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(专题密卷)河北省衡水中学2014届高考数学 万卷检测 负数、算法、推理 文


负数、算法、推理证明
一、选择题 1.复数 Z ?

1 模为 i ?1
(B)

(A)

1 2

2 2

(C) 2

(D) 2

2. i 为虚数单位,设复数 z 满足 | z |? 1 ,则

/>z2 ? 2z ? 2 的最大值为( z ?1 ? i
D. 2 ? 2 )

)

A.

2 ?1

B. 2 ? 2

C.

2 ?1

3.设复数 z 满足|z|<1 且 | z ?

1 5 |? 则|z| = ( z 2

4 3 2 1 A? ???????B? ???????C? ???????D? 5 4 3 2
4.复数 z=i·(1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2 2 ?z ? 5.设 z ? 1? i ( i 是虚数单位) ,则 z A. ?1? i B. ?1? i C. 1 ? i D. 1 ? i )





6.已知复数 z ? cos 23 ? i sin 23 和复数 z ? cos 37 ? i sin 37 ,则 z1 ? z2 为(

A.

1 3 ? i 2 2

B.

3 1 ? i 2 2

C.

1 3 ? i 2 2

D.

3 1 ? i 2 2

7.若复数 z1、 z2 满足 z1 ? z 2 ,则 z1、 z2 在复数平面上对应的点 Z1、 Z2 ( (A) 关于 x 轴对称 (C) 关于原点对称 8. (B)关于 y 轴对称 (D)关于直线 y ? x 对称



1 ? 2i

?1 ? i ?

2

? ( )
1 i 2
(B) - 1 +

(A) - 1-

1 i 2

(C) 1 +

1 i 2

(D) 1(

1 i 2


9.已知复数 z 满足 | 2 z ? i |? 2 ,则 | z ? 2i | 的最小值是
1 A. 2 3 B. 2

C.1

D.2 ) D.

10.若复数 z 满足 iz ? 2 ? 4i ,则在复平面内, z 对应的点的坐标是( A .

? 2, 4?

B.

? 2, ?4?

C.

? 4, ?2?

? 4, 2?
1

11.下面几种推理是合情推理的是( ) (1)由圆的性质类比出球的有关性质; 0 (2)由直角三角形.等腰三角形.等边三角形的内角和是 180 ,归纳出所有三角形的内角和 0 都是 180 ; (3)张军某次考试成绩是 100 分,由些推出全班同学的成绩都是 100 分; 0 0 0 (4)三角形内角和是 180 ,四边形内角和是 360 ,五边形内角和是 540 ,由此得凸多边形 内角和是 (n ? 1) ?1800 . A.(1) (2) B.(1) (3) C.(1) (2) (4) D.(2) (4) 12.设 三角形ABC 的三边长分别为 a、 b、 c , 三角形ABC 的面积为 s,内切圆半径为 r,则
r?

2s ; 类 比 这 个 结 论 可 知 : 四 面 体 S ? ABC 的 四 个 面 的 面 积 分 别 为 a?b?c

S 1 . S 2 . S 3 . S 4 ,内切球的
半径为 r ,四面体 S ? ABC 的体积为 V ,则 r =( A. S ).

V ? S2 ? S3 ? S4 1

B. S

2V ? S2 ? S3 ? S4 1

C.

3V S1 ? S 2 ? S3 ? S 4

D.

4V S1 ? S 2 ? S3 ? S 4
n(2n2 ? 1) 时,由 n ? k 的 3

13.用数学归纳法证明
12 ? 22 ? ??? ? (n ? 1)2 ? n2 ? (n ? 1)2 ? ???22 ? 12 ?

假设到证明 n ? k ? 1 时,等式左边应添加的式子是( A. (k ? 1)2 ? 2k 2 C. (k ? 1)2 二、填空题 14.复数 3 ? 2i ? 3 ? 2i (其中 i 为虚数单位)的共轭复数是
2 ? 3i 2 ? 3i



B. (k ? 1)2 ? k 2
1 D. (k ? 1)[2(k ? 1)2 ? 1] 3

15.已知复数 z1 ? ?1 ? 2i, z2 ? 1 ? i, z3 ? 3 ? 4i ,它们在复平面上所对应的点分别为 A, B, C 。若
OC ? ?OA ? ? OB(?, ? ? R), 则 ? ? ? 的值是



3?i 16.复数 1 ? i ?
2

. 。

17.设 z ? (2 ? i) ( i 为虚数单位) ,则复数 z 的模为

2 2 18.设 m ? R , m ? m ? 2 ? (m ?1)i 是纯虚数,其中 i 是虚数单位,则 m ? ________

19.复数

(1 ? i) 2 等于 1? i



2

20.二进制数 1011(2) 的十进制: 进制数: .

;十进制数 1011(10) 的二

21.右图给出的是计算 1 ? 2 ? 4 ? 判断框内应填 三、解答题 .

? 219 的值的程序框图,其中

22.实数 x 分别取什么值时,复数 z ? x 2 ? x ? 6 ? ( x 2 ? 2 x ? 15)i 对应 的点 Z 在 (1)第三象限; (2)第四象限; (3)在直线 x ? y ? 3 ? 0 上。

23.(本小题满分 12 分) (1)求证: 7 ? 6 ? 5 ? 2 ; (2)已知函数 f ( x) ? e ?
x

x?2 ,用反证法证明方程 f ( x) ? 0 没有负数根. x ?1

24.已知 a ? 0 ,求证: a 2 ?

1 1 ? 2≥a? ?2 a2 a

25.(本小题满分 14 分) 数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2n ? an (n ? N ) .
*

(1)计算 a1 , a2 , a3 , a4 的值;

3

(2)猜想数列 {an } 的通项公式并用数学归纳法证明.

4

负数、算法、推理证明答案 单项选择题 1.B 2.C 3.解:由 | z ?

1 5 5 |? 得 | z |2 ?1 ? | z | ,已经转化为一个实数的方程.解得|z| =2(舍去) , z 2 2

1 ? . 2
4.B 5.D 6.A 7.A 8.B 9.B 10.C 11.C 12.C 【解析】设三凌锥的内切球球心为 O,那么由

V ? VO? ABC ? VO?SAB ? VO?SAC ? VO?SBC 即:
3V 1 1 1 1 V ? S1r ? S2r ? S3r ? S4r 可得 r ? S1 ? S2 ? S3 ? S4 3 3 3 3
13.B 填空题 14. ?2i 【解析】
3 ? 2i 3 ? 2i 3 ? 2i 3 ? 2i ? ? ? 2 ? 3i 2 ? 3i ?i(2i ? 3) i(?2i ? 3)

1 1 2 ? ? ? ? ? ? 2i ,而 2i 的共轭复数是 ?2i . i i i

15.1 16. 1 ? 2i 17.5 18. m ? ?2 . 19. ?1? i 20.11;1111110011【解析】 1011(2) ? 1? 23 ? 0 ? 22 ? 1? 2 ? 1? 20 ? 11 .

5

21.

i ? 19 ? 或 i ? 20 ?

解答题 22.解: x 是实数,? x 2 ? x ? 6, x 2 ? 2 x ? 15 也是实数 若已知复数 z ? a ? bi (a, b ? R ) , 则当 a ? 0 且 b ? 0 时, 复数 z 对应的点在第三象限; 当 a ? 0 时, 且 b ? 0 时, 复数 z 对应的点在第四象限;当 a ? b ? 3 ? 0 时,复数 z 对应的点在直线 x ? y ? 3 ? 0 上
2 ? ?x ? x ? 6 ? 0 (1)当实数 x 满足 ? 2 即 ?3 ? x ? 2 时,点 Z 在第三象限 ? ? x ? 2 x ? 15 ? 0

2 ? ?x ? x ? 6 ? 0 (2)当实数 x 满足 ? 2 即 2 ? x ? 5 时,点 Z 在第四象限 ? ? x ? 2 x ? 15 ? 0

(3)当实数 x 满足 ( x2 ? x ? 6) ? ( x 2 ? 2 x ? 15) ? 3 ? 0 ,即 x ? ?2 时,点 Z 在直线 x ? y ? 3 ? 0 上 23.(1)证明:要证 7 ? 6 ? 5 ? 2 只需证 13 ? 2 42 ? 9 ? 4 5 只需证 24 ? 8 5 ? 42
2 只需证 ( 7 ? 6 ) ?

?

5?2

?

2

即证 2 ? 2 5 ?

42

只需证 4 5 ? 9

即证 80 ? 81

上式显然成立,命题得证。 (2)证明:设存在 x0 ? 0( x0 ? ?1) ,使 f ( x0 ) ? 0 ,则 e 由于 0 ? e 0 ? 1 得 0<—
x

x0

??

x0 ? 2 x0 ? 1

x0 ? 2 1 <1,解得 <x0<2,与已知 x0<0 矛盾,因此方程 f(x) x0 ? 1 2

=0 没有负数根。 24.解:本题主要考察应用分析证明不等式,只需要注意分析法证明问题的步骤即可. 因 为 a ?0 , 所 以 为 了 证 明

a ?
2

1 a
2

?

2≥a?

1 a

?2 , 只 需 证 明

a ?
2

1 a
2

?2≥a?

1 a

?

2 ,即只需证明 ( a ?
2

1 a
2

? 2) ≥ (a ?

2

1 a

?

2) ,
6

2

即a ?
2

1 1 1 1 ? 4 a2 ? 2 ? 4 ≥ a2 ? 2 ? 2 2(a ? ) ? 4, 2 a a a a
2

即只需证明 2 a ?

1 a2



1 2(a ? ) ,只需证明 a

4(a 2 ?

1 1 1 2 ) ≥ 2(a 2 ? 2 ? 2 ) ,即 a ? 2 ≥ 2 . 2 a a a
1 a2
≥2

因为 a ?
2

a2 ?

1 ? 2 ,当且仅当 a ? 1 时,等号成立. a2

所以

a2 ?

1 1 ? 2 ≥ a ? ? 2. a2 a
3 7 15 , a3 ? , a 4 ? 2 4 8

25.解: (1) a1 ? 1, a 2 ? (2)猜想 an ?

2n ? 1 (n ? N* ) 证明如下: n ?1 2 21 ? 1 ? 1成立. 21?1 2k ? 1 ? 1, 2 k ?1

①当 n ? 1 时, a1 ?

②假设当 n ? k 时成立,即 a k ? 则当 n ? k ? 1 时,

ak ?1 ? S k ?1 ? S k ? 2(k ? 1) ? ak ?1 ? 2k ? ak .
2a k ?1 2k ? 1 2k ? 1 ? 2k 2 ? 2k ? 1 ? a k ? 2 ? k ?1 ? 2 ? ? 2 2 k ?1 2 k ?1 2 k ?1 ? 1 2 k ?1 ? 1 ? k ?1?1 . 所以 n ? k ? 1 时结论也成立 2k 2
*

所以 a k ?1 ?

由①②知,对任意的 n ? N , a n ?

2n ?1 都成立. 2 n ?1

7


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