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2011年新知杯上海市初中数学竞赛试题及答案详解


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2011 年新知杯上海市初中数学竞赛试题
一、填空题(每题 10 分,共 80 分) 1.已知关于 x 的两个方程: x ? x ? 3m ? 0 ……①, x ? x ? m ? 0 ……②,其中 m ? 0 .若方程①有一个根是方程
2 2

②的一个根的 3 倍,则实数 m 的值是_______

2.已知梯形 ABCD 中 AB / /CD , ?ABC ? 90 , BD ? AD, BC ? 5, BD ? 13, 则梯形 ABCD 的面积为______。

?

3.从编号为 1、2、3、4、5、6 的六张卡片中任意抽取三张,则抽出的卡片编号都大于等于 2 的概率为________.

4.将 8 个数,-7、-5、-3、-2、2、4、6、13 排列为 a, b, c, d , e, f , g , h ,使得

(a ? b ? c ? d )2 ? (e ? f ? g ? h)2 的值最小,则这个最小值为________.

5.已知正方形 ABCD 边长为 4, E , F 分别在 AB, BC 上, AE ? 3, BF ? 2, AF , DE 交于 G ,则四边形 DGFC 的面 积为。

是 内 6.在等腰直角三角形 ABC 中, ?ACB ? 90 , P ? ABC 一点,使得 PA ? 11, PB ? 7, PC ? 6 ,则 AC 边长为
____________。

?

7.有 10 名象棋选手进行单循环赛,规定每场比赛胜方得 2 分,负方得 0 分,平局各得 1 分,比赛结束后发现每位选手 得分各不同,且第二名的得分是最后五名选手得分之和的 .

4 ,则第二名选手得分是_______。 5

8.已知 a、b、c、d 都是素数 (可以相同)并且 abcd 是 35 个连续正整数之和, a ? b ? c ? d 的最小值为_________. , 则

上名校—走捷径,人民广场八仙商务楼 4B10 室

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二、解答题(第 9、10 题每题 15 分,第 11、12 题每题 20 分,共 70 分) 9.如图,矩形 ABCD 的对角线交于 O ,已知 ?DAC ? 60 , ?DAC 的平分线与 DC 交于 S ,直线 OS , AD 相交于 L , 直线 BL与AC 交于 M 。求证: SM / / LC .
?

10.求所有正整数组 a ? b ? c ? d ? e ? f , 使得a ! ? b !? c !? d !? e !? f !.

11.①求证:存在整数 x, y, 满足x ? 4 xy ? y ? 2022,
2 2

②是否存在整数 x, y, 满足x ? 4 xy ? y ? 2011 ?请证明你的结论。
2 2

.

12.整数 n ? 1,它的所有不同的素因子为 p1 , p2 ,?, pk , 对于每个1 ? i ? k ,存在正整数
a a ai ,使得 piai ? n ? piai ?1 。记 p(n) ? p1a1 ? p2 2 ? ? ? pk k ,例如 p(100) ? 26 ? 52 ? 89 .

①找出一个正整数 n ,使得 p(n) ? n ; ②证明:存在无穷多个正整数 n ,使得 p(n) ?

11 n. 10

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