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2012-2013学年江苏省扬州中学高一(上)期末数学试卷


2012-2013 学年江苏省扬州中学高一(上)期末数 学试卷

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2012-2013 学年江苏省扬州中学高一(上)期末数 学试卷
一、填空题(本大题共 14 题,每题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上) 2 1. (5 分)已知全集 U={0,1,2,3,4,5},集合 A={x|x ﹣3x+2=0},B={x|x=2a,a∈A},则集合?U(A∪B)= _________ . 2. (5 分) (2013?广元二模)函数 的定义域为 _________ .

3. (5 分) (2012?上海)函数 f(x)=sin(2x+

)的最小正周期为 _________ .

4. (5 分)若幂函数 f(x)的图象过点

,则 f(x)= _________ .

5. (5 分)已知角 α 终边经过点 P(﹣2,3) ,则 α 的正弦值为 _________ . 6. (5 分) (2012?上海)若 f(x)= 为奇函数,则实数 m= _________ .

7. (5 分)已知点 D 是△ ABC 的边 BC 的中点,若记

,则用

表示

为 _________ .

8. (5 分) (2013?成都模拟)设函数 f(x)=

,若 f(α)=4,则实数 α 为 _________ .

9. (5 分)方程|x|=cosx 在(﹣∞,+∞)内解的个数是

_________ .

10. (5 分)把函数 y=cos2x 图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,然后向左平移 1 个单位长度, 得到的函数解析式是 y= _________ . 11. (5 分)下列计算正确的是 _________ . (把你认为正确的序号全部写上) ① ② ③ ④ .

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www.jyeoo.com 12. (5 分)设 _________ . 13. (5 分)已知 A(2,0) ,P(sin(2t﹣60°) ,cos(2t﹣60°) ) ,当 t 由 20°变到 40°时,P 点从 P1 按顺时针运动至 P2 的曲线轨迹与线段 AP1,AP2 所围成的图形面积是 _________ . 14. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=2 .若对任意的 x∈[t,t+1],不等式 f(x+t) 3 ≥f (x)恒成立,则实数 t 的取值范围是 _________ . 二、解答题: (本大题共 6 题计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (14 分)已知函数 (x∈R) ,且 .
x

都是单位向量,且 与 的夹角为

,则

的最小值为

(1)判断函数 y=f(x)在 R 上的单调性,并用定义法证明; (2)若 ,求 x 的取值范围.

16. (14 分)设 (1)当 m=8 时,将 用 和 表示;



(2)若 A、B、C 三点能构成三角形,求实数 m 应满足的条件. 17. (15 分)函数 (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)的单调增区间; (3)求 f(x)在 的值域. (其中 A>0,ω>0)的振幅为 2,周期为 π.

18. (15 分)设 0<α<π<β<2π,向量 . (1)若 (2)若 ,求 α; ,求 sinβ+cosβ 的值; .

(3)若 tanαtanβ=4,求证:

19. (16 分)将 51 名学生分成 A,B 两组参加城市绿化活动,其中 A 组布置 400 盆盆景,B 组种植 300 棵树苗.根 据历年统计,每名学生每小时能够布置 6 盆盆景或者种植 3 棵树苗.设布置盆景的学生有 x 人,布置完盆景所需要 的时间为 g(x) ,其余学生种植树苗所需要的时间为 h(x) (单位:小时,可不为整数) . (1)写出 g(x) 、h(x)的解析式; (2)比较 g(x) 、h(x)的大小,并写出这 51 名学生完成总任务的时间 f(x)的解析式; (3)应怎样分配学生,才能使得完成总任务的时间最少?

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www.jyeoo.com 20. (16 分)已知 (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)的值域; (3)设 h(x)=2 f(x) ,a>0 时,对任意 x1,x2∈[﹣1,1]总有 值范围.
﹣x

,a∈R.

成立,求 a 的取

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2012-2013 学年江苏省扬州中学高一(上)期末数 学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题(本大题共 14 题,每题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上) 2 1. (5 分)已知全集 U={0,1,2,3,4,5},集合 A={x|x ﹣3x+2=0},B={x|x=2a,a∈A},则集合?U(A∪B)= {0,3,5} . 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 先求出集合 A={1,2},B={2,4},从而得到 A∪B={1,2,4},再由全集 U={0,1,2,3,4,5},能求出 集合 CU(A∪B) . 解答: 解:∵全集 U={0,1,2,3,4,5}, 2 集合 A={x|x ﹣3x+2=0}={1,2},B={x|x=2a,a∈A}={2,4}, ∴A∪B={1,2,4}, ∴集合 CU(A∪B)={0,3,5}. 故答案为:{3,5}. 点评: 本题考查集合的交、并、补集的混合运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
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2. (5 分) (2013?广元二模)函数

的定义域为



考点: 对数函数的定义域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数的解析式可得 1﹣2log2x≥0,故有 log2x≤ =
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,由此求得 x 的范围,即可得到函数的定义域. ,

解答:

解:∵函数

,∴1﹣2log2x≥0,∴log2x≤ =

∴0<x≤ ,故函数的定义域为 , 故答案为 . 点评: 本题主要考查求函数的定义域,对数函数的单调性的应用,属于基础题.

3. (5 分) (2012?上海)函数 f(x)=sin(2x+

)的最小正周期为 π .

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题. 分析: 由函数解析式找出 ω 的值,代入周期公式 T=
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中,即可求出函数的最小正周期.

解答:

解:f(x)=sin(2x+ ∵ω=2, ∴T= =π,

) ,

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www.jyeoo.com 则函数的最小正周期为 π. 故答案为:π 点评: 此题考查了三角函数的周期性及其求法,熟练掌握周期公式是解本题的关键.
﹣2

4. (5 分)若幂函数 f(x)的图象过点

,则 f(x)= x



考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 阅读型. 分析: 设出幂函数的解析式,然后把点的坐标代入求出幂指数即可. 解答: α 解:设幂函数为 y=x ,因为图象过点 ,则 ,所以,α=﹣2.
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所以 f(x)=x . ﹣2 故答案为 x . 点评: 本题考查了幂函数的概念,是会考常见题型,此题是基础题.

﹣2

5. (5 分)已知角 α 终边经过点 P(﹣2,3) ,则 α 的正弦值为



考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用 ,其中 解答:

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,即可得出. = .

解:∵角 α 终边经过点 P(﹣2,3) ,∴ ∴ 故 α 的正弦值为 故答案为 . . .

点评: 熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.

6. (5 分) (2012?上海)若 f(x)=

为奇函数,则实数 m=

﹣2 .

考点: 函数奇偶性的性质. 分析: 由 f(x)= 解答: 解:∵f(x)=

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为奇函数,可得 f(﹣1)=﹣f(1) ,代入可求 为奇函数,

∴f(﹣1)=﹣f(1) 即 m﹣1=3(1+m) ∴m=﹣2 故答案为:﹣2 点评: 本题主要考查了奇函数的性质的简单应用,属于基础试题

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www.jyeoo.com 7. (5 分)已知点 D 是△ ABC 的边 BC 的中点,若记 ,则用 表示 为 .

考点: 向量加减混合运算及其几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 以 AB,AC 为临边作平行四边形 ACEB,连接其对角线 AE、BC 交与点 D,由向量加法的平行四边形法则 和表示出向量,可得结论. 解答: 解:以 AB,AC 为临边作平行四边形 ACEB,连接其对角线 AE、BC 交与点 D, 易知 D 是△ ABC 的边 BC 的中点,且 D 是 AE 的中点,如图:
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由向量的平行四边形法则可得 故答案为:

=

=

=2

,解得



点评: 本题考查向量加减的混合运算,涉及向量的中点公式,属基础题.

8. (5 分) (2013?成都模拟)设函数 f(x)=

,若 f(α)=4,则实数 α 为 ﹣4 或 2 .

考点: 专题: 分析: 解答:

函数的值. 计算题. 2 当 a≤0 时,f(a)=﹣a,当 a>0 时 f(a)=a ,结合已知即可求解 a 解:当 a≤0 时,f(a)=﹣a=4 ∴a=﹣4 2 当 a>0 时,f(a)=a =4 ∴a=2 或 a=﹣2(舍) 综上可得,a=2 或 a=﹣4 故答案为:﹣4 或 2 点评: 本题主要考查了分段函数的函数值的求解,解题的关键是确定 f(a)的表达式,体现了分类讨论思想的应 用
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9. (5 分)方程|x|=cosx 在(﹣∞,+∞)内解的个数是

2 .

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 一坐标系内作出函数 y=cosx 和 y=|x|的图象,可得当 x∈(﹣∞,+∞)时,两曲线共有 2 个交点,由此即可 得到本题的答案. 解答: 解:同一坐标系内作出函数 y=cosx 和 y=|x|的图象,如右图所示. 对照图象,得两曲线在(﹣∞,+∞)内共有 2 个交点. 得方程|x|=cosx 在(﹣∞,+∞)内解的个数是:2 个. 故答案为:2.
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点评: 本题给出含有余弦和绝对值的方程,求方程根的个数,着重考查了绝对值函数和余弦函数的图象与性质、 函数的零点等知识,属于中档题. 10. (5 分)把函数 y=cos2x 图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,然后向左平移 1 个单位长度, 得到的函数解析式是 y= cos(x+1) . 考点: 专题: 分析: 解答: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 三角函数的图像与性质. 根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,求得所得的函数解析式. 解:把函数 y=cos2x 图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变) , 所得图象对应的函数的解析式为 y=cosx, 然后向左平移 1 个单位长度,得到的函数解析式是 y=cos(x+1) , 故答案为 y=cos(x+1) . 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于中档题.
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11. (5 分)下列计算正确的是 ②④ . (把你认为正确的序号全部写上) ① ② ③ ④ .

考点: 有理数指数幂的化简求值;对数的运算性质;向量加减混合运算及其几何意义;诱导公式的作用. 专题: 计算题. 分析: 对于①②,直接利用有理指数幂的化简和对数式的运算性质进行计算核对; ③利用诱导公式进行求值验算;④利用向量的加减运算进行化简. 解答: 解: .故①错误; .故②正确; sin600°=sin(720°﹣120°)= .故③错误;

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www.jyeoo.com = 故④正确.

综上,正确的计算是②④. 故答案为②④. 点评: 本题考查了有理指数幂的化简与求值,考查了对数式的运算性质,考查了三角函数的诱导公式和平面向量 的加减运算,属基础题型,解答的关键是熟记有关公式.

12. (5 分)设

都是单位向量,且 与 的夹角为

,则

的最小值为 ﹣



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 根据单位向量 与 的夹角为
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算出 的 数量积,进而得到 =1,再将展开化简得

.由此结合向量数量积的运算性质 = ﹣ ,因此可

得 得 解答:



的最小值. ,∴ ? =| |?| |cos =1+2×(﹣ )+1=1 =﹣

解:∵单位向量 与 的夹角为 可得 ∴ 因此, ∵ ∴ = = = +2 ? +

≤ ﹣( + )

=1 + ? =1﹣( + ) +(﹣ )= ﹣

≥ ﹣1=﹣ , 的最小值为﹣

当且仅当 + 与 共线方向相同时, 故答案为:﹣ 点评: 本题给出 3 个单位向量中的两个夹角为 ,求

的最小值.着重考查了平面向量

数量积计算公式、模的计算公式及其运算性质等知识,属于中档题. 13. (5 分)已知 A(2,0) ,P(sin(2t﹣60°) ,cos(2t﹣60°) ) ,当 t 由 20°变到 40°时,P 点从 P1 按顺时针运动至 P2 的曲线轨迹与线段 AP1,AP2 所围成的图形面积是 .

考点: 任意角的三角函数的定义;扇形面积公式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 如图所示,把问题转化为

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,等价于求

即可.

解答: 解:如图所示,点 P 位于单位圆 x2+y2=1 上. 当 t=20°时,2t﹣60°=﹣20°,点 P(sin(﹣20°) ,cos20°) ,即 P(cos110°,sin110°) .
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www.jyeoo.com 当 t=40°时,2t﹣60°=20°,点 P(sin20°,cos20°) ,即 P(cos70°,sin70°) . 连接 P1P2,则 P1P2∥x 轴. ∴ .

因此 P 点从 P1 按顺时针运动至 P2 的曲线轨迹与线段 AP1,AP2 所围成的图形面积 = 故答案为 . = = = .

点评: 把问题转化为 是解题的关键.

,等价于求

及熟练掌握“等积变形”和扇形的面积计算公式

14. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=2 .若对任意的 x∈[t,t+1],不等式 f(x+t) 3 ≥f (x)恒成立,则实数 t 的取值范围是 (﹣∞,﹣2] . 考点: 复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. ﹣ 分析: 由当 x>0 时,f(x)=2x.函数是奇函数,可得当 x=0 时,f(x)=0,当 x<0 时,f(x)=﹣2 x,从而 f 3 3 (x)在 R 上是单调递增函数,且满足 f (x)=f(3x) ,再根据不等式 f(x+t)≥f (x)=f(3x)在[t,t+1] 恒成立,可得 x+t≥3x 在[t,t+1]恒成立,即可得出答案. 解答: 解:当 x>0 时,f(x)=2x. ∵函数是奇函数
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x

∴当 x<0 时,f(x)=﹣2

﹣x

∴f(x)=



∴f(x)在 R 上是单调递增函数, 3 且满足 f (x)=f(3x) , 3 ∵不不等式 f(x+t)≥f (x)=f(3x)在[t,t+1]恒成立, ∴x+t≥3x 在[t,t+1]恒成立, 即:x≤ t 在[t,t+1]恒成立, ∴t+1≤ t 解得:t≤﹣2,
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www.jyeoo.com 故答案为: (﹣∞,﹣2]. 点评: 本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性,难度适中,关键是掌握函数的单调性与奇偶性. 二、解答题: (本大题共 6 题计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (14 分)已知函数 (x∈R) ,且 .

(1)判断函数 y=f(x)在 R 上的单调性,并用定义法证明; (2)若 ,求 x 的取值范围.

考点: 复合函数的单调性;函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由 求出 m 的值,得到函数 f(x)的解析式.任取 x1,x2∈R,且 x1<x2,我们构造出 f(x2)
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﹣f(x1)的表达式,根据实数的性质,我们易出 f(x2)﹣f(x1)的符号,进而根据函数单调性的定义, 得到答案. (2)由(1)知函数 y=f(x)在 R 上为单调增函数,根据题意脱去函数符号“f“,转化为关于 x 的分式不等 式,解之即得. 解答: 解: (1)由已知得 ,m =8,∴m=2…(3 分)
3



=

=

任取 x1,x2∈R,且 x1<x2 则 = =

∵ 又∵x2>x1,∴ ∴ ,∴

,∴

,即 f(x2)﹣f(x1)>0,f(x2)>f(x1) …(9 分)

∴函数 y=f(x)在 R 上为单调增函数. (2)∵ ∴ 化简得 ∴ , ,

,由(1)知函数 y=f(x)在 R 上为单调增函数,

…(14 分) (不写集合形式不扣分)

点评: 本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明,其中作差法(定义法)证明函数的单调性是我们中学阶段 证明函数单调性最重要的方法,一定要掌握其解的格式和步骤.

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www.jyeoo.com 16. (14 分)设 (1)当 m=8 时,将 用 和 表示; .

(2)若 A、B、C 三点能构成三角形,求实数 m 应满足的条件. 考点: 平面向量的坐标运算;平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)把 m=8 代入向量 ,以 和 为基底写出
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,利用向量相等列式求出待求系数,则问题解决;

(2)由已知写出向量 足的条件可求. 解答: 解: (1)当 m=8 时, 设



,由向量共线求出 m 的值,则使 A、B、C 三点能构成三角形的实数 m 应满



,则(8,3)=λ(2,﹣1)+μ(3,0)=(2λ+3μ,﹣λ) , ,解得 ,



所以 (2)由 则

; . , ,

若 A、B、C 三点能构成三角形, 则 与 不共线.由 1×4﹣1×(m﹣2)=0 得:m=6.

所以 A、B、C 三点能构成三角形的实数 m 应满足 m≠6. 点评: 本题考查了平行向量与共线向量,考查了共线向量的坐标表示,是基础题.

17. (15 分)函数 (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)的单调增区间; (3)求 f(x)在 的值域.

(其中 A>0,ω>0)的振幅为 2,周期为 π.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的定义域和值域;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用振幅的定义和周期公式 ,即可得出; (2)利用正弦函数的单调性即可得出; (3)由 ,可得

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.进而得到 f(x)的单调递减区间为

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www.jyeoo.com ;单调递增区间为 解答: 解: (1)∵函数 ∴A=2,π= ∴ (2)由 ∴f(x)的单调增区间为 (3)∵ ,∴ .解得 ω=2. . ,解得 ; . ;单调递增区间为 时,函数 f(x)取得最小值﹣2; = . . (k∈Z) . .即可得到值域. (其中 A>0,ω>0)的振幅为 2,周期为 π.

∴f(x)的单调递减区间为 ∴当 当 x=0 时, 时,即

时,函数 f(x)取得最大值

故函数 f(x)的值域为 . 点评: 熟练掌握三角函数的图象与性质是解题的关键. 18. (15 分)设 0<α<π<β<2π,向量 . (1)若 (2)若 ,求 α; ,求 sinβ+cosβ 的值; .

(3)若 tanαtanβ=4,求证:

考点: 三角函数中的恒等变换应用;平面向量的综合题. 专题: 三角函数的求值;平面向量及应用. 分析: (1)利用两个向量垂直的性质,求得 tanα 的值,即可得到 α 的值.
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(2) 由题意可得 的值. 解答: 解: (1)若 (2)由题意可得 ∴ = ,则

的坐标, 再根据

=

求得 sinβcosβ 的值, 根据 β 的范围, 从而求得 sinβ+cosβ

=2cosα﹣2sinα=0,∴tanα=1.再由 0<α<π<β<2π,可得 α= =(sinβ+cosβ,2cosβ﹣2sinβ) , = =



,∴sinβcosβ= .

结合 0<α<π<β<2π,可得 β 为第三象限角,故 sinβ+cosβ<0. ∴sinβ+cosβ=﹣ =﹣ =﹣ .

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www.jyeoo.com (3)若 tanαtanβ=4,则有 故 与 的坐标对应成比例,故 . ,∴sinαsinβ=4cosαcosβ,∴ ,

点评: 本题主要考查两个向量的数量积公式、求向量的模、同角三角函数的基本关系以及两个向量共线的条件, 两个向量垂直的性质,属于中档题. 19. (16 分)将 51 名学生分成 A,B 两组参加城市绿化活动,其中 A 组布置 400 盆盆景,B 组种植 300 棵树苗.根 据历年统计,每名学生每小时能够布置 6 盆盆景或者种植 3 棵树苗.设布置盆景的学生有 x 人,布置完盆景所需要 的时间为 g(x) ,其余学生种植树苗所需要的时间为 h(x) (单位:小时,可不为整数) . (1)写出 g(x) 、h(x)的解析式; (2)比较 g(x) 、h(x)的大小,并写出这 51 名学生完成总任务的时间 f(x)的解析式; (3)应怎样分配学生,才能使得完成总任务的时间最少? 考点: 函数模型的选择与应用;函数的值域;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)设布置盆景的学生有 x 人,则 B 组人数为 51﹣x,可求出 A 组所用时间 g(x)=
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,B 组所用时间

h(x)=

,化简即可;

(2)通过比较 g(x) 、h(x)的大小,确定 A 组与 B 组的所需时间,写出分段函数的解析式即可. (3)通过两组用时比较,计算 x=20 与 x=21 时,求出总用时最少者,即可得到结果. 解答: 解: (1)设布置盆景的学生有 x 人,则 B 组人数为 51﹣x A 组所用时间 g(x)= (2)当 当 时, = ,0<x<51,B 组所用时间 h(x)= = .0<x<51.

,解得 x

时,布置完盆景所需要的时间,多于种植树苗所需要的时间;

,布置完盆景所需要的时间,少于种植树苗所需要的时间;

这 51 名学生完成总任务的时间 f(x)的解析式为:f(x)=



(3)当

时,

用时最短,因为

, ,种植树苗所需要的时间: = ;最少用时为: .最少用时为: . .

所以当 x=20 时,布置完盆景所需要的时间为: 当 x=21 时,布置完盆景所需要的时间为:

,种植树苗所需要的时间:

所以布置盆景的学生有 20 或 21 人时用时最少. 点评: 本题主要考查了线性规划知识在实际问题中的应用,解题的关键是要把实际问题转化为数学问题. 20. (16 分)已知 (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)的值域; ,a∈R.

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www.jyeoo.com (3)设 h(x)=2 f(x) ,a>0 时,对任意 x1,x2∈[﹣1,1]总有 值范围. 考点: 复合函数的单调性;函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)令 t=log2x,则 x=2t,故 f(t)=a(2t)2﹣2?2t+1﹣a.从而得出 f(x)的解析式; x 2 (2)设 m=2 ,则 m>0,y=am ﹣2m+1﹣a,下面对 a 进行分类讨论:①当 a=0 时,②当 a>0 时,③当 a <0 时,分别求出其值域即可;
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﹣x

成立,求 a 的取

(3)函数 h(x)=a?2 +(1﹣a)2 ﹣2 对任意 x1,x2∈[﹣1,1],|h(x1)﹣h(x2)|≤ h(x)在[﹣1,1]内满足其最大值与最小值的差小于等于
t

x

﹣x

恒成立,等价于



解答: 解: (1)令 t=log2x,则 x=2 , t 2 t 故 f(t)=a(2 ) ﹣2?2 +1﹣a. x 2 x ∴f(x)=a(2 ) ﹣2?2 +1﹣a, x 2 (2)再设 m=2 ,则 m>0,y=am ﹣2m+1﹣a, ①当 a=0 时,y=﹣2m+1(m>0) ,在(0,+∞)上是减函数,其值域为(﹣∞,1) ; ②当 a>0 时,y=am ﹣2m+1﹣a 的对称轴 m= >0, 故其在(0, )上是减函数,在( ,+∞)上是增函数.其值域为(﹣ +1﹣a,+∞) ; ③当 a<0 时,y=am ﹣2m+1﹣a 的对称轴 m= <0, 故其在(0,+∞)上是减函数.其值域为(﹣∞,1﹣a) ; (3)∵h(x)=a?2 +(1﹣a)2 ﹣2, ﹣x x ∴h′(x)=aln2?2 ﹣(1﹣a)lna?2 , 由 h′(x)=aln2?2 ﹣(1﹣a)lna?2 =0,得 x0= log2 由 x0= log2 >1 得 0<a< ,由 x0= log2
x
﹣x

2

2

x

﹣x

(0<a<1) .

<﹣1,得 a> ,

∵h(0)=﹣1,h(1)= (a﹣1) , 由 f(1)>f(0) ,得 (a﹣1)>﹣1,得 a> . ①当 0<a≤ 时,h′(x)=aln2?2 ﹣(1﹣a)lna?2 <0 恒成立,函数 h(x)在[﹣1,1]上是减函数, ∴函数 h(x)在[﹣1,1]内的最大值是 h(﹣1)=﹣ a,最小值是 h(1)= (a﹣1) . ∵对任意 x1,x2∈[﹣1,1]总有 ∴﹣ a﹣ (a﹣1)≤ ,∴a≥2.不合,舍去. 成立,
x
﹣x

②当 <a≤ 时,函数 h(x)在[﹣1,x0]上是减函数,在(x0,1]上是增函数 ∴函数 h(x)在[﹣1,1]内的最大值是 h(﹣1)=﹣ a,最小值是 h(x0)=2 ﹣2.

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www.jyeoo.com ∵对任意 x1,x2∈[﹣1,1]总有 ∴﹣ a﹣2 ∴ ≥a≥ . +2≤ , 成立,

③当 <a≤ 时,函数 h(x)在[﹣1,x0]上是减函数,在(x0,1]上是增函数 ∴函数 h(x)在[﹣1,1]内的最大值是 h(1)= (a﹣1) ,最小值是 h(x0)=2 ∵对任意 x1,x2∈[﹣1,1]总有 ∴ (a﹣1)﹣2 ∴ <a≤ . ④当 a> 时,h′(x)=aln2?2 ﹣(1﹣a)lna?2 >0 恒成立,函数 h(x)在[﹣1,1]上是增函数, ∴函数 h(x)在[﹣1,1]内的最大值是 h(1) ,最小值是 h(﹣1) . ∵对任意 x1,x2∈[﹣1,1]总有 ∴ (a﹣1)+ a≤ ∴a≤ .不合,舍去. 综上所述,a 的取值范围为[ , ]. , 成立,
x
﹣x

﹣2.

成立, ,

+2≤

点评: 本题考查函数的值域,考查满足条件的实数的取值范围的求法,考查分类讨论的思想.解题的关键是要分 析出|f(x1)﹣f(x2)|≤f(x)max﹣f(x)min.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:sxs123;孙佑中;sllwyn;qiss;吕静;minqi5;lincy;caoqz;俞文刚(排名不分 先后)
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