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基本不等式的证明


高二数学——卓天刚
基本不等式的证明 一、比较法: 通过比较不等式的差与 0 的大小和商与 1 的大小来比较。即: ①作差比较法步骤:作差—变形—判定符号 ②作商比较法步骤:作商—变形—确定与 1 的大小关系 例题讲解: 1、求证:x2 + 3 > 3x

2. 已知 a, b, m 都是正数,并且 a < b,求证:

a?m a ? b?m b

3、设 a, b ? R ,求证: a b ? (ab)
+

a

b

a ?b 2

? abb a

课堂演练:
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高二数学——卓天刚
1、对于 0 ? a ? 1 ,给出下列四个不等式 1 1 ① log a (1 ? a ) ? log a (1 ? ) ② log a (1 ? a ) ? log a (1 ? ) a a ③ a1?a ? a a ④ a1?a ? a a 其中成立的是· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ( A.①与③ B.①与④ C.②与③ D.②与④ a a?m 1, 2、 a ,则 , 的大小关系为_________________。 ? b ? 0 , m ? 0 b b?m 3、已知 a, b 都是正数,并且 a ? b,求证:a5 + b5 > a2b3 + a3b2
1? 1 1? 1



二、综合法 1.综合法:利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)和不等式的 性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法通常叫做综合法
王新敞
奎屯 新疆

2.用综合法证明不等式的逻辑关系是: A ? B1 ? B2 ? ? ? Bn ? B 3.综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式, 推出结论的一种证明方法 例题讲解:
王新敞
奎屯 新疆

例 1 已知 a,b,c 是不全相等的正数,求证:

a(b 2 ? c 2 ) ? b(c 2 ? a 2 ) ? c(a 2 ? b 2 ) ? 6abc

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高二数学——卓天刚
例2 已知 a,b,c 都是正数,且 a,b,c 成等比数列, 求证: a 2 ? b 2 ? c 2 ? (a ? b ? c) 2

例 3、已知 a , b, c?R,

1 1 1 求证: (a ? b ? c)( ? ? ) ? 9 a b c

课堂训练: 1、设 a, b? R,求证: a 2 ? b 2 ?
2 ( a ? b) 2

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高二数学——卓天刚
3、a, b? R,若 a + b = 1, 求证: a ?

1 1 ? b? ?2 2 2

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