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【成才之路】高中数学人教A版必修2:1章综合检测题


第一章综合素能检测
时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合 题目要求的) 1.(2014· 全国高考卷Ⅰ)某几何体的三视图,如图所示,则这个几何体是( )

A.三棱锥 C.四棱锥 [答案] B

B.三棱柱 D.四棱柱

/>
2.(2014· 广东深圳一模)用一个平行于水平面的平面去截球,得到如图所示的几何体,则它的俯视图是 ( )

[答案] B [解析] D 选项为主视图或侧视图,俯视图中显然应有一个被遮挡的圆,所以内圆是虚线,故选 B. 3.斜四棱柱的侧面是矩形的面最多有( A.0 个 C.2 个 [答案] C [解析] 本题考查四棱柱的结构特征,画出示意图即可. 4.已知△ABC 是边长为 2a 的正三角形,那么△ABC 的平面直观图△A′B′C′的面积为( A. 3 2 a 2 B. 3 2 a 4 ) ) B.1 个 D.3 个

C.

6 2 a 4

D. 6a2

[答案] C [解析] 直观图面积 S′与原图面积 S 具有关系:S′= × 3a2= 6 2 a. 4 2 3 2 S.∵S△ABC= (2a)2= 3a2,∴S△A′B′C′= 4 4 4

5.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长为 3,圆台的侧面积为 84π,则圆台较小底 面的半径为( A.7 C.5 [答案] A [解析] 设圆台较小底面圆的半径为 r,由题意,另一底面圆的半径 R=3r. ∴S 侧=π(r+R)l=π(r+3r)×3=84π,解得 r=7. 6.(2013~2014· 山东省郯城一中高一第二次月考试题)正方体内切球与外接球体积之比为( A.1? 3 C.1?3 3 [答案] C a 3 [解析] 设正方体棱长为 a,内切球半径 R1,外接球半径 R2.R1= ,R2= a, 2 2 a 3 V 内?V 外=( )3?( a)3=1?3 3. 2 2 故选 C. 7.已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为 5,菱形的对角线的长分别是 9 和 15,则这个棱柱的侧面 积是( ) B.60 34 D.135 B.1?3 D.1?9 ) ) B.6 D.3

A.30 34 C.30 34+135 [答案] A

[解析] 由菱形的对角线长分别是 9 和 15,得菱形的边长为 3 积为 4× 34×5=30 34. 2 8.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为( A. C. 3 3 πR 24 5 3 πR 25 B. D. 3 3 πR 8 5 3 πR 8 )

9 15 3 ? ?2+? ?2= 34,则这个菱柱的侧面 2 2 2

[答案] A R 3 [解析] 依题意,得圆锥的底面周长为 πR,母线长为 R,则底面半径为 ,高为 R,所以圆锥的体积 2 2 1 R 3 3 为 ×π×( )2× R= πR3. 3 2 2 24 9.正三棱柱有一个半径为 3 cm 的内切球,则此棱柱的体积是( A.9 3 cm3 C.27 cm3 [答案] B [解析] 由题意知棱柱的高为 2 3 cm,底面正三角形的内切圆的半径为 3 cm,∴底面正三角形的边 长为 6 cm,正三棱柱的底面面积为 9 3 cm2,∴此三棱柱的体积 V=9 3×2 3=54(cm3). 10.(2013· 湖南· 理科)已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图 的面积不可能等于( A.1 C. 2-1 2 ) B. 2 D. 2+1 2 B.54 cm3 D.18 3 cm3 )

[答案] C [解析] 水平放置的正方体,当正视图为正方形时,其面积最小为 1;当正视图为对角面时,其面积最 大为 2.因此满足棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积的范围 为[1, 2].由此可知,A,B,D 均有可能,而 2-1 <1,故 C 不可能. 2

11.(2013· 山东· 文科)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示,该四棱锥 侧面积和体积分别是( A.4 5,8 8 B.4 5, 3 8 C.4( 5+1), 3 D.8,8 [答案] B [解析] 因为四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,所以该四棱锥为正四棱锥,其主视图为原图形中 的△PEF, 如图. 由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面长 AB=2, 高 PO=2, 则四棱锥的斜高 PE= 22+12 1 1 8 = 5.所以该四棱锥侧面积 S=4× ×2× 5=4 5,体积= ×2×2×2= . 2 3 3 )

12.(2013· 全国Ⅰ· 理科)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8 cm,将一个球放在 容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 ( )

500π A. cm3 3 1372π C. cm3 3 [答案] A

866π B. cm3 3 2048π D. cm3 3

[解析] 设球的半径为 R,则由题知球被正方体上面截得圆的半径为 4,球心到截面圆的距离为 R-2, 4π×53 500 则 R2=(R-2)2+42,解得 R=5.∴球的体积为 = cm3. 3 3 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.在几何体①圆锥;②正方体;③圆柱;④球;⑤正四面体中,三视图完全一样的是________. [答案] ②④ 14.用斜二测画法画边长为 2 的正三角形的直观图时,如果在已知图形中取的 x 轴和正三角形的一边 平行,则这个正三角形的直观图的面积是________. [答案] 6 4

15.棱锥的高为 16,底面积为 512,平行于底面的截面面积为 50,则截得的棱台的高为________. [答案] 11 16-x 2 50 [解析] 设棱台的高为 x,则有( ) = ,解之,得 x=11. 16 512 16.(2013~2014· 安徽皖南八校联考)一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示,其中主视图是直角三 角形,侧视图是半圆,俯视图是等腰三角形,则这个几何体的表面积是________.

[答案] 2(1+ 3)π+4 2 [解析] 此几何体是半个圆锥, 直观图如右图所示, 先求出圆锥的侧面积 S 圆锥侧=πrl=π×2×2 3=4 3 π,S 底=π×22=4π, 1 S△SAB= ×4×2 2=4 2, 2 4 3π 4π 所以 S 表= + +4 2=2(1+ 3)π+4 2. 2 2 三、解答题(本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为 1?16,截去的圆锥的母线长是 3 cm,求圆台的母线长. [解析] 设圆台的母线长为 l cm,截得圆台的上、下底面半径分别为 r cm,4r cm. 根据相似三角形的性质得 3 r = ,解得 l=9.所以,圆台的母线长为 9 cm. 3+l 4r

18.(本小题满分 12 分)如图是一个几何体的正视图和俯视图. (1)试判断该几何体是什么几何体? (2)画出其侧视图,并求该平面图形的面积; (3)求出该几何体的体积. [解析] (1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个 正六棱锥. 是俯视图正六

(2)该几何体的侧视图如图.其中 AB=AC,AD⊥BC,且 BC 的长

1 边形对边的距离,即 BC= 3a,AD 是正六棱锥的高,即 AD= 3a,所以该平面图形的面积为 · 3a· 3a 2 3 = a2. 2

(3)设这个正六棱锥的底面积是 S,体积为 V, 则 S=6× 3 2 3 3 2 a= a, 4 2

1 3 3 2 3 所以 V= × a × 3a= a3. 3 2 2 19. (本小题满分 12 分)如图,在四边形 ABCD 中,∠DAB=90° , AB=5,CD=2 2,AD=2,求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几 及体积. [解析] 过点 C 作 CE⊥AD 于点 E,CF⊥AB 于点 F, ∵∠ADC=135° ,∴∠EDC=45° . 又∵CE⊥DE,∴CE=ED=2. 易得 CF=4,BF=3,∴BC=5. 四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所形成的几何体是以 EC,AB 为底面半径,EA 为高的圆台,去掉一个以 EC 为底面半径,ED 为高的圆锥, ∴S 表=25π+4 2π+π(10+25)=60π+4 2π, π 1 148 V= (22+ 22×52+52)×4- π×22×2= π. 3 3 3 20.(本小题满分 12 分)(2014· 湖南常德上学期期末)已知某几何体的侧视图与其正视图相同,相关的尺 寸如图所示,求这个几何体的体积. ∠ADC=135° , 何体的表面积

3 [解析] 由三视图可知,该几何体是大圆柱内挖掉了小圆柱,两个圆柱高均为 1,底面是半径为 2 和 的 2 3 7π 同心圆,故该几何体的体积为 4π×1-π( )2×1= . 2 4 21.(本小题满分 12 分)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图(1)所示.墩的上半部分是正四棱锥 P-EFGH,下半部分是长方体 ABCD-EFGH.如图(2)(3)所示的分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.

(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图; (2)求该安全标识墩的体积. [解析] (1)如图所示. 1 (2) 该安全标识墩的体积 V= VP- EFGH + VABCD - EFGH = ×402×60 + 3 000+32 000 =64 000(cm3). 22.(本小题满分 12 分)如图,正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 a,连接 A′C′,A′D,A′B, BD,BC′,C′D,得到一个三棱锥.求: 402×20 = 32

(1)三棱锥 A′-BC′D 的表面积与正方体表面积的比值; (2)三棱锥 A′-BC′D 的体积. [解析] (1)∵ABCD-A′B′C′D′是正方体, ∴A′B=A′C′=A′D=BC′=BD=C′D= 2a, ∴三棱锥 A′-BC′D 的表面积为 1 3 4× × 2a× × 2a=2 3a2. 2 2 2 3a2 3 而正方体的表面积为 6a2,故三棱锥 A′-BC′D 的表面积与正方体表面积的比值为 = . 6a2 3 (2)三棱锥 A′-ABD,C′-BCD,D-A′D′C′,B-A′B′C′是完全一样的. 故 V 三棱锥 A′-BC′D=V 正方体-4V 三棱锥 A′-ABD 1 1 a3 =a3-4× × a2×a= . 3 2 3


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