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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第4章 第5节 简单的三角恒等变换


第四章

第五节

一、选择题 π 1 θ 1.(文)设 <θ<π,且|cosθ|= ,那么 sin 的值为( 2 5 2 A. 10 5 15 5 B.- D. ) 10 5

C.-

15 5

[答案] D π 1 [解析] ∵ <θ<π,∴cosθ<0,∴cosθ=- . 2 5 π θ π θ ∵ < < ,∴sin >0, 4 2 2 2 θ θ 1-cosθ 3 又 cosθ=1-2sin2 ,∴sin2 = = , 2 2 2 5 θ 15 ∴sin = . 2 5 π (理)(2014· 河北唐山检测)已知 x∈(- ,0),cos2x=a,则 sinx=( 2 A. C. 1-a 2 1+a 2 B.- D.- 1-a 2 1+a 2 )

[答案] B [解析] a=cos2x=1-2sin2x, π ∵x∈(- ,0),∴sinx<0,∴sinx=- 2 1-a . 2 )

2.(2014· 山东淄博一模)已知 tanα=2,那么 sin2α 的值是( 4 A.- 5 3 C.- 5 [答案] B [解析] sin2α=2sinαcosα= 4 B. 5 3 D. 5

2sinαcosα 2tanα 4 2 2 = 2 = ,选 B. sin α+cos α 1+tan α 5 )

3.(文)(2014· 浙江建人高复月考)tan70° +tan50° - 3tan70° tan50° 的值等于(

-1-

A. 3 C.- 3 3

B.

3 3

D.- 3

[答案] D tan70° +tan50° [解析] 因为 tan120° = =- 3,即 tan70° +tan50° - 3tan70° · tan50° =- 1-tan70° · tan50° 3. (理)(2013· 兰州名校检测)在斜三角形 ABC 中, sinA=- 2cosB· cosC, 且 tanB· tanC=1- 2, 则角 A 的值为( π A. 4 π C. 2 [答案] A [解析] 由题意知, sinA=- 2cosB· cosC=sin(B+C)=sinB· cosC+cosB· sinC, 在等式- 2 cosB· cosC=sinB· cosC+cosB· sinC 两边同除以 cosB· cosC 得 tanB+tanC=- 2, tanB+tanC π 又 tan(B+C)= =-1=-tanA,即 tanA=1,所以 A= . 4 1-tanBtanC 1 4.(文)若 cos(x+y)cos(x-y)= ,则 cos2x-sin2y 等于( 3 1 A.- 3 2 C.- 3 [答案] B [ 解析 ] ∵ cos(x + y)cos(x - y) = (cosxcosy - sinxsiny)· (cosxcosy + sinxsiny) = cos2xcos2y - 1 B. 3 2 D. 3 ) ) π B. 3 3π D. 4

sin2xsin2y = cos2x(1 - sin2y) - (1 - cos2x)· sin2y = cos2x - cos2xsin2y - sin2y + cos2xsin2y = cos2x - sin2y,∴选 B. π (理)(2014· 福建石狮模拟)函数 y=cos2(x+ )的图象沿 x 轴向右平移 a 个单位(a>0), 所得图 4 象关于 y 轴对称,则 a 的最小值为( A.π π C. 2 [答案] D [分析] 先将函数利用二倍角公式降幂,然后求出平移后的解析式,再根据偶函数的性质 求出 a 的最小值.
-2-

) 3π B. 4 π D. 4

π 1+cos?2x+ ? 2 1-sin2x 1 1 π [解析] y=cos2(x+ )= = = - sin2x,函数图象向右平移 a 个单 4 2 2 2 2 1 1 1 1 位得到函数 y= - sin[2(x-a)]= - sin(2x-2a),要使函数的图象关于 y 轴对称,则有-2a 2 2 2 2 π π kπ π = +kπ,k∈Z,即 a=- - ,k∈Z,所以当 k=-1 时,a 有最小值为 ,故选 D. 2 4 2 4 π ? 4 5.已知 α∈? ?-2,0?,cosα=5,则 tan2α 等于( 24 A.- 7 7 C.- 24 [答案] A π 4 [解析] ∵- <α<0,cosα= , 2 5 3 sinα 3 ∴sinα=- 1-cos2α=- ,∴tanα= =- , 5 cosα 4 ∴tan2α= 2tanα 24 2 =- ,故选 A. 7 1-tan α α tan 2 1-tan 2 3 ,且 2sinβ=sin(α+β),则 2 24 B. 7 7 D. 24 )

π 6.(2014· 东北三省四市联考)已知 α,β∈(0, ), 2 β 的值为( π A. 6 π C. 3 [答案] A ) π B. 4 5π D. 12





3 π π π 3 [解析] 由 = ,得 tanα= 3.∵α∈(0, ),∴α= ,∴2sinβ=sin( +β)= cosβ α 2 2 3 3 2 1-tan2 2 1 3 π + sinβ,∴tanβ= ,∴β= . 2 3 6 二、填空题 7.已知 sinα· cosα<0,sinαtanα>0,化简 α cos · 2 α 1-sin 2 α +sin · α 2 1+sin 2 α 1+cos 2 =________. α 1-cos 2

α tan 2

-3-

α π? [答案] ± 2sin? ?2+4? [解析] ∵sinα· cosα<0,∴α 为第二或第四象限角, 又∵sinα· tanα>0,∴α 为第四象限角, α ∴ 为第二或四象限角. 2 α α 1-sin 1+cos 2 2 α α ∴原式=cos · +sin · 2 ? α? 2 ? α? ?cos2? ?sin2?

?sin2+cos2 =? α α ?-sin2-cos2

α

α

?α为第二象限角?, ?2 ? ?α为第四象限角?. ?2 ?

α π? ∴原式=± 2sin? ?2+4?. 3 3 π 8.(文)已知 sinα= ,cosβ= ,其中 α、β∈(0, ),则 α+β=________. 5 5 2 [答案] π 2

π 3 3 [解析] ∵α,β∈(0, ),sinα= ,cosβ= , 2 5 5 4 4 ∴cosα= ,sinβ= , 5 5 4 3 3 4 ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= × - × =0, 5 5 5 5 π ∵α+β∈(0,π),∴α+β= . 2 (理)(2014· 山东青岛阶段测试)已知 α∈R,sinα+2cosα= 3 [答案] - 4 [解析] ∵sinα+2cosα= ∴tan2α= sin2α 3 =- . cos2α 4 10 5 ,∴sin2α+4sinα· cosα+4cos2α= .化简得 4sin2α=-3cos2α, 2 2 10 ,则 tan2α 等于________. 2

π 4 π 9. (2014· 辽宁铁岭一中期中)设 α 为锐角, 若 cos(α+ )= , 则 sin(2α+ )的值为________. 6 5 12 [答案] 17 2 50

[解析] 本题考查三角函数倍角公式及两角差的正弦公式等知识,考查学生运算能力,

-4-

π π π 2π ∵0<α< ,∴ <α+ < , 2 6 6 3 π 4 又 cos(α+ )= , 6 5 π ∴sin(α+ )= 6 π 3 1-cos2?α+ ?= , 6 5

π π π ∴sin2(α+ )=2sin(α+ )cos(α+ ) 6 6 6 3 4 24 =2× × = , 5 5 25 π π cos2(α+ )=2cos2(α+ )-1 6 6 4 7 =2×( )2-1= , 5 25 π π π ∴sin(2α+ )=sin[2(α+ )- ] 12 6 4 π π π π =sin2(α+ )cos -cos2(α+ )sin 6 4 6 4 = 24 2 7 2 17 2 × - × = . 25 2 25 2 50

[点评] 已知三角函数值求值问题,解题策略是用已知条件中的角表示未知角,即用角的 变换转化,然后用倍角公式或两角和与差公式求值. 三、解答题 π 10.(文)已知函数 f(x)=tan(2x+ ). 4 (1)求 f(x)的定义域与最小正周期; π α (2)设 α∈(0, ),若 f( )=2cos2α,求 α 的大小. 4 2 [解析] π π π kπ (1) 由 2x + ≠ + kπ , k ∈ Z , 得 x≠ + , k ∈ Z , 所 以 f(x) 的 定 义 域为 4 2 8 2

? ? π kπ ?x∈R?x≠ + ?. , k ∈ Z ? 8 2 ? ?

π f(x)的最小正周期为 . 2 α? (2)由 f? ?2?=2cos2α 得, π? 2 2 tan? ?α+4?=2cos2α, ? π?=2(cos α-sin α), cos?α+4? sinα+cosα 整理得 =2(cosα+sinα)(cosα-sinα). cosα-sinα π α+ ? sin? ? 4?

-5-

π? 因为 α∈? ?0,4?,所以 sinα+cosα≠0. 1 1 因此(cosα-sinα)2= ,即 sin2α= . 2 2 π? ? π? 由 α∈? ?0,4?,得 2α∈?0,2?. π π 所以 2α= ,即 α= . 6 12 π (理)(2014· 四川理,16)已知函数 f(x)=sin(3x+ ). 4 (1)求 f(x)的单调递增区间; α 4 π (2)若 α 是第二象限角,f( )= cos(α+ )cos2α,求 cosα-sinα 的值. 3 5 4 π [分析] 第(1)问,通过整体思想,将 3x+ 看作一个整体,借助 y=sinx 的单调递增区间, 4 解不等式求出 x 的范围得到 f(x)的单调递增区间,要注意 k∈Z 不要漏掉;第(2)问,利用已知 α 条件求出 f( ),然后利用和角公式展开整理,得到关于 sinα+cosα 与 cosα-sinα 的方程,再对 3 sinα+cosα 与 0 的关系进行讨论,得到 cosα-sinα 的值. π π [解析] (1)因为函数 y=sinx 的单调递增区间为[- +2kπ, +2kπ],k∈Z, 2 2 π π π π 2kπ π 2kπ 由- +2kπ≤3x+ ≤ +2kπ,k∈Z,得- + ≤x≤ + ,k∈Z. 2 4 2 4 3 12 3 π 2kπ π 2kπ 所以,函数 f(x)的单调递增区间为[- + , + ],k∈Z. 4 3 12 3 π 4 π (2)由已知,有 sin(α+ )= cos(α+ )(cos2α-sin2α), 4 5 4 π π 4 π π 所以 sinαcos +cosαsin = (cosαcos -sinαsin )(cos2α-sin2α), 4 4 5 4 4 4 即 sinα+cosα= (cosα-sinα)2(sinα+cosα). 5 当 sinα+cosα=0 时,由 α 是第二象限角, 3π 知 α= +2kπ,k∈Z. 4 此时,cosα-sinα=- 2. 5 当 sinα+cosα≠0 时,有(cosα-sinα)2= . 4 由 α 是第二象限角,知 cosα-sinα<0,此时 cosα-sinα=- 综上所述,cosα-sinα=- 2或- 5 . 2 5 . 2

-6-

一、选择题 11.(2013· 东北三省四市联考)已知复数 z1=cos23° +isin23° ,复数 z2=cos37° +isin37° ,则 z1· z2 为( ) B. D. 3 1 + i 2 2 3 1 - i 2 2

1 3 A. + i 2 2 1 3 C. - i 2 2 [答案] A

1 3 [解析] 由已知条件可得 z1z2=cos(23° +37° )+isin(23° +37° )=cos60° +isin60° = + i, 2 2 故应选 A. α 12.(2014· 樟树中学月考)已知 tan =3,则 cosα=( 2 4 A. 5 4 C. 15 [答案] B α α cos2 -sin2 2 2 [解析] cosα=cos -sin = 2 2 α α cos2 +sin2 2 2
2α 2α

)

4 B.- 5 3 D.- 5

α 1-tan2 2 1-9 4 = = =- ,故选 B. α 1+9 5 1+tan2 2 π 13.(2013· 沈阳、大连联考)已知△ABC 的三边 a,b,c 成等差数列,且 B= ,则 cosA- 4 cosC 的值为( A.± 2 4 C. 2 [答案] D [解析] 由三边成等差数列得 2b=a+c,据正弦定理将边化角得 2sinB= 2=sinA+sinC ①, 令 cosA-cosC=x ②, 将两式两边平方并相加可得 2+2(sinAsinC-cosAcosC)=2-2cos(A+C)=2+x2, 由已知 A ) B. 2 4 D.± 2

-7-

3π 4 +C= 得 2=x2,解得 x=± 2,故选 D. 4 二、填空题 2cos5° -sin25° 14.(文)(2014· 河南六市联考) 的值为________. cos25° [答案] 3

2cos?30° -25° ?-sin25° [解析] 原式= cos25° = 3cos25° = 3. cos25°

2cos10° -sin20° (理)(2014· 江苏灌云高级中学期中)求值: =________. cos20° [答案] 3

[解析] 由题意得 2cos10° -sin20° 2cos?30° -20° ?-sin20° = cos20° cos20° = ? 3cos20° +sin20° ?-sin20° = 3. cos20°

3 α π 15. (2013· 江苏苏、 锡、 常、 镇调研)已知钝角 α 满足 cosα=- , 则 tan( + )的值为________. 5 2 4 [答案] -3 3 4 [解析] ∵cosα=- ,α 为钝角,∴sinα= , 5 5 sinα 4 4 α ∴tanα= = =- ,由二倍角公式得 tanα= =- ,且 tan >0, cosα 3 3 3 2 2α - 1-tan 5 2 α α π 解得 tan =2,故 tan( + )= 2 2 4 α tan +1 2 =-3. α 1-tan 2 4 5 α 2tan 2

1 11 π π 16.(2014· 湖北武汉联考)已知 cosα= ,cos(α+β)=- ,且 α∈(0, ),α+β∈( ,π), 7 14 2 2 则 cosβ 的值为________. [答案] 1 2

π π 1 11 [解析] ∵α∈(0, ),α+β∈( ,π),cosα= ,cos(α+β)=- , 2 2 7 14 ∴sinα= 1-cos2α= 1 4 3 1-? ?2= , 7 7

-8-

sin(α+β)= 1-cos2?α+β?=

11 5 3 1-?- ?2= , 14 14

11 1 5 3 4 3 1 ∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=(- )× + × = . 14 7 14 7 2 三、解答题 3-2cos2α 17.(2013· 池州期末)已知 α,β∈(0,π),f(α)= . 4sinα (1)用 sinα 表示 f(α); (2)若 f(α)=sinβ,求 α 及 β 的值. 3-2?1-2sin2α? 1+4sin2α [解析] (1)f(α)= = . 4sinα 4sinα (2)∵0<α<π,∴sinα>0. 1 ∴f(α)=sinα+ ≥2 4sinα 1 =1, 4

又 f(α)=sinβ≤1,∴f(α)=1, 1 此时 sinα= , 4sinα 1 π 5π 即 sinα= ,∴α= 或 . 2 6 6 又∵0<β<π,0<sinβ≤1,f(α)≥1, π 所以 f(α)=sinβ=1,所以 β= . 2 π 5π π 综上可知 α= 或 ,β= . 6 6 2 18.(文)(2014· 天津十二区县模拟)已知 f(x)=2 3cos2x+2sin(π-x)cos(-x)+a- 3(x∈R, a∈R,a 为常数). (1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间; π (2)先将函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位, 然后将得到函数图象上各点的横坐标伸长为 6 π π 原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,若当 x∈[ , ]时,g(x)的最小值为 2, 6 3 求 a 的值及函数 y=g(x)的解析式. π [解析] (1)f(x)=sin2x+ 3cos2x+a=2sin(2x+ )+a, 3 函数 f(x)的最小正周期为 T= 2π =π, 2

π π π 令 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 5π π kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z, 12 12

-9-

5π π 所以函数 f(x)的单调递增区间为[kπ- ,kπ+ ],k∈Z. 12 12 π π (2)f(x)=2sin(2x+ )+a 向右平移 个单位,然后将得到函数图象上各点的横坐标变为原来 3 6 的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的解析式为 g(x)=2sinx+a, π π 当 x∈[ , ]时,g(x)∈[a+1,a+ 3], 6 3 g(x)取最小值 2,∴a+1=2,a=1, 所以 g(x)=2sinx+1. (理)(2013· 山东实验中学三诊)设函数 f(x)= 3sinxcosx+cos2x+a. (1)写出函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间; π π 3 (2)当 x∈[- , ]时,函数 f(x)的最大值与最小值的和为 ,求 f(x)的解析式; 6 3 2 π (3)将满足(2)的函数 f(x)的图象向右平移 个单位,纵坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍, 12 1 π 再向下平移 个单位,得到函数 g(x)的图象,求 g(x)的图象与 x 轴的正半轴、直线 x= 所围成 2 2 图形的面积. [解析] (1)f(x)= 1+cos2x 3 sin2x+ +a 2 2

π 1 =sin(2x+ )+a+ ,∴最小正周期 T=π. 6 2 π π 3π 由 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z, 2 6 2 π 2π 得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z. 6 3 π 2π 故函数 f(x)的单调递减区间是[ +kπ, +kπ](k∈Z). 6 3 π π π π 5π (2)∵- ≤x≤ ,∴- ≤2x+ ≤ . 6 3 6 6 6 1 π ∴- ≤sin(2x+ )≤1. 2 6 π π 1 1 1 3 当 x∈[- , ]时,函数 f(x)的最大值最小值的和(1+a+ )+(- +a+ )= , 6 3 2 2 2 2 π 1 ∴a=0,∴f(x)=sin(2x+ )+ . 6 2 (3)由题意知 g(x)=sinx,

所求面积为

sinxdx=-cosx|

=1.

- 10 -


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