2 2 ? ? ? 3 ?a - 2( a y - bx)? ? ( y1 - bx1) ? ( y2 - bx2 ) ? ( y3 - bx3 ) 利用配方法可得 同样使用配方法可以得到,当 从而得到直线y=ɑ+bx的系数ɑ,b,且称直线y=ɑ+bx为这3个 样本点的线性回归方程. 用同样的方法我们可以推导出n个点的线性回归方程的系数: ? 2 2 (x ) ? n(x) ? i i ?1 i ?1 n ?x y i n i ? nx y 思考:如果样本点只有两个,用最小二乘法得到的直线 与两点式求出的直线一致吗? 解:是一致的. 与两点式相同. 例1 在上一节练习中,从散点图可以看出,某小卖部6天卖 出热茶的杯数(y)与当天气温(x)之间是线性相关的.数 据如下表 气温(xi)/ ℃ 杯数(yi)/杯 26 20 18 24 13 34 10 38 4 50 -1 64 (1)试用最小二乘法求出线性回归方程. (2)如果某天的气温是-3℃,请预测当天小卖部可能会卖出 热茶多少杯. 解:(1)先画出其散点图可以求得 b ? ?1.648, a ? 57.557 则线性回归方式为 y ? 57.557 ? 1.648x 70 杯数/杯 60 50 40 30 20 10 气温 / ℃ 20 40 60 -20 -10 (2)当某天的气温是-3℃时,当天卖出热茶的杯数估计 为: 1、 已知x,y之间的一组数据如下表,则y与x的线性回归方 程y=a+bx必经过点 ( (A)(2,2) (C)(1,2) x y 0 1 1 3 D ) (B)(1.5,0) (D)(1.5,4) 2 5 3 7 2、某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额 资料如下表: (1)画出销售额和利润额的散点图; (2)若销售额和利润额具有相关关系,计算利润额y对销 售额x的线性回归方程. 商店名称 A B C D E 销售额(x)/千万元 利润额(y)/百万元 3 2 5 3 6 3 7 4 9 5 12 8 6 10 y /百万元 解:(1) 4 8 2 6 4 -10 -5 0 5 10 x /千万元 15 2 -2 (2)数据如下表:可 -4 以求得b=0.5,a=0.4 线性回归方程为: -6 -2 -8 -4 -10 -5 -10 -6 i 1 2 3 4 5 合计 xi 35 5 6 7 9 30 yi 2 3 3 4 5 17 xi2 10 9 25 36 49 81 200 xiyi 6

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