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反证法


小故事

路边苦李
王戎7岁时,与小 伙伴们外出游玩,看 到路边的李树上结满 了果子.小伙伴们纷 纷去摘取果子,只有 王戎站在原地不动.

王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.

王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样 的推理方法?

假设李子不

是苦的,即李子是甜的, 那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被 过路人摘去解渴呢? 那么,树上的李子还会这么多吗? 这与事实矛盾。说明 李子是甜的这个假设是错 的还是对的? 所以,李子是苦的

甲:在五一长 假里,我和爸 爸、妈妈去新 加坡玩了整整6 天,真是太高 兴了.

丙:是啊,5 月4号我确实 和甲在“步 行街”逛街!

乙:这不可能,5月4 号上午还看见你和丙 在“步行街”逛街呢!

乙:甲没有去新加坡玩了6天.
假设甲去新加坡玩了6天,
那么甲从5月1号至6号或是2号至7号在 新加坡, 即5月4号甲在新加坡, 这与“5月4号甲在桂阳的“步行街””矛 盾, 所以假设“甲去新加坡玩了6天”不正确, 于是“甲没有去新加坡玩了6天”正确.

他运用了怎样的推理方法? ? 在古希腊时,有三个哲学家,由于争论和 天气的炎热感到疲倦,于是就在花园里的 一棵大树下躺下休息睡着了。这时一个爱 开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额,当他 们醒过来后,彼此相看时都笑了。一会儿 其中有一个人却突然不笑了,他是觉察到 什么了?

各抒己见

自己的前额也被涂黑了.
假设自己的前额没有被涂黑, 那么另一个哲学家也不会有异常行为,

这与另一个哲学家笑个不停矛盾 , 所以假设“自己的前额没有涂黑”不正 确, 于是自己的前额也被涂黑了.

14.1.3反证法

一、问题情境 小华睡觉前,地上是干的,早晨起来,看见地上全湿 了。小华对婷婷说:“昨天晚上下雨了。”

你能对小华的判断说出理由吗?

小华的理由:
假设昨天晚上没有下雨,那么地上应是干的,这与 早晨地上全湿了相矛盾,所以说昨晚下雨是正确的。 我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。

一、复习引入
A

如图,在△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b, 如果∠C=90°,a、b、c三边有何关系?为 什么?

解析: 由∠C=90°可知是直角三角 形,根据勾股定理可知 a2 +b2 =c2 .

b

c

C

a

B

二、探究
若将上面的条件改为“在 △ABC中,AB=c,BC=a, AC=b,∠C≠90°”,请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗?请说明理由。

问题:

A

b
C

c
a
B

探究:假设a2 +b2 =c2,由勾股定理
可知三角形ABC是直角三角形,且 ∠C=90°,这与已知条件∠C≠90°矛 盾。假设不成立,从而说明原结论a2 +b2 ≠ c2 成立。

发现知识:
这种证明方法与前面的证明方法不同,它是首先假设结论 的反面成立,然后经过正确的;逻辑推理得出与已知、定理、 公理矛盾的结论,从而得到原结论的正确。象这样的证明方法 叫做反证法。

三、应用新知
例1在△ABC中,AB≠AC,求证:∠B
≠∠

尝试解决问题
C
A

感 受 反 证 法 :

证明:假设 ∠B = ∠ C, 则 这与 AB=AC ( 等角对等边 已知AB≠AC 矛盾. )
B

C

假设不成立. ∴ ∠B ≠ ∠ C .

小结:
反证法的步骤:假设结论的反面不成立→逻辑推理 得出矛盾→肯定原结论正确

例2

求证:两条直线相交只有一个交点。 已知:如图两条相交直线a、b。 求证:a与b只有一个交点。

证明:假设a与b不止一个交点,不 妨假设有两个交点A和A’。 因为两点确定一条直线,即经 过点A和A’的直线有且只有一条,这与 已知两条直线矛盾,假设不成立。 所以两条直线相交只有一个交点。

a



A,

A
b



小结:根据假设推出结论除了可以与已知 条件矛盾以外,还可以与我们学过的定理、 公理矛盾

已知:如图有a、b、c三条直线, 且a//c,b//c. 求证:a//b

例3

证明:假设a与b不平行,则 可设它们相交于点A。 那么过点A 就有两条直 线a、b与直线c平行,这与 “过直线外一点有且只有一 条直线与已知直线平行矛盾, 假设不成立。 ∴a//b.

a b c A

小结:根据假设推出结论除了可以与已知 条件矛盾以外,还可以与我们学过的定理、 公理矛盾

例4

求证:在一个三角形中,至少有一个内角小于 或等于60°。 已知:△ABC 求证:△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明:假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60°, ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° 则 。 ∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° , 即 ∠A+∠B+∠C>180° 。 这与 三角形的内角和为180度 矛盾.假设不成立. ∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于60°. .

点拨:至少的反面是没有!

例5

求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平 行线中的一条相交,那么和另一条也相交.

已知: 直线l1, l2, l3在同一平面内,且l1∥l2, l3与l1相 交于点P. 求证: l3与l2相交. l3 l3与l2 不相交. 证明 假设____________, l3∥l2 : 那么_________. l1∥l2 因为已知_________, 所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行, 经过直线外一点,有且只有一条直 这与“_______________________ 线平行于已知直线 _____________”矛盾. 所以假设不成立,即求证的命题正确.
P l1 l2

例6、用反证法证明:等腰三角形的底 角必定是锐角.
分析:解题的关键是反证法的第一步否定结 论,需要分类讨论. 已知:在△ABC中,AB=AC. 求证:∠B、∠C为锐角. 证明:假设等腰三角形的底角不是锐角,那 么只有两种情况: (1)两个底角都是直角; (2)两个底角都是钝角;

(1)由∠C=∠B=90° 则∠A+∠B+∠C=∠A+90°+90°>180°, 这与三角形内角和定理矛盾, ∴∠A=∠B=90°这个假设不成立.
(2)由90°<∠B<180°, 90°<∠C<180°, 则 ∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和定理矛盾

.∴两个底角都是钝角这个假设也不成立. 故原命题正确 ∴等腰三角形的底角必定是锐角. 说明:本例中“是锐角(小于90°)”的反面有两种情况, 这时,必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能 成立,最后才能肯定命题的结论一定正确.此题是对反证 法的进一步理解.

回顾与归纳
公 假 得理 设 结 出、 论 推理论证 矛 定 的 盾理 反 (等 面 ) 已 正 知 确 命 假题 设成 得出结论 不 立 成 立 , 原

.

反设



归谬

结论

反证法的一般步骤:
假设命题结 论反面成立 什么时候运用反证法呢? 所证命题 成立 与已知条 件矛盾

假设

假设命题结 论不成立

推理得出 的结论

与定理,定义, 公理矛盾

假设不 成立

直接证法 证明真命题 的方法 间接证法 反证法

万事开头难,让我们走好第一步!
写出下列各结论的反面: (1)a//b; (2)a≥0;
(3)b是正数; (4)a⊥b a∥b a<0 b是0或负数 a不垂直于b

做一做

学习是件很愉快的事
A D E C

已知:如图△ABC中,D、E两 点分别 在AB和AC上 求证:CD、BE不能互相平分 证明:假设CD、BE互相平分 连结DE,故四边形BCED是 B 平行四边形 ∴BD∥CE (平行四边形对边平行) 这与BD、CE交于点A矛盾 假设错误, ∴CD、BE不能互相平分

四、巩固新知
1、试说出下列命题的反面: (1)a是实数。 a不是实数 (2)a大于2。a小于或等于2 没有两个 a大于或等于2 (3)a小于2。 (4)至少有 2个 (5)最多有一个 一个也没有 (6)两条直线平行。 两直线相交 2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 假设a=b。 3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角,那么 这个三角形不是等腰三角形”的第一步 假设这个三角形是等腰三角形 。

五、拓展应用
1、已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠APB≠∠APC。 求证:PB≠PC 证明:假设PB=PC。 在△ABP与△ACP中 AB=AC(已知) AP=AP(公共边) PB=PC(已知) ∴△ABP≌△ACP(S.S.S) ∴∠APB=∠APC(全等三角形对应 B 边相等) 这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾, 假设不成立. ∴PB≠PC
A

P C

华盛顿抓小偷
美国总统华盛顿从小非常聪明,小偷翻进 鲍克家偷走了许多东西,根据迹象表明小偷就 是本村人,华盛顿灵机一动,对全村人讲起了 故事:“黄蜂是上帝的使者,能辨别人间的真假 .”忽然华盛顿大声喊道:“小偷就是他,黄蜂 正在他的帽子上兜圈子,要落下来了!”大 家回头张望,看着那个想把帽子上的黄蜂赶 走的人,其实哪有什么黄蜂?华盛顿大喝一 声:“小偷就是他!”

你知道华盛顿是如何推理的吗?

警察局里有5名嫌疑犯,他们分别做了如下口供: A说:这里有1个人说谎. B说:这里有2个人说谎. C说:这里有3个人说谎. D说:这里有4个人说谎. E说:这里有5个人说谎. 聪明的同学们,假如你是警察,你觉得谁说了真话? 你会释放谁? 请与大家分享你的判断!

课外延伸
古希腊哲学家亚里士多德有一个著名论点: 轻重不同的两个物体从同一高度自由下落时,一 定是重的物体先落地.在意大利物理学家伽利略 提出反对观点以前的一千多年里人们对亚里士 多德的说法深信不疑.伽利略为了证明自己的观 点是正确的,在意大利的比萨斜塔上,让一个中1 磅和重100磅的两个铁球同时从高空自由下落,果 然是同时着地.这是科学史上一个极其有名的实 验,它否定了亚里士多德的错误观点.你能用今天 所学的知识来否定亚里士多德的错误观点吗?试 一试.

六、全课总结
1、知识小结: 反证法证明的思路:假设命题不成立→正确的推 理,得出矛盾→肯定待定命题的结论

2、难点提示: 利用反证法证明命题时,一定要准确而全面的找出 命题结论的反面。至少的反面是没有,最多的反面是不 止。

大家议一议!
通过本节内容的学习,你 们觉得哪些题型宜用反证法 ?

我来告诉你(经验之谈)
(1)以否定性判断作为结论的命题;

(2)以“至多”、“至少”或“不多于”等形 式陈述的命题; (3)关于“唯一性”结论的命题;
(4)一些不等量命题的证明; (5)有些基本定理或某一知识体系的初始阶段 等等.(如平行线的传递性的证明)

注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
(1)周密考察原命题结论的否定事项,防止 否定不当或有所遗漏; (2)推理过程必须完整,否则不能说明命题 的真伪性; (3)在推理过程中,要充分使用已知条件, 否则推不出矛盾,或者不能断定推出的结果是 错误的。

课时作业设计
? ? ? ? ? 用反证法证明下列命题: 1.求证:三角形内角中至多有一个内角是钝角。 2.已知:如图,AB∥CD,AB ∥EF。 求证:CD ∥EF。 3.求证:圆内两条不是直径的弦不能互相平分。 4.证明“在同一平面内,垂直于同一条直线的两 条直线互相平行.”
A C B D F 第2题图

E

3提示:证明:如图所示,假设两弦AB与CD互相平分
连接AC、CB、BD、DA,则四边形ACBD为平行四边形 所以∠ACB= ∠ ADB,因为四边形ACBD内接与圆,所以 ∠ ACB+ ∠ ADB=180°,所以∠ACB=90°,即 AB是直径,这与题设的“两条不是直径的弦”矛盾。 所以两弦AB和CD不能互相平分。

D

.

B

C
A

4提示:证明:假设在同一平面内,垂直与同一直线的两条直线不平行,

那么它们的同旁内角不互补,又因为两条直线垂直于同一直线,
它们的同旁内角和等于180°,因此它们相互矛盾。 所以在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行


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