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高中数学(苏教版选修2-3)双基达标训练:1.5.2 二项式系数的性质及应用


1.5.2

二项式系数的性质及应用 双基达标 ?限时15分钟?

1.若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,则 a7+a6+…+a1=________. 解析 令 x=1 得 a7+a6+…+a1+a0=128,

令 x=0 得 a0=(-1)7=-1, ∴a7+a6+…+a1=129. 答案 129

?x 1 ? 2- 3 ?n 的展开式中,只有第五项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是 2.? ? ? x? ? ________. 解析 只有第五项的二项式系数最大,所以 n=8.通项 =(-1)r2r-8Cr 8 ,令 24-4r 3 =0 得 r=6.所以常

? x?8-r Tr+1=Cr 8?2? ? ? 数项为(-1)626-8C6 8=7. 答案 7

1? ? 3.已知?x2+x?n 的二项展开式的各项系数和为 32,则二项展开式中 x 的系数为 ? ? ________. 解析 由已知可得展开式的系数也为二项式系数,故 2n=32,∴n=5,此时

10-3k 展开式的通项为 Tk+1=Ck ,令 10-3k=1 得 k=3. 5x

故展开式中 x 项的系数为 C3 5=10. 答案 10

4.1+3+32+…+399 被 4 除,所得的余数为________. 解析 1-3100 1 100 1+3+3 +…+3 = =2(3 -1)= 1-3
2 99

1 1 100 100 1 99 98 97 [(4 - 1) - 1] = 42-C99 4+1-1)=8(498-C1 100· 1004 2 2(4 -C1004 +…+C100· +…+C98 100-25) 显然能被 4 整除,故余数为 0. 答案 0
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5.若(1+5x2)n 的展开式中各项系数之和是 an,(2x3+5)n 的展开式中各项的二项 an 式系数之和为 bn,则 n+1 的值为________. 3 bn 解析 ∴ an 由已知可得 an=(1+5)n=6n,bn=2n, = 6n 1 n+1 n= . 3 · 2 3

3n+1bn 1 3

答案

1 ? ? x+ ? ?n 6.若? 4 ? 展开式中前三项的系数成等差数列. 2 x? ? 求:(1)展开式中含 x 的一次幂的项;(2)展开式中系数最大的项. 解
0 2 1 1 1 由已知条件知:Cn +Cn · 2=2Cn· , 2 2

解得 n=8 或 n=1(舍去). (1)Tr+1=Cr ( 8· x)
8-r

? 1 ? ? ?r · ? 4 ?= ?2 x?

.

3 令 4-4r=1,解得 r=4. 35 ∴含 x 的一次幂的项为 T4+1=C4 2-4· x= 8 x. 8· (2)记第 r 项系数为 tr,设第 k 项系数最大,
-1 则有 tk≥tk+1,且 tk≥tk-1.又 tr=Cr 2-r+1, 8 ·

k-1 -k+1 2 ≥Ck 2-k, ?C8 · 8· 于是有? k-1 -k+1 -2 2 ≥Ck 2-k+2. ?C8 · 8 ·

8! 8! ? × 2 ≥ , ??k-1?!· ?9-k?! k!?8-k?! 即? 8! 8! ≥ ×2. ? ?9-k?! ?k-2?!· ?10-k?! ??k-1?!· 2 1 ? ?9-k≥k, ∴? 1 2 ≥ ? ?k-1 10-k.

解得 3≤k≤4.

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∴系数最大项为第 3 项 T3=7· 和第 4 项 T4=7· .

综合提高

?限时30分钟?

7.(2- x)8 展开式中不含 x4 项的系数的和为________. 解析
8-k k 展开式的通项公式 Tk+1=Ck 28-k· (- x)k=(-1)kCk · x2. 8· 82

k 由2=4 得 k=8,则含 x4 项的系数为 1. 令 x=1 得展开式所有项的系数和为(2- 1)8=1. 故展开式中不含 x4 项的系数的和为 1-1=0. 答案 0

2 2 3 3 k k k 10 10 8.1-90C1 10+90 C10-90 C10+…+(-1) 90 C10+…+90 C10除以 88 的余数是

________. 解析
1 9 原式=(1-90)10=(88+1)10=8810+C10 889+…+C10 88+1.

因为前 10 项均能被 88 整除,故余数为 1. 答案 1

9.已知(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则 a1 +a2+a3+…+a8=________. 解析
2

令 x=1 得 a0+a1+a2+…+a8=
3 8

2?1-28? 2+2 +2 +…+2 = =510, 1-2 令 x=0 得 a0=8,∴a1+a2+a3+…+a8=502. 答案 502

3? 1 1 ? 10. 若?x2-x?n 的二项展开式中有且只有第五项的二项式系数最大, 则 C0 n- Cn+ 2 ? ? 1 2 n 1 n C n-…+(-1) · n· 4 2 Cn=________. 解析 由已知第 5 项的二项式系数最大,则 n=8,

1?n ?1?8 1 1 ? 0 1 1 1 2 又 Cn -2Cn+4Cn-…+(-1)n2nCn . n=?1-2? =?2? = ? ? ? ? 256 答案 1 256

11.(1)求证:4×6n+5n+1-9 是 20 的倍数(n∈N+);
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(2)今天是星期一,再过 3100 天是星期几? (1)证明 4×6n+5n+1-9=4· (5+1)n+5· (4+1)n-9

-1 n 1 n -1 =4(C0 +…+Cn n5 +Cn5 n 5+1)+ -1 n 1 n-1 5(C0 +…+Cn n4 +Cn4 n 4+1)-9 -1 -1 n-1 n-2 0 n -1 n -2 =20[(C0 +C 1 +…+Cn + C1 +…+Cn n5 n5 n )+(Cn 4 n4 n )] ,故结论成

立. (2)解 ∵3100=950=(7+2)50=

0 1 C50 · 750· 20+C50 · 749· 21+…+C49 7· 249+C50 70 · 250=7Mn+250(Mn∈N+), 50· 50·

又 250=23

×16+2

=4×816=4(1+7)16=

1 2 2 16 16 4(C0 16+7C16+7 C16+…+7 C16)=4+7Nn(Nn∈N+),

∴3100 被 7 除余数是 4,故再过 3100 天是星期五. 2? ? 12.在? x-x2?8 的展开式中, ? ? (1)系数的绝对值最大的项是第几项? (2)求二项式系数最大的项; (3)求系数最大的项; (4)求系数最小的项. 解 ? 2? Tr+1=Cr ( x)8-r?-x2?r=(-1)r· Cr 8· 8· ? ? .

(1)设第 r+1 项系数的绝对值最大.
+1 r r 2 ≥Cr 2r+1, ?C8· 8 · 则? r r -1 2 ≥Cr 2r-1. ?C8· 8 ·

1 2 ? ?8-r≥r+1, ∴? 2 1 ≥ ? ? r 9-r.

?5≤r≤6,

故系数绝对值最大的项是第 6 项和第 7 项. (2)二项式系数最大的项为中间项,即为第 5 项.
4 4 ∴T5=C8 · 2·

=1 120x-6.

(3)由(1)知,展开式中的第 6 项和第 7 项系数的绝对值最大,而第 6 项的系数 为负,第 7 项的系数为正.
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6 6 -11 则系数最大的项为 T7=C8 · 2· x =1 792x-11.

(4)系数最小的项为 T6=-C5 8· 13.(创新拓展)(1)已知(1-2x)2 +a1+a2+…+a2 008 的值; (2)已知(1-2x+3x2)7=a0+a1x+a2x2+…+a13x13+a14x14,求 a1+a3+a5+… +a13 的值. 解 (1)令 x=1,则(1-2x)2 008=a0+a1x+a2x2+…+a2 008x2 008 变为(1-2)2 008
008

=a0+a1x+a2x2+…+a2

2 008 (x∈R),求 008x

a0

=a0+a1+a2+…+a2 008, ∴a0+a1+a2+…+a2 008=1. (2)分别令 x=1 及 x=-1,
7 7 ?a0+a1+a2+…+a14=?1-2+3? =2 , 可得? 7 7 ?a0-a1+a2-…+a14=?1+2+3? =6 .

两式相减,用上式减下式可得 2(a1+a3+…+a13)=27-67, 1 ∴a1+a3+a5+…+a13=2(27-67).

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