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不等式证明课本习题参考答案


1 .求证 a ? b ? 5 ? 2 ( 2 a ? b )

2

2

解:方法一——比较法
a ? b ? 5 ? 2( 2a ? b ) ? (a ? 2 ) ? (b ? 1)
2 2

2

2

? 0

(当且仅当 ? 2, b ? ?1时, 取" ?" ) a

方法二——分析法
若证 a ? b ? 5 ? 2 ( 2 a ? b ) 则需证 a ? b ? 5 ? 2 ( 2 a ? 2 ) ? 0 即证 ( a ? 2 ) ? ( b ? 1 ) ? 0 ? (a ? 2 ) ? (b ? 1) ? 0
2 2 2 2 2 2 2 2

方法三——综合法
? a ? 4 ? 4a
2

(当且仅当 ? 2时, 取" ?" ) a
b ?1? 2 b
2 2

? 2 | b |? ? 2 b

(当且仅当 ? ?1时, 取" ?" ) b
? a ? b ? 5 ? 2( 2a ? b )
2 2

(当且仅当 ? 2, b ? ?1时, 取" ?" ) a
? a ? b ? 5 ? 2( 2a ? b )
2 2

(当且仅当 ? 2, b ? ?1时, a

取"?" )

2 .已知 a , b , c ? R ? , 用综合法证明
3 3 3 2 2

:
2 2

( 1 )  ab ? a ? b ? 1 )( ab ? ac ? bc ? c ) ? 16 abc ( ( 2 )  ( a ? b ? c ) ? a ( b ? c ) ? b ( a ? c ) ? c ( a ? b ) 2

解: (1)方法一——
( 1 )  ab ? a ? b ? 1 )( ab ? ac ? bc ? c ) (
2

? ( a ? 1 )( b ? 1 )( a ? c )( b ? c )

? a , b, c ? R?
? a ? 1 ? 2 a   (当且仅当 a ? 1时 , 取 " ? " ) b ? 1 ? 2 b   (当且仅当 b ? 1时 , 取 " ? " ) a ? c ? 2 ac   (当且仅当 a ? c 时 , 取 " ? " ) b ? c ? 2 bc   (当且仅当 b ? c 时 , 取 " ? " )

? ( a ? 1 )( b ? 1 )( a ? c )( b ? c ) ? 16 abc
即 ( ab ? a ? b ? 1 )( ab ? ac ? bc ? c ) ? 16 abc
2

(当且仅当 ? b ? c ? 1时, 取" ?" ) a

2 .已知 a , b , c ? R ? , 用综合法证明
3 3 3 2 2

:
2 2

( 1 )  ab ? a ? b ? 1 )( ab ? ac ? bc ? c ) ? 16 abc ( ( 2 )  ( a ? b ? c ) ? a ( b ? c ) ? b ( a ? c ) ? c ( a ? b ) 2

解: (1)方法二——
? a , b, c ? R?
? ab ? a ? b ? 1 ? 4 a b ? 4 ab
4 2 2

(当且仅当 ? b ? 1时, 即a ? b ? 1, 取" ?" ) ab
ab ? ac ? bc ? c
2

? 4 a b c ? 4c
2 2 4

4

ab

(当且仅当ab ? ac ? bc ? c 时, 即a ? b ? c , 取" ?" )
? ( ab ? a ? b ? 1 )( ab ? ac ? bc ? c ) ? 16 abc
2

2

(当且仅当 ? b ? c ? 1时, 取" ?" ) a

2 .已知 a , b , c ? R ? , 用综合法证明
3 3 3 2 2

:
2 2

( 1 )  ab ? a ? b ? 1 )( ab ? ac ? bc ? c ) ? 16 abc ( ( 2 )  ( a ? b ? c ) ? a ( b ? c ) ? b ( a ? c ) ? c ( a ? b ) 2

解: 2)若证2(a 3 ? b 3 ? c 3 ) ? a 2 (b ? c ) ? b 2 (a ? c ) ? c 2 (a ? b) (
则需证
(a ? b ) ? (b ? c ) ? (c ? a ) ? ab(a ? b) ? bc(b ? c ) ? ca(c ? a )
? a , b, c ? R?
3 3 ? ( a ? b ) ? ab ( a ? b ) ? ( a ? b )( a ? b )

3

3

3

3

3

3

2

? 0

即a ? b
同理 b ? c c ?a
3 3 3 3 3 3

3

3

? ab ( a ? b ) (当且仅当 ? b时, 取" ?" ) a
? bc ( b ? c )
3 3

3 3

(当且仅当 ? c时, 取" ?" ) b
3 3

? ca ( c ? a ) (当且仅当 ? a时, 取" ?" ) c
3 2 2 2

? ( a ? b ) ? ( b ? c ) ? ( c ? a ) ? ab ( a ? b ) ? bc ( b ? c ) ? ca ( c ? a ) ? (a ? b ? c ) ? a (b ? c ) ? b (a ? c ) ? c (a ? b )

(当且仅当 ? b ? c时, 取" ?" ) a

2 .已知 a , b , c ? R ? , 用综合法证明
3 3 3 2 2

:
2 2

( 1 )  ab ? a ? b ? 1 )( ab ? ac ? bc ? c ) ? 16 abc ( ( 2 )  ( a ? b ? c ) ? a ( b ? c ) ? b ( a ? c ) ? c ( a ? b ) 2

解:( 2)若证2(a 3 ? b 3 ? c 3 ) ? a 2 (b ? c ) ? b 2 (a ? c ) ? c 2 (a ? b)
则需证
(a ? b ) ? (b ? c ) ? (c ? a ) ? ab(a ? b) ? bc(b ? c ) ? ca(c ? a )
?a ?b
2 2

3

3

3

3

3

3

? 2 ab

? a ? b ? ab ? ab

2

2

? a , b, c ? R?
?a ?b
3 3 3 3

? ab ( a ? b )
3 3

(当且仅当 ? b时, 取" ?" ) a (当且仅当 ? c时, 取" ?" ) b
3 3

同理 b ? c c ?a
3 3 3 3

? bc ( b ? c )
3 3

? ca ( c ? a ) (当且仅当 ? a时, 取" ?" ) c
3 2 2 2

? ( a ? b ) ? ( b ? c ) ? ( c ? a ) ? ab ( a ? b ) ? bc ( b ? c ) ? ca ( c ? a ) ? (a ? b ? c ) ? a (b ? c ) ? b (a ? c ) ? c (a ? b )

(当且仅当 ? b ? c时, 取" ?" ) a

a?b b?c 1 1 1 ? ? ? 0 解:若证 a?b b?c c?a a?c 1 即证 ? ( a ? b )( b ? c ) a?c

4 .已知 a ? b ? c , 求证 :

1

?

1

?

1 c?a

? 0 1 a?b ? 1 b?c ? 1 a?c

则需证

?a ? b? c
2 2

? a ? b ? 0, b ? c ? 0, a ? c ? 0
2

? 即证 ( a ? c ) ? ( a ? b )( b ? c )
即证 a ? b ? c
2

? ab ? bc ? ca

?a ?b b ?c c ?a
2 2

2

2 2 2

? 2 ab (当且仅当 a ? b 时 , 取 " ? " ) ? 2 ab (当且仅当 b ? c 时 , 取 " ? " ) ? 2 ca (当且仅当 c ? a 时 , 取 " ? " )

?a ? b ? c
2 2

?"?" 均不成立
2

? 2 ( a ? b ? c ) ? 2 ab ? 2 bc ? 2 ca
?a ?b ?c
2 2 2

?

1 a?b

?

1 b?c

?

1 c?a

? 0

? ab ? bc ? ca 成立

5 .已知 m , n ? R ? , 求证 :

m ? n

?

m?n

m n

n

m

解: ? m , n ? R ?
易知 mn ? 0 ,
m?n

?
m n
1 1 2 2
n

2 m ? n
2

?

mn

(当且仅当 ? n时, 取" ?" ) m

m

? 0
m?n n?m

mn
m?n

m n

n

m

? m

m n
n m?n
m?n

m

? m

2m ?2n

n 2 m ? 2 n? (

m n

m?n

) 2m ?2n

n m?n
0

若m ? n, 则 (

m n

) 2m ?2n ? 1 ? 1
m ? n 2m ? 2n

?

mn ?
m?n

m?n

m n
?

n

m

若m ? n, 则

m n

? 1,
m n

? 0 ?(
? 0

m n

) 2m ?2n ? 1
m n
m?n

mn ?

m?n

m n
n

n

m

若m ? n, 则 0 ?

? 1,
n m

m ?n 2m ? 2n

?(

) 2m ?2n ? 1 ?

mn ?

m?n

m n

m

?

m ? n 2

?

m?n

m n

(当且仅当 ? n时, 取" ?" ) m

6 .已知 f ( x ) ?

1 ? x , a ? b , 求证 :| f ( a ) ? f ( b ) |? | a ? b |

2

解:若证
则需证 |
即证 |

| f ( a ) ? f ( b ) |? | a ? b |
1? a
a 1? a
2 2
2

?
2

1? b

2

|? | a ? b |
a
2

?b ?

|? | 1? b
2

?b

2

2

a? b
2

|

即证 | a ? b |?

(1 ? a ) ? a
2

1? b ? b
2

?| a ? b | ? | a | ? | b | ?

?

1? a

2

?

1? b

2

(当且仅当 ? 0时, 取" ?" ) ab
?| f ( a ) ? f ( b ) |? | a ? b |

6 .已知 f ( x ) ?

1 ? x , a ? b , 求证 :| f ( a ) ? f ( b ) |? | a ? b |

2

解:若证
则需证 |

| f ( a ) ? f ( b ) |? | a ? b |
1? a
2 2

? 2ab ? a ? b 成立
?| f ( a ) ? f ( b ) |? | a ? b | 当 1 ? ab ? 0 时
1 ? ab ? ( 1 ? a )( 1 ? b ) 成立
2 2

2

2

?

1? b
2

2

|? | a ? b |
2

即证 ( 1 ? a

?

1 ? b ) ? (a ? b )
2 2

2

即证 2 ? 2 ( 1 ? a )( 1 ? b
即证 1 ? ab ?
2

? ? 2 ab
2

?| f ( a ) ? f ( b ) |? | a ? b | 综上知 : ?| f ( a ) ? f ( b ) |? | a ? b |

( 1 ? a )( 1 ? b )
2 2

当 1 ? ab ? 0 时
即证 ( 1 ? ab ) ? ( 1 ? a )( 1 ? b )
2

即证 2 ab ? a ? b 易知 2 ab ? a ? b
2

2

2 2

(当且仅当 ? b时, 取" ?" ) a

?a ? b


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