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中国人民大学附属中学(人大附中)必修5不等式课件· 二元一次不等式(组)所表示的平面区域


3.5.1 二元一次不等式(组) 所表示的平面区域
中国人民大学附属中学

二元一次不等式的一般形式为
Ax+By+C>0 或 Ax+By+C<0, 现在我们来探求二元一次不等式解集 的几何意义。

已知直线l:Ax+By+C=0,它把平面分
为两部分,每个部分叫做开半平面,开半

平面与l的并集叫做闭半平面。

不等式的解(x,y)为坐标的所有点构 成的集合,叫做不等式表示的平面区域 或不等式的图象。 我们如何求二元一次不等式在直角坐 标平面上表示的区域呢? 直角坐标平面内直线l的一般形式的方 程为Ax+By+C=0, ①

根据直线方程的意义,凡在l上的点的 坐标都满足方程①,而不在直线l上的点 的坐标都不满足方程①。 直线l把坐标平面内不在l上的点分为两

部分,一部分在l的一侧,另一部分在l的
另一侧,我们用下面的例子来讨论在直

线的两侧点的坐标,所应满足的条件。

在直角坐标系xOy中,作直线l:x+y- 1=0。 由直线的方程的意义可知,直线l上点
的坐标都满足l的方程,并且在直线l外的 点的坐标都不满足l的方程。 在直线l的上方和下方取一些点: 上方:(0,2),(1,3),(0,5),(2,2); 下方:(-1,0), (0,0), (0,-2), (1,-1)

把它们的坐标分 别代入式子x+y-1 中,我们发现,在l 上方的点的坐标使 式子的值都大于0, 在l下方的点的坐标

5 4 3 2 1 -1 O -1 -2

y

x+y-1=0 x 1 2

使式子的值都小于0。

这使我们猜想:l同侧的点的坐标是否
使式子x+y-1的值具有相同的符号?要么

都大于零,要么都小于零。
事实上,不仅对这个具体的例子有此 性质,而且对坐标平面内的任意一条直 线都有此性质.

性质:
直线l:Ax+By+C=0把坐标平面内不在

直线l上的点分为两部分,直线l同一侧的点
的坐标使式子Ax+By+C的值具有相同的符 号,并且两侧的点的坐标使Ax+By+C的值 的符号相反,一侧都大于零,另一侧都小 于零。

例1.画出下面二元一次不等式表示的平 面区域: (1)2x-y-3>0; (2)3x+2y-6≤0.
解:(1)所求的平面区 域不包括直线,用虚线 画直线l:2x-y-3=0,

例1.画出下面二元一次不等式表示的平 面区域: (1)2x-y-3>0; (2)3x+2 yy-6≤0.
解:(1)所求的平面区 域不包括直线,用虚线 画直线l:2x-y-3=0, 将原点坐标(0,0)代入 2x-y-3,得 2×0-0-3=-3<0,
2 2x-y-3=0 1 x -1 O -1 -2 2x-y-3>0 1 2

这样,就可以判定不等式2x-y-3>0

所表示的区域与原点位于直线2x-y-3=0
的异侧,即不包含原点的那一侧。 (2)画出3x+2y-6≤0的平面区域. 解:(2)所求的平面区域包括直线,用 实线画直线l:3x+2y-6=0, 将原点坐标(0,0)代入3x+2y-6,得 3×0+2×0-6=-6<0,

这样,就可以判定不 等式3x+2y-6≤0所表示的 区域与原点位于直线 2x-y-3=0的同侧,即包

4 y 3 2 3x+2y-6=0

含原点的那一侧(包含直
线l)。

1 3x+2y-6? 0 -1 O -1 1 2

x

例2.画出下列不等式组所表示的平面区域: 2x ? y ?1 ? 0 ? (1)? ? x ? y ? 1≥ 0

解:(1)在同一个直角坐标系中,
作出直线2x-y+1=0(虚线),

x+y-1=0(实线)。
用例1的选点方法,分别作出不等式2x-

y+1>0,x+y-1≥0所表示的平面区域,

则它们的交集就

y 3 2 1

2x-y+1=0

是已知不等式组所
表示的区域。

x -1 O -1 1 2 x+y-1=0

?2 x ? 3 y ? 2 ? 0 ? (2)? 2 y ? 1≥ 0 ? x ? 3≤ 0 ?

解:(2)在同一个直角坐标系中,作出 直线2x-3y+2=0(虚线),2y+1=0(实线), x-3=0(实线), 用例1的选点方法,分别作出不等式 2x-3y+2>0,2y+1≥0,x-3≤0 所表示的 平面区域,

则它们的交集就是已知不等式组所 表示的区域。
y 3 2 1 -1 O 2y+1=0 -1 -2 1 2 3 x-3=0 2x-3y+2=0

例3.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥 料,生产1车皮甲种肥料需用的主要原料 是磷酸盐4吨,硝酸盐18吨,生产1车皮乙 种肥料需用的主要原料是磷酸盐1吨,硝 酸盐15吨,现有库存磷酸盐10吨,硝酸盐 66吨。如果在此基础上进行生产,设x,y 分别是计划生产甲、乙两种混合肥料的车 皮数,请列出满足生产条件的数学关系式, 并画出相应的平面区域。

解:设x,y分别是计划生产甲、乙两种混 合肥料的车皮数,则x,y所满足的数学关 系式为
? 4 x ? y ≤ 10 ?18 x ? 15 y ≤ 66 分别画出不等式组中, ? ? x≥0 ? 各不等式所表示的区域. ? y≥0 ?

y

然后取交集,就 是不等式组所表示

的区域。

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 O

4x+y=10

18x+15y=66 x 1 2 3 4

练习: 1. 画出下列不等式表示的平面区域:
(1)2x+3y-6>0 (2)2x+5y≥10 (3)4x-3y≤12
y
2
O

y
3

y

x

2
O

x
5
O

3
-4

x

(1)

(2)

(3)

2:画出下面不等式组所表示的平面区域

?x ? y ? 5≥ 0 ? ?x ? y ≥ 0 ?x ≤ 3 ?

y

解:依次画出三个不
等式 x-y+5≥0, x+y≥0, x≤3所表示的
x+y=0
O

x

平面区域

x-y+5=0 x=3

所以,不等式组表示的区域如上图所示.


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